1、2020-2021 学年高二数学上学期期中测试卷 04（人教 A 版 2019） （本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟） 测试范围：选择性必修第一册 RJ-A（2019）第一章、第二章、第三章 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的. 1若双曲线1 2 2 m y x的一个焦点为)03(，则m( )。 A、22 B、8 C、9 D、12 【答案】B 【解析】由双曲线性质：1 2 a，mb 2 ，91 2 mc，8m，故选 B。 2在三棱锥ABCS 中，平面SAC平面ABC，ACSA ，ACBC ，6SA，
2、21AC，8BC， 则SB的长为( )。 A、8 B、9 C、11 D、12 【答案】C 【解析】建立以A为原点的空间直角坐标系， 则)000(，A，)0218(，B，)600(，C， 11)06()210()80(| 222 SBSB，故选 C。 3若点 00 yxP，是直线l：0CByAx外一点，则方程0)( 00 CByAxCByAx表示( )。 A、过点P且与l垂直的直线 B、过点P且与l平行的直线 C、不过点P且与l垂直的直线 D、不过点P且与l平行的直线 【答案】D 【解析】点 00 yxP，不在直线l：0CByAx上，0 00 CByAx， 直线0)( 00 CByAxCByAx
3、不过点P， 又直线0)( 00 CByAxCByAx与直线l：0CByAx平行，故选 D。 4 已知圆C：1) 1()3( 22 yx和两点)0(，tA 、)0( ，tB)0( t， 若圆C上存在点P， 使得 90APB， 则t的最小值为( )。 A、1 B、2 C、3 D、4 【答案】A 【解析】由 90APB得点P在圆 222 tyx上，因此由两圆有交点得： 3112| 1|1| 1|ttttOCt，即t的最小值为1，故选 A。 5若圆4)()( 22 ayax上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围为( )。 A、)022(， B、)220()022(， C、)221 ()
4、122(， D、)220( ， 【答案】B 【解析】由题意已知圆与圆4 22 yx相交，2222 22 aa， 解得2222a且0a，故选 B。 6如图所示，在三棱锥ABCP 中，PA平面ABC，D是棱PB的中点，已知2 BCPA，4AB， ABCB ，则异面直线PC与AD所成角的余弦值为( )。 A、 10 30 B、 5 30 C、 10 30 D、 5 30 【答案】C 【解析】PA平面ABC，ABPA、BCPA， 过点A作CBAE/，又ABCB ，则AP、AB、AE两两垂直， 如图，以A为坐标原点，直线AB、AE、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则)000(，A、)200(
5、，P、)004(，B、)024(， C，又D为PB中点，则) 102(，D 故)224(，CP，) 102(，AD， 10 30 625 6 | cos CPAD CPAD CPAD， 设异面直线PC与AD所成的角为，则 10 30 |cos|cosCPAD，故选 C。 另解：还原长方体，则ADPM /， ADPM2， 则异面直线PC与AD所成的角为PC与PM所成的角即CPM， 在CPM中，5220242 2222 PAABPBANADPM， 6224224 22222222 PABCABPAACPC， 522024 2222 BCMBCM， 10 30 308 24 52622 202024
6、 2 cos 222 PMPC CMPMPC CPM，故选 C。 7已知M、N是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的斜率分别为 1 k、 2 k(0 21 kk)，若| 21 kk的最小值为1，则椭圆的离心率为e( )。 A、 5 5 B、 3 2 C、 3 3 D、 2 3 【答案】D 【解析】设)sincos(baP，)sincos(baM，则)sincos(baN， 可得 )cos(cos )sin(sin 1 a b k， )cos(cos )sin(sin 2 a b k，| )cos(cos )sin(sin | 222 222 21 a b kk， 又
