1、相对运动在高中物理中的应用相对运动在高中物理中的应用 湖北省恩施高中 一、相对运动基本公式一、相对运动基本公式 如右图所示，木板对地位移为 x1，物块相对木 板位移为 x相对，则物块对地位移为 x2=x1+x相对 变形可得 x相对=x2-x1 用更一般形式表示，如下 参物相对 sss 上式左右两边对时间求导，可得 参物相对 vvv 同理可得 参物相对 aaa 注意，这三个公式都是矢量式，在直线运动的计算中，需要规定好正方向，带入正负号计算，在曲线 运动中，需要用平行四边形定则或者三角形定则进行矢量运算。 【例 1】(2017中原名校第一次联考)以从塔顶由静止释放小球 A 的时刻为计时零点，t0
2、时刻又在与小 球 A 等高的位置处，由静止释放小球 B。若两小球都只受重力作用，设小球 B 下落时间为 t，在两小球落 地前，两小球间的高度差为x，则x t t0图线为() 解析 t0时刻，小球 A 的速度为 gt0，小球 B 的速度为 0，则此后以 B 为参考系，A 的相对速度为 00 0gtgtv 相对 ， 相 对 加 速 度 为0gga相对， 则 经 过 时 间 t ， A 相 对 B 的 位 移 为 tgttvx 0相对 ，这也就是两球间的高度差，则有x t gt0，x t 与 t0成正比，选项 B 正确。 【例 2】(2016南通二模)如图所示，河水以相同的速度向右流动，落水者甲 随
3、水漂流，至 b 点时，救生员乙从 O 点出发对甲实施救助，则救生员乙相对水的 运动方向应为图中的() AOa 方向BOb 方向COc 方向DOd 方向 解析 由于落水者随着水流运动，以水为参考系时，落水者相对水静止；而救生员既随水运动，又相 对水运动，以水为参考系时，救生员就只有相对水的运动了。初始时刻，他们之间的相对位置沿 Ob 方向， 则以水为参考系时，救生员只需相对于水流沿 Ob 方向做直线运动，就能实施救助，B 项正确。 【例 3】(2016江西九校联考)如图 4 所示，质量相等的两个滑块位于光滑水平桌面上。其中，弹簧两 端分别与静止的滑块 N 和挡板 P 相连接，弹簧与挡板的质量均不
4、计；滑块 M 以初速度 v0向右运动，它与 挡板 P 碰撞(不粘接)后开始压缩弹簧，最后，滑块 N 以速度 v0向右运动。在此过程中() A.M 的速度等于 0 时，弹簧的弹性势能最大 B.M 与 N 具有相同的速度时，两滑块动能之和最小 C.M 的速度为v0 2 时，弹簧的长度最长 D.M 的速度为v0 2 时，弹簧的长度最短 解析 以 N 为参考系，M 的速度减为零时，弹簧压缩最短；也就是以地面为参考系时，两者共速时 弹簧压缩最短，弹簧的弹性势能最大，由能量守恒可知，此时两滑块动能之和最小。设两滑块的共同速度 为 v，则由动量守恒，有vmmmv)( 0 ，解得 v=v0 2 。故本题选 B
5、D。 在右边两幅图所示情境中，有类似结论： 图（1）中，靴型物体放置在光滑水平地面上，小球以某一初速度滑 上靴型物体，以靴型物体为参考系，易知小球速度减为零时，小球上升 至最高点，也就是以地面为参考系时，小球与靴型物体水平共速时小球上升至 最高点。 图（2）中，金属圆环 m 套在水平光滑杆上，轻质细线一端系于圆环，另一 端悬挂一质量为 M 的物块，给物块一水平初速度后，以圆环为参考系，当物块 的速度减为零时物块上升至最高点，也就是以地面为参考系时，物块与圆环水 平共速时物块上升至最高点。 二、相对运动在受力分析中的应用二、相对运动在受力分析中的应用 1、摩擦力的方向、摩擦力的方向 摩擦力总是与
