1、第七章 立体几何与空间向量第4节空间直线、平面的垂直ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断 基础夯实1(1)直线和平面垂直的定义直线和平面垂直的定义如果直线如果直线l与平面与平面内的内的任意任意一条直线都垂直，我们就说直线一条直线都垂直，我们就说直线l与平面与平面互相垂互相垂直直.1.直线与平面垂直直线与平面垂直(2)判定定理与性质定理判定定理与性质定理(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上定义：平面的一条斜线和它在平面上的的_所所成的角叫做这条直线和这成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的
2、角是是_；一条一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0.2.直线和平面所成的角直线和平面所成的角射影射影90(1)定义：从一条直线出发定义：从一条直线出发的的_所所组成的图形叫做二面角组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角二面角的平面角若有若有Ol；OA，OB；OAl，OBl，则二面角，则二面角l的平面的平面角角是是_.(3)二面角的平面角二面角的平面角的范围：的范围：0180.3.二面角二面角两个半平面两个半平面AOB(1)平面与平面垂直的定义平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角两个平面相交，如果它们所成的二面角是是_，
3、就说这两个平面互相就说这两个平面互相垂直垂直.(2)判定定理与性质定理判定定理与性质定理4.平面与平面垂直平面与平面垂直直二面角直二面角1.三个重要结论三个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明证明线线垂直的一个重要方法线线垂直的一个重要方法).(3)垂直于同一条直线的两个平面平行垂直于同一条直线的两个平面平行.2.三种垂直关系的转化三种垂直关系的转化解析解析(1)直线直
4、线l与平面与平面内的无数条直线都垂直，则有内的无数条直线都垂直，则有l或或l与与斜交或斜交或l 或或l，故，故(1)错误错误.(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误错误.(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误错误.(4)若平面若平面内的一条直线垂直于平面内的一条直线垂直于平面内的所有直线，则内的所有直线，则，故，故
5、(4)错误错误.1.思考辨析思考辨析(在括号内打在括号内打“”“”或或“”)(1)直线直线l与平面与平面内的无数条直线都垂直，则内的无数条直线都垂直，则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行垂直于同一个平面的两平面平行.()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(4)若平面若平面内的一条直线垂直于平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则内的无数条直线，则.()B解析解析A中，中，m，n可能平行，相交或异面；可能平行，相交或异面；C中，中，与与可能平行或相交；可能平行或相交；D中，中，与与可能平
6、行或相交可能平行或相交.故选故选B.2.若若m，n，l为空间三条不同的直线，为空间三条不同的直线，为空间三个不同的平面，则下列为空间三个不同的平面，则下列为真命题的是为真命题的是()A.若若ml，nl，则，则mnB.若若m，m，则，则C.若若，则，则D.若若m，n，mn，则，则AB解析解析对于对于A，由，由l，m，可得，可得lm，故，故A正确；正确；对于对于B，若，若l，可得，可得l，故，故B正确；正确；对于对于C，若，若l，则，则l或或l，故，故C错误；错误；对于对于D，若，若l，lm，则，则m或或m，故，故D错误错误.3.(多选多选)已知两条不同的直线已知两条不同的直线l，m和不重合的两个
