1、 内蒙古中考内蒙古中考真题及拓展真题及拓展2 考点精讲考点精讲1概率的计算公式法列表法或画树状图法用频率估计概率几何概型游戏的公平性事件的分类必然事件不可能事件随机事件概 率考点精讲考点精讲【对接教材】北师：七下第六章【对接教材】北师：七下第六章P135P159；九上第三章九上第三章P59P74；人教：九上第二十五章人教：九上第二十五章P126P153.事件的分类事件的分类1考点考点事件类型事件类型定义定义概率概率必然事件必然事件在一定条件下，必然会发生的事件在一定条件下，必然会发生的事件_不可能不可能事件事件在一定条件下，必然不会发生的事件在一定条件下，必然不会发生的事件_随机随机事件事件在
2、一定条件下，可能发生也可能不发生的事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件01之间之间10针 对 训 练针 对 训 练1.下列事件中：是必然事件的是下列事件中：是必然事件的是_足球运动员射门一次，球射进球门；足球运动员射门一次，球射进球门；口袋中装有两个红球和一个白球，从中摸口袋中装有两个红球和一个白球，从中摸出出2个球其中必有红球；个球其中必有红球；经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯；经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯；任意画一个三任意画一个三角形，其内角和是角形，其内角和是180概率的计算概率的计算2考点考点公式法公式法一般地，如果在一次试验中，有一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果
3、，并且它们发生的可能种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件性都相等，事件A包含其中的包含其中的m种结果，那么事件种结果，那么事件A发生的概率为发生的概率为P(A)_列表法或画列表法或画树状图法树状图法当一次试验涉及两步时，用列表法或树状图法计算概率，当一次试验当一次试验涉及两步时，用列表法或树状图法计算概率，当一次试验涉及三步或更多步骤涉及三步或更多步骤(例如从例如从3个口袋中取球个口袋中取球)时，可用树状图法表示出时，可用树状图法表示出所有可能的结果，再根据所有可能的结果，再根据P(A)计算概率计算概率mnmn用频率估计用频率估计概率概率一般地，在大量重复试验下，事件一般地，在大量重
4、复试验下，事件A发生的频率发生的频率 (这里这里n是总试验次数，是总试验次数，它必须相当大，它必须相当大，m是在是在n次试验中事件次试验中事件A发生的次数发生的次数)稳定到某个常数稳定到某个常数p，那么事件那么事件A发生的概率发生的概率P(A)p(0p1)几何概型几何概型公式为：公式为：P(A)mnA构构成成事事件件 的的区区域域面面积积(长长度度等等)全全部部结结果果所所构构成成的的区区域域面面积积(长长度度等等)游戏的公平游戏的公平性性判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在相同的前提条件下，如果参加判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在相同的前提条件下，如果参加游戏的每一个人获胜的概率都相
5、等，则游戏公平，否则不公平游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平【满分技法】在列表或画树状图时，一定要注意是放回事件还是不放回事件具体区别【满分技法】在列表或画树状图时，一定要注意是放回事件还是不放回事件具体区别如下：如下：(1)放回事件：对角线上的情况存在，第一层的情况数为放回事件：对角线上的情况存在，第一层的情况数为 n时，第二层的情况数为时，第二层的情况数为 nn；(2)不放回事件：对角线上的情况不存在，第一层的情况数为不放回事件：对角线上的情况不存在，第一层的情况数为 n时，时，第二层的情第二层的情况数为况数为 n(n1)针 对 训 练针 对 训 练2.从从2，1，6，
6、8这四个数字中任取一个，则取到的数为偶数的概率为这四个数字中任取一个，则取到的数为偶数的概率为_3.在一个不透明的盒子中装有在一个不透明的盒子中装有20个黄、白两种颜色的乒乓球，除颜色外其他相同，个黄、白两种颜色的乒乓球，除颜色外其他相同，若摸到白乒乓球的概率为若摸到白乒乓球的概率为 ，则黄乒乓球的个数为，则黄乒乓球的个数为_343454.某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的实验，结果如下表所示：某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的实验，结果如下表所示：种子个数种子个数30050080010002000发芽种子发芽种子个数个数2844777629511897发芽种子发芽种子频率频率0.
