1、专题31 几何综合压轴问题（40题）1（2023四川自贡统考中考真题）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，分别是斜边，的中点，(1)将绕顶点旋转一周，请直接写出点，距离的最大值和最小值；(2)将绕顶点逆时针旋转（如图），求的长【答案】(1)最大值为，最小值为(2)【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线，得出的值，进而根据题意求得最大值与最小值即可求解；（2）过点作，交的延长线于点，根据旋转的性质求得，进而得出，进而可得，勾股定理解，即可求解【详解】（1）解：依题意，当在的延长线上时，的距离最大，最大值为，当在线段上时，的距离最小，最小值为；（2）解：如图所示，过点作，交的延长线于点
2、，绕顶点逆时针旋转，在中，在中，【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键2（2023山东烟台统考中考真题）如图，点为线段上一点，分别以为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且在线段上取一点，使，连接(1)如图1，求证：；(2)如图2，若的延长线恰好经过的中点，求的长【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）证明，推出，利用证明即可证明结论成立；（2）取的中点H，连接，证明是的中位线，设，则，证明，得到，即，解方程即可求解【详解】（1）证明：等腰和等腰，在和中，；（2）解：取的中点H，连
3、接，点是的中点，是的中位线，设，则，即，整理得，解得（负值已舍），经检验是所列方程的解，且符合题意，【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题3（2023浙江绍兴统考中考真题）在平行四边形中（顶点按逆时针方向排列），为锐角，且(1)如图1，求边上的高的长(2)是边上的一动点，点同时绕点按逆时针方向旋转得点如图2，当点落在射线上时，求的长当是直角三角形时，求的长【答案】(1)8(2)；或【分析】（1）利用正弦的定义即可求得答案；（2）先证明，再证明，最后利用相似三角形对应边成比例列出方程即可；分三种情况
4、讨论完成，第一种：为直角顶点；第二种：为直角顶点；第三种，为直角顶点，但此种情况不成立，故最终有两个答案【详解】（1）在中，在中，（2）如图1，作于点，由（1）得，则，作交延长线于点，则，由旋转知，设，则，即，由旋转得，又因为，所以情况一：当以为直角顶点时，如图2，落在线段延长线上，由（1）知，情况二：当以为直角顶点时，如图3设与射线的交点为，作于点，又，设，则，化简得，解得，情况三：当以为直角顶点时，点落在的延长线上，不符合题意综上所述，或【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正弦的定义，全等的判定及性质，相似的判定及性质，理解记忆相关定义，判定，性质是解题的关键4（2023甘肃武威统考中考真
5、题）【模型建立】（1）如图1，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上求证：；用等式写出线段，的数量关系，并说明理由【模型应用】（2）如图2，是直角三角形，垂足为，点关于的对称点在边上用等式写出线段，的数量关系，并说明理由【模型迁移】（3）在（2）的条件下，若，求的值【答案】（1）见解析；，理由见解析；（2），理由见解析；（3）【分析】（1）证明：，再证明即可；由和关于对称，可得证明，从而可得结论；（2）如图，过点作于点，得，证明，可得，证明，可得，则，可得，从而可得结论；（3）由，可得，结合，求解，如图，过点作于点可得，可得，再利用余弦的定义可得答案【详解】（1）证明：和都是等边三角形，理由如
6、下：和关于对称，（2）理由如下：如图，过点作于点，得和关于对称，是直角三角形，即（3），如图，过点作于点，【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，锐角三角函数的灵活应用，本题难度较高，属于中考压轴题，作出合适的辅助线是解本题的关键5（2023江西统考中考真题）课本再现思考我们知道，菱形的对角线互相垂直反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形(1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程己知：在中，对角线，垂足为求证
7、：是菱形(2)知识应用：如图，在中，对角线和相交于点，求证：是菱形；延长至点，连接交于点，若，求的值【答案】(1)见解析(2)见解析；【分析】（1）根据平行四边形的性质证明得出，同理可得，则， ，进而根据四边相等的四边形是菱形，即可得证；（2）勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，得出，即可得证；根据菱形的性质结合已知条件得出，则，过点作交于点，根据平行线分线段成比例求得，然后根据平行线分线段成比例即可求解【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，在中，同理可得，则，又四边形是菱形；（2）证明：四边形是平行四边形，在中，是直角三角形，且，四边形是菱形；四边形是菱形；，如图所示，过点作交于点，
8、【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键6（2023湖北随州统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中处从“直角”和“等边”中选择填空，处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，
9、处填写角度数，处填写该三角形的某个顶点）当的三个内角均小于时，如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，由，可知为 三角形，故，又，故，由 可知，当B，P，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ；已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点如图3，若，则该三角形的“费马点”为 点(2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合