7、平面和不重合的两个平面，且，且l，下面四，下面四个命题正确的是个命题正确的是()A.若若m，则，则lm B.若若，则，则lC.若若，则，则l D.若若lm，则，则mA.直线直线A1D与直线与直线D1B垂直，直线垂直，直线MN平面平面ABCDB.直线直线A1D与直线与直线D1B平行，直线平行，直线MN平面平面BDD1B1C.直线直线A1D与直线与直线D1B相交，直线相交，直线MN平面平面ABCDD.直线直线A1D与直线与直线D1B异面，直线异面，直线MN平面平面BDD1B14.如图，已知正方体如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，M，N分别是分别是A1D，D1B的中点，则的中点，则()A解析
8、解析连接连接AD1(图略图略)，则易得点，则易得点M在在AD1上，且上，且M为为AD1的中点，的中点，AD1A1D.因为因为AB平面平面AA1D1D，A1D 平面平面AA1D1D，所以，所以ABA1D，又又ABAD1A，AB，AD1 平面平面ABD1，所以所以A1D平面平面ABD1，又，又BD1 平面平面ABD1，显然，显然A1D与与BD1异面，所以异面，所以A1D与与BD1异面且垂直异面且垂直.在在ABD1中，由中位线定理可得中，由中位线定理可得MNAB，又又MN 平面平面ABCD，AB 平面平面ABCD，所以所以MN平面平面ABCD.易知直线易知直线AB与平面与平面BB1D1D成成45角，
9、角，所以所以MN与平面与平面BB1D1D不垂直不垂直.所以选项所以选项A正确正确.解析解析对于对于A，PA垂直于以垂直于以AB为直径的圆所在平面，而为直径的圆所在平面，而BC 底面圆面，则底面圆面，则PABC，又由圆的性质可知又由圆的性质可知ACBC，且，且PAACA，PA，AC 平面平面PAC，则则BC平面平面PAC，所以，所以A正确；正确；5.(多选多选)如图，如图，PA垂直于以垂直于以AB为直径的圆所在平面，为直径的圆所在平面，C为圆上异于为圆上异于A，B的任意的任意一点，一点，AEPC，垂足为，垂足为E，点，点F是是PB上一点，则下列判断中正确的是上一点，则下列判断中正确的是()A.B
10、C平面平面PACB.AEEFC.ACPBD.平面平面AEF平面平面PBCABD对于对于B，由，由A项可知项可知BCAE，由题意可知由题意可知AEPC，且，且BCPCC，BC，PC 平面平面PCB，所以所以AE平面平面PCB.而而EF 平面平面PCB，所以所以AEEF，所以，所以B正确；正确；对于对于C，由，由B项可知项可知AE平面平面PCB，因而，因而AC与平面与平面PCB不垂直，不垂直，所以所以ACPB不成立，所以不成立，所以C错误；错误；对于对于D，由，由B项可知，项可知，AE平面平面PCB，AE 平面平面AEF，由面面垂直的判定定理可得平面由面面垂直的判定定理可得平面AEF平面平面PBC
11、，所以，所以D正确正确.解析解析(1)如图如图1，连接，连接OA，OB，OC，OP，6.在三棱锥在三棱锥PABC中，点中，点P在平面在平面ABC中的射影为点中的射影为点O.(1)若若PAPBPC，则点，则点O是是ABC的的_心心.(2)若若PAPB，PBPC，PCPA，则点，则点O是是ABC的的_心心.外外垂垂图图1在在RtPOA，RtPOB和和RtPOC中，中，PAPBPC，所以所以OAOBOC，即，即O为为ABC的外心的外心.(2)如图如图2，延长，延长AO，BO，CO分别交分别交BC，AC，AB于于H，D，G.图图2因为因为PCPA，PBPC，PAPBP，所以，所以PC平面平面PAB.又
12、又AB 平面平面PAB，所以，所以PCAB.因为因为POAB，POPCP，所以，所以AB平面平面PGC，又又CG 平面平面PGC，所以，所以ABCG，即，即CG为为ABC边边AB上的高上的高.同理同理可证可证BD，AH分别为分别为ABC边边AC，BC上的高，即上的高，即O为为ABC的垂心的垂心.KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破 题型剖析2证明证明在四棱锥在四棱锥PABCD中，中，PA底面底面ABCD，CD 平面平面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面平面PAC.而而AE 平面平面PAC，CDAE.例例1 如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥PABCD中，中，P