7、9470.9540.9530.9510.949根据实验所得数据，估计该作物种子发芽率为根据实验所得数据，估计该作物种子发芽率为_(精确到精确到0.01)0.95内蒙古中考内蒙古中考真题及拓展真题及拓展1命题点命题点事件的分类事件的分类1.(2021赤峰赤峰4题题3分分)下列说法正确的是下列说法正确的是()A.“清明时节雨纷纷清明时节雨纷纷”是必然事件是必然事件B.为了了解一批灯管的使用寿命，可以采用普查的方式进行为了了解一批灯管的使用寿命，可以采用普查的方式进行C.一组数据一组数据2，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数都是的众数、中位数和平均数都是5D.甲、乙两组队员身高数据的方差分别为
8、甲、乙两组队员身高数据的方差分别为 0.02，0.01，那么乙，那么乙组队员的身高比较整齐组队员的身高比较整齐2s甲甲2s乙乙D拓 展 训 练拓 展 训 练2.(2021玉林玉林)一个不透明的盒子中装有一个不透明的盒子中装有2个黑球和个黑球和4个白球，这些球除颜个白球，这些球除颜色外其他均相同，从中任意摸出色外其他均相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是个球，下列事件为必然事件的是()A.至少有至少有1个白球个白球 B.至少有至少有2个白球个白球C.至少有至少有1个黑球个黑球 D.至少有至少有2个黑球个黑球3.(2021怀化怀化)“成语成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观下列
9、是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观下列成语：成语：“水中捞月水中捞月”；“守株待兔守株待兔”；“百步穿杨百步穿杨”；“瓮中捉鳖瓮中捉鳖”描描述的事件是不可能事件的是述的事件是不可能事件的是()A.B.C.D.AA2命题点命题点概率的计算概率的计算(包头包头6考，呼和浩特考，呼和浩特7考，赤峰考，赤峰6考考)4.(2021包头包头4题题3分分)柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，只，那么取出的鞋是同一双的概率为那么取出的鞋是同一双的概率为()A.B.C.D.5.(2020呼和浩特呼和浩特4题题3分分)已知电流在一定时间段内正常通过电子元件已知
10、电流在一定时间段内正常通过电子元件“”的概率是的概率是0.5；则在一定时间段内，由该元件组成的图示电路；则在一定时间段内，由该元件组成的图示电路A、B之间，之间，电流能够正常通过的概率是电流能够正常通过的概率是()13151416A.0.75 B.0.025 C.0.5 D.0.25第5题图AA6.(2023呼和浩特呼和浩特13题题3分分)同时掷两枚质地均匀的骰子，则至少有一枚骰同时掷两枚质地均匀的骰子，则至少有一枚骰子的点数是子的点数是6，这个随机事件的概率为，这个随机事件的概率为_7.(2020包头包头17题题3分分)一个不透明的盒子里放置三张完全相同的卡片，分一个不透明的盒子里放置三张完
11、全相同的卡片，分别标有数字别标有数字1，2，3.随机抽取随机抽取1张，放回后再随机抽取张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第张，则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为_1136138.(2021呼和浩特呼和浩特14题题3分分)动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为岁的概率为0.8，活到，活到25岁的概率为岁的概率为0.5，据此若设刚出生的这种动物，据此若设刚出生的这种动物共有共有a只，则只，则20年后存活的有年后存活的有_只，现年只，现年20岁的这种动物活到岁的这种动物活到25
