1、 考点精讲考点精讲1 重难点分层练重难点分层练2 内蒙古中考真题及拓展内蒙古中考真题及拓展3确定圆的条件弦、弧、圆心角的关系定理推论圆内接正多边形圆的相关概念及性质相关概念性质垂径定理及其推论垂径定理推论结论三角形的外接圆圆内接四边形圆的基本性质圆周角定理及其推论定理推论常见图形结论考点精讲考点精讲【对接教材】北师：九下第三章【对接教材】北师：九下第三章P65P88、P97P99；人教：九上第二十四章人教：九上第二十四章P79P91、P105P110.1考点考点 圆的相关概念及性质圆的相关概念及性质1.相关概念相关概念圆圆圆可以看成是平面上到定点的距离等于定长圆可以看成是平面上到定点的距离等于
2、定长的所有点组成的图形，其中定点就是圆心，的所有点组成的图形，其中定点就是圆心，定长就是半径如图，以点定长就是半径如图，以点O为圆心的圆记为圆心的圆记作作O，线段，线段OC叫做半径叫做半径弧弧圆上任意两点间的部分；小于半圆的弧叫做劣弧，如圆上任意两点间的部分；小于半圆的弧叫做劣弧，如 ；大于；大于半圆的弧叫做优弧，如半圆的弧叫做优弧，如ACABC弦弦连接圆上任意两点的线段，如连接圆上任意两点的线段，如AC，AB.经过圆心的弦叫做直径，经过圆心的弦叫做直径，直径是最大的弦，如图中直径是最大的弦，如图中AB圆心角圆心角顶点在顶点在_的角，如的角，如AOC或或BOC圆周角圆周角顶点在圆上，并且两边都
3、与圆相交的角，如图中顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，如图中_2.性质性质对称性对称性(1)圆是轴对称图形，其对称轴是任何一条直径所在的直线；圆是轴对称图形，其对称轴是任何一条直径所在的直线；(2)圆是中心对称图形，圆是中心对称图形，_是它的对称中心是它的对称中心旋转不变性旋转不变性圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合圆心圆心CAB圆心圆心2考点考点 确定圆的条件确定圆的条件圆的确定圆的确定1.圆心确定圆的圆心确定圆的_，半径确定圆的，半径确定圆的_；2.不在同一直线上的三点确定一个圆不在同一直线上的三点确定一个圆【满分技法】过不在同一直线上的三点作圆，其实质为作
4、这三点构成的三角形的外【满分技法】过不在同一直线上的三点作圆，其实质为作这三点构成的三角形的外接圆接圆3考点考点 弦、弧、圆心角的关系弦、弧、圆心角的关系定理定理 在同圆或在同圆或_中，相等的圆心角所对的弧中，相等的圆心角所对的弧_，所对的弦也相等，所对的弦也相等推论推论1.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；弦相等；2.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等优弧和劣弧分别相等位置位置大小
5、大小等圆等圆相等相等4考点考点 圆周角定理及其推论圆周角定理及其推论定理定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_推论推论1.同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆心角所对同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等的弧也相等2.半圆半圆(或直径或直径)所对的所对的_是直角，是直角，90的圆周角所对的弦的圆周角所对的弦_ 常见图形常见图形结论结论APB_AOB 一半一半圆周角圆周角直径直径12 垂径定理及其推论垂径定理及其推论5考点考点垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径垂直于弦的直径_弦，并且弦，并且_弦所对的两条弧弦所
6、对的两条弧推论推论平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径的直径_于弦，并且于弦，并且_弦所对的两条弧弦所对的两条弧结论结论1.；2._ ；3.AE_；4.AB_；5.CD是直径若其中任意两个结论成立，那么其他三个结论也成立，是直径若其中任意两个结论成立，那么其他三个结论也成立，即即“知二推三知二推三”，注意：推论中被平分的弦不是直径，注意：推论中被平分的弦不是直径【满分技法】应用：半径、弦心距和弦的一半构成直角三角形，满足【满分技法】应用：半径、弦心距和弦的一半构成直角三角形，满足OB2OE2BE2，常用于在圆中求线段长，常用于在圆中求线段长ACBC平分平分平分平分垂直垂直平分平分ADBDBE