13、A底面底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是是PC的中点的中点.证明：证明：(1)CDAE；(2)PD平面平面ABE.证明证明由由PAABBC，ABC60，可得可得ACPA.E是是PC的中点，的中点，AEPC.由由(1)知知AECD，且，且PCCDC，AE平面平面PCD.而而PD 平面平面PCD，AEPD.PA底面底面ABCD，PAAB.又又ABAD且且PAADA，AB平面平面PAD，而，而PD 平面平面PAD，ABPD.又又ABAEA，PD平面平面ABE.证明证明AB平面平面PAD，AE 平面平面PAD，AEAB.又又ABCD，AECD.ADAP，E是是PD的中点，
14、的中点，AEPD.又又CDPDD，CD，PD 平面平面PCD，AE平面平面PCD.MNAB，ABCD，MNCD.又又MNPC，PCCDC，PC，CD 平面平面PCD，MN平面平面PCD，AEMN.训练训练1 如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，四边形中，四边形ABCD是矩形，是矩形，AB平面平面PAD，ADAP，E是是PD的中点，的中点，M，N分别在分别在AB，PC上，且上，且MNAB，MNPC.证明：证明：AEMN.证明证明PD平面平面ABCD，AM 平面平面ABCD，PDAM.PBAM，且，且PBPDP，PB，PD 平面平面PBD，AM平面平面PBD.又又AM 平面平面PAM，平面平
15、面PAM平面平面PBD.例例2 如图，四棱锥如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，的底面是矩形，PD底面底面ABCD，M为为BC的中点，且的中点，且PBAM.(1)证明：平面证明：平面PAM平面平面PBD；由题意可知由题意可知ABDC1.AM平面平面PBD，BD 平面平面PBD，AMBD，由由BAMMAD90，MADADB90，得得BAMADB，易得，易得BAMADB，(2)若若PDDC1，求四棱锥，求四棱锥PABCD的体积的体积.证明证明因为平面因为平面AA1C1C平面平面ABC，平面平面AA1C1C平面平面ABCAC，BCAC，所以所以BC平面平面AA1C1C.又又AA1 平面平面AA1C1
16、C，所以所以BCAA1.因为因为AA1C90，所以，所以AA1A1C.又因为又因为BCA1CC，所以所以AA1平面平面A1BC.又又A1B 平面平面A1BC，所以所以AA1A1B.训练训练2 如图，在三棱柱如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，中，ACBAA1C90，平面，平面AA1C1C平面平面ABC.(1)求证：求证：AA1A1B；(2)若若AA12，BC3，A1AC60，求点，求点C到平面到平面A1ABB1的距离的距离.解解由由(1)可知可知A1A平面平面A1BC，A1A 平面平面A1ABB1，所以平面所以平面A1BC平面平面A1ABB1，且交线为，且交线为A1B，所以点所以点C到平面到平
17、面A1ABB1的距离等于的距离等于CA1B的的A1B边上的高，设其为边上的高，设其为h.由由(1)得得BCA1C，证明证明因为因为PAPD，E为为AD的中点，的中点，所以所以PEAD.因为底面因为底面ABCD为矩形，所以为矩形，所以BCAD，所以所以PEBC.例例3 如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD为矩形，平面为矩形，平面PAD平面平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别为分别为AD，PB的中点的中点.求证：求证：(1)PEBC；证明证明因为底面因为底面ABCD为矩形，所以为矩形，所以ABAD.又因为平面又因为平面PAD平面平面ABCD，平面，平面PAD平面平
