1、2024中考数学复习 第九讲 二次函数的图象与性质命题点1二次函数的基本性质类型一开口方向、对称轴及顶点的确定(含解析式转化)1. (2023新疆)已知抛物线y(x2)21，下列结论错误的是()A. 抛物线开口向上B. 抛物线的对称轴为直线x2C. 抛物线的顶点坐标为(2，1)D. 当x2时，y随x的增大而增大2. (2019甘肃省卷)将二次函数yx24x5化成ya(xh)2k的形式为_类型二与增减性、最值有关的问题3. (2023宁波)点A(m1，y1)，B(m，y2)都在二次函数y(x1)2n的图象上若y12 B. mC. m1 D. m24. (2023陕西)已知二次函数yx22x3的自
2、变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3.当1x10，1x23时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是()A. y1y2y3 B. y2y1y3C. y3y1y2 D. y2y3y15. (2023贺州)已知二次函数y2x24x1在0xa时，y取得的最大值为15，则a的值为()A. 1 B. 2 C. 3 D. 46. (2023温州)已知点A(a，2)，B(b，2)，C(c，7)都在抛物线y(x1)22上，点A在点B左侧，下列选项正确的是()A. 若c0，则acb B. 若c0，则ab0，则ac0，则abc7. (2023南充)已知点M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线y
3、mx22m2xn(m0)上，当x1x24且x1x2时，都有y1y2，则m的取值范围为()A. 0m2 B. 2m0C. m2 D. m2类型三二次函数图象上点的坐标特征8. (2023岳阳)已知二次函数ymx24m2x3(m为常数，m0)，点P(xP，yP)是该函数图象上一点，当0xP4时，yP3，则m的取值范围是()A. m1或m0 D. m19. (2022益阳)已知y是x的二次函数，下表给出了y与x的几对对应值：x2101234y11a323611由此判断，表中a_10. (2023盐城)若点P(m，n)在二次函数yx22x2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是_类型四与
4、坐标轴交点有关的问题11. (2023大庆)已知函数ymx23mxm1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为_12. (2023福建)已知抛物线yx22xn与x轴交于A，B两点，抛物线yx22xn与x轴交于C，D两点，其中n0.若AD2BC，则n的值为_命题点2与二次函数图象有关的判断13. (2023株洲)已知二次函数yax2bxc(a0)，其中b0，c0，则该函数的图象可能为()14. (2023黔东南州)若二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，则一次函数yaxb与反比例函数y在同一坐标系内的大致图象为()15. (2022包头)已知二次函数yax2bxc(a0)的图象经过第
5、一象限的点(1，b)，则一次函数ybxac的图象不经过()A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限命题点3二次函数图象与系数a，b，c的关系2023版课标新增知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系16. (2023滨州)如图，抛物线yax2bxc与x轴相交于点A(2，0)，B(6，0)，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：b24ac0；4ab0；当y0时，2x6；abc0.其中正确的个数为()第16题图A. 4 B. 3 C. 2 D. 117. (2023毕节)在平面直角坐标系中，已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，有下列5个结论：abc0；2ab0
6、；9a3bc0；b24ac；ac4 B. a0C. 0a4 D. 0a2.(1)当该函数的图象经过原点O(0，0)，求此时函数图象的顶点A的坐标；(2)求证：二次函数yx2(m2)xm4的顶点在第三象限；(3)如图，在(1)的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线yx2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求AOB面积的最大值第31题图32. (2022遵义)如图，抛物线ya(x2)23(a为常数且a0)与y轴交于点A(0，).(1)求该抛物线的解析式；(2)若直线ykx(k0)与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当xx10时，求k的值；(3)当4xm时，
