1、2020-2021 学年高二数学上学期期中测试卷 01（人教 A 版） （理） （本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟） 测试范围：人教 A 版 必修 5 全册+选修 2-1 第一章、第二章 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的. 1已知ba ，则条件“0c”是条件“bcac ”的( )。 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分且必要条件 D、既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】当0c时，bcac 不成立，充分性不成立， 当bcac 、ba 时0c成立，0c也成立，必要性成立， “0c”是
2、条件“bcac ”的必要不充分条件，故选 B。 2已知椭圆063 22 mymx的一个焦点为)20( ，则m的值为( )。 A、2 B、3 C、4 D、5 【答案】D 【解析】方程变形为1 26 22 m yx ，焦点在y轴上，62m，解得3m， 又2c， 2 262m，解得则5m，故选 D。 3等差数列 n a中，已知| 116 aa ，且公差0d，则其前n项和取最小值时的n的值为( )。 A、6 B、7 C、8 D、9 【答案】C 【解析】 0d，| 116 aa ， 0 1 a，0 6 a，0 11 a， 且 116 aa， 0 116 aa， 0152 1 da， 2 15 1 d a
3、，64)8( 2 )16( 2 1 2 ) 1( 22 1 n d nndd nn naSn， 当8n时前n项和取最小值，故选 C。 4已知 1 F、 2 F是椭圆的两个焦点，满足0 21 MFMF的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 ( )。 A、) 2 1 0( ， B、) 2 2 0( ， C、) 2 2 2 1 ( ， D、) 1 2 2 (， 【答案】B 【解析】 21 MFMF ，点M在以 21F F为直径的圆上，又点M在椭圆内部，bc ， 2222 cabc，即 22 2ac ， 2 1 2 2 a c ，即 2 2 a c ，又0e， 2 2 0 e，故选 B。 5 在
4、ABC中， 内角A、B、C的对边分别为a、b、c， 若a、b、c成等比数列， 且ac2， 则Bc o s( )。 A、 4 1 B、 4 3 C、 4 2 D、 3 2 【答案】B 【解析】在ABC中，a、b、c成等比数列，则acb 2 ，由ac2得：acb 2 ， 则 4 3 4 24 2 cos 2 222222 a aaa ac bca B，故选 B。 6 九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人， 共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，五人以爵次进行分配(古代数学中“以爵 次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题
5、中表示等差分配)。”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿 之二”，则簪裹得( )。 A、一鹿、三分鹿之一 B、一鹿 C、三分鹿之二 D、三分鹿之一 【答案】B 【解析】由题意可知，五人按等差数列进行分五鹿， 设大夫得的鹿数为首项 1 a，且 3 5 3 2 1 1 a，公差为d， 则5 2 45 5 1 da，解得 3 1 d，1) 3 1 (2 3 5 2 13 daa，簪裹得一鹿，故选 B。 7已知点 1 F是抛物线C：pyx2 2 的焦点，点 2 F为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过 2 F作抛物线C 的切线，切点为A，若点A恰好在以 1 F、 2 F为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率
6、为( )。 A、 2 6 B、3 C、12 D、 2 26 【答案】C 【解析】由题意，得) 2 0( 1 p F，、) 2 0( 2 p F，设过 2 F的抛物线C的切线方程为： 2 p kxy， 联立 2 2 2 p kxy pyx 得：02 22 ppkxx，令044 222 pkp，得1 2 k， 即02 22 ppxx，不妨设) 2 ( p pA， 由双曲线的定义得pAFAFa) 12(|2 12 ，pFFc|2 21 ， 则该双曲线的离心率为12 ) 12( p p e，故选 C。 8设锐角ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且1c，CA2，则ABC周长的取 值范围为