6、受力物体相对施力物体的运动方向（或相对运动趋势）相反。因此，只要判断出受力物 体相对施力物体的运动方向，即可得到摩擦力的方向。这是摩擦力方向判断的最基本依据。 【例 4】如图所示，A 为长木板，在水平地面上以速度 v1向右运动，物块 B 在木板 A 的上面以速度 v2 向右运动。下列判断正确的是（A、B 间不光滑）（） A若是 v1v2，A、B 之间无滑动摩擦力 B若是 v1v2，A 受到了 B 所施加的向右的滑动摩擦力 C若是 v1v2，B 受到了 A 所施加的向右的滑动摩擦力 D若是 v1v2，B 受到了 A 所施加的向左的滑动摩擦力 解析当 v1v2时，A、B 之间无相对运动，它们之间肯
7、定没有滑动摩擦力；当 v1v2时，以 B 为参考 系，A 向右运动，它受到 B 施加的向左的滑动摩擦力，B 则受到 A 施加的向右的滑动摩擦力；当 v1v2时， 以 A 为参考系，B 向右运动，B 受到 A 施加的向左的滑动摩擦力，A 受到 B 施加的向右的滑动摩擦力。 故本题选 A。 2、应用、应用 【例 5】摩擦力方向的判定 1：倾斜向下传送带如图所示，传送带与地面夹角37，从 A 到 B 长度 为 L10.25 m，传送带以 v010 m/s 的速率逆时针转动。在传送带上端 A 无初 速地放一个质量为 m0.5 kg 的黑色煤块，它与传送带之间的动摩擦因数为 0.5。煤块在传送带上经过会
8、留下黑色痕迹。已知 sin 370.6，g10 m/s2，求： (1)煤块从 A 到 B 的时间； (2)煤块从 A 到 B 的过程中传送带上形成痕迹的长度。 解析 (1)煤块刚放上时，以传送带为参考系，煤块相对传送带向上运动， 所以煤块受到向下的滑动摩擦力，设其加速度为 a，则由牛顿第二定律，有 mgsin mgcos ma1 代入数据，解得 a110 m/s2 加速过程中 t1v0 a11 s，x 11 2a 1t215 m。 由于75. 0tan0.5，煤块的速度达到 v0后，将相对传送带向下滑动，其受到传送带给它向上 的滑动摩擦力，则则由牛顿第二定律，有 mgsin -mgcos ma
9、2 代入数据，解得 a22 m/s2 此后过程煤块位移为 x2Lx15.25 m，且 x2v0t21 2a 2t22，得 t20.5 s。 煤块从 A 到 B 的时间为 tt1t21.5 s。 图 （1） 图 （2） (2)以传送带为参考系，煤块在第一过程相对位移为x1x1v0t15 m，负号表示方向向上； 第二过程相对位移x2x2v0t20.25 m，方向向下。 也就是煤块先相对传送带上滑后相对下滑，所以两段划痕有部分重合，故痕迹总长为 5 m。 【例 6】一方形木板放置在水平地面上，在方形木板的上方有一条状竖直挡板，挡板的两端固定在水 平地面上，挡跟木板之间并不接触现在有一个方形物块在木板
10、上沿挡板以某 一速度运动，同时方形木板以相等大小的速度向左运动，木板的运动方向与竖 直挡板垂直，已知物块跟竖直挡板和水平木板间的动摩擦因数分别为1和2， 物块的质量为 m，则竖直挡板对物块的摩擦力大小为（） A. 0B. 2 2 12mgC. 2 1 12mgD.212mg 解析 以挡板为参考系，物块相对速度为 v1，则挡板对物块的滑动摩擦力 f1与 v1方向相反；以木板为 参考系，物块的相对速度为 木物相对 vvv ，矢量图如右图所示，则可知物块相对木板的速度 相对 v 与向右 偏 45角，木板对物块的滑动摩擦力 f2与 相对 v 方向相反，则物块的受力俯视图如右图（2）所示。 由滑动摩擦定
11、律可知：f22mg 垂直挡板方向，由平衡条件，有 FNf2cos 45 2 2 2mg 则由滑动摩擦定律可知：f11FN 2 2 12mg 故本题选 B。 三、相对运动在运动学问题中的应用三、相对运动在运动学问题中的应用 1、直线运动中的应用、直线运动中的应用 【例 7】在水平轨道上有两列火车 A 和 B 相距 x，A 车在后面做初速度为 v0、加速度大小为 2a 的匀减 速直线运动，而 B 车同时做初速度为零、加速度为 a 的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不 相撞，求 A 车的初速度 v0满足什么条件。 解析 以 B 车为参考系，A 车初速度方向为正方向，则 A 车的相对初速度为