18、面ABCDAD，AB 平面平面ABCD，所以所以AB平面平面PAD.又又PD 平面平面PAD，所以，所以ABPD.又因为又因为PAPD，且，且PAABA，所以所以PD平面平面PAB.又又PD 平面平面PCD，所以平面所以平面PAB平面平面PCD.(2)平面平面PAB平面平面PCD；(3)EF平面平面PCD.证明证明如图，取如图，取PC中点中点G，连接，连接FG，DG.因为因为F，G分别为分别为PB，PC的中点，的中点，因为因为ABCD为矩形，且为矩形，且E为为AD的中点，的中点，所以所以DEFG，DEFG，所以四边形所以四边形DEFG为平行四边形，为平行四边形，所以所以EFDG.又因为又因为E
19、F 平面平面PCD，DG 平面平面PCD，所以所以EF平面平面PCD.证明证明因为四边形因为四边形ABCD是矩形，所以是矩形，所以ABCD.又又AB 平面平面PDC，CD 平面平面PDC，所以所以AB平面平面PDC.又因为又因为AB 平面平面ABE，平面，平面ABE平面平面PDCEF，所以所以ABEF.训练训练3 如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD是矩形，点是矩形，点E在棱在棱PC上上(异于点异于点P，C)，平面，平面ABE与棱与棱PD交于点交于点F.(1)求证：求证：ABEF；(2)若若AFEF，求证：平面，求证：平面PAD平面平面ABCD.证明证明因为四边形因为
20、四边形ABCD是矩形，所以是矩形，所以ABAD.因为因为AFEF，(1)中已证中已证ABEF，所以所以ABAF.又又ABAD，由点由点E在棱在棱PC上上(异于点异于点C)，所以点，所以点F异于点异于点D，所以所以AFADA，AF，AD 平面平面PAD，所以所以AB平面平面PAD.又又AB 平面平面ABCD，所以平面所以平面PAD平面平面ABCD.一、几何法求线面角几何法求空间角求线面角的三个步骤：求线面角的三个步骤：一作一作(找找)角，二证明，三计算，其中作角，二证明，三计算，其中作(找找)角是关键，先找出斜线在平面上的角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化
21、到三角形中求解射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解.证明证明AB是是O的直径，的直径，C是圆周上不同于是圆周上不同于A，B的一动点的一动点.BCAC.PA平面平面ABC，PABC.又又PAACA，PA，AC 平面平面PAC，BC平面平面PAC，BCPC，BPC是直角三角形是直角三角形.例例1 如图，如图，AB是是O的直径，的直径，PA垂直于垂直于O所在的平面，所在的平面，C是圆周上不同于是圆周上不同于A，B的一动点的一动点.(1)证明：证明：PBC是直角三角形；是直角三角形；解解如图，过如图，过A作作AHPC于于H，连接，连接BH，BC平面平面PAC，BCAH.又又PCB
22、CC，PC，BC 平面平面PBC，AH平面平面PBC，ABH是直线是直线AB与平面与平面PBC所成的角所成的角.PA平面平面ABC，PCA是直线是直线PC与平面与平面ABC所成的角，所成的角，作二面角的平面角的方法：作二面角的平面角的方法：作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.二、几
23、何法求二面角解解PBPC，PNBC，又又PNAB，ABBCB，AB，BC 平面平面ABCD，PN平面平面ABCD.例例2 如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，四边形中，四边形ABCD是边长为是边长为2的正方形，的正方形，PBC为正三角形，为正三角形，M，N分别为分别为PD，BC的中点，的中点，PNAB.(1)求三棱锥求三棱锥PAMN的体积；的体积；VPAMNVDAMNVMADN，M，E分别为分别为PD，DN的中点，的中点，MEPN.PN平面平面ABCD，ME平面平面ABCD.过过E作作EQAN，连接，连接MQ，又又MEAN，EQMEE，AN平面平面MEQ，ANMQ，MQE即为二面角即为二
