1、 高二年级数学试卷 第 1 页 共 9 页 南京师大附中南京师大附中 20192020 学年度第学年度第一一学期学期 高二年级期中考试数学试卷高二年级期中考试数学试卷 命题人：高二数学备课组命题人：高二数学备课组 审阅人：审阅人： 班级班级_ _ 学号学号_ _ 姓名姓名_ _ 得分得分_ 注意事项：注意事项： 1本试卷共 4 页，包括选择题（第 1 题第 12 题） 、填空题（第 13 题第 16 题） 、解答题 （第 17 题第 21 题）三部分本试卷满分为 100 分，考试时间为 120 分钟 2答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在 答题纸 上相应题目
2、的答题区域内考试结束后，交回答题纸 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分分 在第在第 1 题题第第 10 题给出的四个选项中，题给出的四个选项中，只有一项只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1. 设 u(2， 2， t)， v(6， 4， 5)分别是平面 ， 的法向量 若 ， 则实数 t 的值是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 设点P为椭圆C： x2 25 y2 161上一点， 则点P与椭圆C的两个焦点构成的三角形的周长为 ( ) A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 3. 把一个体积为 64
3、 cm3、表面涂有红色的正方体木块锯成 64 个体积为 1 cm3的小正方体从 这 64 个小正方体中随机取出 1 块，则这 1 块至少有 1 面涂有红色的概率是( ) A. 3 8 B. 7 8 C. 1 8 D. 5 8 4. 若双曲线 x2y 2 k 1 的一条渐近线的斜率是2，则实数 k 的值为( ) A. 4 B. 1 4 C.4 D.1 4 5. 已知空间三点坐标分别为 A(1，1，1)，B(0，3，0)，C(2，1，4)，点 P(3，x，3)在平 面 ABC 内，则实数 x 的值为( ) A. 1 B.2 C. 0 D.1 6. 已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)
4、的左右顶点分别是 A1，A2，M 是双曲线上任意一点，若 直线 MA1和 MA2的斜率之积等于 5，则该双曲线的离心率为( ) A. 3 B. 3 C. 6 D. 6 高二年级数学试卷 第 2 页 共 9 页 7. 一抛物线型拱桥， 当水面离拱顶2 m时， 水面宽2 m， 若水面下降4 m， 则水面宽度为( ) A. 3 m B.2 3 m C.4 m D. 6 m 8. 已知 F1，F2是椭圆的两个焦点，满足MF1 MF2 0 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的 取值范围是( ) A. (0，1) B. (0，1 2 C. (0， 2 2 ) D. ( 2 2 ，1) 9. 已知椭圆 C
5、：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 3 2 ，过右焦点 F 且斜率为 k（k0）的直线与 椭圆 C 相交于 A、B 两点若AF 3FB，则 k 的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 10. 已知 F 是抛物线 C：y24x 的焦点，过点 F 作倾斜角为 3的直线与抛物线 C 相交于 P，Q 两点，若 M(1，0)，则 sinPMQ( ) A. 2 3 5 B. 3 2 8 C. 2 2 9 D. 4 3 7 在第在第 11、12 题给出的四个选项中，题给出的四个选项中，有多项有多项 是符合题目要求的，全部选对的得是符合题目要求的，全部选对的得 3 分，不全的或分，
6、不全的或 有选错的得有选错的得 0 分分 11. 已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果AB (2，1，4)， AD (4，2，0)，AP(1，2，1).下列结论正确的有( ) A. APAB B. APAD C. AP 是平面 ABCD 的一个法向量 D. APBD 12. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C: x2y21|xy| 就是其中之一. 给出下 列四个结论，其中正确的选项是( ) A. 曲线 C 关于坐标原点对称 B. 曲线 C 恰好经过 6 个整点(即横、纵坐标均为整数的点) C. 曲线 C 上任意一点到原点的距离的最小值为 1 D. 曲线 C 所
7、围成的区域的面积小于 4 高二年级数学试卷 第 3 页 共 9 页 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 12 分请把答案填写在分请把答案填写在答题卡相应位置答题卡相应位置 上上 13. 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 O 是 B1C1的中点，且DO xDA yDC zDD1 ，则 xyz 的值为 14. 已知 m 为实数，直线 mxy1=0 与椭圆x 2 m2y 21 的交点个数为 15. 今年，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾和其他 垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱为调查居民生活垃圾分类投放情