12、 000 0vvv 相对 ，相 对加速度为aaaa32）（ 相对 ，则 A 的相对速度减为零时，有 相对相对相对 xav20 2 0 2 代入数据，解得 a v x 6 2 0 相对 。 若相对速度减为零时，A 车不撞 B 车，两车就不会相撞，即xx 相对 ，解得axv6 0 【例 8】 (2017安徽名校联考)质量 M3 kg 的长木板放在光滑的水平面上。在水平拉力 F11 N 作 用下由静止开始向右运动。如图所示，当速度达到 1 m/s 时，将质量 m4 kg 的物块轻轻放到木板的右端。 已知物块与木板间动摩擦因数0.2，物块可视为质点。(g10 m/s2)求： (1)物块刚放置在木板上时
13、，物块和木板的加速度分别为多大； (2)木板至少多长物块才能与木板最终保持相对静止。 解析 (1)物块刚放置在木板上时，木板具有向右的速度，则物块相对木板向左运动，物块受到木板向 右的滑动摩擦力，加速度大小为 a1mg m g2 m/s2，方向向右。木板相对物块向右运动，则受到物块给 它向左的滑动摩擦力，加速度大小 a2Fmg M 1 m/s2，方向向左。 (2) 选 木 板 为 参 考 系 ， 物 块 的 相 对 初 速 度 为m/s10 00 vv相对， 相 对 加 速 度 为 2 21 m/s3)(aaa相对，则物块相对速度减为零时，有 相对相对相对 xav20 2 0 2 代入数据，解
14、得m5 . 0 相对 x，负号表示相对位移向左。 则木板长度应满足 相对 xL ，物块才不会从木板上掉落。故木板至少长为 0.5 m。 v2 v1 相对 v f2f1 FN 图 （1）图 （2） 2、曲线运动中的应用、曲线运动中的应用 【例 9】(2016山西太原一模)CTMD(中国战区导弹防御体系)是一种战术型 导弹防御系统，可以拦截各类型的短程及中程超音速导弹。在某次演习中，检测 系统测得关闭发动机的导弹在距地面高为 H 处，其速度为 v 且恰好水平，反应 灵敏的地面拦截系统同时以初速度 v0竖直向上发射一颗炮弹成功拦截。已知发 射时炮弹与导弹的水平距离为 s，不计空气阻力，则() Av0
15、H s vBv0 H s v Cv0 s Hv Dv0v 解析以导弹为参考系，则炮弹的相对加速度为0gga相对，即炮 弹相对导弹做匀速直线运动，其相对初速度必须正对导弹，即 vvv 0相对 矢量图如右图所示，则由几何关系，有 v0H s v，所以只有 A 项正确。 【例 10】(2014全国卷，19)(多选)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当 地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。据报 道，2014 年各行星冲日时间分别是：1 月 6 日木星冲日；4 月 9 日火星冲日；5 月 11 日土星冲日；8 月 29 日海王星
16、冲日；10 月 8 日天王星冲日。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示。则下列 判断正确的是() 地球火星木星土星天王星海王星 轨道半径(AU)1.01.55.29.51930 A各地外行星每年都会出现冲日现象 B在 2015 年内一定会出现木星冲日 C天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半 D地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短 解析设地球的运转周期为 T0、角速度为0、轨道半径为 r0，某地外行星的轨道半径为 rkr0，其中 k 1.5、5.2、9.5、19、30。 根据万有引力定律及牛顿第二定律，得 GMm r m20r0 GMm r2 m2r 联立解得： 1 k
