1、8.2空间点、直线、平面之间的位置关系【课程标准】1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义,了解四个基本事实和一个定理.2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.知识梳理思维激活【必备知识 精归纳】1.四个基本事实基本事实1:过不在_上的三个点,有且只有一个平面.符号:A,B,C三点_存在唯一的使A,B,C.基本事实2:如果一条直线上的_在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.符号:Al,Bl,且A,B_.基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们_过该点的公共直线.符号:P,且P=l,
2、且_.一条直线不共线两个点l 有且只有一条Pl基本事实4:平行于同一条直线的两条直线_.符号:ab,bc_.2.基本事实的三个推论推论1:经过一条直线和这条直线_一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条_直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条_直线,有且只有一个平面.平行ac外相交平行点睛(1)直线不在平面内包括直线与平面平行和直线与平面相交.(2)两直线没有公共点包括平行和异面两种位置关系.4.等角定理如果空间中两个角的两条边分别_,那么这两个角相等或_.点睛 若两角的两边分别对应平行且方向都相同或都相反,则这两个角相等;若两角的两边分别对应平行且一边方向相同而另一边方向相反,则这两个角互
3、补.对应平行互补5.异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O作直线aa,bb,把a与b所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围:_.(0,2【常用结论】1.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.2.过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.3.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.4.过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.【基础小题 固根基】教材改编结论应用易错易混1,2341.(教材变式)(多选题)若直线l平面,直线a,则l与a的位置关系可以是()A.l与a相交B.laC.laD.l与a异面【解析】因为直线l平面,所以直线l与平面无
4、公共点,又因为直线a,所以直线l与直线a无公共点,所以由线与线的位置关系可知,直线l与直线a平行或者异面,也可能异面垂直.BCD2.(教材提升)(多选题)如图,是正方体的平面展开图,则在这个正方体中,以下命题中,正确的是()A.BM与ED平行B.CN与BM成60角C.CN与BE是异面直线D.DM与BN是异面直线BD【解析】正方体的直观图如图所示:很显然,BM与ED不平行,A错误;连接AN,AC,易知ACN是等边三角形,CN与BM的夹角即为ANC=60,B正确;很显然,CNBE,C错误;连接DM,BN,DM与BN是异面直线,D正确.3.(结论2)下列命题中正确的是()A.过直线外一点有且只有一个
5、平面与这条直线平行B.过一点有且只有一个平面与已知直线垂直C.过已知平面外一点,有且只有一个平面与已知平面垂直D.过已知平面外一条直线,必能作出与已知平面平行的平面B【解析】对于A,如图在正方体中,过直线AB外一点D1有两个平面,平面A1B1C1D1,平面DCC1D1都与直线AB平行,故错误;对于B,由于垂直同一条直线的两个平面平行,故过一点有且只有一个平面与已知直线垂直,故正确;对于C,如图在正方体中,过平面ABCD外一点D1有两个平面,平面DCC1D1,平面A1ADD1都与平面ABCD垂直,故错误;对于D,当直线与平面相交时,过该直线,不能作出与已知平面平行的平面,故错误.题型一平面的基本
6、性质及应用角度1证明点、线共面典例1(1)(2023潍坊模拟)下列四个命题中的真命题是()A.如果一条直线与另两条直线都相交,那么这三条直线必共面B.如果三条直线两两都相交,那么它们能确定一个平面C.如果三条直线相互平行,那么这三条直线在同一个平面上D.如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线确定一个平面核心题型分类突破D【解析】对于A,B,当三条直线交于同一点时,三条直线可能不共面,故A,B错误,对于C,当三条直线相互平行时,三条直线可能不共面,故C错误,对于D,一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线确定一个平面,故D正确.(2)(2022聊城模拟)如图,在正四棱柱ABCD-A
7、1B1C1D1中,AA1=2AB=2,E,F分别为棱AA1,CC1的中点.求证:B,E,D1,F四点共面.【证明】如图所示:连接BE,BF,D1E,D1F,取BB1的中点为M,连接MC1,ME,因为E为AA1的中点,所以EMA1B1C1D1,且EM=A1B1=C1D1,所以四边形EMC1D1为平行四边形,所以D1EMC1,又因为M为BB1的中点,所以BMC1F,且BM=C1F,所以四边形BMC1F为平行四边形,所以BFMC1,所以BFD1E,所以B,E,D1,F四点共面.【方法提炼】点、线共面的常用判定方法(1)纳入平面法:要证明“点共面”或“线共面”,可先由部分点或直线确定一个平面,再证其余
