1、 2021 届高三年级第二次月考 理 科 数 学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1若集合 3 12 ,log1AxxBxx ，则AB A 02xx B12xx C12xx D03xx 2如果 42 ，那么下列不等式成立的是 Asincostan Btansincos Ccossintan Dcostansin 3要将函数 2 logf
2、xx变成 2 log2g xx，下列方法中可行的有 将函数 f x图像上点的横坐标压缩一半 将函数 f x图像上点的横坐标伸长一倍 将函数 f x的图像向下平移一个单位 将函数 f x的图像向上平移一个单位 A B C D 41626 年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号：sin、tan、sec（正割） ，1675 年，英国 人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：cos、cot、csc（余割） ，但直到 1748 年，经过数学 家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中 1 sec cos ， 1 csc sin .若(0, )a，且 32 2 cscsec ，则tan. A 5 13 B12 1
3、3 C0 D 12 5 5已知角和角的终边垂直，角的终边在第一象限，且角的终边经过点 34 , 55 P ，则 sin A 3 5 - B 3 5 C 4 5 D 4 5 6设函数 2 3 ( )ex x f x （e 为自然底数） ，则使( )1f x 成立的一个充分不必要条件是 A01x B04x C03x D34x 7已知0 42 a ，且 5 sincos 5 ， 4 sin 45 则sin() A 3 10 10 B 15 5 C 15 5 D 3 10 10 8已知定义在R上的奇函数 f x，对任意实数x，恒有 3f xf x，且当 3 0, 2 x 时， 2 68f xxx，则
4、0122020ffff A6 B3 C0 D3 9已知函数( ) |sin |cos|f xxx ，则以下结论错误的是 A ( )f x为偶函数 B( )f x的最小正周期为 2 C ( )f x的最大值为 2 D( )f x在 42 3 , 上单调递增 10已知函数xxxxfln)(，曲线)(xf在 0 xx 的切线l的方程为1 kxy，则切线l 与坐标 轴围成的三角形的面积为 A 2 1 B 4 1 C2 D4 11已知函数 sin()(0) cos(),(0) xa x f x xbx 是偶函数，则, a b的值可能是 A 3 a ， 3 b B 2 3 a ， 6 b C 3 a ，
5、6 b D 2 3 a ， 5 6 b 12设函数 ln x fx x ，若关于 x 的不等式 f xax有且只有一个整数解，则实数 a 的取值范 围为 A ln3 ln2 , 94 B ln3 ln2 , 94 C ln21 , 42e D ln21 , 42e 二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13正弦函数 sinyx 在0, 3 上的图像与x轴所围成曲边梯形的面积为_. 14已知扇形AOB面积为 3 4 ，圆心角AOB为 120，则该扇形的半径为_. 15xxxxxf2cos 4 3 2cos6sin)(在 0 xx 处取得极值，则 0 2cos x_.