7、CD6考点考点 三角形的外接圆三角形的外接圆概念概念经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆 圆心圆心三角形三条边的三角形三条边的_的交点的交点性质性质三角形的外心到三角形的三个顶点的距离三角形的外心到三角形的三个顶点的距离_角度关系角度关系BOC2A垂直平分线垂直平分线相等相等7考点考点 圆内接四边形圆内接四边形概念概念四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆的内接四边形叫做圆的内接四边形 性质性质1.圆内接四边形的对角圆内接四边形的对角_，如图，如图，ABCD_，BD_2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的圆内接
8、四边形的任意一个外角等于它的_(和它相邻的内角的对角和它相邻的内角的对角)，如图，如图DCE_互补互补180180内对角内对角A8考点考点 圆内接正多边形圆内接正多边形边心距边心距如图，设正如图，设正n边形的边长为边形的边长为a，则边心距，则边心距 周长周长lna面积面积中心角中心角【满分技法】正六边形的边长等于其外接圆的半径，正三角形的边长等于其外接【满分技法】正六边形的边长等于其外接圆的半径，正三角形的边长等于其外接圆半径的圆半径的 倍，正方形的边长等于其外接圆半径的倍，正方形的边长等于其外接圆半径的 倍倍 22()2arR 360 n12S lr nar1232证明：圆内接四边形的对角互
9、补证明：圆内接四边形的对角互补已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCD是是O的内接四边形的内接四边形求证：求证：AC180，BD180.【自主作答】【自主作答】证明：如解图，连接证明：如解图，连接OB，OD.题图A所对的弧为所对的弧为 ，C所对的弧为所对的弧为 ，又又 和和 所对的圆心角的和是周角，所对的圆心角的和是周角，AC 180.同理同理ABCADC180.BCD3602 BADBADBCD回归教材回归教材重难点分层练重难点分层练回顾必备知识回顾必备知识例例1一题多设问一题多设问如图，如图，ABC是是O的内接三角形，的内接三角形，AB是是O的的直径，点直径，点D是是O上一点上一点(点
10、点C与点与点D在在AB异侧异侧)，连接，连接CD交交AB于点于点E，连，连接接OC、AD、BD.例1题图例1题图(1)ACB_；【解题依据】用到的圆的性质为【解题依据】用到的圆的性质为_.90(2)若若BAC26，则，则ACO_，BOC_；【解题依据】求【解题依据】求BOC时用到的圆的性质时用到的圆的性质_.直径所对的圆周角为直径所对的圆周角为902652(3)若若ABD54，OCBD，则，则ACO_；同弧所对的圆周角等于圆心同弧所对的圆周角等于圆心角的一半角的一半27(4)若若CAB30，则，则CDB_，若点，若点B为为 的中点，则的中点，则BCD_，COB_，OCB_；【解题依据】第一空用
11、到的圆的性质为【解题依据】第一空用到的圆的性质为_.(5)当当CDAB时，若时，若AB10，CD8，则，则BE_.【解题依据】用到的圆的性质为【解题依据】用到的圆的性质为_.30CD306060等弧所对的圆周角相等等弧所对的圆周角相等2垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧所对的两条弧例1题图提升关键能力提升关键能力例例2一题多设问一题多设问如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，以，以AB为直径作为直径作O，分别交，分别交BC、AC于点于点D、E，连接，连接DE.(1)求证：求证：DEBD；例2题图(1)证明：如解图，连接证明：如解图，连接AD、BE，A
