1、7.1 数值求积公式与代数精度数值求积公式与代数精度 数值求积的必要性数值求积的必要性 由微积分理论可知，只要被积函数在区间a,b连续，就可以使用牛顿莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式计算定积分。然而，在许多实际问题中，这种解析方法是无能为力的，或者是非常麻烦的。体现在：（1）找不到原函数F(x)，如第一个例子中的第二类椭圆积分等，有些被积函数是以表格形式给出，没有有限的解析表达式。(2)虽然可以找到原函数F(x)，但它比被积函数复杂得多，而且有时难以给出最后的数值结果。(3)除一些特殊的无穷积分外，通常很难求无穷积分的值。7.1 数值求积公式与代数精度数值求积公式与代数精度 数值求
2、积基本思想数值求积基本思想求积区间离散化求积区间离散化借助函数插值求定积分借助函数插值求定积分得到近似求积公式及余项得到近似求积公式及余项7.1.1 数值求积的基本思想数值求积的基本思想)()()()(),()()()(1n,)()(0fRxfAdxxRdxxpdxxfxRxpxfxfbadxxffIniiibabababa则进行插值，得个互异点对内取在为求数值求数值求积公式积公式积分积分余项余项 基于积分中值定理构造的求积公式基于积分中值定理构造的求积公式左、右矩形公式左、右矩形公式中点公式中点公式梯形公式梯形公式辛卜生公式辛卜生公式7.1 数值求积公式与代数精度数值求积公式与代数精度7.1
3、.2 求积公式的代数精度求积公式的代数精度定义定义7-1 m次代数精度定理定理7-1例例7-1 确定求积公式的代数精度确定求积公式的代数精度)3()1()0()(24010fAfAfAdxxf例例7-2 确定求积公式的代数精度确定求积公式的代数精度)21()()21()(211110AxfAfAdxxf例例 确定下面确定下面2个求积公式的代数精度个求积公式的代数精度20)2()1()0()(CfBfAfdxxxf)1,0()()1()1()0()(21100 f kfAfAfAdxxf7.1.3 插值型求积公式插值型求积公式定理定理7-2 p1487.1 数值求积公式与代数精度数值求积公式与代
4、数精度)()()()()(0fIxfAdxxLdxxffInniiibanba求积系数求积系数求积余项求积余项dxxnffIfIfRnkdxxlAbannbakk)()!1()()()(,2,1,0)()1(容易得到nkkabA07.1.4 求积公式的收敛性与稳定性求积公式的收敛性与稳定性定义定义7-2 求积公式收敛定义定义7-3 求积公式稳定定理定理7-3 若若Ak0，则求积公式是稳定的。，则求积公式是稳定的。nkbakknhdxxfxfA0)(0)()(lim时当kkfxf)(nkkkkknnfxfAfIfI0)()()(,可使7.2.1 牛顿牛顿柯特斯求积公式与求积系数柯特斯求积公式与求
5、积系数7.2 牛顿牛顿柯特斯求积公式柯特斯求积公式不难推得n=1,2,4时的梯形、辛卜生和柯特斯求积系数。表7-1牛顿-柯特斯系数表。观察柯特斯系数的对称性、和为1，n7时有负值,影响公式的稳定性。7.2.2 偶数阶牛顿偶数阶牛顿柯特斯公式的代数精度柯特斯公式的代数精度7.2 牛顿牛顿柯特斯求积公式柯特斯求积公式具有3次代数精度辛卜生公式被广泛使用。7.2.3 低阶牛顿低阶牛顿柯特斯公式的余项柯特斯公式的余项7.2 牛顿牛顿柯特斯求积公式柯特斯求积公式 梯形求积公式的余项梯形求积公式的余项7.2.3 低阶牛顿低阶牛顿柯特斯公式的余项柯特斯公式的余项7.2 牛顿牛顿柯特斯求积公式柯特斯求积公式
