1、1 江苏省南通市 2021 届期中模拟考试 数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1若集合 A B C D 2在复平面内,复数 65i,23i 对应的点分别为 A、B,若 C 为线段 AB 的中点,则点 C 对 应的复数是( ) A.48i B.82i C.2i D.4i 3已知函数 xx f xee (P 为自然对数的底数)，若 0.5 0.5 0.7,log0.7,ab 0.7 log5c ，则 A f bf af c B f af bf c C f cf af b D f cf bf a 4在AB
2、C中，2ABACAD ， 20AEDE ，若EBxAByAC，则（ ） A 2yx B2yx C2xy D2xy 5函数 3 sin xx xx f x ee 的图象大致是 00,10,1,22,3,4 2 0,( )1 cos1 cosxf xxx6.设，则函数的取值范围是 . 0,2A . 0, 2B . 0,2C . 0,2D 7考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字 142857，因为1428572285714， 1428573428571，所以这组数字又叫走马灯数该组数字还有如下规律： 142857999，571428999，若从 1，4，2，8，5，7 这 6 个数字中任意取出
3、3 个数 字构成一个三位数x，则999x的结果恰好是剩下 3 个数字构成的一个三位数的概率为( ) A 4 5 B 3 5 C 2 5 D 3 10 8已知 22 111221212 ln20,262ln20=xxyxyMxxyy，记，则 AM 的最小值为 2 5 BM 的最小值为 4 5 CM 的最小值为 8 5 DM 的最小值为16 5 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9 设 )( * Nnan是等差数列，d是其公差， n S是其前n项和.若, 87
4、665 SSSSS则 下列结论正确的是( ) 0.dA 0. 7 aB 59 .SSC 的最大值均为与 n SSSD 76 . 10关于函数 4sin 2 3 f xxxR 有下列命题，其中正确的是 A yf x是以2为最小正周期的周期函数 B yf x的表达式可改写为 4cos 2 6 f xx C yf x的图象关于直线 6 x 对称 D yf x的图象关于点 ,0 6 对称 11设A，B是抛物线 2 yx上的两点，O是坐标原点，下列结论成立的是( ) A若OAOB，则|2OA OB 3 B若OAOB，直线AB过定点(1,0) C若OAOB，O到直线AB的距离不大于 1 D若直线AB过抛物
5、线的焦点F，且 1 | 3 AF ，则| 1BF 12已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，当0 x 时，( )(1) x f xe x，则下列命题正确 的是( ) A当0 x 时，( )(1) x f xex B函数( )f x有 3 个零点 C( )0f x 的解集为(，1)(0，1) D 1 x， 2 xR，都有 12 |()()| 2f xf x 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案直接填写在答题卡相应 位置上 。 13已知的展开式中的系数为 40，则实数 a 的值为_. 14二项式 26 1 (2)x x 的展开式中的常数项是 （用数字作答） 15
6、若一个圆柱的轴截面是面积为 4 的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为 16函数 yf(x)图象上不同两点 A(x1,y1),B(x2,y2)处的切线的斜率分别是 kA,kB,规定(A,B) |kAkB| |AB|2 叫做曲线 yf(x)在点 A、B 之间的“平方弯曲度”.设曲线 yexx 上不同两点 A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1x21,则 (A,B)的取值范围是_ _. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域 内作答。解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。 17(本小题满分 10 分) 已知等比数列 n a满足 1 a， 2 a， 31 aa成等差
7、数列，且 134 a aa；等差数列 n b的前n项和 2 (1)log 2 n n na S 求： （1） n a， n b； （2）数列 nn a b的前项和 n T 5 2axx 3 x 4 18(本小题满分 12 分) 已知在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且 sinsin sinsin aAcC b BC （1）求角A的值； （2）若3a ，设角B，ABC周长为y，求( )yf的最大值 19(本小题满分 12 分) 某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态， 经抢修排 气扇恢复正常排气 4 分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm，继续排
8、气 4 分钟后又 测得浓度为32ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y ppm与排气时间 t(分钟)之间存 在函数关系 1 2 mt yc (, c m为常数) (1)求 c，m 的值； (2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中 的一氧化碳含量才能达到正常状态? 20(本小题满分 12 分) 某学校共有 1000 名学生，其中男生 400 人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分 层抽样随机抽取了 100 名学生进行调查，月消费金额分布在450 950之间根据调查的结 果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示： 将月消费金额不低于