12、B为为O的直径，的直径，ADB90.又又ABAC，CADBAD.DBECAD，DEBBAD，DBEDEB，DEDB；(2)若若AEDE，求，求ABD的度数；的度数；(2)解：如解图，连接解：如解图，连接BE，例2题图AEDE，ABECBE.AB为为O的直径，的直径，AEBCEB90，AEDE易证易证ABECBE(ASA)，ABCB，又又ABAC，ABCBAC，ABC是等边三角形，是等边三角形，ABD60；在在ABE和和CBE中中例2题图(3)若若BC6，AB5，求，求AE的长；的长；例2题图(3)解：如解图，解：如解图，ABAC，ADB90，BD BC3.由勾股定理得，由勾股定理得，AD4，A
13、B为为O的直径，的直径，AEB90，BCAD ACBE，即即 64 5BE，BE .在在RtAEB中，由勾股定理得，中，由勾股定理得，；22222475()55 AEABBE1212121212245(4)如图如图，连接，连接OD、BE，交于点，交于点F.求证：求证：ODBE；例2题图(4)证明：如解图，连接证明：如解图，连接AD，AB为为O的直径，的直径，AEBADB90.ABAC，DCDB.OAOB，OD是是BAC的中位线，的中位线，ODAC，OFBAEB90，ODBE；若若 ，求，求 的值；的值；23 CEOFACBC解：解：，设设CE2x，OF3x，ODBE，BFEF.由由知知BDCD
14、，DF是是BEC的中位线，的中位线，FD CEx，23CEOF=12例2题图ODOFFD3xx4x，ABAC8x，BC2BD ，；2222(4)(3)7BFOBOFxxx 222 2 BDBFDFx4 2x824 2ACxBCx=例2题图(5)如图如图，过点，过点D作作DGAC，交，交AC于点于点G.求证：求证：CD2ABCG；例2题图(5)证明：如解图，连接证明：如解图，连接AD，ABAC，ABDGCD.ADBDGC90，ADBDGC，.由由(4)知知DCDB，即即CD2ABCG；DBABGCDC=DCABGCDC=若若OA5，sinCAB ，求，求DG的长；的长；45解：如解图，连接解：如
15、解图，连接BE，AB是是O的直径，的直径，AEB90，又又sinCAB ，.OA5，AB2OA10，45BEAB=45BE8.DGAC，DGA90，CDBD，DGBE.DG是是BEC的中位线，的中位线，DG BE4；12(6)如图如图，过点，过点B作作BHAB交交AC的延长线于点的延长线于点H.求证：求证：BAC2CBH；例2题图(6)证明：如解图，连接证明：如解图，连接AD，AB为为O的直径，的直径，ADB90，即，即BADABD90.BHAB，CBHABD90，CBHBAD.ABAC，BAC2BAD.BAC2CBH；若若AB3，CH2，求，求tanCBH的值的值解：如解图，连接解：如解图，
16、连接BE，AB为为O的直径，的直径，AEB90，BACABE90.BHAB，ABEEBH90，BACEBH.由由知知BAC2CBH，EBH2CBH，EBCCBH.ABAC3，CH2，AHACCH5.例2题图在在RtABH中，中，ABBH AHBE，在在RtEBH中，中，CEEHCH ，2222534 BHAHAB12123 41255AB BHBEAH状=222212164()55EHBHBE=-=-=65在在RtEBC中，中，tanEBC ，6151225 CEBEtanCBHtanEBC .12例2题图内蒙古中考真题及拓展内蒙古中考真题及拓展1命题点命题点 圆周角定理及其推论的相关计算圆周
17、角定理及其推论的相关计算(包头包头3考，呼和浩特考，呼和浩特 2考，赤峰考，赤峰4考考)1.(2021赤峰赤峰10题题3分分)如图，点如图，点C、D在以在以AB为直径的半圆上，且为直径的半圆上，且ADC120，点，点E是是 上任意一点，连接上任意一点，连接 BE、CE.则则BEC的度数为的度数为()AD第1题图A.20 B.30 C.40 D.60B2.(2022赤峰赤峰11题题3分分)如图，如图，A经过平面直角坐标系的原点经过平面直角坐标系的原点O，交，交x轴于轴于点点B(4，0)，交，交y轴于点轴于点C(0，3)，点，点D为第二象限内圆上一点，则为第二象限内圆上一点，则CDO的正弦值是的正
18、弦值是()第2题图A.B.C.D.35453434A3.(2023包头包头24题题10分分)如图，在如图，在O中，中，B是是O上一点，上一点，ABC120，弦弦AC2 ，弦，弦BM平分平分ABC交交AC于点于点D，连接，连接MA，MC.(1)求求O半径的长；半径的长；第3题图(1)解：解：ABC120，BM平分平分ABC.MBAMBC ABC60，ACMABM60，MACMBC60，在在AMC中，中，AMC60，AMC是等边三角形是等边三角形123AOCO，AOC2AMC120.OACOCA30，AHCH AC .在在RtAOH中，中，O的半径长为的半径长为2；32coscos30AHAOOA