6、辛卜生求积公式的余项辛卜生求积公式的余项同理可求出柯特斯求积公式的余项7.2.4 复化求积公式及其余项复化求积公式及其余项7.2 牛顿牛顿柯特斯求积公式柯特斯求积公式问题：问题：牛顿牛顿柯特斯公式无论从收敛性、还是稳定性上都不能得到保证柯特斯公式无论从收敛性、还是稳定性上都不能得到保证解决方法：解决方法：将积分区间分成将积分区间分成n等分，使每等分的等分，使每等分的宽度宽度尽可能的小尽可能的小 每个小区间使用每个小区间使用低阶低阶的牛顿的牛顿柯特斯公式柯特斯公式1.复化梯形公式及余项复化梯形公式及余项1 1次代数精度次代数精度7.2.4 复化求积公式及其余项复化求积公式及其余项7.2 牛顿牛顿
7、柯特斯求积公式柯特斯求积公式2.复化辛卜生公式及余项复化辛卜生公式及余项3 3次代数精度次代数精度7.2.4 复化求积公式及其余项复化求积公式及其余项7.2 牛顿牛顿柯特斯求积公式柯特斯求积公式3.复化柯特斯公式及余项复化柯特斯公式及余项5 5次代数精度次代数精度复化辛卜生算法流程图复化辛卜生算法流程图7-1例例7-3例例7-4 复化求积公式收敛的阶复化求积公式收敛的阶7.3 龙贝格求积公式龙贝格求积公式7.3.1 变步长求积公式变步长求积公式7.3 龙贝格求积公式龙贝格求积公式10212110112)(221)()(2)(2)(4nkknknknkknxfhTbfxfxfafhT例例7-5
8、P1567.3.2 龙贝格求积公式龙贝格求积公式7.3 龙贝格求积公式龙贝格求积公式 修正梯形公式修正梯形公式 修正辛卜生公式修正辛卜生公式不难验证，修正梯形公式梯形公式正好就是辛卜生公式辛卜生公式Sn，可以设想对辛卜生公式修正得到柯特斯公式柯特斯公式，视为对梯形公式的二次修正。nnnnnnnCSSSSSS1511516)(15122227.3.2 龙贝格求积公式龙贝格求积公式7.3 龙贝格求积公式龙贝格求积公式 龙贝格（龙贝格（RombergRomberg）公式）公式 龙贝格算法示意图龙贝格算法示意图对柯特斯公式柯特斯公式进行修正，得到精度更好的求积公式，但它不是n=8时的牛顿柯特斯公式，由
9、龙贝格首先提出，称为龙贝格公式龙贝格公式。nnnnnnCCCCCR6316364)(631222 龙贝格算法流程框图龙贝格算法流程框图例例7-6 P1587.4.1 高斯求积公式与高斯点高斯求积公式与高斯点7.4 高斯求积公式高斯求积公式定理定理7-5 7-5 插值型求积公式能达到的最高代数精度为插值型求积公式能达到的最高代数精度为2n+12n+1次。次。定义定义7-4 具有2n+1次代数精度的求积公式称为高斯求积公式高斯求积公式，其求积节点称为高斯点高斯点。为构造具有最高代数精度的高斯型求积公式，直接用待定系数法求解n+1个系数Ak和n+1个求积节点xk通常是不可能的。通常的方法是：（1）先
10、确定求积区间上的高斯点xk；（2）在求n+1个求积系数Ak（待定系数法和公式法均可）定理定理7-6 7-6 高斯点的充要条件。高斯点的充要条件。p160p1607.4.2 高斯求积公式的构造高斯求积公式的构造构造被积区间构造被积区间a,b上上的的n+1次带权正交多次带权正交多项式项式gn+1(x)求求gn+1(x)的的n+1个零点，个零点，作为高斯点作为高斯点xk用待定系数法或对拉用待定系数法或对拉格朗日基函数求积分格朗日基函数求积分来确定求积系数来确定求积系数Ak例例7-7 P1617.4.3 高斯高斯勒让德求积公式勒让德求积公式7.4 高斯求积公式高斯求积公式定理定理7-7 7-7-1,1
11、-1,1上的上的n+1n+1次勒让德多项式与任一不超过次勒让德多项式与任一不超过n n次次的多项式正交。（权函数为的多项式正交。（权函数为1 1）当求积节点xk为n+1次勒让德正交多项式的零点时，求积公式110)()(nkkkxfAdxxf称为高斯高斯勒让德求积公式勒让德求积公式。例例7-8 高斯高斯勒让勒让德一点、两点、三德一点、两点、三点公式点公式)31()31()(11ffdxxf11)0(2)(fdxxf)53(95)0(98)53(95)(11fffdxxf当积分区间为a,b时，需引进变换22batabx则t在区间-1,1上。上。例例7-9 P1647.4.4 高斯高斯切比雪夫求积公