7、y有最大值，求m的值第32题图命题点7二次函数图象的变化类型一平移33. (2022铜仁)已知抛物线ya(xh)2k与x轴有两个交点A(1，0)，B(3，0)，抛物线ya(xhm)2k与x轴的一个交点是(4，0)，则m的值是()A. 5 B. 1 C. 5或1 D. 5或134. (2023湖州)将抛物线yx2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是()A. yx23 B. yx23C. y(x3)2 D. y(x3)235. (2022上海)将函数yax2bxc(a0)的图象向下平移两个单位，以下错误的是()A. 开口方向不变 B. 对称轴不变C. y随x的变化情况不变 D. 与y轴的交点不变
8、36. (2022山西)抛物线的函数表达式为y3(x2)21, 若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为()A. y3(x1)23 B. y3(x5)23C. y3(x5)21 D. y3(x1)2137. (2023泸州)抛物线yx2x1经平移后，不可能得到的抛物线是()A. yx2x B. yx24C. yx22022x2023 D. yx2x138. (2022苏州)已知抛物线yx2kxk2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点则k的值是()A. 5或2
9、 B. 5 C. 2 D. 239. (2022黔东南州)如图，抛物线L1：yax2bxc(a0)与x轴只有一个公共点A(1，0)，与y轴交于点B(0，2)，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移2个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为()第39题图A. 1 B. 2 C. 3 D. 440. (2023无锡)把二次函数yx24xm的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：_41. (新考法)结合胶片的平移考查二次函数的性质 (2023河北)如图，点P(a，3)在抛物线C：y4(6x)2上，且在C的对称轴右侧
10、(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P，C.平移该胶片，使C所在抛物线对应的函数恰为yx26x9，求点P移动的最短路程第41题图类型二轴对称(折叠)42. (2020陕西)在同一平面直角坐标系中，若抛物线ymx22xn与y6x22xmn关于x轴对称，则m，n的值为()A. m6，n3 B. m6，n3C. m6，n3 D. m6，n343. (2023玉林)小嘉说：将二次函数yx2的图象平移或翻折后经过点(2，0)有4种方法：向右平移2个单位长度；向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度；向下平移4个单位长度
11、；沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度你认为小嘉说的方法中正确的个数有()A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个44. (2022广元)将二次函数yx22x3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示当直线yxb与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为()第44题图A. 或3 B. 或3C. 或3 D. 或3类型三中心对称或旋转45. (2022眉山)在平面直角坐标系中，抛物线yx24x5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为()A. yx24x5B. yx24x5C. yx24x5D. yx24x546. (2023黔东南州)在平面直角坐标系中
12、，将抛物线yx22x1先绕原点旋转180，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是_参考答案与解析1. D【解析】由题意可知，a10，抛物线开口向上，顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x2，当x2时，y随x的增大而减小2. y(x2)21【解析】yx24x5x24x41(x2)21.3. B【解析】二次函数的解析式为y(x1)2n，抛物线的对称轴为直线x1，a1，抛物线开口向上，抛物线上的点距对称轴距离越近其函数值越小，当A，B在对称轴异侧时，1(m1)m1，解得m；当A，B在对称轴同侧时，则m11，解得m2，综上所述，m.【一题多解】A(m1，y1)，B(m，y2)都在二次函数y(x1
13、)2n的图象上，y1(m11)2n(m2)2n，y2(m1)2n，y1y2，(m2)2n(m1)2n，(m2)2(m1)20，即2m30，m.4. B【解析】yx22x3，二次函数图象开口向上，对称轴为直线x1，距离对称轴越近的点的纵坐标越小，1x10，1x22，x33，|x21|x11|x31|，y2y1y3.5. D【解析】y2x24x1的对称轴为直线x1，若0a1，则当x0时，y取得最大值，此时y1，不符合题意，故a1，将y15代入，解得x12(不符合题意，舍去)，x24.故a4.6. D【解析】点A，B，C都在抛物线y(x1)22上，点A在点B左侧，抛物线开口向上，对称轴为直线x1，若