8、点或直线也在这个平面内.(2)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面,再证明其余元素确定平面,最后证明平面,重合.(3)证明四点共面常通过证明四点组成的四边形为平行四边形或梯形来解决.【方法提炼】证明三线共点的思路先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题化归为证明点在直线上的问题,通常是先证两条直线的交点在两个平面的交线上,而第三条直线恰好是两个平面的交线.角度3证明三点共线典例3(2023六安模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,E为AB的中点,F为AA1的中点.求证:C1,O,M三点共线.【证明】因为A1C平
9、面BDC1=O,所以OA1C,O平面BDC1;又因为A1C平面ACC1A1,所以O平面ACC1A1;因为AC,BD交于点M,所以MAC,MBD;又AC平面ACC1A1,BD平面BDC1,所以M平面ACC1A1,M平面BDC1;又C1平面ACC1A1,C1平面BDC1;所以C1,O,M三点在平面ACC1A1与平面BDC1的交线上,所以C1,O,M三点共线.【方法提炼】证明三点共线的两种方法(1)首先找出两个平面,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,则这三点都在交线上,即三点共线.(2)选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在这条直线上,从而得三点共线.【对点训练】1.如图,在正方体ABCD
10、-A1B1C1D1中,M为棱D1C1的中点.设AM与平面BB1D1D的交点为O,则()A.D1,O,B三点共线,且OB=2OD1B.D1,O,B三点不共线,且OB=2OD1C.D1,O,B三点共线,且OB=OD1D.D1,O,B三点不共线,且OB=OD1A2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点.(1)求证:CE,D1F,DA三线交于点P;(2)在(1)的结论中,G是D1E上一点,若FG交平面ABCD于点H,求证:P,E,H三点共线.【证明】(1)连接A1B,CD1,EF,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点,所以EFA
11、1B且EFA1B,因为CD1A1B且CD1=A1B,所以EFCD1且EFCD1,所以EC与D1F相交,设交点为P,因为PEC,EC平面ABCD,所以P平面ABCD;又因为PFD1,FD1平面ADD1A1,所以P平面ADD1A1,所以P为两平面的公共点,因为平面ABCD平面ADD1A1=AD,所以PAD,所以CE,D1F,DA三线交于点P;(2)在(1)的结论中,G是D1E上一点,FG交平面ABCD于点H,则FH平面PCD1,所以H平面PCD1,又H平面ABCD,所以H平面PCD1平面ABCD,同理,P平面PCD1平面ABCD,E平面PCD1平面ABCD,所以P,E,H都在平面PCD1与平面AB
12、CD的交线上,所以P,E,H三点共线.题型二空间线面位置关系角度1空间位置关系的判断典例4(1)(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则以下四个结论中,正确的有()A.直线AM与CC1是相交直线B.直线BN与MB1是异面直线C.AM与BN平行D.直线A1M与BN共面BD【解析】A选项,因为A,M,C,C1四点不共面,所以根据异面直线的定义可得直线AM与CC1是异面直线,故A错误;B选项,因为B,N,M,B1四点不共面,所以根据异面直线的定义可得直线BN与MB1是异面直线,故B正确;C选项,取DD1的中点E,连接AE,EN,则有ABEN,AB
13、=EN,所以四边形ABNE是平行四边形,所以AEBN,因为AM与AE交于点A,所以AM与AE不平行,则AM与BN不平行,故C错误;D选项,连接A1M,MN,BA1,CD1,因为M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,所以MND1C,由正方体的性质可知:BA1D1C,所以MNA1B,所以A1,B,M,N四点共面,所以直线A1M与BN共面,故D正确.(2)(2022潍坊模拟)a,b,c是空间中互不重合的三条直线,下面给出四个命题:若ab,bc,则ac;若ab,bc,则ac;若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;若a平面,b平面,则a,b一定是异面直线;上述命题中正确的是_(只填序号).答案:【解析
14、】根据空间直线平行的平行公理可知,若ab,bc,则ac,所以正确;在空间中,若ab,bc时,a与c可以相交、平行,也可以异面,所以错误;在空间中,若a与b相交,b与c相交,a与c可以相交、平行,也可以异面,所以错误;若a平面,b平面,并不能说明a与b不在同一个平面内,a与b可以平行、相交,也可能是异面直线,所以错误.【方法提炼】两直线位置关系的判断方法(1)异面直线的判断:反证法;判定定理法.(2)平行直线的判断:平面图形的性质(三角形、梯形的中位线,平行四边形等);基本事实4平行线的传递性;线面平行和线面垂直的定理.(2)(2023重庆模拟)如图,在空间四边形ABCD中,AB=CD=8,M,
15、N分别是BC,AD的中点.若异面直线AB与CD所成的角为60,求MN的长.【方法提炼】1.综合法求异面直线所成角的步骤(1)作:通过作平行线得到相交直线.(2)证:证明所作角为异面直线所成的角(或其补角).(3)求:解三角形,求出所作的角,如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.2.向量法:利用向量的数量积求所成角的余弦值.【对点训练】1.(2023济南模拟)如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS不是共面直线的是()C【解析】对于A.根据正方体结构特点以及中位线的性质可知:PQRS,故PQ,RS共面,故不符合题意;对于B.根据正方体结构特点以及中位线的性质可知:PQRS,故PQ,RS共面,故不符合题意;B【方法提炼】作交线的方法1.利用基本事实3作交线;2.利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行,然后根据性质作出交线;3.与球结合的截线问题,结合球的有关性质求出截线的长度.