12、式切比雪夫求积公式7.4 高斯求积公式高斯求积公式1210()()11nkkfxdxfxnx其中，求积区间为-1,1，权函数、高斯点分别为211)(xx21cos()(0,1,)22kkxknn7.4.5 高斯高斯埃尔米特求积公式埃尔米特求积公式nkkkxxfAdxxfe0)()(2其中，求积区间为-,+，高斯点为n+1次埃尔米特正交多项式的零点，权函数、求积系数分别为2)(xex22)()!1(2knnkxHnA例例7-10 P1657.4.6 高斯求积公式的余项与稳定性高斯求积公式的余项与稳定性7.4 高斯求积公式高斯求积公式定理定理7-8 7-8 带权高斯公式的余项带权高斯公式的余项ba
13、ndxxxnffR)()()!22()(2)22(nkkxxx0)()(这里 勒让德公式的余项勒让德公式的余项 切比雪夫公式的余项切比雪夫公式的余项 埃尔米特公式的余项埃尔米特公式的余项)1,1(),(!22)32()!1(2)22(3432nnfnnnfR）（)1,1(),()!2222)22(22nnfnfR（)()!22(2)!1()2(1nnfnnfR一、二、三点勒一、二、三点勒让德公式的余项让德公式的余项)(157501),(1351),(31)6()4(fff 定理定理7-9 7-9 高斯求积公式是稳定的高斯求积公式是稳定的7.5.1 基于基于TaylorTaylor展开的微分公式
14、展开的微分公式7.5 数值微分数值微分)()(!4)(!3)(2)()()(50)4(40302000hOxfhxfhxfhxf hxfhxf )()(!4)(!3)(2)()()(50)4(40302000hOxfhxfhxfhxf hxfhxf ),()(2)()()(00000hxxfhhxfhxfxf),()(2)()()(00000 xhxfhhhxfxfxf)()(120)(62)()()(60)5(402000hOxfhxfhhhxfhxfxf )()(12)()(2)()(50)4(220000hOxfhhhxfxfhxfxf TaylorTaylor展开式展开式向前差商公式向
15、前差商公式向后差商公式向后差商公式中心差商公式中心差商公式二阶差商公式二阶差商公式7.5.1 基于基于TaylorTaylor展开的微分公式展开的微分公式7.5 数值微分数值微分 方法误差方法误差 舍入舍入误差误差 整体误差整体误差由截断误差项可以看出，前两个公式的精度为O(h)，后两个公式的精度为O(h2)。如果仅从截断误差上考虑，h的幂次越高、h越小，计算精度就越高。从稳定性的角度讲，还应考虑舍入误差。h越小，f(x0+h)、f(x0-h)和f(x0)的值越接近，它们相减后的有效数字损失越严重。在实际计算时，步长h不宜过大，也不宜过小，应综合考虑截断误差和数值稳定性这两个重要因素。Mhhh
16、E6)(23/3Mhopt中心差商公式整体误差中心差商公式整体误差表表7-4 P168优化后的最优步长优化后的最优步长7.5.2 插值型微分公式插值型微分公式7.5 数值微分数值微分基本思想基本思想：用f(x)的拉格朗日插值函数L(x)的导函数作为近似微分公式,插值余项R(x)的导数作为微分公式的余项。)()!1()()()!1()()()!1()()()()1()1()1(xnxfxfdxdnxxnxfxLxfnnnn两点公式两点公式三点公式三点公式五点公式五点公式)(2)()(1)(010fhxfxfhxf)(2)()(1)(011fhxfxfhxf)(6)()(21)(2201fhxfxfhxf )(12)()(2)(1)()4(221021fhxfxfxfhxf)(30)()(8)(8)(121)()5(221120fhxfxfxfxfhxf