6、 16对于任意实数 12 ,x x，当 12 0 xxe时，有 122121 lnlnxxxxaxax恒成立， 则实数a的取值范围为_ 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个 试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一一)必考题：共必考题：共 60 分分) 17 （本题满分 12 分） 如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角, ，它们的终边分别与单位圆 相交于 A，B 两点，已知 A，B 的横坐标分别为 2 2 5 , 105 （1）求tan()的值； （2）求2的值 18 （本题满分 12
7、 分） 某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需 投入固定成本 2 万元，每生产x万件，需另投入流动成本( )C x万元，当年产量小于7万件时， 2 1 ( )2 3 C xxx（万元） ；当年产量不小于 7 万件时， 3 ( )6ln17 e C xxx x （万元）.已知每 件产品售价为 6 元，假若该同学生产的商品当年能全部售完. （1）写出年利润( )P x（万年）关于年产量x（万件）的函数解析式； （注：年利润=年销售收入 -固定成本-流动成本） （2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取 3 20e
8、 ）. 19 （本题满分 12 分） 已知函数 2 1 2cos1 sin2cos4 2 f xxxx. （1）求 f x的最小正周期及单调递减区间； A B O x y （2）若0,，且 2 482 f ，求tan 3 的值. 20 （本题满分 12 分） 已知函数 x f xaebx（a，b为常数） ，点A的横坐标为 0，曲线 yf x在点A处的切 线方程为1.yx （1）求a，b的值及函数 f x的极值； （2）证明：当0 x时， 2x ex 21 （本题满分 12 分） 已知函数( )lnsinf xxxx,)(x f 是)(xf的导数，且( )( )g xfx （1）证明：)(xg在
9、区间 2 ，上存在唯一的零点； （2）证明：对任意0,x，都有( )2 ln(1 sin )f xxxxx (二二)选考题： 共选考题： 共 10 分。分。请考生在第 22、23 两题中任选一题做答， 如果多做 则按所做的第一题记分。 22选修 44：坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是2sin，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角 坐标系，直线 l 的参数方程是 2 2 2 2 xt ytm (t 为参数) （1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （2）设点(0,)Pm，若直线 l 与曲线C 交于A、B 两点，且| | 1PAPB，求实数m 的值.
10、23选修 45：不等式选讲 已知函数 f（x）=|xa|+|x1| （1）若 f（a）2，求 a 的取值范围； （2）当 xa，a+k时，函数 f（x）的值域为1，3，求 k 的值 2021 届高三第二次月考数学（理）参考答案届高三第二次月考数学（理）参考答案 一、选择题一、选择题 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 A C B D B A D B C B C B 二、填空题：二、填空题： 13、 2 1 14、 2 15、 9 7 16、0a 三、解答题：三、解答题： 17.由条件得由条件得 cos，cos. ， 为锐角，为锐角， sin，sin. 因此
11、因此 tan7，tan . (1) tan()3. (2) tan2 ， tan(2)1. ， 为锐角，为锐角， 02， 4 3 2 18.（1）产品售价为）产品售价为6元，则万件产品销售收入为元，则万件产品销售收入为6x万元 万元. 依题意得，当依题意得，当07x时，时， 22 11 ( )62242 33 p xxxxxx ， 当当7x时，时， 33 ( )6(6ln17)215ln ee p xxxxx xx ， 2 3 1 42,07 3 ( ) 15,7 xxx p x e lnxx x ； （2）当）当07x时，时， 2 1 ( )(6)10 3 p xx ， 当当 6x时，时，
12、( )p x的最大值为 的最大值为(6)10p（万元） ，万元） ， 当当7x时，时， 333 22 1 ( )15ln( ) eeex p xxp x xxxx ， 当当 3 7xe时，时， ( )p x单调递增，当 单调递增，当 3, ( ) xep x单调递减，单调递减， 当当 3 xe时，时， ( )p x取最大值 取最大值 33 ()15ln1 11p ee （万元） ，（万元） ， 11 10 当当 3 20 xe时，时， ( )p x取得最大值 取得最大值11万元，万元， 即当年产量约为即当年产量约为20万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为万件，该同学的这一产品所获年
