1、第五章 平面向量、复数第3节平面向量的数量积及其应用ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断 基础夯实1(2)数量积的定义：已知两个非零向量数量积的定义：已知两个非零向量a与与b，它们的夹角为，它们的夹角为，我们把，我们把数量数量_叫做叫做向量向量a与与b的数量积的数量积(或内积或内积)，记作，记作ab，即，即ab_.规定：零向量与任一向量的数量积为规定：零向量与任一向量的数量积为0，即，即0a0.1.平面向量数量积的有关概念平面向量数量积的有关概念|a|b|cos|a|b|cos 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示平面向量数量积的性质及其坐标表示3.平面向量数量积的运算
2、律平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律交换律).(2)ab(ab)a(b)(结合律结合律).(3)(ab)cacbc(分配律分配律).4.平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法三三步曲：步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果把运算结果“翻译翻译”成几何关系成几何关系.1.两个向量两个向量a，b的夹角为锐角的夹角为锐角ab0且且a，b不共线；两个向量不共线；两个向量a，b的夹角为钝的夹角为钝角角ab0且且a，
3、b不共线不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式平面向量数量积运算的常用公式(1)(ab)(ab)a2b2；(2)(ab)2a22abb2.(3)(ab)2a22abb2.3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，数量积运算律要准确理解、应用，例如，abac(a0)，不能得出，不能得出bc，两，两边不能约去同一个向量边不能约去同一个向量.解析解析(1)两个向量夹角的范围是两个向量夹角的范围是0，.(4)由由abac(a0)得得|a|b|cosa，b|a|c|cosa，c，所以向量，所以向量b和和c不不一定相等一定相等.BBDac11110，故，故B正确；正确；不存在不存在R，使，使bc成立，故成
4、立，故C不正确；不正确；3.(多选多选)已知向量已知向量ab(1，1)，ab(3，1)，c(1，1)，设，设a，b的夹角为的夹角为，则，则()A.|a|b|B.acC.bc D.135解析解析由由abac，可得可得|a|b|cosa，b|a|c|cosa，c，因为因为|a|0，所以所以c在在a上的投影向量的长度为上的投影向量的长度为B解析解析根据向量数量积的定义可知根据向量数量积的定义可知，若若ab0，则，则a与与b的夹角为锐角或零角的夹角为锐角或零角，若若a与与b的夹角为锐角，则一定有的夹角为锐角，则一定有ab0，所以所以“ab0”是是“a与与b的夹角为锐角的夹角为锐角”的必要不充分条件，故
5、选的必要不充分条件，故选B.5.(易错题易错题)已知已知a，b为非零向量，则为非零向量，则“ab0”是是“a与与b的夹角为锐角的夹角为锐角”的的()A.充分不必要充分不必要条件条件B.必要不充分条件必要不充分条件C.充要条件充要条件D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件B解析解析法一法一ab(13，34)，(ab)b，(ab)b0，即，即(13，34)(3，4)0，6.已知向量已知向量a(1，3)，b(3，4)，若，若(ab)b，则，则_.法二法二由由(ab)b可知，可知，(ab)b0，即，即abb20，KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破 题型剖析2解析解析如图，在等腰
6、如图，在等腰ABE中，易得中，易得BAEABE30，故，故BE2.15101261.1P为为BC的中点的中点.以以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，P(2，1)，1解析解析如图，取如图，取A为坐标原点，为坐标原点，AB所在直线为所在直线为x轴建立平面直角坐标系，轴建立平面直角坐标系，2x(2，6).A解析解析建立如图所示的平面直角坐标系，建立如图所示的平面直角坐标系，13解析解析|ab|2(ab)2a22abb225123649，|ab|7，D角度1夹角与垂直A解析解析由由|a|
7、2，|b|3，ab4，角度2平面向量的模B解析解析设设a与与b的夹角为的夹角为，则，则(2ab)24a2b24ab88cos，因为因为0，所以所以088cos 16，所以，所以0|2ab|4.(2)若向量若向量a，b满足满足a(cos，sin)(R)，|b|2，则，则|2ab|的取值范围为的取值范围为_.0，4解析解析法一法一由由ab0，得，得ab.(3)已知已知a，b是单位向量，是单位向量，ab0.若向量若向量c满足满足|cab|1，则，则|c|的最大值是的最大值是_.所以点所以点P在以在以C为圆心，为圆心，1为半径的圆上为半径的圆上.得得(x1)2(y1)21，所以点所以点C在以在以(1，
8、1)为圆心，为圆心，1为半径的圆上为半径的圆上.法二法二由由ab0，得，得ab.因为因为a，b是单位向量，所以是单位向量，所以|a|2|b|22ab112ab2，得，得ab0，a与与b垂直，故垂直，故B正确；正确；训练训练2 (1)(多选多选)已知已知a，b是单位向量，且是单位向量，且ab(1，1)，则，则()BC解析解析M为为BC的中点，的中点，所以所以ABC的中线和底边垂直，所以的中线和底边垂直，所以ABC是等腰三角形是等腰三角形.A在四边形在四边形ABCD中，作中，作AOBC于点于点O，以以O为坐标原点，以为坐标原点，以BC和和AO所在直线分别为所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系轴
