1、微专题微专题 几何图形中的折叠问题几何图形中的折叠问题与折叠有关的计算常用性质：与折叠有关的计算常用性质：(1)折叠问题的本质是全等变换折叠问题的本质是全等变换,折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形;线段相等线段相等:ED=,EG=,FD=;角度相等角度相等:D=,DEG=,DFG=;全等关系全等关系:四边形四边形FDEG ;方 法 解 读方 法 解 读ADAGFDDDAGDFG四边形四边形FDAG(2)折痕可看做垂直平分线折痕可看做垂直平分线:GF (折痕垂直平分连接两个对应点的折痕垂直平分连接两个对应点的连线连线);(3)折痕可看做角平分线折痕可看做角平
2、分线:EGF=(对称线段所在的直线与折痕的对称线段所在的直线与折痕的夹角相等夹角相等);以矩形折叠为例以矩形折叠为例,常见的折叠方式有以下几种常见的折叠方式有以下几种:AEAGF模 型 分 析模 型 分 析基本折法基本折法:如图如图,点点P是矩形是矩形ABCD边边AD上一点上一点,当点当点P与点与点D重合时重合时,将将 ABP沿沿BP折叠得到折叠得到EBP,BE交交CD于点于点H.特殊结论特殊结论:BCHDEH,PH=BH,DE2+EH2=DH2.类型一类型一 折痕过对角线折痕过对角线模 型 应 用模 型 应 用1.如图如图,在矩形在矩形ABCD中中,AB=12,AD=18,将矩形沿对角线将矩
3、形沿对角线AC折叠折叠,则则(1)BE的长为的长为 ;(2)CDE的面积为的面积为 .第1题图530模 型 分 析模 型 分 析基本折法基本折法:如图如图,点点P是矩形是矩形ABCD边边AD上一点上一点,将将ABP沿沿BP折叠得到折叠得到 EBP,点点E恰好在恰好在CD边上边上.特殊结论特殊结论:图图:一线三垂直一线三垂直,PDEECB,(AD-PD)2+BE2=BP2;图类型二类型二 折痕过一顶点折痕过一顶点拓展折法拓展折法:特殊结论特殊结论:图图:PDEDBC,PDEBDA;图图:PDFGEF GCB图图模 型 应 用模 型 应 用2.已知矩形已知矩形ABCD,AB=6,AD=8,点点E是
4、是BC上一点上一点,P是是CD上一点上一点.(1)如图如图,将将DCE沿沿DE折叠得到折叠得到DCE,若点若点C恰好落在对角线恰好落在对角线BD上上,求求CE的长的长;第2题图解解法一法一:勾股定理勾股定理解：设解：设CEx，则，则CEx，BE8xBD 10，BCDBDC1064，在在RtBEC中，由勾股定理得，中，由勾股定理得，42x2(8x)2，解得，解得x3，则则CE的长为的长为3；2268 第2题图解解法二法二:相似相似解：在解：在ECB与与DCB中，中，ECBDCB，DBCEBC，ECBDCB，设设ECx，即，即 ，解得，解得x3，则则CE的长为的长为3；ECBECDBD8610 x
5、x第1题图解法解法三三:等面积等面积法法解：设解：设CEx，则，则ECx，BE8x，BD 10SDEB BDEC BEDC，即即 10 x (8x)6，解得，解得x3，则则CE的长为的长为3.2268 12121212第2题图(2)如图如图,将将DCE沿沿DE折叠得到折叠得到DCE,连接连接BC,CC交交DE于点于点G,若若 点点E为为BC的中点的中点,则则BC的长为的长为 ;16 1313第2题图第2题图(3)如图如图,将将DCE沿沿DE折叠得到折叠得到DCE,若若A、C、E三点共线三点共线,则则CE 的长为的长为 ;82 7(4)如图如图,将将PBC沿沿PB折叠得到折叠得到PBC,若点若点
6、C落在落在AD上的点上的点C处处,连连接接CC,则则CC的长为的长为 ;第2题图4 74(5)如图如图,F为线段为线段AB上一点上一点,将矩形将矩形ABCD沿沿DF翻折翻折,点点B、C的对应点的对应点 分别为点分别为点B、C.若若BC恰好经过点恰好经过点A,连接连接CF,则线段则线段BF的长为的长为 ;第2题图8 7143(6)如图如图,将将CBP沿沿BP翻折至翻折至CBP,BC交交AD于点于点M,PC交交AD于点于点N,若若NC=ND,则则CP的长为的长为 .第2题图245模 型 分 析模 型 分 析基本折法基本折法:如图如图,在矩形在矩形ABCD中中,点点E、F分别在边分别在边AD、BC上
7、上,沿沿EF将四将四边形边形ABFE折叠得到四边形折叠得到四边形ABFE,点点B恰好落在恰好落在AD边上边上.图类型三类型三 折痕过两边折痕过两边图拓展折法拓展折法:如图如图,当点当点B恰好在恰好在CD边上时边上时,设设AB交交AD于点于点P.特殊结论特殊结论:图图,连接连接 BE,ABEABE;过点过点E作作EGBC,连接连接BB,则则EFGBBC;四边形四边形BEBF为菱形为菱形;图图,过点过点E作作EGBC,则则EFGBBC;AEPDBPCFB.模 型 应 用模 型 应 用3.在矩形在矩形ABCD中中,AB=4,BC=8,点点E、P分别在线段分别在线段BC、AD上上,将矩形将矩形AB-CD沿直线沿直线PE折叠折叠.(1)如图如图,若若BE与与AD交于点交于点G,且且CEG=62,则则BEP=;第3题图59(2)如图如图,若顶点若顶点B恰好落在顶点恰好落在顶点D处处,则折痕则折痕PE的长为的长为 ;第3题图2 5(3)如图如图,若点若点B恰好落在恰好落在CD边中点边中点B处处,则折痕则折痕PE的长为的长为 ;第3题图17(4)如图如图,若若AP=PD,点点B恰好落在恰好落在AD边上的点边上的点B处处,则则cosPBE的值的值为为 .第3题图2 131312
