1、必备知识必备知识逐逐点夯实点夯实第六节第六节空间向量及其运算和空间位置关系空间向量及其运算和空间位置关系第八章第八章 立体几何初步、空间向量与立体几何立体几何初步、空间向量与立体几何核心考点核心考点分类突破分类突破【课标解读】【课程标准】1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系.3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理.【核心素养】直观想象、数学运算、逻辑推理.【命题说明】考向考法高考题常以平行、垂直关系为载体,考查空间向量的运算、直线的方向向量、平面的法向量的应用.线面、面面
2、关系是高考热点,主要在解答题中体现.预测 2025年高考本节内容仍会与立体几何知识结合考查,试题难度中档.必备知识必备知识逐点夯实逐点夯实知识梳理归纳1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l_,则称此向量a为直线l的方向向量.注:一条直线l有_多个方向向量(非零向量),这些方向向量之间互相平行.直线l的方向向量也是所有与l_的直线的方向向量.(2)平面的法向量:直线l,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面的法向量.平行或重合无穷平行微点拨(1)直线的方向向量不唯一,一般取直线上两点构成其一个方向向量.(2)平面的法向量不唯一,所以可以
3、用赋值法求出平面的一个法向量.2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2l1l2n1n2n1=n2l1l2n1n2n1n2=0直线l的方向向量为n,平面的法向量为mlnmnm=0lnmn=m平面,的法向量分别为n,mnmn=mnmnm=0微点拨 利用法向量证明线面平行时,直线的方向向量与平面的法向量垂直是线面平行的必要条件,应注明直线在平面外.基础诊断自测1.(思考辨析)(正确的打“”,错误的打“”)(1)若两平面的法向量平行,则两平面平行.()(2)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.()(3)若ab,则a所在直线与b所在直线平行.()(4)若空
4、间向量a平行于平面,则a所在直线与平面平行.()类型辨析改编易错题号12,34提示:易知(1)(2)正确;(3)中向量a和b所在的直线可能重合;(4)中a所在的直线可能在平面内.3.(选择性必修一P32例4变形式)若直线l的方向向量a=(1,-3,5),平面的法向量n=(-1,3,-5),则有()A.lB.lC.l与斜交D.l或l【解析】选B.由a=-n知,na,则有l.核心考点核心考点分类突破分类突破角度2 面面平行例2如图,平面PAD平面ABCD,四边形ABCD为正方形,PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点,证明平面EFG平面PBC.【证明】由题
5、意,易知PAD=90,即PAAD,因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PAAD,所以PA平面ABCD,又四边形ABCD为正方形,所以AB,AP,AD两两垂直,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).解题技法利用空间向量证明线面、面面平行的方法(1)证明线面平行的常用方法:证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面;证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行;证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.(2)证明面面平行
6、常用的方法:利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面;证明两个平面的法向量平行;证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量.提醒:运用向量知识判定空间位置关系时,仍然离不开几何定理.如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时,仍需强调直线在平面外.对点训练已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:(1)FC1平面ADE;已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:(2)平面ADE平面B1C1F.考点二利用空间向量证明垂直问题角度1线线、线面垂直例3如图,在四棱锥P-ABCD中,P
7、A底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明:(1)AECD;例3如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中点.(2)PD平面ABE.角度2 面面垂直例4如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)证明:APBC;例4如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(2)若点M是线段AP上一点,
8、且AM=3.试证明平面AMC平面BMC.解题技法利用空间向量证明垂直的方法线线垂直证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向量表示面面垂直证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表示对点训练如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,ABC=BCD=90,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC底面ABCD.证明:(1)PABD;如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,ABC=BCD=90,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC底面ABCD.证明:(2)平面PAD平面PAB.
9、考点三与平行、垂直有关的综合问题例5如图1,在RtABC中,C=90,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DEBC,DE=2.将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1CCD,如图2.(1)若M是A1D的中点,求直线CM与平面A1BE所成角的大小;例5如图1,在RtABC中,C=90,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DEBC,DE=2.将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1CCD,如图2.(2)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由.解题技法1.“是否存在”型问题的两种探索方式(1)根据条件作出判断,再进一步论证.(2)利用空间向量,先设出假设存在点的坐标,再根据条件求该点的坐标,即找到“存在点”,若该点坐标不能求出,或有矛盾,则判定“不存在”.2.解决折叠问题的关键解决折叠问题的关键是弄清折叠前后的不变量.谢谢观赏！谢谢观赏！
