1、2021 年中考数学核心考点强化突破:几何综合应用 类型 1 以三角形为背景的计算和证明问题 1如图,一条 4 m 宽的道路将矩形花坛分为一个直角三角形和一个直角梯形,根据图中数据,可知这条道 路的占地面积为_ m2. 【解析】如图,作 DEAC 于点 E, 可证DAEACBDE AB AE BC.即: 4 AB 3 12解得:AB16(m),道路的面积为 ADAB516 80(m2) 2在 RtABC 中,A90 ,ACAB4,D,E 分别是边 AB,AC 的中点若等腰 RtADE 绕点 A 逆 时针旋转,得到等腰 RtAD1E1,设旋转角为 (0180 ),记直线 BD1与 CE1的交点为
2、 P. (1)如图 1,当 90 时,线段 BD1的长等于_2 5_;(直接填写结果) (2)如图 2,当 135 时,求证:BD1CE1,且 BD1CE1; (3)求点 P 到 AB 所在直线的距离的最大值(直接写出结果)来源:学_科_网 解:(2)证明:当 135 时,由旋转可知D1ABE1AC135 .又ABAC,AD1AE1,D1A BE1AC.BD1CE1且D1BAE1CA.设直线 BD1与 AC 交于点 F,有BFACFP,CPF FAB90 .BD1CE1. (3)1 3(四边形 AD1PE1为正方形时,距离最大,此时 PD12,PB22 3) 3如图,已知ABC 中 ABAC1
3、2 厘米,BC9 厘米,点 D 为 AB 的中点 (1)如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动,同时,点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动 若点 P 点 Q 的运动速度相等,经过 1 秒后,BPD 与CQP 是否全等,请说明理由; 若点 P 点 Q 的运动速度不相等,当点 Q 的运动速度为多少时,能够使BPD 与CQP 全等? (2)若点 Q 以中的运动速度从点C 出发,点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发,都逆时针沿ABC 三边运动,求经过多长时间,点 P 与点 Q 第一次在ABC 的哪条边上相遇?来源:163文库 解:(1)t1(秒),
4、BPCQ3(厘米) AB12,D 为 AB 中点,BD6(厘米) 又PCBCBP936(厘米) PCBDABAC,BC,在BPD 与CQP 中, BPCQ BC BDPC ,BPDCQP(SAS), VPVQ,BPCQ,又BC,要使BPDCPQ,只能 BPCP4.5,BPDCPQ, CQBD6.点 P 的运动时间 tBP 3 4.5 3 1.5(秒),此时 VQCQ t 6 1.54(厘米/秒);(2)因为 VQVP, 只能是点 Q 追上点 P,即点 Q 比点 P 多走 ABAC 的路程,设经过 x 秒后 P 与 Q 第一次相遇,依题意得 4x3x212,解得 x24(秒),此时 P 运动了
5、24372(厘米)来源:163文库 又ABC 的周长为 33 厘米,723326,点 P、Q 在 BC 边上相遇,即经过 24 秒,点 P 与点 Q 第一次在 BC 边上相遇 来源:学_科_网 类型 2 以四边形为背景的计算和证明问题 4已知正方形 ABCD 的边长为 4,一个以点 A 为顶点的 45 角绕点 A 旋转,角的两边分别与边 BC、DC 的 延长线交于点 E、F,连接 EF.设 CEa,CFb. (1)如图 1,当EAF 被对角线 AC 平分时,求 a,b 的值; (2)当AEF 是直角三角形时,求 a,b 的值; (3)如图 3,探索EAF 绕点 A 旋转的过程中 a,b 满足的
6、关系式,并说明理由 解:(1)可证ACFACE,CECF,CEa,CFb,ab,ACFACE,AEF AFE,EAF45 ,AEFAFE67.5 ,CECF,ECF90 ,AECAFC22.5 , CAFCAE22.5 ,CAECEA,CEAC4 2,即:ab4 2; (2)当AEF 是直角三角形时,当AEF90 时,EAF45 ,AFE45 ,AEF 是等腰 直角三角形, AF22FE22(CE2CF2), AF22(AD2BE2), 2(CE2CF2)2(AD2BE2), CE2CF2 AD2BE2,CE2CF216(4CE)2,CF28(CE4)AEBBEF90 ,AEBBAE 90 ,
7、BEFBAE,ABEECF, 4 CE CE4 CF ,4CFCE(CE4),联立得,CE 4,CF8a4,b8, 当AFE90 时,同的方法得,CF4,CE8,a8,b4.(3)ab32,理由:如图,可证 ACFECA,ECCFAC22AB232ab32. 5已知:如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,四边形 OABC 是矩形,OA4,OC3,动点 P 从点 C 出发,沿射线 CB 方向以每秒 2 个单位长度的速度运动;同时,动点 Q 从点 O 出发,沿 x 轴正半轴方向以 每秒 1 个单位长度的速度运动设点 P、点 Q 的运动时间为 t(s) (1)当 t1 s 时,求经过点 O,P,A
8、 三点的抛物线的解析式;来源:163文库 ZXXK (2)当 t2s 时,求 tanQPA 的值; (3)当线段 PQ 与线段 AB 相交于点 M,且 BM2AM 时,求 t(s)的值; (4)连接 CQ,当点 P,Q 在运动过程中,记CQP 与矩形 OABC 重叠部分的面积为 S,求 S 与 t 的函数 关系式 解:(1)当 t1 s 时,则 CP2,P(2,3),且 A(4,0),y3 4x 23x;(2)当 t2 s 时,则 CP22 4BC,即点 P 与点 B 重合,OQ2,如图 1,AQOAOQ422,且 APOC3,tanQPA AQ AP 2 3; (3)当线段 PQ 与线段 A
9、B 相交于点 M, 则可知点 Q 在线段 OA 上, 点 P 在线段 CB 的延长线上, 如图 2, 则 CP2t, OQt, BPPCCB2t4, AQOAOQ4t, PCOA, PBMQAM, BP AQ BM AM, 2t4 4t 2,解得 t3; (4)当 0t2 时,如图 3, 由题意可知 CP2t,SSPCQ1 22t33t;当 2t4 时,设 PQ 交 AB 于点 M,如图 4,由题 意可知 PC2t,OQt,则 BP2t4,AQ4t,同(3)可得BP AQ BM AM 2t4 4t ,解得 AM123t t ,S S四边形BCQMS矩形OA BCSCOQSAMQ2424 t 3t;当 t4 时,设 CQ 与 AB 交于点 M,如图 5, 由题意可知 OQt,AQt4,ABOC,AM OC AQ OQ,即 AM 3 t4 t ,解得 AM3t12 t ,BM 12 t ,SSBCM1 24 12 t 24 t ;综上可知: S 3t(0t2) 2424 t 3t(2t4) 24 t (t4) .