7、 22 sinsin时 22 coscos， 2222 coscossinsin， 2 2 21 | a b kk， 又 a b kkkk 2 |2| 2121 ， a b2 1 2 3 a c e，故选 D。 8已知双曲线1 2 2 2 2 b y a x (0a，0b)与抛物线pxy2 2 (0p)有相同的焦点F，且双曲线的一条渐近 线与抛物线的准线交于点)3(tM， 2 153 |MF，则双曲线的离心率为( )。 A、 2 2 B、 3 3 C、 2 5 D、5 【答案】C 【解析】由题意知抛物线pxy2 2 (0p)的焦点坐标为)0 2 (， p F，准线方程为 2 p x， 由M在抛
8、物线的准线上，则3 2 p ，则6p，则焦点坐标为)03( ，F， 2 153 )33(| 22 tMF，则 4 9 2 t，解得 2 3 t， 双曲线的渐近线方程是x a b y，将M代入渐近线的方程 a b 3 2 3 ，即 2 1 a b ， 则双曲线的离心率为 2 5 1 2 2 a b a c e，故选 C。 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9过点)32( ，P，并且在两轴上的截距相等的直线方程为( )。 A、05 yx B、042 yx C、
9、023yx D、0524 yx 【答案】AC 【解析】设所求直线方程为0)3()2(yBxA(A、B不同时为0)， 显然，当0A或0B时，所得直线方程不满足题意，故A、B均不为0， 当0 x时，3 2 B A y，当0y时，2 3 A B x， 根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，则2 3 3 2 A B B A ， 令 B A z ，则2 3 32 z z，整理，得032 2 zz， 解得1z，或 2 3 z，则0 BA，或0 2 3 BA， 故所求直线方程为05 yx或023 yx，故选 AC。 10给出下列命题，其中正确的有( )。 A、空间任意三个向量都可以作为一组基底 B、已知向量
10、ba/，则a、b与任何向量都不能构成空间的一组基底 C、A、B、M、N是空间四点，若BA、BM、BN不能构空间的一组基底，则A、B、M、N共 面 D、已知cba ，是空间向量的一组基底，若cam，则mba ，也是空间的一组基底 【答案】BCD 【解析】A 选项，空间任意的三个不共面的向量才可以作为一组基底，故 A 错， B 选项，若ba/，则a、b与任何向量都共面，故不能构成空间的一组基底，故 B 对， C 选项，若BA、BM、BN不能构空间的一组基底，则BA、BM、BN共面， 又BA、BM、BN过相同的点B，则A、B、M、N四点共面，故 C 对， D 选项，cba ，是空间向量的一组基底，则
11、a、b与向量cam一定不共面， mba ，也可以构成空间向量的一组基底， 故选 CBD。 11设抛物线C：pxy2 2 (0p)的焦点为F，点M在C上，5|MF，若以MF为直径的圆过点)20( ， 则C的方程为( )。 A、xy2 2 B、xy4 2 C、xy8 2 D、xy16 2 【答案】BD 【解析】设)( 00 yxM，则5 2 | 0 p xMF，则 2 5 0 p x，又)0 2 (， p F， 则以MF为直径的圆的方程为0)() 2 ()( 00 yyy p xxx，将)02( ，代入， 得048 00 ypx，即084 2 0 2 0 y y ，4 0 y，由 0 2 0 2p
12、xy 得：) 2 5(216 p p， 解得2p或8，则方程为xy4 2 或xy16 2 ，故选 BD。 12我们把离心率为 2 15 e的双曲线1 2 2 2 2 b y a x (0a，0b)称为黄金双曲线。如图所示， 1 A、 2 A是 双曲线的实轴顶点， 1 B、 2 B是虚轴顶点， 1 F、 2 F是焦点，过右焦点 2 F且垂直于x轴的直线交双曲线于M、 N两点，则下列命题正确的是( )。 A、双曲线1 15 2 2 y x是黄金双曲线 B、若acb 2 ，则该双曲线是黄金双曲线 C、若 90 211 ABF，则该双曲线是黄金双曲线 D、若 90MON，则该双曲线是黄金双曲线 【答案