12、岁的概率是岁的概率是_0.8a589.(2022呼和浩特呼和浩特14题题3分分)公司以公司以3元元/kg的成本价购进的成本价购进10000 kg柑橘，并柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得希望出售这些柑橘能够获得12000元利润，在出售柑橘元利润，在出售柑橘(去掉损坏的柑橘去掉损坏的柑橘)时，需要先进行时，需要先进行“柑橘损坏率柑橘损坏率”统计，再大约确定每千克柑橘的售价，下统计，再大约确定每千克柑橘的售价，下面是销售部通过随机取样，得到的面是销售部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率柑橘损坏率”统计表的一部分，由统计表的一部分，由此可估计柑橘完好的概率为此可估计柑橘完好的概率为_(精确到精确到0.1
13、)；从而可大约估计每千；从而可大约估计每千克柑橘的实际售价为克柑橘的实际售价为_元时元时(精确到精确到0.1)，可获得，可获得12000元利润元利润柑橘总柑橘总质量质量n/kg损坏柑橘损坏柑橘质量质量m/kg柑橘损坏的频率柑橘损坏的频率 (精确到精确到0.001)25024.750.09930030.930.10335035.120.10045044.540.09950050.620.101mn0.94.710.(2023包头包头21题题8分分)某校为了解九年级学生的体育达标情况，随机抽某校为了解九年级学生的体育达标情况，随机抽取取50名九年级学生进行体育达标项目测试，测试成绩如下表：名九年级
14、学生进行体育达标项目测试，测试成绩如下表：测试成绩测试成绩(分分)2325262830人数人数(人人)4181585请根据表中的信息，解答下列问题：请根据表中的信息，解答下列问题：(1)该校九年级有该校九年级有450名学生，估计体育测试成绩为名学生，估计体育测试成绩为25分的学生人数；分的学生人数；解：解：(1)450 162(人人)九年级九年级450名学生的体育测试成绩为名学生的体育测试成绩为25分的学生人数约为分的学生人数约为162人；人；1850(2)该校体育老师要对本次抽测成绩为该校体育老师要对本次抽测成绩为23分的甲、乙、丙、丁分的甲、乙、丙、丁4名学生进名学生进行分组强化训练，要求
15、两人一组，求甲和乙恰好分在同一组的概行分组强化训练，要求两人一组，求甲和乙恰好分在同一组的概率率(用列表或树状图方法解答用列表或树状图方法解答)(2)列表如下：列表如下：第二人第二人第一人第一人甲甲乙乙丙丙丁丁甲甲(甲，乙甲，乙)(甲，丙甲，丙)(甲，丁甲，丁)乙乙(乙，甲乙，甲)(乙，丙乙，丙)(乙，丁乙，丁)丙丙(丙，甲丙，甲)(丙，乙丙，乙)(丙，丁丙，丁)丁丁(丁，甲丁，甲)(丁，乙丁，乙)(丁，丙丁，丙)画树状图如解图：画树状图如解图：第10题解图由上表可知，共有由上表可知，共有12种等可能的结果，其中，甲和乙恰好分在同一组的种等可能的结果，其中，甲和乙恰好分在同一组的结果有结果有2
16、种，种，P(甲和乙恰好分在同一组甲和乙恰好分在同一组).1611.(2020赤峰赤峰21题题12分分)如图如图，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面，并分别标有个面，并分别标有1，2，3，4四个数字；如图四个数字；如图，等边三角形，等边三角形ABC的三的三个顶点处各有一个圆圈丫丫和甲甲想玩跳圈游戏，游戏的规则为：游个顶点处各有一个圆圈丫丫和甲甲想玩跳圈游戏，游戏的规则为：游戏者从圈戏者从圈A起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一面点数是几，就沿着起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一面点数是几，就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长，如：若第一次掷得点数为三角
17、形的边逆时针方向连续跳跃几个边长，如：若第一次掷得点数为2，就逆时针连续跳就逆时针连续跳2个边长，落到圈个边长，落到圈C；若第二次掷得点数为；若第二次掷得点数为4，就从圈，就从圈C继续逆时针连续跳继续逆时针连续跳4个边长，落到圈个边长，落到圈A.第11题图(1)丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率为的概率为_；【解法提示】根据题意知，丫丫落回到【解法提示】根据题意知，丫丫落回到A，则掷得的数字为，则掷得的数字为3.掷一次骰子着地的面数字有掷一次骰子着地的面数字有1、2、3、4四种等可能的结果，四种等可能的结果，其中出现其中出现3时有一种结果，时有一种