7、( )。 A、220(， B、330(， C、)3322(， D、3322， 【答案】C 【解析】 ABC为锐角三角形， 且CBA， 2 0 36 4 0 2 0 2 20 2 20 2 0 2 0 2 0 C C C C CC C C B A ， 46 C， 2 3 cos 2 2 C，又CA2，CCCAcossin22sinsin， 又1c， C c A a sinsin ，Cacos2， 由 C c B b sinsin ，即1cos4 sin 2sincos2cossin sin 3sin sin sin 2 C C CCCC C C C Bc b， CCCCcbacos2cos411
8、cos4cos2 22 ，令Ctcos，则) 2 3 2 2 (，t， 又函数tty24 2 在) 2 3 2 2 (，上单调递增，函数值域为)3322(，故选 C。 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9已知双曲线C：1 2 2 2 2 b y a x (0a，0b)的一个焦点坐标为)02( ，且两条渐近线的夹角为 3 ，则双曲 线C的标准方程为( )。 A、1 33 22 yx B、1 3 2 2 y x C、1 3 2 2 y x D、1 22 yx
9、【答案】BC 【解析】两条渐近线的夹角为 3 ，3 a b 或 3 3 a b ，又2c， 222 bac， 解得 3 1 b a 或 1 3 b a ，双曲线C的标准方程为1 3 2 2 y x或1 3 2 2 y x ，故选 BC。 10在ABC中，已知C BA sin 2 tan ，则下列论断正确的是( )。 A、1cottanBA B、2sinsin1BA C、1cossin 22 BA D、CBA 222 sincoscos 【答案】BD 【解析】C BA sin 2 tan ； 2 cos 2 sin2 2 cos 2 sin BABA BA BA ， 整理得0)cos(BA， 9
10、0 BA， AABAtantancottan不一定等于1，A 不正确， )45sin(2cossinsinsin AAABA， 1354545 A，1)45sin( 2 2 A， 2sinsin1BA，B 正确， 1sin2cossin 222 ABA不一定成立，故 C 不正确， 1sincoscoscos 2222 AABA，又190sinsin 22 C， CBA 222 sincoscos，D 正确， 故选 BD。 11若数列 n a通项公式为|13| nan，则满足102 191 kkk aaa的正整数k的个数为( )。 A、2 B、5 C、15 D、28 【答案】AB 【解析】由|1
11、3| nan可知， 当13k时，1027020)6()12()13( 191 kkkkaaa kkk ， 解得 5 43 k，不符，舍去， 当13k时，)6(101)12()13( 191 kkkaaa kkk 102 2 )6)(7( 2 )14)(13( kkkk ， 即0107 2 kk，解得2k或5k，符合，可取， 故选 AB。 12已知点F为抛物线C：yx4 2 的焦点，过点) 2 1 2(，M作直线l交抛物线C于A、B两点， 设直线FA、 FM、FB的斜率分别为 1 k、 2 k、 3 k，若 1 k、 2 k、 3 k成公差不为零的等差数列，则直线l的方程为( )。 A、012
12、yx B、0232 yx C、0443 yx D、014 yx 【答案】AC 【解析】焦点) 10( ，F，设直线l的方程为)2( 2 1 xky，代入抛物线得0284 2 kkxx， 设)( 11 yxA，、)( 22 yxB，kxx4 21 ，28 21 kxx，0)28(416 2 kk， 2 62 k或 2 62 k，又 1 k、 2 k、 3 k等差且公差不为零， 则 21 12 2 21 2 12 21 122112 2 2 1 1 31 44 11 xx xx xxxx xx xxyxyx x y x y kk 14 4 28 4) 1 4 28 ()(1 4 (2 21 21
13、21 k kk k k k xx xx xx ， 4 3 02 1 2 1 2 k，则 2 3 14 4 2 k kk ，03108 2 kk，解得 2 1 k或 4 3 k， 直线方程为)2( 2 1 2 1 xy或)2( 4 3 2 1 xy，即012 yx或0443 yx。 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13命题“实数的平方都是正数”的否定是 。 【答案】至少有一个实数的平方不是正数 【解析】 全称命题的否定一定是特称命题， “实数的平方都是正数”是全称命题， 只是省略了“所有”两字， 全称命题的否定是“至少有一个实数的平方不是正数”。 14己知0)202
14、0(aa，那么 aa 2020 11 的最小值为 。 【答案】 505 1 【解析】0)2020(aa，则0)2020(aa，则20200 a， ) 2020 11 ()2020( 2020 1 2020 11 aa aa aa ) 2020 2020 2( 2020 1 a a a a 505 1 2020 4 ) 2020 2020 22( 2020 1 a a a a 当且仅当 a a a a 2020 2020 即1010a时取等号，最小值为 505 1 。 15已知数列 n a满足1 1 a， ) 1( 2 1 1 nnaa aa nn nn ( Nn)，则 n a 。 【答案】 2