17、3 0 以地外行星与太阳连线为参考系（相当于地外行星没动），则地球的相对角速度为 0相对 地球相对该参考系转一圈的时间 T 即冲日周期，有2T 相对 联立解得 T k k k k1T 0 根据上式结合 k 值并由数学知识可知：行星冲日的时间间隔一定大于 1 年，并且 k 值越大时间间隔越 短，所以选项 B、D 正确，A、C 错误。 3、相对运动在运动合成中的应用、相对运动在运动合成中的应用 【例 11】手持滑轮把悬挂重物的细线拉至如图 1 所示的实线位置，然后滑轮水 平向右匀速移动，运动中始终保持悬挂重物的细线竖直，则重物运动的速度() A大小和方向均不变B大小不变，方向改变 C大小改变，方向
18、不变D大小和方向均改变 解析以滑轮为参考系，重物相对滑轮向上运动，因为绳总长不变，水平绳伸 长量等于竖直绳缩短量，所以重物相对滑轮的速度是与滑轮对地速度一样大，由 参物相对 vvv 变形得 相对参物 vvv ，矢量图如右图所示，可见重物对地得速度 大小等于滑轮速度得2倍，方向与水平方向成 45 角向右上。故 A 正确。 v0 v 相对 v v v物 相对 v 【例 12】如图所示，一艘轮船正在以 4 m/s 的速度沿垂直于河岸方向匀速渡河，河中各处水流速度都 相同，其大小为 v13 m/s， 行驶中， 轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同。 某时刻发动机突然熄火， 轮船牵引力随之消失， 轮船
19、相对于水的速度逐渐减小， 但船头方向始终未发生变化。 求： (1)发动机未熄灭时，轮船相对于静水行驶的速度大小； (2)发动机熄火后，轮船相对于河岸速度的最小值。 解析船的实际速度，就是水的流速和船相对水的速度的矢量和，即 相对水船 vvv ， 本题中的矢量图如右图所示，其中 v2即船相对水的速度。 （1）发动机未熄火时，船的实际速度 v 与水流速度 v1方向垂直，如图所示，故此时 船相对于静水的速度 v2的大小：v2 v2v21 4232m/s5 m/s，设 v 与 v2的夹角为， 则 cos v v20.8。 (2)熄火前，船的牵引力沿 v2的方向，水的阻力与 v2的方向相反，熄火后，牵引
20、力消失， 在阻力作用下，v2逐渐减小，但其方向不变，当 v2与 v1的矢量和 v 与 v2垂直时，轮船的合 速度最小，则 vminv1cos 30.8 m/s2.4 m/s。 四、相对运动在动力学问题中的应用四、相对运动在动力学问题中的应用 1、惯性力、惯性力 某物体 A 相对地面（视为惯性系）以加速度a 运动时，以物体 A 为参考系，其上的其他物体 m 不受实 际的力时，其相对物体 A 的运动似乎是受到了一个大小为 ma，方向与 A 的加速度a 相反的力的作用，但 实际上 m 并没有受力，其相对 A 的运动实际上是由于 m 的惯性，m 相对地保持原速度（或静止）所致。 对于加速运动的参考系，
21、牛顿定律不再成立，但是，若引入假想的“惯性力”，则牛顿定律继续适用。 相对地面以加速度为 a 的运动的参考系内，质量为 m 的物体均受到的“惯性力”F惯ma即大小为 ma，方向与 a 相反的作用。 2、应用、应用 【例 13】(2015海南单科，9)如图，升降机内有一固定斜面，斜面上放一物 块。开始时，升降机做匀速运动，物块相对于斜面匀速下滑。当升降机加速上升时 () A物块与斜面间的摩擦力减小B物块与斜面间的正压力增大 C物块相对于斜面减速下滑D物块相对于斜面匀速下滑 解析以升降机为参考系，物块受到了竖直向下的惯性力 ma 的作用，则物块的 受力如图所示。 （1）升降机匀速运动时，a=0，故