18、结果，掷得掷得3的概率为的概率为 .P(丫丫落回到圈丫丫落回到圈A).141414(2)丫丫和甲甲一起玩跳圈游戏：丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷丫丫和甲甲一起玩跳圈游戏：丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，都以最终落回到圈两次骰子，都以最终落回到圈A为胜者，这个游戏规则公平吗？请说明为胜者，这个游戏规则公平吗？请说明理由理由(2)这个规则不公平理由如下：这个规则不公平理由如下：由由(1)得丫丫落回到圈得丫丫落回到圈A的概率为的概率为 ；列表如下：列表如下：14和和123412345234563456745678由上表可知，共有由上表可知，共有16种等可能的结果，其中和为种等可能的结
19、果，其中和为3或或6的结果有的结果有5种，种，P(和为和为3或或6).甲甲掷两次，着地的一面数字和为甲甲掷两次，着地的一面数字和为3或或6时，甲甲就会回到圈时，甲甲就会回到圈A，P(甲甲回到圈甲甲回到圈A).，该游戏不公平该游戏不公平516516516143命题点命题点概率与统计结合概率与统计结合(包头包头2考，呼和浩特考，呼和浩特2考，赤峰考，赤峰4考考)12.(2021赤峰赤峰21题题12分分)某学校九年级有某学校九年级有12个班，每班个班，每班50名学生为了调名学生为了调查该校九年级学生平均每天的睡眠时间，准备从查该校九年级学生平均每天的睡眠时间，准备从12个班里抽取个班里抽取50名学生
20、名学生作为一个样本进行分析，并规定如下：设每个学生平均每天的睡眠时间作为一个样本进行分析，并规定如下：设每个学生平均每天的睡眠时间为为t(单位：小时单位：小时)，将收集到的学生平均每天睡眠时间按，将收集到的学生平均每天睡眠时间按t6、6t8、t8分为三类进行分析分为三类进行分析(1)下列抽取方法具有代表性的是下列抽取方法具有代表性的是_A.随机抽取一个班的学生随机抽取一个班的学生B.从从12个班中，随机抽取个班中，随机抽取50名学生名学生C.随机抽取随机抽取50名男生名男生D.随机抽取随机抽取50名女生名女生B(2)由上述具有代表性的抽取方法抽取由上述具有代表性的抽取方法抽取50名学生，平均每
21、天的睡眠时间数名学生，平均每天的睡眠时间数据如下：据如下：睡眠时间睡眠时间t(小时小时)55.566.577.588.5人数人数(人人)11210159102这组数据的众数和中位数分别是这组数据的众数和中位数分别是_，_；77【解法提示】在【解法提示】在50名学生中，睡眠时间为名学生中，睡眠时间为7小时的人数最多，小时的人数最多，众数是众数是7；将将50名学生的睡眠时间按从小到大的顺序排列，排在第名学生的睡眠时间按从小到大的顺序排列，排在第25位和第位和第26位的位的都为都为7小时，小时，中位数为中位数为7.估计九年级学生平均每天睡眠时间估计九年级学生平均每天睡眠时间t8的人数大约为多少；的人
22、数大约为多少；1250144(人人)；答：九年级学生平均每天睡眠时间答：九年级学生平均每天睡眠时间t8的人数大约为的人数大约为144人；人；1250(3)从样本中学生平均每天睡眠时间从样本中学生平均每天睡眠时间t6的的4个学生里，随机抽取个学生里，随机抽取2人，画人，画树状图或列表，求抽得树状图或列表，求抽得2人平均每天的睡眠时间都是人平均每天的睡眠时间都是6小时的概率小时的概率(3)t6的的4名学生的睡眠时间分别为名学生的睡眠时间分别为5，5.5，6，6，画树状图如解图，画树状图如解图，第12题解图由树状图可知，共有由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽得种等可能的结果，其中抽得2人平
23、均每天的睡眠人平均每天的睡眠时间都是时间都是6小时的结果有小时的结果有2种，种，P(抽得抽得2人平均每天的睡眠时间都是人平均每天的睡眠时间都是6小时小时).2121613.某大学为了解大学生对中国共产党党史知识的学习情况，在大学一某大学为了解大学生对中国共产党党史知识的学习情况，在大学一年级和二年级举行有关党史知识测试活动现从一、二两个年级中各随年级和二年级举行有关党史知识测试活动现从一、二两个年级中各随机抽取机抽取20名学生的测试成绩名学生的测试成绩(满分满分50分，分，30分及分及30分以上为合格；分以上为合格；40分分及及40分以上为优秀分以上为优秀)进行整理、描述和分析，给出了下面的部