14、c0，则cab，若c0，则abc.7. A【解析】M，N两点在抛物线上，y1mx2m2x1n，y2mx2m2x2n，y1y2，mx2m2x1nmx2m2x2n，mx2m2x1mx2m2x20，m(x1x2)(x1x2)2m2(x1x2)0，(x1x2)m(x1x2)2m20，x1x2，x1x20，m(x1x2)2m2，当m0时，m(x1x2)2m2，x1x22m，x1x24，对于x1x24都有x1x22m，42m，解得m2，0m2；当m2m2，x1x22m4矛盾，这种情况不成立，综上所述，00 ，即b0，二次函数yax2bxc(a0)的图象经过第一象限的点(1，b)，babc，ca，一次函数y
15、bxacbxa2，b0，a20，一次函数ybxac的图象不经过第三象限16. B【解析】由图象可得，该抛物线与x轴有两个交点，则b24ac0，故正确；抛物线yax2bxc与x轴相交于点A(2，0)，B(6，0)，抛物线的对称轴为直线x2，整理可得4ab0，故正确；由图象可得，当y0时，x2或x6，故错误；由图象可得，当x1时，图象在x轴下方，yabc0，故正确，正确的结论有，共3个17. B【解析】图象开口向下，a0，对称轴为直线x1，b2a0，图象与y轴的交点在y轴正半轴，c0，abc0，错误；1，2ab，2ab0，错误；由图象可知抛物线与x轴的另一个交点在(2，0)，(3，0)之间，当x3
16、时，y0，9a3bc0，错误；二次函数的图象与x轴有两个交点，b24ac0，b24ac，正确；当x1时，y0，abc0，acb，正确，正确的结论为，共2个18. C【解析】抛物线的对称轴为直线x，x，b3a，3ab3a(3a)0，故结论正确；点(，y1)，(3，y2)是抛物线上两点，且|1，|3|，1，由函数图象可知抛物线开口向上，a0，距离对称轴越远，y值越大，y1y2，故结论正确；根据函数图象可知抛物线与x轴的一个交点坐标为(1，0)，abc0，b3a，c4a，10b3c10(3a)3(4a)18a0，故结论不正确；抛物线与y轴交点为(0，c)，当yc时，根据抛物线的对称性可得直线yc与抛
17、物线的另一个交点为(3，c)，当yc时，0x3，故结论正确，综上所述，正确的结论有3个19. 4m0；A、B、D组成的二次函数图象开口向上，a0；B、C、D组成的二次函数图象开口向下，a0；A、D、C组成的二次函数图象开口向下，a0，即a0，又二次函数y(xa)2(x2a)2(x3a)22a2a的图象与直线y4有两个不同的交点，方程3x212ax12a2a4有两个不同的根，(12a)243(12a2a4)0，即12a480，a4，综上所述0a4.26. C【解析】抛物线yax2bxc经过点(1，0)，abc0，b(ac)，0a2a，1，即1，b2a，2ab1且在对称轴右侧时，y随x的增大而增大
18、，故结论错误；由abc0，得bca，代入ax2bx(bc)0中，得ax2bxa0，b24a(a)b24a20，故结论正确正确的结论有2个第26题解图27. A【解析】根据题意四个命题中只有一个命题是假命题，当命题成立时，对称轴为直线x2，且函数图象与x轴的交点位于y轴右侧，则命题均不成立；当命题均成立时，对称轴为直线x1，a2，函数图象与x轴的交点位于y轴两侧，x1x20，则b0，当命题成立时，b1，不符合结论，当命题成立时，b3，符合结论，此时只有命题为假命题28. D【解析】点A，B的坐标分别为(3，2)和(1，2)，线段AB与y轴的交点为(0，2)，又抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线
19、与y轴的交点坐标为(0，c)，c2(顶点在y轴上时取“”)，故正确；抛物线的顶点在线段AB上运动，若对称轴0x1，当x0时，不能保证y随x的增大而增大，故错误；若点D横坐标的最小值为5，则此时的对称轴为直线x3，点C横坐标为2(3)(5)1，根据抛物线的对称性，点C横坐标的最大值为143，故正确；令y0，则ax2bxc0，CD2()24，根据顶点公式得2，CD2，四边形ABCD为平行四边形，ABCD1(3)4，42，解得a，故正确综上所述，正确的是.29. 解：(1)由题意知1，a1；(2)y1y2；理由如下：1x10，1y14，又1x22，0y21，故y1y2；(3)由x22x1m，得(x1
20、)2m，故x11，x21.线段AB的长为x2x1(1)(1)2.由3(x1)2m，得(x1)2，故x31，x41.线段CD的长度为x4x3(1)(1).故线段AB与线段CD的长度之比为.30. 解：(1)把(3，1)代入ya(x2)21中，解得a2，二次函数的表达式为y2(x2)21；由可知y2(x2)21，对称轴为直线x2，顶点坐标为(2，1).x2x13，y1y2，MNx轴，x22，解得x2，y2，顶点到MN的距离为1；(2)如解图，点M，N在对称轴异侧，且y1y2，x132，x11，由(1)知x1，1x1.最大值为ya(x12)21，最小值为1，y(1)1，a(x12)21(1)1，解得