9、建立平面直角坐标系.如图，设如图，设M(a，0)，不妨设点，不妨设点N在点在点M右侧，右侧，解解mnsin Acos Bsin Bcos Asin(AB)，在在ABC中，中，ABC，0C，所以所以sin(AB)sin C，所以所以mnsin C，又，又mnsin 2C，由由sin A，sin C，sin B成等差数列，可得成等差数列，可得2sin Csin Asin B，由正弦定理得由正弦定理得2cab.即即abcos C18，ab36.由余弦定理得由余弦定理得c2a2b22abcos C(ab)23ab，所以所以c24c2336，c236，所以，所以c6.解析解析因为因为|a|b|1，ab0
10、，(ac)(bc)c(ab)|c|2|c|ab|cos|c|20，其中其中为为c与与ab的夹角，的夹角，训练训练3 (1)已知已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足满足(ac)(bc)0，则，则|c|的最大值是的最大值是()C解析解析以以BC中点为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，中点为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，B解析解析由题意，不妨设由题意，不妨设b(2，0)，a(cos，sin)，则则ab(2cos，sin)，ab(cos 2，sin).令令y|ab|ab|(3)已知向量已知向量a，b满足满足|a|1，|b|2，则，则|ab|a
11、b|的最小值是的最小值是_，最，最大值是大值是_.4极化恒等式解析解析设设A，B，C三点所在圆的圆心为三点所在圆的圆心为O，取，取AB中点中点D，因为因为A，B，C三点在圆上，所以三点在圆上，所以CD长度最大为长度最大为rd，其中其中d为圆心为圆心O到弦到弦AB的距离，的距离，BFENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG分层训练 巩固提升3解析解析因为因为2a3b(2k3，6)，(2a3b)c，所以所以(2a3b)c2(2k3)60，解得，解得k3.1.已知向量已知向量a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，且，且(2a3b)c，则实数，则实数k()C解析解析由题意知由题意知a
12、，b是相互垂直的单位向量，不妨设是相互垂直的单位向量，不妨设a(1，0)，b(0，1)，设设c(x，y)，由，由acbc2，可得可得xy2，即，即c(2，2)，2.已知已知a，b是相互垂直的单位向量，与是相互垂直的单位向量，与a，b共面的向量共面的向量c满足满足acbc2，则，则c的模为的模为()D解析解析根据数量积的分配律可知根据数量积的分配律可知A正确；正确；B中，左边为中，左边为c的共线向量，右边为的共线向量，右边为a的共线向量，故的共线向量，故B不正确；不正确；根据数量积的定义可知根据数量积的定义可知ab|a|b|cosa，b|a|b|，故，故C正确；正确；|ab|2(|a|b|)22
13、ab2|a|b|0，故，故|ab|2(|a|b|)2，即，即|ab|a|b|，故，故D正确正确.3.(多选多选)下列关于向量下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是的运算，一定成立的是()A.(ab)cacbcB.(ab)ca(bc)C.ab|a|b|D.|ab|a|b|ACD解析解析设设|b|1，则，则|ab|ab|2.由由|ab|ab|，得，得ab0，4.若两个非零向量若两个非零向量a，b满足满足|ab|ab|2|b|，则向量，则向量ab与与a的夹角为的夹角为()D设向量设向量ab与与a的夹角为的夹角为，A.与圆与圆C的半径有关的半径有关B.与圆与圆C的半径无关的半径无关C.与弦与弦AB
14、的长度有关的长度有关D.与点与点A，B的位置有关的位置有关解析解析如图，连接如图，连接AB，过，过C作作CDAB交交AB于于D，BCB解析解析由由|ab|5得得(ab)225，即即a22abb225，结合结合|a|3，ab1，得，得3221|b|225，7.若向量若向量a，b满足满足|a|3，|ab|5，ab1，则，则|b|_.解析解析由已知可得由已知可得(abc)2a2b2c22(abbcca)92(abbcca)0，8.已知向量已知向量abc0，|a|1，|b|c|2，则，则abbcca_.解析解析依题意，以依题意，以C为坐标原点，分别以为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为所在的直线为
15、x轴，轴，y轴，建轴，建立如图所示的平面直角坐标系，立如图所示的平面直角坐标系，则则B(0，2)，D(2，0)，所以直线，所以直线BD的方程为的方程为yx2，因为因为P点在边点在边AC的中线的中线BD上，所以可设上，所以可设P(t，2t)(0t2)，解解因为因为a(cos x，sin x)，若若cos x0，则，则sin x0，与，与sin2xcos2x1矛盾，矛盾，(2)记记f(x)ab，求，求f(x)的最大值和最小值以及对应的的最大值和最小值以及对应的x的值的值.所以所以sin A0，12.(多选多选)已知已知O为坐标原点，点为坐标原点，点P1(cos，sin)，P2(cos，sin)，P3(cos()，sin()，A(1，0)，则，则()AC解析解析以以BC所在直线为所在直线为x轴，轴，BA所在直线为所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐轴建立如图所示的平面直角坐标系，标系，设设A(0，a)，M(0，b)，且，且0ba，由于，由于BC2，AD1.C(2，0)，D(1，a).3解解设设D(t，0)(0t1)，解解由题意得由题意得C(cos，sin)，则则mn1cos2sin22sin cos