10、适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为_元（结果用含a的式子表示）【答案】(1)等边；两点之间线段最短；A(2)(3)【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；（2）根据（1）的方法将绕，点C顺时针旋转得到，即可得出可知当B，P，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，在根据可证明，由勾股定理求即可，（3）由总的铺设成本，通过将绕，点C顺时针旋转得到，得到等腰直角，得到，即可得出当B，P，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，然后根据已知和旋转性质求出即可【详解】（1）解：，为等边三角形；，又，故，由两点之间线段最短可知，当B，P，A在同一条直线上时，取最小
11、值，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，又，；，三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小又已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点该三角形的“费马点”为点A，故答案为：等边；两点之间线段最短；（2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接，由（1）可知当B，P，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，又，由旋转性质可知：，最小值为，（3）总的铺设成本当最小时，总的铺设成本最低，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，由旋转性质可知：，当B，P，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，过点作，垂足为，的最小值为总的铺设成本（元）故答案为：【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及
12、到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键7（2023山东枣庄统考中考真题）问题情境：如图1，在中，是边上的中线如图2，将的两个顶点B，C分别沿折叠后均与点D重合，折痕分别交于点E，G，F，H猜想证明：(1)如图2，试判断四边形的形状，并说明理由问题解决；(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交于点M，N，的对应线段交于点K，求四边形的面积【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析(2)30【分析】（1）利用等腰三角形的性质和折叠的性质，得到，即可得出结论
13、（2）先证明四边形为平行四边形，过点作于点，等积法得到的积，推出四边形的面积，即可得解【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下：在中，是边上的中线，将的两个顶点B，C分别沿折叠后均与点D重合，同法可得：，四边形是菱形；（2）解：折叠，四边形为平行四边形，由（1）知：， 过点作于点，四边形的面积，四边形的面积【点睛】本题考查等腰三角形的性质，折叠的性质，平行线分线段对应成比例，菱形的判定，平行四边形的判定和性质熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键8（2023湖南统考中考真题）（1）问题探究如图1，在正方形中，对角线相交于点O在线段上任取一点P（端点除外），连接求证：；将线段绕点P逆时针旋
14、转，使点D落在的延长线上的点Q处当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由；探究与的数量关系，并说明理由（2）迁移探究如图2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变试探究与的数量关系，并说明理由【答案】（1）见解析；不变化，理由见解析；，理由见解析（2），理由见解析【分析】（1）根据正方形的性质证明，即可得到结论；作，垂足分别为点M、N，如图，可得，证明四边形是矩形，推出，证明， 得出，进而可得结论；作交于点E，作于点F，如图，证明，即可得出结论；（2）先证明，作交于点E，交于点G，如图，则四边形是平行四边形，可得，都是等边三角形，进一步即可证得结论【详解】（1）证明：四边形是
15、正方形，；的大小不发生变化，；证明：作，垂足分别为点M、N，如图，四边形是正方形，四边形是矩形， ，即；证明：作交于点E，作于点F，如图，四边形是正方形，四边形是矩形，作于点M，则，；（2）；证明：四边形是菱形， ，是等边三角形，垂直平分，作交于点E，交于点G，如图，则四边形是平行四边形，都是等边三角形，作于点M，则，【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形、菱形的性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键9（2023湖南岳阳统考中考真题）如图1，在中，点分别为边的中点，连接初步尝试
16、：（1）与的数量关系是_，与的位置关系是_特例研讨：（2）如图2，若，先将绕点顺时针旋转（为锐角），得到，当点在同一直线上时，与相交于点，连接（1）求的度数；（2）求的长深入探究：（3）若，将绕点顺时针旋转，得到，连接，当旋转角满足，点在同一直线上时，利用所提供的备用图探究与的数量关系，并说明理由【答案】初步尝试：（1）；（2）特例研讨：（1）；（2）；（3）或【分析】（1），点分别为边的中点，则是的中位线，即可得出结论；（2）特例研讨：（1）连接，证明是等边三角形，是等边三角形，得出；（2）连接，证明，则，设，则，在中，则，在中，勾股定理求得，则；（3）当点在同一直线上时，且点在上时，设，则