22、 ma=0，物块相对斜面匀速下滑，由平衡条 件，有 mgsin mgcos ，得 sin cos 。 （2）当升降机向上匀加速时，0a，则在垂直斜面方向上，由平衡条件，有 FNm(ga)cos ， 由滑动摩擦定律可知， 物块所受滑动摩擦力为 Ffm(ga)cos ， 因为 sin cos ，所以 m(ga)sin m(ga)cos ，也就是物块沿斜面方向受力 平衡，故物体仍相对斜面匀速下滑。故本题选 BD。 【例 14】如图所示，一质量为 M、倾角为的光滑斜面，放置在光滑的水平面 上，另一个质量为 m 的滑块从斜面顶端释放，试求斜面的加速度。 解析斜面体的加速度水平向右，大小设为 a1，以斜面
23、体为参考系，滑块受力 如右图所示，由平衡条件，有 N1sin cosFmamg 以地面为参考系，对斜面体，由牛顿第二定律，有 1Nsin MaF 两式联立，解得g mM m a 2 1 sin cossin v v1 v2 v1 vv2 mg FN Ff ma mg FN ma a相对 mg f电 FT 顺便，我们还可以求出滑块对地的加速度： 以斜面体为参考系，滑块相对斜面体沿斜面向下加速度为 a相对，则有 相对 mamamgcossin 1 滑块对地的加速度 相对 aaa 12 ，矢量图如右图所示，则有 sincos 2相对 aa 12 cossinaaa 相对 联立即可求出 a2的大小和方
24、向。 【例 15】如图一所示，木块 A、B，用轻质弹簧连接置于光滑水平面上，开始时弹簧处于自然状态（原 长）。现用水平恒力 F 推木块 A，则在弹簧第一次被压缩到最短的过程中 （1）A、B 速度相同时，二者加速度大小关系如何？ （2）A、B 加速度相同时，二者速度大小关系如何？ “惯性力”在弹簧双振子问题中的应用也是一个典型案例，具体分析请参看笔者弹簧双振子问题研 究一文。 五、相对运动在电磁学问题中的应用五、相对运动在电磁学问题中的应用 1、电磁场的相对论变换、电磁场的相对论变换 根据电磁场的相对论变换，在某参考系中，描述电磁场的两个参数为 E、B，则选相对该参考系以速 度 v 运动的物体作
25、参考系时，新的参考系里，该电磁场的两个参数变换为 E（EvB），B（B+vE/c2) 其中 2 )/(11cv，当 v0)的粒子从坐标原点 O 沿 xOy 平面 以初速度 v0沿 y 轴正方向发射 不计粒子重力， 试求该粒子运动过程中的最大 速度值 vm. 解析（1）由于电场力要做功，粒子将做复杂的曲线运动。为了将问题简 化，可以想办法把电场力的影响“去掉”。 取一个向右以恒定速度 B E v 1 的参考系 xOy来分析此问题， 在此参考系中， EEBv1， 其中 Bv1 部分大小 Bv1E，方向沿 y 轴负方向，与 E 正好抵消，即 E0。同时，该参考系下，磁感应强度仍为 B B。 （2）在
26、该参考系下，粒子具有一个沿 x 轴负方向向左的初速度 B E v 1 ，同时还有一个沿 y 轴正方向 的初速度 v0。所以粒子在这个参考系内将做匀速圆周运动，有 r v mBqv 2 解得 Bq mv r ，其中 2 1 2 0 vvv （3）换回地面参考系，则可知粒子参与了两个运动一个随 xOy 参考系向右的匀速运动 B E v 1 ，一个相对 xOy参考系的匀速圆周运动，其 运动轨迹如下图所示。 则粒子整个运动过程中的速度，就是这两个分运动速度的矢量 和；当 v 的方向平行 x 轴向右时，粒子对地速度达到最大，为 22 01m )( B E v B E vvv 且方向沿 x 轴正方向。 关于相对运动在电磁学中的应用的更多讨论，请参看笔者与磁场运动相关的问题的文章。 y Ox v0 BE