24、面角MAND的平面角，的平面角，(2)求二面角求二面角MAND的正切值的正切值.解解如图，取如图，取DN的中点的中点E，连接，连接ME，FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG分层训练 巩固提升3解析解析A中，若中，若，可能相交也可能平行，错误；可能相交也可能平行，错误；B中，中，a，b，根据线面垂直的性质可判断，根据线面垂直的性质可判断ab，正确；，正确；C中，若中，若a，b，a，b的位置不定，错误；的位置不定，错误；D中，若中，若a，a，可能相交也可能平行，错误可能相交也可能平行，错误.1.已知已知，是三个不同的平面，是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确
25、是两条不同的直线，下列命题中正确的是的是()A.若若，则，则B.若若a，b，则，则abC.若若a，b，则，则abD.若若a，a，则，则B解析解析对于对于A，lm，ln，m，n，则，则l与与相交、平行或相交、平行或l，故，故A错错误；误；对于对于B，lm，m，则，则l与与相交、平行或相交、平行或l，故，故B错误；错误；对于对于C，l，则，则l与与相交、平行或相交、平行或l，故，故C错误；错误；对于对于D，lm，m，则，则l，故，故D正确正确.2.已知已知，是两个不同的平面，是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列条件中，可是三条不同的直线，下列条件中，可以得到以得到l的是的是()A.l
26、m，ln，m，n B.lm，mC.，lD.lm，mD解析解析如图，取如图，取BC的中点的中点O，连接，连接OE，OF，3.在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E，F分别为分别为AB，B1C的中点，则的中点，则EF与平面与平面ABCD所成角的正切值为所成角的正切值为()DF是是B1C的中点，的中点，OFB1B，FO平面平面ABCD，FEO是是EF与平面与平面ABCD所成的角所成的角.解析解析由由ACAB，ACBC1，得得AC平面平面ABC1.因为因为AC 平面平面ABC，所以平面所以平面ABC1平面平面ABC，所以所以C1在平面在平面ABC上的射影上的射影H必在两平面的交线必在两平面
27、的交线AB上上.4.如图，在斜三棱柱如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，中，BAC90，BC1AC，则，则C1在底面在底面ABC上的射影上的射影H必在必在()A.直线直线AB上上 B.B.直线直线BC上上C.直线直线AC上上 D.D.ABC内部内部A解析解析如图，在正方体如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，5.(多选多选)在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，设中，设M为为BC的中点，则下列说法不正确的中点，则下列说法不正确的是的是()A.A1MBDB.A1M平面平面CC1D1DC.A1MAB1D.A1M平面平面ABC1D1ABD对于对于A，假设，假设A1MBD，因为，因为A
28、1A平面平面ABCD，所以，所以A1ABD，又，又A1AA1MA1，所以，所以BD平面平面A1AM，所，所以以BDAM.而而BDAC，所以，所以AMAC，显然不正确，显然不正确，故故A不正确；不正确；对于对于B，假设，假设A1M平面平面CC1D1D，因为平面，因为平面A1MCD1平面平面CC1D1DCD1，A1M 平面平面CC1D1D，所以，所以A1MCD1.因为因为A1BCD1，所以，所以A1MA1B，显然，显然不正确，故不正确，故B不正确；不正确；对于对于C，因为，因为MB平面平面ABB1A1，所以，所以MBAB1.又又A1BAB1，A1BBMB，所以所以AB1平面平面A1BM，所以，所以
29、A1MAB1，故，故C正确；正确；对于对于D，假设，假设A1M平面平面ABC1D1，因为，因为A1DAD1，A1DAB，且，且ABAD1A，所以，所以A1D平面平面ABC1D1，所以，所以A1MA1D，显然不成立，故，显然不成立，故D不正确不正确.解析解析如图所示，对于如图所示，对于A中，直线中，直线AM，BN是异是异面直线，故面直线，故A，M，N，B四点不共面，故四点不共面，故A错误；错误；6.(多选多选)如图，在长方体如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，AA1AB4，BC2，M，N分分别为棱别为棱C1D1，CC1的中点，则的中点，则()A.A，M，N，B四点共面四点共面B.平面平