13、】BCD 【解析】A 选项， 2 15 25151 e，不是黄金双曲线； B 选项， 222 acacb，化成0 22 acac，即01 2 ee， 又1e，解得 2 15 e，是黄金双曲线； C 选项， 90 211 ABF， 2 21 2 21 2 11 |AFABFB， 22222 )(caabcb， 化简得0 22 aacc，由知是黄金双曲线； D 选项， 90MON，xMN 轴， a b MF 2 2| |，且 2 MOF是等腰Rt， a b c 2 ， 即acb 2 ，由知是黄金双曲线； 综上，BCD 是黄金双曲线，故选 BCD。 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共
14、20 分. 13已知入射光线经过点)43(，M，被直线l：03 yx反射，反射光线经过点)62( ，N，则反射光线所 在直线的方程为 。 【答案】066 yx 【解析】设点)43(，M关于直线l：03 yx的对称点为)(baM，则反射光线所在直线过点 M ， 11 )3( 4 03 2 4 2 3 a b ba ，解得1a，0b，又反射光线经过点)62( ，N， 所求直线的方程为 12 1 06 0 xy ，即066 yx。 14如图所示，PA平面ABC，BCAC ，1 ACPA，2BC，则二面角CPBA的余弦值大 小为_。 【答案】 3 3 【解析】以点C为原点，CA为x轴，CB为y轴建立空
15、间直角坐标系， )001 (，A、)020(，B、)000(，C、) 101 (，P ) 100(，AP，) 121(，PB，)020(，CB， 设平面APB的法向量为)( 1111 zyxn， 设平面PBC的法向量为)( 2222 zyxn， 则 02 0 111 1 zyx z 且 02 02 222 2 zyx y ， 可取)022( 1 ，n，) 101( 2 ，n， 3 3 26 2 | cos 21 21 21 nn nn nn，。 15抛物线xy4 2 的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A、B两点，且满足4 | | BF AF ，点O为原点， 则AOF的面积为 。 【答案】2 【
16、解析】如图，由题意可知2p，)01 ( ，F， 由4 | | BF AF 得) 1(41 BA xx， 又根据ACFBDF可得 | | | | BF AF DF CF ， 即4 | | B A xOF OFx ，即4 1 1 B A x x ，解得4 A x， 4 1 B x， A点的坐标为)44( ，A或)44(，A，241 2 1 AOF S。 16 如图所示， 在正四棱柱 1111 DCBAABCD 中，2 1 AA，1 BCAB， 动点P、Q分别在线段DC1、AC 上，则线段PQ长度的最小值是 。 【答案】 3 2 【解析】如图建系，则)001 (，A，)011 ( ，B，)010(，
17、C，)210( 1 ，C， 设点)( 111 zyxP， 1 DCDP，10，则)( 111 zyxDP， )210( 1 ，DC，则)20(，P， 设点)( 222 zyxQ，ACAQ，10， 则)1( 222 zyxAQ，)011(，AC，则)01 (，Q， 9 4 ) 9 5 ( 5 9 ) 5 (5122524)()1 (| 2222222 PQ， 则当且仅当 9 1 、 9 5 时，线段PQ长度取最小值是 3 2 。 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （本小题满分 10 分） 已知圆4 22 yx上一定点)02( ，A，) 1
18、1 ( ，B为圆内一点，P、Q为圆上的动点。 (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若 90PBQ，求线段PQ中点的轨迹方程。 【解析】(1)设AP的中点为)(yxM，由中点坐标公式可知，P点坐标为)222(yx， 2 分 P点在圆4 22 yx上，4)2()22( 22 yx， 4 分 故线段AP中点的轨迹方程为1) 1( 22 yx； 5 分 (2)设PQ的中点为)(yxN，在PBQRt中，|BNPN ， 6 分 设O为坐标原点，连接ON，则PQON ， 22222 |BNONPNONOP， 8 分 4) 1() 1( 2222 yxyx， 故线段PQ中点的轨迹方程为01 22 yxyx
