1、本章整合 本章知识由三部分组成,第一部分为描述圆周运动的物理量及其关 系;第二部分为生活中圆周运动实例;第三部分为离心运动的应用 与防止。 一、平抛运动与圆周运动相结合问题的求解 平抛运动与圆周运动的组合题,用平抛运动的规律求解平抛运动问 题,用牛顿运动定律求解圆周运动问题,关键是找到两者的速度关 系。若先做圆周运动后做平抛运动,则圆周运动的末速度等于平抛 运动的水平初速度;若物体平抛后进入圆轨道,圆周运动的初速度 等于平抛末速度在圆切线方向的分速度。 例1小明站在水平地面上,手握不可伸长的轻绳一端,绳的另一端系 有质量为m的小球,甩动手腕,使球在竖直平面内做圆周运动。当球 某次运动到最低点时
2、,绳突然断掉,球飞行水平距离d后落地,如图所 示。已知握绳的手离地面高度为d,手与球之间的绳长为 d,重力 加速度为g,忽略手的运动半径和空气阻力。 (1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速 度大小v2。 (2)绳能承受的最大拉力为多大? (3)改变绳长,使球重复上述运动,若绳仍在球 运动到最低点时断掉,要使球抛出的水平距 离最大,绳长应为多少?最大水平距离为多少? 3 4 解析:(1)设绳断后小球飞行的时间为t,落地时小球的竖直分速度为 v2,根据平抛运动的规律有, 水平方向d=v1t 竖直方向1 4d= 1 2gt 2,v2=gt 解得 v1= 2,v2 = 2 所以小球落地时的速度大
3、小为 v2= 12+ 22 = 5 2 。 (2)设绳能承受的最大拉力大小为 T,这也是小球受到绳的最大拉力 大小。小球做圆周运动的半径为 R=3 4d 根据牛顿第二定律有 T-mg=m1 2 , 解得 T=11 3 mg。 (3)设绳长为 l,绳断时球的速度大小为 v3,绳能承受的最大拉力不变, 则有 T-mg=m3 2 ,解得 v3 = 8 3 绳断后小球做平抛运动,竖直方向的位移为(d-l),设水平方向的位移 为 x,飞行时间为 t1,则有 d-l=1 2 12,x=v3t1,解得 x=4 (-) 3 当 l= 2时,x 有最大值,此时 xmax= 2 3 3 d。 答案:(1) 2 5
4、 2 (2)11 3 mg (3) 2 2 3 3 d 变式训练1如图所示,置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速 转动,当转速达到某一数值时,物块恰好滑离转台开始做平抛运动。 现测得转台半径R=0.5 m,离水平地面的高度H=0.8 m,物块平抛落 地过程水平位移的大小s=0.4 m。设物块所受的最大静摩擦力等于 滑动摩擦力,重力加速度g取10 m/s2。求: (1)物块做平抛运动的初速度大小v0; (2)物块与转台间的动摩擦因数。 解析:(1)物块做平抛运动,在竖直方向上有 H=1 2gt 2 在水平方向上有 s=v0t 由式解得 v0=s 2=1 m/s (2)物块离开转台时,最大静摩擦
5、力提供向心力,有 fm=m0 2 fm=N=mg 由式解得 =0 2 =0.2。 答案:(1)1 m/s (2)0.2 二、功和机械能与圆周运动的综合 功和机械能与圆周运动的综合题一方面是要考查功和机械能,另一 方面要考查圆周运动。既然考查功和机械能,那么肯定要利用解答 功和机械能的基本方法和答题步骤:明确研究对象,确定始末状态, 列出表达式求解。同时题目又要考查圆周运动,因此我们还要利用 圆周运动的相关知识求解。具体来说,解答此类试题大家需要关注 以下两个方面: 1.根据功和机械能的相关规律列式:确定好研究对象和研究过程,如 果研究对象在该过程中满足机械能守恒定律的条件,像只受重力、 只有重
6、力做功、重力以外的力做功但代数和为零(研究对象若包括 弹簧还有弹簧弹力做功),我们对研究对象根据机械能守恒定律列 式;如果除了动能和重力势能(若研究对象包括弹簧还有弹性势能) 之间的相互转化外还有其他形式能的转化,我们对研究对象根据能 量守恒定律列式;如果研究对象在研究过程中涉及重力以外的力做 功情况,我们对研究对象根据动能定理列式。 2.根据物体做圆周运动的条件列式:找好研究过程的初末状态,根据 物体做圆周运动的条件,不管什么样的圆周运动,物体受到的沿半 径方向的合力提供物体做圆周运动的向心力,因此只要知道物体在 某位置的受力情况就可研究物体在该位置的速度情况,反之,只要 知道物体在该位置的
7、速度就可研究物体在该位置的受力情况。对 于物体在竖直面内的圆周运动(绳拉球和杆拉球为代表的竖直面内 的圆周运动),要注意物体做圆周运动到最高点的临界条件。 例2(2019河南南阳期末)如图所示,光滑水平面AB与竖直面内粗糙 半圆形轨道在B点平滑相接,半圆形轨道半径为R,一质量为m的物 块(可视为质点)将弹簧压缩至A点后由静止释放,获得向右速度后 脱离弹簧,经过B点进入半圆形轨道后瞬间对轨道的压力大小为其 重力的8倍,之后沿圆周运动,到达C点时对轨道的压力恰好为0。求: (1)释放物块时弹簧的弹性势能; (2)物块从B点运动到C点过程中克服摩擦力做的功。 解析:(1)物块在 B 点时,由牛顿第二
8、定律知: N-mg=m 2 解得: 2=7gR 弹簧的弹性势能为: Ep=1 2 2=3.5mgR。 (2)物块在 C 点时,由牛顿第二定律知: mg=m 2 ,则 2=gR 物块从 B 到 C 过程中,由动能定理: -2mgR-Wf=1 2 2 1 2 2 解得物块克服摩擦力做功 Wf=mgR。 答案:(1)3.5mgR (2)mgR 变式训练2(多选)(2019北京西城区期末)如图所示,弧形光滑轨道的 下端与轨道半径为R的竖直光滑圆轨道相接,使质量为m的小球从 高为h的弧形轨道上端自由滚下,小球进入圆轨道下端后沿圆轨道 运动。当小球通过圆轨道的最高点时,对轨道的压力大小等于小球 重力大小。
9、不计空气阻力,重力加速度为g,则( ) A.小球通过圆轨道最高点时的速度大小为 2 B.小球在轨道最低点的动能为2.5mgR C.小球下滑的高度h为3R D.小球在轨道最低点对轨道压力的大小为7mg 解析:小球经过圆轨道最高点时,对轨道的压力 N=mg,依据牛顿第三 定律可知轨道对小球的压力为 mg,由牛顿第二定律有:mg+mg=m 2 , 解得v= 2,选项A正确;小球自开始下滑到圆轨道最高点的过程, 依据动能定理有mg(h-2R)=1 2mv 2,解得h=3R,选项C正确;设小球从高 为 h 的位置释放运动到最低点时的速度为 v1,受轨道的压力为 N1,根 据牛顿第二定律有,N1-mg=m1 2 ,小球由最低点运动到最高点的过程 根据动能定理有,mg 2R=1 2 12 1 2mv 2,解得最低点动能 1 2 12=3mgR,压力 N1=7mg,根据牛顿第三定律知,在轨道最低点,A 球对轨道压力大小为 7mg,选项 B 错误,D 正确。 答案:ACD