30、面ADM平面平面CDD1C1C.直线直线BN与与B1M所成的角为所成的角为60D.BN平面平面ADMBC对于对于B中，在长方体中，在长方体ABCDA1B1C1D1中，可得中，可得AD平面平面CDD1C1，所以平面，所以平面ADM平面平面CDD1C1，故，故B正确；正确；对于对于C中，取中，取CD的中点的中点O，连接，连接BO，ON，则，则B1MBO，所以直线，所以直线BN与与B1M所成的角为所成的角为NBO.易知三角形易知三角形BON为等边三角形，所以为等边三角形，所以NBO60，故，故C正确；正确；对于对于D中，因为中，因为BN平面平面AA1D1D，显然，显然BN与平面与平面ADM不平行，故
31、不平行，故D错误错误.解析解析根据面面平行的特征可得，若根据面面平行的特征可得，若m，则，则m；根据线面垂直以及面面平行的特征可得，根据线面垂直以及面面平行的特征可得，若若m，则，则m.7.已知平面已知平面，和直线和直线m，给出以下条件：，给出以下条件：(1)m；(2)m；(3)m；(4)；(5)，当条件，当条件_成立时，有成立时，有m；当条件；当条件_成立成立时，有时，有m(填所选条件的序号填所选条件的序号)(3)(5)(2)(5)解析解析取取AC的中点的中点E，连接，连接ED，EB.D为为A1C1的中点，的中点，DEAA13，BE3，DEAC，BEAC，BED为二面角为二面角A1ACB的平
32、面角的平面角.由余弦定理得由余弦定理得解析解析设设B1Fx，因为因为AB1平面平面C1DF，DF 平面平面C1DF，所以所以AB1DF.9.如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为中，侧棱长为2，ACBC1，ACB90，D是是A1B1的中点，的中点，F是是BB1上的动点，上的动点，AB1，DF交于点交于点E，要使，要使AB1平面平面C1DF，则线段，则线段B1F的长为的长为_.设设RtAA1B1斜边斜边AB1上的高为上的高为h，证明证明因为因为AE2AB2，BAE60，由余弦定理得由余弦定理得10.如图，平面如图，平面ABCD平面平面ABE，且四边形，且四边形ABCD为正
33、方为正方形，形，AE2AB2，BAE60，F为为AC的中点的中点.(1)求证：求证：AC平面平面BEF；所以所以AB2BE2AE2，所以，所以BEAB.由于平面由于平面ABCD平面平面ABE，且两个平面相交于，且两个平面相交于AB，所以所以BE平面平面ABCD，所以，所以BEAC.又因为又因为ACBF，BEBFB，BE，BF 平面平面BEF，所以所以AC平面平面BEF.(2)求直线求直线AD与平面与平面ACE所成的角的正弦值所成的角的正弦值.因为因为VDACEVEACD，设，设D到平面到平面ACE的距离为的距离为h，设直线设直线AD与平面与平面ACE所成的角为所成的角为，证明证明如图所示，如图
34、所示，E为为BD的中点，连接的中点，连接AE，ABD是正三角形，则是正三角形，则AEBD.11.如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD为四边形，为四边形，ABD是边长为是边长为2的正三角形，的正三角形，BCCD，BCCD，PDAB，平面，平面PBD平面平面ABCD.(1)求证：求证：PD平面平面ABCD；平面平面PBD平面平面ABCD，平面，平面PBD平面平面ABCDBD，AE 平面平面ABCD，故故AE平面平面PBD.PD 平面平面PBD，故，故AEPD.PDAB，AEABA，AE，AB 平面平面ABCD，故故PD平面平面ABCD.解解如图所示，过点如图所示，过点E作
35、作EFPB于点于点F，连接，连接CF.BCCD，BCCD，E为为BD的中点，故的中点，故ECBD，故故EC平面平面PBD，CEPB.又又EFPB，PB平面平面CEF，CFPB，故故EFC为二面角为二面角CPBD的平面角的平面角.12.(多选多选)如图，在正方体中，如图，在正方体中，O为底面的中心，为底面的中心，P为所在棱的中点，为所在棱的中点，M，N为正为正方体的顶点，则满足方体的顶点，则满足MNOP的是的是()BC解析解析设正方体的棱长为设正方体的棱长为2.对于对于A，如图，如图(1)所示，连接所示，连接AC，则，则MNAC，故，故POC(或其补角或其补角)为异面直线为异面直线OP，MN所成