15、3 n n 【解析】由 ) 1( 2 1 1 nnaa aa nn nn ，得) 1 11 (2 11 1 nnaa nn ，1 1 a， 112211 1 ) 11 () 11 () 11 ( 1 aaaaaaaa nnnnn 1) 2 1 1 () 1 1 2 1 () 1 1 1 (2 nnnn n n n 23 1) 1 1 (2 。 则 23 n n an。 16在ABC中，AD是BC边上的中线， 6 ABD。若BDAB3，则CAD ；若 22ADAC，则ABC的面积为 。(本小题第一个空 2 分，第二个空 3 分) 【答案】 3 3 【解析】在ABD中， 2222222 6 cos
16、323cos2BDBDBDBDABDBDABBDABAD ， BDAD， 6 BADABD， 3 2 ADB， 3 ADC， 又D为BC边上的中点，则CDBDAD，ACD为等边三角形， 3 CAD； 22ADAC，2AC，1AD，设xAB ，yCDBD，则yBC2， 在ABD中，ABDBDABBDABADcos2 222 ，则 6 cos21 22 xyyx， 即xyyx31 22 ， 在ABC中，ABCBCABBCABACcos2 222 ，则 6 cos444 22 xyyx， 即xyyx3244 22 ， 联立得yx 3 32 ，代入得 222 3 32 3 3 4 1yyy， 解得3
17、2 y，即3y，则2x， 则2AB，32BC，3 2 1 322 2 1 sin 2 1 ABDBCABS ABC 。 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （本小题满分 10 分） 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知BABACcossin3coscoscos。 (1)求Bcos的值； (2)若1ca，求b的取值范围。 【解析】(1)在ABC中，CBA， 由已知得：BABABABAcossin3coscossinsincoscos， 1 分 即BABAcossin3sinsin，0sinA，BBcos3sin，3tanB
18、， 3 分 又 B0， 3 B， 2 1 cosB； 5 分 (2)由余弦定理得：Baccabcos2 222 ，1ca， 2 1 cosB， 7 分 4 1 ) 2 1 ( 3 22 ab，又10 a，于是有1 4 1 2 b，即有1 2 1 b。 10 分 18 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S， 3 14 n n S( Nn)。 (1)求数列 n a的通项公式； (2)设 12 log nn ab，求数列 n n a b 的前n项和 n T。 【解析】(1)当1n时，1 11 Sa，当2n时， 1 1 1 4 3 14 3 14 n nn nnn SSa，
19、2 分 经检验，当1n时，符合 1 4 n n a，综上，求数列 n a的通项公式为 1 4 n n a； 3 分 (2)nab nn nn )2(log4loglog 2212 ，则 1 4 n n n n a b ， 5 分 1210 ) 4 1 () 4 1 (3) 4 1 (2) 4 1 (1 n n nT， 6 分 n n nT) 4 1 () 4 1 (3) 4 1 (2) 4 1 (1 4 1 321 ， 7 分 上式减下式得： nn n nT) 4 1 () 4 1 () 4 1 () 4 1 () 4 1 (1 4 3 1321 n n n) 4 1 ( 4 1 1 ) 4
20、1 (1 ， 9 分 1 ) 4 1 ( 9 43 9 16 n n n T。 10 分 19 （本小题满分 12 分） 在ABC中， 2 BAC，AD是BAC的平分线，点D在线段BC上，且CDBD2。 (1)求Bsin的值； (2)若1AD，求ABC的面积。 【解析】(1)在ABD中，由正弦定理得： B AD BAD BD sinsin ，即 B ADBD sin45sin ， 1 分 在ACD中，由正弦定理得： B AD B AD C AD CAD CD cos ) 2 sin( sinsin ， 2 分 则 2 1 cos sin BD CD B B ，即BBcos 2 1 sin， )
21、sin1 ( 4 1 cos 4 1 sin 222 BBB，即 5 1 si n 2 B， 4 分 又 B0， 5 5 sinB； 5 分 (2)由(1)知 5 5 sinB，又 2 BAC，B是锐角， 5 52 cosB， 6 分 2 1 tanB， 10 103 )cos(sin 2 2 )45sin()45180sin(sinBBBBBDA ， 8 分 在ABD中，由正弦定理可得 2 23 sin sin B BDA ADAB， 4 23 tanBABAC， 10 分 8 9 4 23 2 23 2 1 2 1 ACABS ABC 。 12 分 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆
22、 1 C，抛物线 2 C的焦点均在x轴上， 1 C的中心和 2 C的顶点均为原点O，从 1 C、 2 C上分别取两个 点，将其坐标记录于下表中： x 3 2 4 2 y 32 0 4 2 6 (1)求 1 C、 2 C的标准方程； (2)若直线l：mkxy(0k)与椭圆 1 C交于不同的两点M、N， 且线段MN的垂直平分线过定点)0 8 1 ( ，G， 求实数k的取值范围。 【解析】(1)设抛物线 2 C：pxy2 2 (0p)，则有p x y 2 2 (0 x)， 1 分 据此验证4个点知)323(，)44(，在抛物线上，易求 2 C：xy4 2 ， 2 分 设椭圆 1 C：1 2 2 2
23、2 b y a x (0ba)， 把点)02(，) 2 6 2(，代入得： 1 4 62 1 4 22 2 ba a ， 3 分 解得4 2 a，3 2 b， 1 C的方程为：1 34 22 yx ； 4 分 (2)设)( 11 yxM，)( 22 yxN，将mkxy代入椭圆方程，消去y得： 01248)43( 222 mkmxxk， 5 分 0)124)(43(4)8( 222 mkkm，即34 22 km， 6 分 由根与系数关系得 2 21 43 8 k km xx ，则 2 21 43 6 k m yy ， 7 分 线段MN的中点P的坐标为) 43 3 43 4 ( 22 k m k
24、km ， 8 分 又线段MN的垂直平分线 l 的方程为) 8 1 ( 1 x k y， 9 分 由点P在直线 l 上，得) 8 1 43 4 ( 1 43 3 22 k km kk m ， 10 分 即0384 2 kmk，) 34( 8 1 2 k k m， 11 分 由得34 64 ) 34( 2 2 22 k k k ， 20 1 2 k，即 10 5 k或 10 5 k， 实数k的取值范围是) 10 5 () 10 5 (，。 12 分 21 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a满足13 1 naa nn ，ma 1 。 (1)试确定m的值，使得 n a为等差数列； (2)若1m
25、，求数列 n a的前n项和 n S。 【解析】(1)由ma 1 ，13 1 naa nn 可得ma 4 2 ，ma 3 3 ， 1 分 若数列 n a为等差数列，则 312 2aaa， 2 分 即)3()4(2mmm，解得 4 5 m， 3 分 此时 4 5 1 a， 4 11 2 a， 2 3 4 5 4 11 12 aad， 4 1 2 3 2 3 ) 1( 4 5 nnan， 4 分 13 4 1 ) 1( 2 3 4 1 2 3 1 nnnaa nn ， 故当 4 5 m时，数列 n a为等差数列； 5 分 (2)当1m时，由1 1 a，13 1 naa nn 可得： 当n为偶数时，
26、nnn aaaaaaS 14321 6 分 )()()( 14321nn aaaaaa 1) 1(3) 133() 113( n 2 )1(31 3 n n 4 23 222 ) 1(1 3 2 nnnnn ， 8 分 当n为奇数时， nnn aaaaaaS 14321 9 分 )()()( 154321nn aaaaaaa 1) 1(3) 153() 123(1 n 2 1 )1(5231 n n 4 123 2 1 2 1 2 ) 1(2 31 2 nnnnn ， 11 分 综上， 为偶数 为奇数 n n n n n n Sn , 24 3 , 4 1 24 3 2 2 。 12 分 22
27、 （本小题满分 12 分） 已知圆O： 4 22 yx，点)30( ，F，以线段FP为直径的圆内切于圆O，记点P的轨迹为C。 (1)求曲线C的方程； (2)若)( 11 yxA，、)( 22 yxB，为曲线C上的两点，记) 2 ( 1 1 y xm，、) 2 ( 2 2 y xn，且nm ，试问AOB的面 积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由。 【解析】(1)取)30( ，F，连接F P ，设动圆的圆心为M， 两圆相内切，| 2 1 2|PFOM，又| 2 1 |FPOM， 32|4|FFFPPF， 2 分 点P的轨是以 F 、F为焦点的椭圆，其中42a，322 c， 3 分
28、 2a、3c、1 22 cab，C的轨迹方程为1 4 2 2 x y ； 4 分 (2)当xAB 轴时，有 21 xx 、 21 yy，由nm 得|2| 11 xy ， 又1 4 2 1 2 1 x y ， 2 2 | 1 x、2| 1 y， 122 2 2 2 1 |2| 2 1 11 yxS AOB ， 6 分 当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为mkxy， 联立 44 22 yx mkxy 得：042)4( 222 mkmxxk， 8 分 则 4 2 2 21 k km xx 4 4 2 2 21 k m xx，由nm 得0nm， 即04 2121 yyxx， 0)()(4 2121 mkxmkxxx， 10 分 整理得：0)()4( 2 2121 2 mxxkmxxk，42 22 km， 21 2 2121 4)(| 2 1 | 2 1 xxxxmxxmS AOB 1 4 4 |2 2 22 k mk m， 综上所述，AOB的面积为定值1。 12 分