21、a，(x12)29，a；如解图，点M，N在对称轴异侧，且y1y2，x12，由(1)得x1，x12.最大值为ya(x22)21，最小值为1，y(1)1，a(x22)21(1)1，解得a，(x11)29，a；综上所述，a的取值范围为a.第30题解图31. (1)解：将点O(0，0)代入yx2(m2)xm4，解得m4，由m2，则m4符合题意yx22x(x1)21，A(1，1)；(2)证明：由二次函数顶点坐标公式得(，).m2，m20，2m0，0.(m4)2110，二次函数yx2(m2)xm4的顶点在第三象限；(3)解：设平移后图象对应的二次函数表达式为yx2bxc，其顶点坐标为(，).当x0时，B(
22、0，c)，将(，)代入yx2，得c.B(0，c)在y轴的负半轴上，c0，OBc.如解图，过点A作AHOB，垂足为H，A(1，1)，AH1.在AOB中，SAOBOBAH()1b2b1(b1)2.当b1时，此时c0，AOB的面积有最大值，最大值为.第31题解图32. 解：(1)抛物线ya(x2)23与y轴交于点A(0，)，4a3，a，抛物线的解析式为y(x2)23；(2)直线ykx与抛物线有两个交点，kx(x2)23，整理得x2(3k4)x30，(3k4)2120，x1x243k，x1x23，xx(43k)2610，k或k2，k的值为2或；(3)抛物线的对称轴为直线x2，若m2，当xm时，y有最大
23、值，(m2)23，解得m，m，若m2，当x2时，y有最大值，3，m，综上所述，m的值为或.33. C【解析】抛物线ya(xhm)2k的图象可由抛物线ya(xh)2k向右平移m个单位得到，又ya(xhm)2k与x轴的一个交点为(4，0)分2种情况，点(4，0)由点A(1，0)向右平移5个单位而得到，此时m5；点(4，0)由点B(3，0)向右平移1个单位而得到，此时m1，m5或m1.34. A【解析】抛物线yx2的顶点坐标为(0，0)，向上平移3个单位后，顶点坐标为(0，3)，所以抛物线的解析式变为yx23.35. D【解析】将二次函数图象向下平移，不改变开口方向，不改变对称轴，不改变增减性，故选
24、项A，B，C正确；抛物线与y轴交点坐标为(0，c)，将二次函数图象向下平移，交点坐标改变，故选项D错误36. C【解析】将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，即将抛物线y3(x2)21先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，平移后的抛物线的表达式为y3(x5)21.37. D【解析】抛物线的平移不改变开口大小，即二次项系数大小不变，故D选项符合题意38. B【解析】将抛物线yx2kxk2向右平移3个单位，得y(x3)2k(x3)k2；再向上平移1个单位，得y(x3)2k(x3)k21，得到的抛物线正好经过坐标原点，0(03)2k(03)k21，即k23k100，解得k
25、5或k2，抛物线yx2kxk2的对称轴在y轴右侧，0，k0，k5.39. B【解析】设平移后的抛物线的顶点为点C，如解图，连接AB，OC，由对称性质知，阴影部分的面积等于曲线AB，曲线OC，线段OB，线段AC构成的封闭图形的面积，由割补法知，曲线AB，曲线OC，线段OB，线段AC构成的封闭图形的面积等于平行四边形ABOC的面积，S阴影SABOCACOA212.第39题解图40. m3【解析】yx24xm(x2)2m4，平移后的解析式为y(x23)2m41(x1)2m3，a10，抛物线开口向上，平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，抛物线与y轴交于正半轴，与x轴没有交点，即顶点坐标(1，m
26、3)在x轴的上方，m30，解得m3.41. 解：(1)y4(6x)2(x6)24，抛物线C的对称轴为直线x6，当x6时，y的最大值为4，把点P(a，3)代入y(x6)24可得，3(a6)24，解得a5或a7，点P在C的对称轴右侧，a7；(2)由(1)可知点P的坐标为(7，3)，C的顶点坐标为(6，4)，yx26x9(x3)2，C的顶点坐标为(3，0)，由C平移到C平移方式为向左平移3个单位、向下平移4个单位，平移后P的坐标为(4，1)，点P移动的最短路程为5.42. D【解析】抛物线ymx22xn与y6x22xmn关于x轴对称，ymx22xn与y6x22xmn相同，m6，n3.43. D【解析
27、】将yx2向右平移2个单位后得到y(x2)2，图象经过点(2，0)；将yx2向右平移1个单位，再向下平移1个单位后得到y(x1)21，图象经过点(2，0)；将yx2向下平移4个单位后得到yx24，图象经过点(2，0)；将yx2沿x轴翻折，再向上平移4个单位后得到yx24，图象经过点(2，0).小嘉说的方法中正确的有4个44. A【解析】由yx22x3知，当y0时，即x22x30，解得x11，x23，A(1，0)，B(3，0)，由题意知，当1x3的函数图象由yx22x3的图象关于x轴对称得到，当1x3时对应的解析式为yx22x3，如解图，作函数yx的图象并平移至过点B时，恰与新函数图象有三个交点，此时有03b，b3，平移函数yx的图象至过点C(C为切点)时，恰与新函数图象有三个交点，联立，整理得x23x3b0，(3)241(3b)214b0，b，综上所述b3或.第44题解图45. A【解析】令x0，解得y5，C(0，5)，yx24x5(x2)21，顶点坐标为(2，1)，点(2，1)关于点C中心对称的坐标为(2，9)，设中心对称后的抛物线的表达式为ya(x2)29，代入点C的坐标，得4a95，解得a1，中心对称后抛物线的表达式为y(x2)29x24x5.46. (1，3)