9、750 元的学生称为“高消费群” （1）求a的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点 5 值作代表） ； （2）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在550，650)，750，850)内的两组学生中 抽取 10 人，再从这 10 人中随机抽取 3 人，记被抽取的 3 名学生中属于“高消费群”的学生 人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望； （3） 若样本中属于 “高消费群” 的女生有 10 人， 完成下列22列联表， 并判断是否有97.5% 的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？ 属于“高消费群” 不属于“高消费群” 合计 男 女 合计 （参考公式：
10、2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中)nabcd 2 ()P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21(本小题满分 12 分) 已知 1 F， 2 F分别为椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点，P为C上的动点，其中P到 1 F的最短距离为 1，且当 12 PFF的面积最大时， 12 PFF恰好为等边三角形 （1）求椭圆C的标准方程； （2）以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆” ，记椭圆
11、C的外切圆为E ( ) i求圆E的方程； ( )ii在平面内是否存在定点Q， 使得以PQ为直径的圆与E相切， 若存在求出定点Q的坐标； 若不存在，请说明理由 22(本小题满分 12 分) 已知函数( ) x f xeax 6 （1）当0a 时，设函数( )f x的最小值为g（a） ，证明：g（a）1； （2）若函数 2 1 ( )( ) 2 h xf xx有两个极值点 1 x， 212 ()xxx，证明： 12 ()()2h xh x 江苏省南通市 2021 届期中模拟考试 数学参考答案 一、 单项选择题： 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分。 在每小题给出的四个选项中， 只有
12、一项是符合题目要求的。 1. B 2. C 3B 4D 5. A 6.D 8. D 7.C 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9. ABD 10.BD 11.ACD 12. BCD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案直接填写在答题卡相应 位置上 。 13. 3 14. 60 15. 8 16. 21 (0, 2 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域 内作答。解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步
13、骤。 17. 解： （1）设 n a的公比为q 因为 1 a， 2 a， 31 aa成等差数列， 所以 2131 2()aaaa，即 23 2aa 因为 2 0a ，所以 2 2 2 a q a 因为 134 a aa，所以 4 1 3 2 a aq a 因此 1 1 2 nn n aaq 7 由题意， 2 (1)log(1) 22 n n nann S 所以 11 1bS， 122 3bbS，从而 2 2b 所以 n b的公差 21 211dbb 所以 1 (1)1(1) 1 n bbndnn （2）令 nnn ca b，则2n n cn 因此 1231 12 1 22 23 2(1) 22
14、 nn nn Tcccnn 又 2341 21 22 23 2(1) 22 nn n Tnn 两式相减得 2311111 22 2 222222222(1) 22 12 n nnnnnn n Tnnnn 所以 1 (1) 22 n n Tn 18. 解： （1）由已知 sinsin sinsin aAcC b BC 可得sinsinsinsinbBbCaAcC， 结合正弦定理可得 222 bcabc， 222 1 cos 22 bca A bc ， 又(0, )A， 1 3 A （2）由3a ， 1 3 A及正弦定理得 3 2 sinsin3 2 bc BC ， 2sinb， 2 2sin2s
15、in() 3 cC ， 故 2 32sin2sin() 3 yabc ，33sin3cos 2 3sin()3 6 由 2 0 3 ，得 5 666 ， 当 62 ，即 1 3 时，3 3 max y 8 19.解（1）由题意可列方程组 4 8 1 64 2 1 32 2 m m c c 两式相除，解昨 128, 1 . 4 c m （2）由题意可列不等式 1 4 1 1280.5 2 t ， 所以 1 8 4 111 8 224 t t ，即，解得32t . 故至少排气 32 分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态 20. 解： （1）由题意知100 (0.00150.00250