19、H=邪123如解图，连接如解图，连接OA、OC，过点，过点O作作OHAC于点于点H.第3题图(2)求证：求证：ABBCBM.(2)证明：如解图，在证明：如解图，在BM上截取上截取BEBC，连接，连接CE，EMBC60，BEBC，EBC为等边三角形，为等边三角形，CECBBE，BCE60，BCDDCE60.ACM60，ECMDCE60.ECMBCD.第3题图E由由(1)知知AMC为等边三角形，为等边三角形，ACMC，ACBMCE(SAS)，ABME.MEEBBM，ABBCBM.第3题图4.(2021包头包头24题题10分分)如图，在锐角三角形如图，在锐角三角形ABC中，中，AD是是BC边上的高，
20、边上的高，以以AD为直径的为直径的O交交AB于点于点E，交，交AC于点于点F，过点，过点F作作FGAB，垂足，垂足为为H，交，交 于点于点G，交，交AD于点于点M，连接，连接AG，DE，DF.(1)求证：求证：GADEDF180；AE第4题图(1)证明：证明：AD是是O的直径，的直径，AED90.FGAB，AHF90，AEDAHF，DEGF，EDFDFG180.GADDFG，GADEDF180；第4题图(2)若若ACB45，AD4，tanABC2，求，求HF的长的长(2)解：如解图，连接解：如解图，连接OF，AD是是BC边上的高，边上的高，ADC90.ACB45，CADACB45，ADCD.A
21、D是是O的直径，的直径，AFD90，DFAC，AFCF.第4题图又又OAOD，OF是是ADC的中位线，的中位线，OFDC，AOFADC90，MFOFMO90.AHM90，MAHAMH90.FMOAMH，MFOMAH，MFOBAD.又又FOMADB90，FMOABD，MOFOBDAD=第4题图在在RtABD中，中，tanABD 2，AD4，BD2，OFOA2，MO1，AM1，在在RtMOF中，中，.AHMFOM90，AMHFMO，AHMFOM，即，即 ，HM ，ADBD224 MO2222125 MFOMOF HMAMOMFM115 HM5556 5555 HFHMMF .拓 展 训 练拓 展
22、训 练5.(2021荆州荆州)如图，矩形如图，矩形OABC的边的边OA，OC分别在分别在x轴、轴、y轴的正半轴上，轴的正半轴上，点点D在在OA的延长线上若的延长线上若A(2，0)，D(4，0)，以，以O为圆心、为圆心、OD长为半径长为半径的弧经过点的弧经过点B，交，交y轴正半轴于点轴正半轴于点E，连接，连接DE，BE，则，则BED的度数的度数是是()第5题图A.15 B.22.5 C.30 D.45C6.(2023本溪本溪)如图，由边长为如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点的小正方形组成的网格中，点A，B，C都都在格点上，以在格点上，以AB为直径的圆经过点为直径的圆经过点C和点和点D，则
23、，则tanADC_第6题图322命题点命题点 垂径定理的相关计算垂径定理的相关计算7.(2023赤峰赤峰10题题3分分)如图，如图，AB是是O的弦，的弦，OCAB交交O于点于点C，点，点D是是O上一点，上一点，ADC30，则，则BOC的度数为的度数为()第7题图A.30 B.40 C.50 D.60D8.(2021玉林玉林)学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直被直径平分的弦也与直径垂直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：，小熹说：“用反例就能说明这是假命题用反例就能说明这是假命题”，下列判断正确的是下列判断正确的是()拓 展 训 练拓
24、 展 训 练A.两人说的都对两人说的都对B.小铭说的对，小熹说的反例不存在小铭说的对，小熹说的反例不存在C.两人说的都不对两人说的都不对D.小铭说的不对，小熹说的反例存在小铭说的不对，小熹说的反例存在D9.(2021鄂州鄂州)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理，如图光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理，如图，筒车盛，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图为圆心的圆，如图，已知圆心，已知圆心O在水面上在水面上方，且方，且O被水面截得的弦被水面截得的弦AB