8、况，现随机抽取 了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨） 则估计生活垃圾 投放错误的概率是 （第 15 题） 16. 设双曲线x 2 4y 21，F 1是它的左焦点，直线 l 通过它的右焦点 F2，且与双曲线的右支交于 A，B 两点，则|F1A | |F 1B |的最小值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 52 分请在分请在答题卡指定区域内答题卡指定区域内 作答，解答时应写出文字说作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤 17. （本小题满分 8 分） 从 4名男生和 2名女生中随机选出 2 人参加演讲
9、比赛 （1）求所选 2 人恰有 1 名男生的概率； （2）求所选 2 人中至少有 1名女生的概率 “厨余垃圾”箱 “可回收垃圾”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收垃圾 30 230 30 其他垃圾 20 20 70 高二年级数学试卷 第 4 页 共 9 页 18.（本小题满分 10 分） 在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=3，BC=1， AA1=2，E 为 A1D 的中点. （1）求直线 EC1与 A1B 所成角的余弦值； （2）若 F 为 BC 的中点，求直线 EC1与平面 FA1D1所成角 的正弦值. 19. （本小题满分 10 分） 若椭圆 C：x 2
10、 a2 y2 b21(ab0)经过点(1， 3 2)，离心率为 1 2过椭圆 C 的左焦点 F 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点 （1）求实数 a、b 的值； （2）若 AB7 2，求直线 AB 的方程 20. （本小题满分 12 分） 将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使得 平面 ABD平面 CBD，又 AE平面 ABD （1）若 AE 2，求证：DEBC； （2）若二面角 ABED 的大小为 3，求线段 AE 的长 21. （本小题满分 12 分） 设点 A 是抛物线 y24x 上到直线 l:yx+3 的距离最短的点，点 B 是抛物线上异于点 A 的 一点，直线 A
11、B 与 l 相交于点 P，过点 P 作 x 轴的平行线与抛物线交于点 C. （1）求点 A 的坐标； （2）求证：直线 BC 过定点； （3）求ABC 面积的最小值. （第 20 题） （第 18 题） A D B C E F E A1 D1 C1B1 DA C B 高二年级数学试卷 第 5 页 共 9 页 南京师大附中南京师大附中 20192020 学年度第学年度第 1 学期学期 高二年级期中考试数学试卷答案高二年级期中考试数学试卷答案 一、选择题一、选择题 1.B 2.C 3.B 4.A 5.A 6.D 7.B 8.C 9.B 10.D 11.ABC 12.AC 二、填空题二、填空题 13
12、.5 2 14.2 15. 3 10 16. 81 4 三、解答题三、解答题 17 解：记 4 名男生分别是 B1、B2、B3、B4，2 名女生分别为 G1、G2，从中选取 2 人，有如 下基本事件： (B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，G1)，(B1，G2)， (B2，B3)，(B2，B4)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B3，B4)， (B3，G1)，(B3，G2)，(B4，G1)，(B4，G2)，(G1，G2)， 共 15 个基本事件，它们是等可能的 .2 分 （1）从中选 2 人恰有 1 名男生的基本事件有(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，
13、G2)，(B3， G1)，(B3，G2)，(B4，G1)，(B4，G2)，共 8 个基本事件 记从中选 2 人恰有 1 名男生为事件 A， 则 P(A) 8 15 .4 分 （2）由题意，选 2 人中至少有 1 名女生和选 2人中没有女生是对立事件， 记选 2 人中至少有 1名女生为事件 B，选 2人中没有女生为事件 C， 则 P(B)1P(C) 选 2人中没有女生的基本事件有(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)， 高二年级数学试卷 第 6 页 共 9 页 共 6 个基本事件，则 P(C) 6 15 2 5, 故 P(B)1P(C)12
14、 5 3 5 .8 分 18.解： （1）以A1为坐标原点，A1B1 ，A1D1 ，A1A 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标 系A1-xyz. 设直线EC1与A1B所成角为， 2 0 ，EC1 与A 1B 所成角为. 则各点坐标为A1(0，0，0)， D(0，1，2)，E(0，1 2 ，1)，C1( 3 ，1，0)，B( 3，0，2)， 所以，EC1 ( 3 ，1 2 ，1)，A1B ( 3，0，2) 所以，cos| EC1 A 1B |EC1 |A 1B | 1 17 2 7 2 119 119 .3 分 所以，直线 EC1与 A1B 所成角的余弦值为2 119 119 .4 分 （2