19、。 10 分 18 （本小题满分 12 分） 已知点)01 ( ，A，点P是圆C：8) 1( 22 yx上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E。 (1)求点E的轨迹方程； (2)若直线mkxy与点E的轨迹有两个不同的交点F和Q，且原点O总在以FQ为直径的圆的内部，求 实数m的取值范围。 【解析】(1)由题意知：|EAEP ，22| EPCE，2|22|CAEACE， 2 分 E的轨迹是以C、A为焦点的椭圆，其轨迹方程为1 2 2 2 y x ； 3 分 (2)设)( 11 yxF，、)( 22 yxQ，则将直线与椭圆的方程联立得 2 22 yx mkxy ，消去y得： 5 分 0
20、224) 12( 222 mkmxxk，由0得：12 22 km， 7 分 12 4 2 21 k km xx， 12 22 2 2 21 k m xx， 8 分 原点O总在以FQ为直径的圆的内部，0OQOF，即0 2121 yyxx， 9 分 而 12 2 )( 2 22 2121 k km mkxmkxyy，0 12 2 12 22 2 22 2 2 k km k m ， 10 分 即 3 22 2 2 k m， 3 2 2 m，且满足式m的取值范围是) 3 6 3 6 (，。 12 分 19 （本小题满分 12 分） 如图所示，已知三棱柱 111 CBAABC ，底面三角形ABC为正三角
21、形，侧棱 1 AA底面ABC，2AB， 4 1 AA，E为 1 AA的中点，F为BC的中点。 (1)证明：直线/AF平面 1 BEC； (2)求平面 1 BEC和平面ABC所成的锐二面角的余弦值。 【解析】(1)证明：由题意可知，三棱柱 111 CBAABC 为直三棱柱，则四边形 11B BCC为矩形， 连接CB1交 1 BC于点M，连ME、MF，则M为CB1和 1 BC的中点， 又F为BC的中点，MF/ 1 2 1 CC， 2 分 又E为 1 AA的中点， AE/ 1 2 1 CC，AE/MF， 四边形AEMF为平行四边形，EMAF /， 4 分 又AF平面 1 BEC，EM平面 1 BEC
22、，/AF平面 1 BEC； 5 分 (2)三角形ABC为正三角形，BCAF ，又 1 AA底面ABC，MF底面ABC， 以F为原点，FA、FB、FM为x、y、z轴建立直角坐标系，如图建系， 6 分 则)000(，F，)003(，A，)010(，B，)010(， C，)410( 1 ， C，)023(，E， 7 分 设平面 1 BEC的法向量为)(zyxn，又)013(，BE，)420( 1 ， BC， 则 0 0 1 BCn BEn ，得 042 03 zy yx ， 令2x，则32y，3z，则)3322(，n， 9 分 又可知平面ABC的法向量为) 100(，m， 10 分 设平面 1 BE
23、C与平面ABC的夹角的平面角为， 则 19 57 100)3()32(2 ) 100()3322( | cos 222222 ， mn mn ， 平面 1 BEC和平面ABC所成的锐二面角的余弦值 19 57 。 12 分 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆C：1 2 2 2 2 b y a x (0ba)的左、右顶点分别为 1 A、 2 A，其离心率 3 5 e，过点)02( ，B的直线l 与椭圆C交于P、Q两点(异于 1 A、 2 A)，当直线l的斜率不存在时， 3 54 |PQ。 (1)求椭圆C的方程； (2)若直线PA1与QA2交于点S，试问：点S是否恒在一条直线上？若是，求出此
24、定直线方程，若不是，请 说明理由。 【解析】(1)由题意可设椭圆的半焦距为c，由题意得： 3 5 a c ，1 9 204 22 ba ， 222 cba， 2 分 解得3a，2b，5c，椭圆C的方程为：1 49 22 yx ； 4 分 (2)由题意可知直线l的倾角不为0， 设直线l的方程为2myx，)( 11 yxP，、)( 22 yxQ， 5 分 联立 1 49 2 22 yx myx 02016)94( 22 myym，由题意可知0恒成立， 6 分 由 1 y、 2 y是上方程的两根可知： 94 16 2 21 m m yy， 94 20 2 21 m yy )(54 2121 yyym