24、分信息进行整理、描述和分析，给出了下面的部分信息大学一年级大学一年级20名学生的测试成绩为：名学生的测试成绩为：39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25.大学二年级大学二年级20名学生的测试成绩条形统计图如下图所示：名学生的测试成绩条形统计图如下图所示：第13题图两个年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下两个年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下表所示：表所示：年级年级平均数平均数众数众数中位数中位数优秀率优秀率大一大一ab43m大二大二39.544cn请你根据上面提供的所有信
25、息，解答下列问题：请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题：(1)上表中上表中a_，b_，c_，m_，n_；41.14342.555%65%【解法提示】【解法提示】(1)将大学一年级将大学一年级20名同学成绩整理如下表：名同学成绩整理如下表：成绩成绩 25303739434950人数人数1242542平均数平均数a (25302374392435494502)41.1；众数为出现次数最多的数据，由表可知，众数为；众数为出现次数最多的数据，由表可知，众数为43；中位数：将；中位数：将大学二年级大学二年级20名同学的成绩按由小到大的顺序排列后，第名同学的成绩按由小到大的顺序排列后，第10和第和第1
26、1个数个数据为据为41和和44，中位数为中位数为 42.5；大学一年级的优秀率为；大学一年级的优秀率为m 100%55%，大二年级的优秀率为，大二年级的优秀率为n 100%65%.12041442 54220 352320 根据样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生掌握党史根据样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生掌握党史知识较好？并说明理由知识较好？并说明理由(写出一条理由即可写出一条理由即可)；从表中优秀率看，大学二年级样本优秀率达到从表中优秀率看，大学二年级样本优秀率达到65%高于大学一年级的高于大学一年级的55%，所以估计大学二年级学生的优秀率高，所以用优秀率评
27、价，估计，所以估计大学二年级学生的优秀率高，所以用优秀率评价，估计大学二年级学生掌握党史知识较好；大学二年级学生掌握党史知识较好；(答案不唯一，合理即可答案不唯一，合理即可)(2)已知该大学一、二年级共已知该大学一、二年级共1240名学生参加了此次测试活动，通过计算，名学生参加了此次测试活动，通过计算，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数能否超过估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数能否超过1000人；人；(2)样本合格率为样本合格率为 100%92.5%，估计参加测试的两个年级成绩合格的学生人数约为估计参加测试的两个年级成绩合格的学生人数约为124092.5%1147人，人，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数，超过了估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数，超过了1000人；人；3740(3)从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，用列举法求两人在同一年级的概率用列举法求两人在同一年级的概率(3)大学一年级满分有大学一年级满分有2人，设为人，设为A、B，大学二年级满分有，大学二年级满分有3人，设为人，设为1、2、3，第12题解图共有共有2种等可能结果，其中两人在同一年级的结果有种等可能结果，其中两人在同一年级的结果有8种，种，P(两人在同一年级两人在同一年级).82025