13、利润最大，最大利润为11万元万元. 19. 2 11 2cos1 sin2cos4cos2 sin2cos4 22 f xxxxxxxQ 12222 sin4cos4sin4cos4sin4 coscos4 sin 2222244 xxxxxx 2 sin 4 24 x 函数函数 yf x的最小正周期为的最小正周期为 2 42 T ， 令令 3 242 242 kxkkZ ，解得，解得 5 216216 kk xkZ . 所以，函数所以，函数 yf x的单调递减区间为的单调递减区间为 5 , 216216 kk kZ ； （2） 2 482 f Q，即，即sin 1 4 ，0,， 3 444
14、. 42 ，故，故 3 4 ，因此，因此 3 tantan 13 43 tan23 3 313 1tantan 43 20.（1）由已知）由已知0,Aa代入切线方程得代入切线方程得 1a ， x fxaeb， 01fab，2b 2 x f xex， 2 x fxe，令，令 0fx得得ln2x ， 当当ln2x时时 0fx ， f x单调递减；当单调递减；当ln2x 时时 0fx ， f x单调递增；单调递增； 所以当所以当ln2x 时，时， 22ln2f x 即为极小值；无极大值即为极小值；无极大值 （2）令）令 2x h xex， 则则 2 x hxex，由（，由（1）知）知 min22ln
15、20h x h x在在0,上为增函数上为增函数 010h xh ，即，即 2x ex. 21. 证明：证明：xxx x xgxfxfxgcossin 1 )()(),()(则， xxx x xgsincos2 1 )( 2 20sin, 0cos2 , 0 1 ), 2 ( 2 xxx x x ， 0sincos2 1 )( 2 xxx x xg3故故)(xg在区间在区间), 2 ( 上单调递减上单调递减4 又又0 1 )(, 01 2 ) 2 ( gg5 所以所以)(xg在区间在区间), 2 ( 上存在唯一零点上存在唯一零点6 （2）要证）要证)sin1 (ln2)(xxxxxf， 即证即证
16、3 1 ln2)(,ln) 12()(, 0ln) 12( x xxhxxxxhxxx则令7 单调递增在所以令), 0()(),()(xmxhxm8 02ln21) 2 1 (, 02) 1 (mm，所以存在唯一的，所以存在唯一的 03 1 ln2)(),1 , 2 1 ( 0 000 x xxmx使得9 当当上单调递减在时), 0()(, 0)(0 00 xxhxhxx ， 当当上单调递增在时),()(, 0)( 00 xxhxhxx10 故故) 2 1 2( 2 5 ln) 12()()( 0 00000 x xxxxxhxh miv 11 因因为为 0), 2 5 , 2( 2 1 2)
17、,1 , 2 1 ( 0 0 00 xh x xx所以所以恒成立即0ln) 12(xxx，综上所述对，综上所述对 任意任意0,x，都有，都有( )2 ln(1 sin )f xxxxx12 22 （ （1）由）由 2sin ，得，得 2 2 sin， cossinxy，代入得：，代入得： 22 2xyy， 曲线曲线 C 的普通方程为的普通方程为 22 2xyy，即：，即： 22 (1)1yx 由由 l 的参数方程的参数方程 2 2 2 2 xt ytm (t为参数为参数)，消去参数，消去参数 t 得：得：0 xym. 2当当0t 时，得时，得 0 x ym ， 0,pm在直线在直线 l 上，上
18、， 将将 l 参数方程代入曲线参数方程代入曲线 C 的普通方程得：的普通方程得： 22 222 +20 222 ttmtm 化简得：化简得： 22 2120tmtmm. 设以上方程两根为设以上方程两根为 1 t， 2 t，由，由 2 2 =21420mmm解得：解得：1 212m 由参数由参数 t 的几何意义知的几何意义知 2 12 21PAPBttmm， 得得 2 21mm或 或 2 21mm ，解得，解得 21m (舍去舍去)或或1m, 1m 23.【解析】 （【解析】 （I）f（a）=|a1|2，得，得2a12即即1a3，故，故 a 的取值范围（的取值范围（1，3） 4 分分 （II）当）当 a1 时，函数时，函数 f（x）在区间）在区间a，a+k上单调递增上单调递增 则则f（x）min=f（a）=a1=1，得，得 a=2，f（x）max=f（a+k）=a+2k1=3，得，得 k=1 6 分分 当当 a1 时，时，f（x） 8 分分 则则f（x）min=f（a）=1a=1，得，得 a=0， f（x）max=f（a+k）=a+2k1=3，得，得 k=2 综上所述，综上所述，k 的值是的值是 1 或或 2 10 分分