15、）由题意，B( 3，0，2)，C( 3，1，2)，D1(0，1，0)，则A1D1 (0，1，0)， 因为 F 位 BC 中点，所以 F( 3，1 2，2)，则A1F ( 3，1 2，2) 设平面 FA1D1的法向量为 n (x，y，z)， 则 n A 1F 0 n A 1D1 0 ，即 3x1 2 y2z0 y0 ， 令 x2，则 y0，z 3， 所以 n (2，0， 3)是平面 FA 1D1的一个法向量 .6 分 高二年级数学试卷 第 7 页 共 9 页 由题（1）知，EC1 ( 3， 1 2，1)， 所以 cos n EC 1 | n | |EC 1 | 3 3 7 17 2 6 357
16、119 .8 分 设直线 EC1与平面 FA1D1所成角为 ， 2 0 ， 则 sin| cos|6 357 119 .10 分 说明：不建系扣 1 分，不设角扣一分. 19 解： （1）因为椭圆离心率为1 2，且 a 2b2c2，所以 a 3b， 又因为椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)经过点(1， 3 2)，所以 1 a2 4 9 b21， 解得 a2，b 3 .4 分 （2）当直线 AB 斜率为 0 时，AB2a4，不符合题意 所以可设直线 AB 的方程为 xmy1， 与椭圆方程联立得：(3m24)y26my90，36m236(3m24)0， 则 yAyB 6m 3m24，yA y
17、B 9 3m24， .6 分 AB 1m2 |yAyB|1m2 (yAyB)24yA yB12m 212 3m24 7 2， 所以 m24 3，m 2 3 3 ， 故直线 AB 的方程为 x2 3 3 y10 .10 分 说明：少一个解扣 1 分. 20.解：因为正方形 ABCD 的边长为 2，所以 ABAD，CBCD，ABADCDBC2. 又 AE平面 ABD，AB，AD平面 ABD，所以 AEAB，AEAD， 以点 A 为原点，AB，AD，AE 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Axyz. 作 CFBD，垂足为 F. 因为平面 ABD平面 CBD，CF平面 CBD，平面 ABD
18、平面 CBDBD， 所以 CF平面 ABD. 高二年级数学试卷 第 8 页 共 9 页 因为 CBCD2，所以点 F 为 BD 的中点，CF 2. .2 分 （1）因为 AE 2，所以 E(0，0， 2)，F(2，0，0)，D(0，2，0)，F(1，1，0)， C(1，1， 2)， 所以DE =(0，2， 2)，BC=(1，1， 2)，DE BC=0， 所以DE BC，所以直线 DE 与直线 BC 所成角为 2 . .6 分 （2）设 AE 的长度为 a（a0） ，则 E（0，0，a）. 由 ADAE，ADAB，AE，AB平面 ABE，且 AEAB=A，得 AD平面 ABE， 所以平面 ABE
19、 得一个法向量为 n1=（0，1，0）. 设平面 BDE 的法向量 n2=（x1，y1，z1） ，又BE =（-2，0，a） ，BD=（-2，2，0） ， 所以 n2BE ，n 2BD ，所以 n2BE -2x 1+az10， n2BD -2x 1+2y10 解得 x1a 2z1， x1y1 取 z12，则 x1y1a 所以平面 BDE 的一个法向量为 n2=（a，a，2） ， .8 分 所以|cos|= |n1 n2| |n1|n2|= a 2a2+4, 因为二面角 ABED 的大小为 3，所以 a 2a2+4= 1 2，解得 a= 2，所以 AE 的长度为 2. .12 分 21. 解：
20、（1）设抛物线上任意一点的坐标(t2，2t)， 则它到直线 l：xy30 的距离 d|t 22t3| 2 (t1) 22 2 , 当 t1 时，d 有最小值 2 故点 A 的坐标为(1，2) .2 分 （2）设点 B 的坐标为(m2，2m)(m2) 则 lAB：y22m2 m21(x1)，即 y 2 m1(x1)2， 与 yx3 联立解得点 P(m3 1m， 62m 1m ) 于是，C(3m 1m) 2，62m 1m ) 高二年级数学试卷 第 9 页 共 9 页 当 m23 时，m2(3m 1m) 2，l BC：y2m 62m 1m 2m (3m 1m) 2m2(xm 2)， y2m2m 36
21、m210m6 m42m36m9 (xm2)， y2m(2m2)(m 22m3) (m23)(m22m3)(xm 2)， y2m(2m2) (m23)(xm 2)， 所以(m23)(y2m)(2m2)(xm2)， 整理得：m2(y2)+m(62x)(3y2x)0(*) 当 x3，y2 时，对于任意实数 m(m 3)，方程(*)恒成立， 直线 lBC过定点 Q(3，2) 当 m23 时，B(3，2m)，C(3，62m 1m )，直线 lBC过定点(3，2) 综上所述直线 lBC过定点(3，2) .8 分 （3）由（2）可设 lBC：x3k(y2) 抛物线方程联立得：y24ky4(2k3)0 16k216(2k3)16(k1)220， 则 yByC4k，yB yC4(2k3)， SABC1 2AQ |yByC|yByC| (yByC) 24 y B yC 4 (k1) 22， 当 k1 时，ABC 的面积得最小值为 4 2 .12 分
