1、河北衡水中学：王丛河北衡水中学：王丛 2.1.2 类比推理类比推理 （人教（人教A版选修版选修2-2第二章第一节第二课时）第二章第一节第二课时） 第七届全国高中青年数学教师第七届全国高中青年数学教师 优秀课观摩与评比活动优秀课观摩与评比活动 类比是一个伟大的引路人类比是一个伟大的引路人. -波利亚波利亚 即使在数学里，发现真理的即使在数学里，发现真理的 主要工具也是归纳和类比主要工具也是归纳和类比. -拉普拉斯拉普拉斯 感悟生活，初步认识感悟生活，初步认识 问题问题1：请举出几个利用“类比推理”方法进行创造发请举出几个利用“类比推理”方法进行创造发 明的实例，并从中感悟这种推理方法在现实生活与
2、学习明的实例，并从中感悟这种推理方法在现实生活与学习 中的作用与意义？中的作用与意义？ 仿生学仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制得到的。中许多发明的最初构想都是类比生物机制得到的。 感悟生活，初步认识感悟生活，初步认识 现代起重机的挂钩起源于许多动物的爪子现代起重机的挂钩起源于许多动物的爪子 可能有生命存在可能有生命存在 有生命存在有生命存在 温度适合生物的生存温度适合生物的生存 一年中有季节的变更一年中有季节的变更 有大气层有大气层 围绕太阳运行、绕轴自转的行星围绕太阳运行、绕轴自转的行星 地球地球 大部分时间的温度适合地球上某大部分时间的温度适合地球上某 些已知生物的生存些已知生物
3、的生存 有大气层有大气层 围绕太阳运行、绕轴自转的行星围绕太阳运行、绕轴自转的行星 一年中有季节的变更一年中有季节的变更 问题问题2：火星上是否有生命？：火星上是否有生命？ 火星火星 感悟生活，初步认识感悟生活，初步认识 球球 圆圆 类似特征类似特征 在形状上：都具有完美的对称性在形状上：都具有完美的对称性 在概念上：在概念上：都是到定点的距离等于定长的点的集合都是到定点的距离等于定长的点的集合 感悟生活，初步认识感悟生活，初步认识 问题问题3：类比圆的特征：类比圆的特征，填写这个表格填写这个表格，并思考并思考 推理的过程推理的过程. 圆的概念和性质圆的概念和性质 球的类似概念和性质 球的类似
4、概念和性质 球心与截面圆（不过球心的截球心与截面圆（不过球心的截 面圆面圆) )圆心的连线垂直于截面圆圆心的连线垂直于截面圆 与球心距离相等的两截面面积与球心距离相等的两截面面积 相等，与球心距离不相等的两相等，与球心距离不相等的两 截面面积不相等截面面积不相等, ,距球心较近距球心较近 的截面面积较大的截面面积较大 以点以点(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0) )为球心为球心, r, r为半为半 径的球的方程为径的球的方程为 (x(x- -x x0 0) )2 2+(y+(y- -y y0 0) )2 2+(z+(z- -z z0 0) )2 2 = r = r2 2 球的体积球的体
5、积 球的表面积球的表面积 圆的周长圆的周长 圆的面积圆的面积 圆心与弦圆心与弦( (非直径非直径) )中点的连线中点的连线 垂直于弦垂直于弦 与圆心距离相等的两弦相等，与圆心距离相等的两弦相等， 与圆心距离不相等的两弦不相与圆心距离不相等的两弦不相 等等, ,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长 以点以点(x(x0 0,y,y0 0) )为圆心为圆心, r, r为半径的为半径的 圆的方程为圆的方程为 (x(x- -x x0 0) )2 2+(y+(y- -y y0 0) )2 2 = r = r2 2 问题问题4：请同学们回顾一下上述生活或数学的：请同学们回顾一下上述生活或数学的 实例，根据它
6、们的类比过程，谈一下你对“类实例，根据它们的类比过程，谈一下你对“类 比推理”的认识？比推理”的认识？ S1 S2 球球 圆圆 火星火星 地球地球 存在类似特征存在类似特征P 存在类似特征存在类似特征P 锯子锯子 茅草茅草 存在类似特征存在类似特征P S1 S2 S1具有某些已知特征具有某些已知特征 推出推出S2也具有这些特征也具有这些特征 类比推理类比推理 具有某些类似特征具有某些类似特征 感悟生活，初步认识感悟生活，初步认识 由两类对象具有某些类似特征和其由两类对象具有某些类似特征和其 中一类对象的某些已知特征中一类对象的某些已知特征, ,推出另一类推出另一类 对象也具有这些特征的推理称为
7、类比推对象也具有这些特征的推理称为类比推 理（简称类比）理（简称类比）. . 类比推理的定义：类比推理的定义： 都是两个实数参与的运算都是两个实数参与的运算 实数的实数的 乘法乘法 实数的实数的 加法加法 类似特征类似特征 亲身体验，主动探究亲身体验，主动探究 探究探究1：类比实数的加法和乘法：类比实数的加法和乘法，列出他列出他 们相似的运算性质们相似的运算性质。 平面图形（二维）平面图形（二维） 空间图形（三维）空间图形（三维） 点点 点或线点或线 线线 线或面线或面 平面直角坐标系平面直角坐标系 空间直角坐标系空间直角坐标系 周长周长 表面积表面积 面积面积 体积体积 亲身体验，主动探究亲