25、长为长为6米，米，O半径长为半径长为4米若点米若点C为运为运行轨道的最低点，则点行轨道的最低点，则点C到弦到弦AB所在直线的距离是所在直线的距离是()第9题图A.1米米 B.(4 )米米C.2米米 D.(4 )米米77B3命题点命题点 三角形的外接圆三角形的外接圆10.(2020赤峰赤峰10题题3分分)如图，如图，ABC中，中，ABAC，AD是是BAC的平分的平分线，线，EF是是AC的垂直平分线，交的垂直平分线，交AD于点于点O.若若OA3，则，则ABC外接圆的外接圆的面积为面积为()第10题图A.3 B.4 C.6 D.9D4命题点命题点 正多边形与圆正多边形与圆(呼和浩特呼和浩特5考考)1
26、1.(2021呼和浩特呼和浩特8题题3分分)如图，正方形的边长为如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘徽的根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术割圆术”思想，如思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计可估计的值，下面的值，下面d及及的值都正确的是的值都正确的是()A.，8sin22.5 B.，4sin22.5C.，8sin22.5 D.，4sin22.5第11题图8(21)sin22.5 d4(21)
27、sin22.5 d8(21)sin22.5 d4(21)sin22.5 dC12.(2020呼和浩特呼和浩特23题题10分分)某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现著名的黄金分割比边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现著名的黄金分割比 0.618.如图，圆内接正五边形如图，圆内接正五边形ABCDE，圆心为，圆心为O，OA与与BE交于点交于点H，AC、AD与与BE分别交于点分别交于点M、N.根据圆与正五边形的对称性，只对部分根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究图形进行研究(其他可同理得出其他可同理得出)(1
28、)求证：求证：ABM是等腰三角形且底角等于是等腰三角形且底角等于36，并直接说出，并直接说出BAN的的形状；形状；512 第12题图【解法提示】【解法提示】BODBOCCOD7272144，BAD BOD72.BNA180BADABE72.ABNB，即，即ABN为等腰三角形为等腰三角形12第12题图(1)证明：如解图，连接证明：如解图，连接O与正五边形各顶点，与正五边形各顶点，在正五边形中，在正五边形中，AOE360572，ABE AOE 7236，同理同理BAC BOC 7236，AMBM，ABM是等腰三角形且底角等于是等腰三角形且底角等于36.BAN为等腰三角形；为等腰三角形；121212
29、12(2)求证：求证：，且其比值，且其比值k ；BMBNBNBE512 第12题图(2)证明：如解图，证明：如解图，ABMABE，AEB AOB36BAM，BAMBEA，.ABBN，.设设BMy，ABx，则则AMANBMy，AEBNABx.BMABBABE=BMBNBNBE=12AMNMABMBA72BAN，ANMANB，AMNBAN，即，即 ，两边同时除以两边同时除以x2，得，得 ，设，设 t，；AMMNBAAN=yxyxy-=2()1yyxx=-yx5 12-152-5 12BMBNyBNBEx-=解得解得t 或或 (舍去舍去)，则则t2t10，则则y2x2xy.第12题图(3)由对称性知由对称性知AOBE，由，由(1)(2)可知可知 也是一个黄金分割数，据此求也是一个黄金分割数，据此求sin18的值的值MNBM(3)解：解：MAN36，根据对称性可知根据对称性可知MAHNAH MAN18.又又AOBE，sin18sinMAH11()222MNxyMHxyAMAMyy-=111215 1.222245 1xy-=-=-=-12第12题图