25、y， 7 分 直线PA1的方程为：) 3( 3 1 1 x x y y，直线QA2的方程为：)3( 3 2 2 x x y y， 8 分 得：)3()3()3()3( 2112 xyxxyx)52(3)5( 122112 yyymyxyy， 10 分 把)(54 2121 yyymy代入得： )5( 2 9 )5 2 5 2 5 ( 3)5( 12122112 yyyyyyxyy， 11 分 即 2 9 x，故点S恒在定直线 2 9 x上。 12 分 21 （本小题满分 12 分） 如图所示，在多面体PKABCD中，底面ABCD是梯形，BCAD/，ADBC2， 45ABC，PA底面 ABCD，
26、DKPA/，22DKPAACAB，点E为BC的中点，点M在线段PK上。 (1)证明：DE平面PAC； (2)如果直线ME与平面PBC所成的角的正弦值为 15 15 ，求点M的位置。 【解析】(1)证明：在梯形ABCD中，ACAB ，则 45ABC， 45ABCACB， 90BAC，ACAB ， 1 分 点E为BC的中点，ADBC2，AD/BE， 2 分 四边形ABED是平行四边形，ABDE /，ACDE ， 3 分 又PA底面ABCD，DE底面ABCD，DEPA， 4 分 又PA平面PAC，AC平面PAC，AACPA，DE平面PAC； 5 分 (2)解：以BCPA建系，则)002(，B、)02
27、0(，C、)200(，P、)011 ( ，E、) 111(，K， )022(，BC，)202(，PB，) 111(，PK， 6 分 设PKPM(10)，则)(，PM， 则)2(，M，)211 (，ME， 7 分 设平面PBC的法向量为),(zyxn ，由 0 0 BPn BCn 得 022 022 zx yx ， 8 分 令1x得平面PBC的一个法向量为) 111 ( ，n， 9 分 则 3)2()1 ()1 ( | cos 222 nME nME nME， 15 15 3643 2 ， 解得1或3(舍)，即PKPM ， 11 分 当点M与点K重合时直线ME与平面PBC所成的角的正弦值为 15
28、 15 。 12 分 22 （本小题满分 12 分） 已知椭圆E：1 2 2 2 2 b y a x (0ba)上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的3倍， 且点) 2 3 1 ( ，P在 椭圆E上。 (1)求椭圆E的方程； (2)过点) 11 ( ，M任作一条直线l，l与椭圆E交于不同于P的A、B两点，l与直线m：01243 yx交于 C点，记直线PA、PB、PC的斜率分别为 1 k、 2 k、 3 k，求证： 321 2kkk。 【解析】(1)椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为ca、ca ， 依题意有：cacaca2)( 3， 1 分 222 cba，cb3，故可设
29、椭圆E的方程为：1 34 2 2 2 2 c y c x ， 2 分 点) 2 3 1 ( ，P在椭圆E上，将其代入椭圆E的方程得11 3 4 9 4 1 2 22 c cc ， 3 分 椭圆E的方程为1 34 22 yx ； 4 分 (2)依题意，直线l不可能与x轴垂直，故可设直线l的方程为：) 1(1xky， 即1kkxy， 5 分 设l与椭圆E的两个交点为)( 11 yxA，、)( 22 yxB， 将1kkxy代入方程01244 22 yx化简得： 0884)(8) 34( 2222 kkxkkxk， 6 分 0恒成立， 34 88 2 2 21 k kk xx， 34 884 2 2
30、21 k kk xx， 7 分 ) 1 1 1 1 ( 2 1 2 1 2 1 ) 1( 1 2 1 ) 1( 1 2 3 1 2 3 212 2 1 1 2 2 1 1 21 xx k x xk x xk x y x y kk 1)( 2 2 1 2 2121 21 xxxx xx k 5 36 )34()88(884 )34(288 2 1 2 222 22 k kkkkk kkk k， 9 分 又由012) 1(43 01243 1 kkxx yx kkxy ，解得 34 84 k k x， 34 39 k k y， 10 分 即C点的坐标为) 34 39 34 84 ( k k k k C， 10 36 1 34 84 2 3 34 39 3 k k k k k k， 11 分 321 2kkk，原命题得证。 12 分