8、身体验，主动探究 圆的概念和性质圆的概念和性质 球的类似概念和性质 球的类似概念和性质 球心与截面圆（不过球心的截球心与截面圆（不过球心的截 面圆面圆) )圆心的连线垂直于截面圆圆心的连线垂直于截面圆 与球心距离相等的两截面面积与球心距离相等的两截面面积 相等，与球心距离不相等的两相等，与球心距离不相等的两 截面面积不相等截面面积不相等, ,距球心较近距球心较近 的截面面积较大的截面面积较大 以点以点(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0) )为球心为球心, r, r为半为半 径的球的方程为径的球的方程为 (x(x- -x x0 0) )2 2+(y+(y- -y y0 0) )2 2+(
9、z+(z- -z z0 0) )2 2 = r = r2 2 球的体积球的体积 球的表面积球的表面积 圆的周长圆的周长 圆的面积圆的面积 圆心与弦圆心与弦( (非直径非直径) )中点的连线中点的连线 垂直于弦垂直于弦 与圆心距离相等的两弦相等，与圆心距离相等的两弦相等， 与圆心距离不相等的两弦不相与圆心距离不相等的两弦不相 等等, ,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长 以点以点(x(x0 0,y,y0 0) )为圆心为圆心, r, r为半径的为半径的 圆的方程为圆的方程为 (x(x- -x x0 0) )2 2+(y+(y- -y y0 0) )2 2 = r = r2 2 亲身体验，主动探
10、究亲身体验，主动探究 练习练习1：下列平面图形中，与空间的平行六面：下列平面图形中，与空间的平行六面 体作为类比对象较为合适的是体作为类比对象较为合适的是( ) A三角形三角形 B梯形梯形 C平行四边形平行四边形 D矩形矩形 亲身体验，主动探究亲身体验，主动探究 练习练习2：平面中的哪个图形可以作为空间四面：平面中的哪个图形可以作为空间四面 体的类比对象体的类比对象，并说明你是怎样利用并说明你是怎样利用 类比思想得到的？类比思想得到的？ 亲身体验，主动探究亲身体验，主动探究 A B C P E F D 亲身体验，主动探究亲身体验，主动探究 探究探究2：根据直角三角形的性质，试给出空间中：根据直
11、角三角形的性质，试给出空间中 四面体性质的猜想。四面体性质的猜想。 (1)找出两类对象之间可以确切表述的类似特征；找出两类对象之间可以确切表述的类似特征； (2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征；用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征； (3)提出这个猜想提出这个猜想. 问题问题5：怎样进行类比推理：怎样进行类比推理？ 运用类比推理的关键是：运用类比推理的关键是： 寻找一个合适的类比对象寻找一个合适的类比对象 亲身体验，主动探究亲身体验，主动探究 我们把归纳推理和类比推理的我们把归纳推理和类比推理的 推理过程概括为推理过程概括为 从具体问从具体问 题出发题出发 观察、分析、观察、
12、分析、 比较、联想比较、联想 提出提出 猜想猜想 归纳、归纳、 类比类比 亲身体验，主动探究亲身体验，主动探究 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，归纳推理和类比推理都是根据已有的事实， 经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、 类比，然后提出猜想的推理类比，然后提出猜想的推理. 合情推理是指“合乎情理”的推理。合情推理是指“合乎情理”的推理。 我们把它们统称为我们把它们统称为合情推理。合情推理。 亲身体验，主动探究亲身体验，主动探究 探究探究3：自选可以进行类比的两类对象，并给：自选可以进行类比的两类对象，并给 出你的猜想。出你的猜想。 （比如：等式
13、与不等式的类比，实数与向量（比如：等式与不等式的类比，实数与向量 的类比，长方形与长方体的类比等等）的类比，长方形与长方体的类比等等） 师生辨析，拓展思维师生辨析，拓展思维 这节课的学习你学到了哪些知识，这节课的学习你学到了哪些知识， 并谈谈你的体会？并谈谈你的体会？ 总结反思，升华提高总结反思，升华提高 1.课本课本77页练习第页练习第3题题 3.梳理本节课的学习收获，查阅符合类比推理梳理本节课的学习收获，查阅符合类比推理 的著名猜想，以小论文形式写出你对类比推的著名猜想，以小论文形式写出你对类比推 理的理解和认识。理的理解和认识。 总结反思，升华提高总结反思，升华提高 2.结合本节课的学习，利用类比推理的方法总结合本节课的学习，利用类比推理的方法总 结椭圆、双曲线、抛物线的性质。结椭圆、双曲线、抛物线的性质。