36、的角所成的角.图图(1)对于对于B，如图，如图(2)所示，取所示，取MT的中点为的中点为Q，连接，连接PQ，OQ，则，则OQMN，PQMN，所以，所以MN平面平面OPQ，又，又OP 平面平面OPQ，故，故MNOP，故，故B正确；正确；图图(2)对于对于C，如图，如图(3)，连接，连接BD，则，则BDMN，由，由B的判断可得的判断可得OPBD，故，故OPMN，故，故C正确；正确；对于对于D，如图，如图(4)，取，取AD的中点的中点Q，AB的中点的中点K，连接，连接AC，PQ，OQ，PK，OK，则则ACMN.因为因为DPPC，故，故PQAC，故，故PQMN，所以，所以QPO(或其补角或其补角)为为
37、异面直线异面直线PO，MN所成的角所成的角.图图(3)图图(4)解析解析对于对于A，P在直线在直线BC1上运动时，上运动时，AD1P的面积为矩形的面积为矩形ABC1D1的面积的面积的一半，的一半，C到平面到平面ABC1D1的距离不变，又的距离不变，又VAD1PCVCAD1P，则三棱锥，则三棱锥AD1PC的体积不变，故的体积不变，故A正确；正确；13.(多选多选)棱长为棱长为1的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E，F，G分别是分别是AB，BC，B1C1的中点的中点.下列说法正确的是下列说法正确的是()A.P点在直线点在直线BC1上运动时，三棱锥上运动时，三棱锥AD1PC体积不变体积
38、不变B.Q点在直线点在直线EF上运动时，直线上运动时，直线GQ始终与平面始终与平面AA1C1C平行平行C.平面平面B1BD平面平面ACD1ABC对于对于B，Q在直线在直线EF上运动时，由上运动时，由E，F，G分别是分别是AB，BC，B1C1的中点，可的中点，可得得EFAC，GFC1C.又又EFGFF，ACC1CC，所以平面，所以平面GEF平面平面AA1C1C.又又GQ 平面平面GEF，则，则GQ始终与平面始终与平面AA1C1C平行，故平行，故B正确；正确；对于对于C，由，由ACBD，ACBB1，可得，可得AC平面平面BB1D1D，又，又AC 平面平面ACD1，即有平面即有平面B1BD平面平面A
39、CD1，故，故C正确；正确；证明证明取取SC的中点的中点G，连接，连接FG，EG，F，G分别是分别是SB，SC的中点，的中点，14.如图，在四棱锥如图，在四棱锥SABCD中，四边形中，四边形ABCD是边长为是边长为2的菱形，的菱形，ABC60，SAD为正三角形为正三角形.侧面侧面SAD底面底面ABCD，E，F分别为棱分别为棱AD，SB的的中点中点.(1)求证：求证：AF平面平面SEC；四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，E是是AD的中点，的中点，FGAE，FGAE，四边形四边形AFGE是平行四边形，是平行四边形，AFEG，又，又AF 平面平面SEC，EG 平面平面SEC，AF平面平面SEC.证
40、明证明SAD是等边三角形，是等边三角形，E是是AD的中点，的中点，SEAD，四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，ABC60，ACD是等边三角形，又是等边三角形，又E是是AD的中点，的中点，ADCE，又，又SECEE，SE，CE 平面平面SEC，AD平面平面SEC，又，又EG 平面平面SEC，ADEG，又四边形，又四边形AFGE是平行四边形，是平行四边形，四边形四边形AFGE是矩形，是矩形，AFFG，又又SAAB，F是是SB的中点，的中点，AFSB，又又FGSBF，FG 平面平面SBC，SB 平面平面SBC，AF平面平面SBC，又，又AF 平面平面ASB，平面平面ASB平面平面CSB.(2)求证：平面求证：平面ASB平面平面CSB；解解存在点存在点M满足题意满足题意.假设在棱假设在棱SB上存在点上存在点M，使得，使得BD平面平面MAC，连接连接MO，BE，则，则BDOM，四边形四边形ABCD是边长为是边长为2的菱形，的菱形，ABC60，SAD为正三角形，为正三角形，侧面侧面SAD底面底面ABCD，侧面侧面SAD底面底面ABCDAD，SE 平面平面SAD，SE平面平面ABCD，SEBE，