16、.00150.001)1a，解得0.0035a ， 样本平均数为5000.156000.357000.258000.159000.10670 x 元 （2）由题意，从550，650)中抽取 7 人，从750，850)中抽取 3 人， 随机变量X的所有可能取值有 0，1，2，3 3 37 3 10 ()(0 kk C C P Xkk C ，1，2，3)所以随机变量X的分布列为： P 0 1 2 3 X 35 120 63 120 21 120 1 120 随机变量X的数学期望 632119 ()23 12012012010 E X （3）由题可知，样本中男生 40 人，女生 60 人属于“高消费
17、群”的 25 人，其中女生 10 人； 得出以下22列联表： 属于“高消费群” 不属于“高消费群” 合计 男生 15 25 40 女生 10 50 60 合计 25 75 100 22 2 ()100(102515 50)50 5.024 ()()()()257540609 n adbc K ab cd ac bd ， 所以有97.5%的把握认为概型学生属于“高消费群”与性别有关 9 21. 解： （1）由题意可得：1ac，面积最大时P为短轴的顶点，再由 12 PFF恰好为等 边三角形，可得 3 2 2 bc， 222 abc， 解得： 2 4a ， 2 3b ， 所以椭圆的标准方程为： 22
18、 1 43 xy ； （2）( ) i由（1）得圆E的圆心坐标为(0,0)，半径为2a ， 所以圆E的方程为： 22 4xy； ( )ii解法一：假设存在满足条件的定点Q， 由题意可知定点Q必在x轴上，设( ,0)Q m， 0 (P x， 0) y，则 22 00 1 43 xy ， 由( ) i可知，圆E的圆心为坐标原点O，半径为 2， 设以PQ为直径的圆的圆心为G，半径为r，则G为线段PQ的中点， | 2 PQ r ，即 0 ( 2 xm G ， 0) 2 y ， 22 00 1 () 2 rxmy， 因为圆E与圆G相切，则| 2OGr， 所以 2 22200 00 1 ()2() 242
19、 xmy xmy ，其中 22 00 3 3 4 yx， 两边平方并整理得： 22 000 42 ()mxxmy，化简得 22 0 (1)(4)0mx， 上式对任意 0 2x ，2恒成立， 故 2 10m ，解得1m ， 所以，当定点Q恰好为椭圆的焦点时，符合题意 解法二：存在满足条件的定点Q， 由题意可知， 当P为长轴的端点时，P即为切点， 因此， 定点Q必在x轴上， 设( ,0)Q m， 0 (P x， 0) y，则 22 00 1 43 xy ， 由( ) i可知，圆E的圆心为坐标原点O，半径为 2， 设以PQ为直径的圆的圆心为G，半径为r，则G为线段PQ的中点，则 | 2 PQ r ，
20、 即 0 ( 2 xm G ， 0) 2 y ， 22 00 1 () 2 rxmy， 因为圆E与圆G相切，则| 2OGr， 10 所以 2 22200 00 1 ()2() 242 xmy xmy ， 整理得 2222 0000 ()()4xmyxmy， 设(,0)Qm ，则| 4PQPQ ， 又因为P在椭圆 22 1 43 xy 上，设 1 F， 2 F分别为椭圆的左右焦点， 12 | 4PFPF， 故Q，Q分别与 1 F， 2 F重合， 所以当定点Q恰好为椭圆的C的焦点时，符合题意 解法三：假设存在满足条件的定点Q，由题意可知定点Q必在x轴上， 由( ) i可知，圆E的圆心为坐标原点O，
21、半径为 2， 设以PQ为直径的圆的圆心为G，半径为r，则G为线段PQ的中点，则 | 2 PQ r ， 因为圆E与圆G相切，则| 2OGr，即 | | 2 2 PQ OG ， 所以2| 4OGPQ， 设Q为Q关于原点对称点，则OG恰好为QQ P的中位线， 所以2| |OGPQ， 所以| 4PQPQ ，下同解法二； 解法四：假设存在满足条件的定点Q，设( , )M m n， 0 (P x， 0) y，则 22 00 1 43 xy 由( ) i可知，圆E的圆心为坐标原点O，半径为 2， 设以PQ为直径的圆的圆心为G，半径为r，则G为线段PQ的中点，则 | 2 PQ r ，即 0 ( 2 xm G
22、， 0 ) 2 yn ， 22 00 1 ()() 2 rxmyn， 因为圆E与圆G相切，则| 2OGr， 所以 22 2200 00 ()()1 2()() 442 xmyn xmyn ， 整理得 2222 0000 ()()()()4xmynxmyn， 设(,)Qmn，因此| 4PQPQ ，下同解法一 22. 证明： （1）( )(0) x fxea a， 11 令( )0fx，解得xlna， 当xlna时，( )0fx， 当xlna时，( )0fx， ( )() min f xf lnaaalna， g（a）(0)aalna a， 令( )(0)g xxxlnx x，( )g xlnx
23、， 令( )0g x，解得1x ， 当(0,1)x时，( )0g x， 当(1,)x时，( )0g x， ( )maxg xg（1）1， ( ) 1g x， 当0a 时，g（a）1； （2） 2 1 ( ) 2 x h xeaxx，( ) x h xeax， 令( ) x xeax，( )1 x xe， 令( )0 x，解得0 x ， 当0 x 时，( )0 x， 当0 x 时，( )0 x， ( )(0)1 min xa ， 又函数( )h x有两个极值点， 10a ， 1a，且 12 0 xx， 当 1 (,)xx 时，( )h x单调递增， 当 1 (xx，0)时，( )h x单调递减，
24、 当(,0)x 时， 1 ( )()h xh x 又 2 (,0)x ， 21 ()()hxh x， 12 22 2 12222 ( )()()() xx h xh xhxh xeex ， 令 2 ( )(0) xx m xeex x ， 1 ( )2 x x m xex e 令( )( )n xm x， 1 ( )2 0 x x n xe e ， ( )n x在0，)上单调递增， ( )( )(0)0m xn xn， ( )m x在0，)上单调递增， ( )(0)2m xm， 2 0 x ， 22 2 22 ()2 xx m xeex 即 22 ()()2hxh x， 12 ()()2h xh x