17、，得出，则在同一个圆上，进而根据圆周角定理得出，表示与，即可求解；当在上时，可得在同一个圆上，设，则，设，则，则，表示与，即可求解【详解】初步尝试：（1），点分别为边的中点，是的中位线，；故答案是：；（2）特例研讨：（1）如图所示，连接，是的中位线，将绕点顺时针旋转（为锐角），得到，；点在同一直线上时，又在中，是斜边的中点，是等边三角形，即旋转角是等边三角形，又，,（2）如图所示，连接，,设，则，在中，则，在中，,解得：或（舍去）,（3）如图所示，当点在同一直线上时，且点在上时，设，则，是的中位线，将绕点顺时针旋转，得到，点在同一直线上，在同一个圆上，；如图所示，当在上时，在同一个圆上，设，则
18、，将绕点顺时针旋转，得到，设，则，则，,，综上所述，或【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键10（2023湖北黄冈统考中考真题）【问题呈现】和都是直角三角形，连接，探究，的位置关系(1)如图1，当时，直接写出，的位置关系：_；(2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由【拓展应用】(3)当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长【答案】(1)(2)成立；理由见解析(3)或【分析】（1）
19、根据，得出，证明，得出，根据，求出，即可证明结论；（2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论；（3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可【详解】（1）解：，；故答案为：（2）解：成立；理由如下：，；（3）解：当点E在线段上时，连接，如图所示：设，则，根据解析（2）可知，根据解析（2）可知，根据勾股定理得：，即，解得：或（舍去），此时；当点D在线段上时，连接，如图所示：设，则，根据解析（2）可知，根据解析（2）可知，根据勾股定理得：，即，解得：或（舍去），此时；综上分析可知，或【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，
20、三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论11（2023河北统考中考真题）如图1和图2，平面上，四边形中，点在边上，且将线段绕点顺时针旋转到的平分线所在直线交折线于点，设点在该折线上运动的路径长为，连接(1)若点在上，求证：；(2)如图2连接求的度数，并直接写出当时，的值；若点到的距离为，求的值；(3)当时，请直接写出点到直线的距离（用含的式子表示）【答案】(1)见解析(2)，；或(3)【分析】（1）根据旋转的性质和角平分线的概念得到，然后证明出，即可得到；（2）首先根据勾股定理得到，然后利用勾股定理的逆定理即可求出；首先画出图形，
21、然后证明出，利用相似三角形的性质求出，然后证明出，利用相似三角形的性质得到，进而求解即可；当点在上时，分别求得，根据正切的定义即可求解；当在上时，则，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点，证明，得出，进而求得，证明，即可求解；（3）如图所示，过点作交于点，过点作于点，则四边形是矩形，证明，根据相似三角形的性质即可求解【详解】（1）将线段绕点顺时针旋转到，的平分线所在直线交折线于点，又；（2），；如图所示，当时，平分，即解得如图所示，当点在上时，；如图所示，当在上时，则，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点，即，解得：，综上所述，的值为或；（3）解：当时，在上，如图所示，过点作交于点，过
22、点作于点，则四边形是矩形，又，又，设，即，整理得即点到直线的距离为【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，求正切值，熟练掌握以上知识且分类讨论是解题的关键12（2023四川达州统考中考真题）（1）如图，在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点落在上处，若，求的值；（2）如图，在矩形的边上取一点，将四边形沿翻折，使点落在的延长线上处，若，求的值；（3）如图，在中，垂足为点，过点作交于点，连接，且满足，直接写出的值【答案】（1）；（2）5；（3）【分析】（1）由矩形性质和翻折性质、结合勾股定理求得，设则，中利用勾股定理求得，则，进而求解即可；（2）由矩形的性质和翻折
23、性质得到，证明，利用相似三角形的性质求得，则，在中，利用勾股定理求得，进而求得，可求解；（3）证明得到，则；设，过点D作于H，证明得到，在中，由勾股定理解得，进而可求得，在图中，过B作于G，证明，则，再证明，在中利用锐角三角函数和求得即可求解【详解】解：（1）如图，四边形是矩形，由翻折性质得，在中，设，则，在中，由勾股定理得，解得，；（2）如图，四边形是矩形，由翻折性质得， ，即，又，在中，则，；（3），则；设，过点D作于H，如图，则，；，又，在中，由勾股定理得，解得，在中，在图中，过B作于G，则，则，在中， ，则，【点睛】本题考查矩形的性质、翻折性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三
24、角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，综合性强，较难，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线求解是解答的关键13（2023湖南郴州统考中考真题）已知是等边三角形，点是射线上的一个动点，延长至点，使，连接交射线于点(1)如图1，当点在线段上时，猜测线段与的数量关系并说明理由；(2)如图2，当点在线段的延长线上时，线段与的数量关系是否仍然成立？请说明理由；如图3，连接设，若，求四边形的面积【答案】(1)，理由见解析(2)成立，理由见解析【分析】（1）过点作，交于点，易得，证明，得到，即可得出结论（2）过点作，交的延长线于点，易得，证明，得到，即可得出结论；
25、过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，根据已知条件推出，得到，证明，得到，求出的长，利用四边形的面积为进行求解即可【详解】（1）解：，理由如下：是等边三角形，过点作，交于点，为等边三角形，又，；（2）成立，理由如下：是等边三角形，过点作，交的延长线于点，为等边三角形，又，；过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，则：，由知：为等边三角形，为等边三角形，设，则：，即：，联立可得：（负值已舍去），经检验是原方程的根，四边形的面积为【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形本题的综合性强，难度大，属于中考压轴题，解题的关键是添加辅
26、助线构造特殊三角形，全等和相似三角形14（2023湖北宜昌统考中考真题）如图，在正方形中，E，F分别是边，上的点，连接，(1)若正方形的边长为2，E是的中点如图1，当时，求证：；如图2，当时，求的长；(2)如图3，延长，交于点G，当时，求证：【答案】(1)详见解析；(2)详见解析【分析】（1）由，证明，可得结论；如图，延长，交于点G作，垂足为H，证明，可得，可得，设可得，可得，可得，证明，可得，从而可得答案；（2）如图，延长，作，垂足为H，证明，设，可得，由，可得，可得，由可得，可得，证明，可得，从而可得答案【详解】（1）解：如图，正方形中，如图，延长，交于点G，作，垂足为H，且，方法一：设，
27、在中，方法二：在中，由，设，又且，；（2）如图延长，作，垂足为H，且，设，在中，在中，则，又且，【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，本题计算量大，对学生的要求高，熟练的利用参数建立方程是解本题的关键15（2023湖北武汉统考中考真题）问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，交于点，探究与的数量关系问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）延长过点F作，证
28、明即可得出结论（2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明（3）过点A作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为，由（2）知，通过相似求出，即可解出【详解】（1）延长过点F作，在和中，故答案为：（2）解：在上截取，使，连接，（3）解：过点作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为，在中，由（2）知，在上截取，使，连接，作于点O由（2）知，【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似16（2023山西统考中考真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中将和按
29、图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）当时，延长交于点试判断四边形的形状，并说明理由(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点试猜想线段和的数量关系，并加以证明请你解答此问题；“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长请你思考此问题，直接写出结果【答案】(1)正方形，见解析(2)，见解析；【分析】（1）先证明四边形是矩形，再由可得，从而得四边形是正方形；（2）由已知可得，再由等积方法，再结合已知即可证明结论；设的交点为M，过M
30、作于G，则易得，点G是的中点；利用三角函数知识可求得的长，进而求得的长，利用相似三角形的性质即可求得结果【详解】（1）解：四边形为正方形理由如下：，四边形为矩形，矩形为正方形（2）：证明：，即，由（1）得，解：如图：设的交点为M，过M作于G， ，；，点G是的中点；由勾股定理得，；，即；，即的长为【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键17（2023湖北十堰统考中考真题）过正方形的顶点作直线，点关于直线的对称点为点，连接，直线交直线于点(1)如图1，若，则_；(2)如
31、图1，请探究线段，之间的数量关系，并证明你的结论；(3)在绕点转动的过程中，设，请直接用含的式子表示的长【答案】(1)(2)(3)，或，或【分析】（1）如图，连接，由对称知，由四边形是正方形得，所以，从而；（2）如图，连接，交于点H，由轴对称知，,，可证得，由勾股定理得，中，中，从而；（3）由勾股定理，分情况讨论：当点F在D,H之间时，；当点D在F,H之间时，；当点H在F,D之间时，【详解】（1）解：如图，连接，点关于直线的对称点为点，关于对称，四边形是正方形， ，故答案为：20（2）解：；理由如下：如图，由轴对称知，,，而中，中，即；（3），如图，当点F在D,H之间时，如图，当点D在F,H之
32、间时，如图，当点H在F,D之间时，【点睛】本题考查轴对称的性质，正方形的性质，等腰三角形知识，勾股定理等，将运动状态的所有可能考虑完备，分类讨论是解题的关键18（2023辽宁大连统考中考真题）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质已知，点为上一动点，将以为对称轴翻折同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点落在上时，”小红：“若点为中点，给出与的长，就可求出的长”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：问题1：在等腰中，由翻折得到（1）如图1，当点落在上时，求证：；（2）如图2，若点为中点，求的长问题解决：小明经过探
33、究发现：若将问题1中的等腰三角形换成的等腰三角形，可以将问题进一步拓展问题2：如图3，在等腰中，若，则求的长【答案】（1）见解析；（2）；问题2：【分析】（1）根据等边对等角可得，根据折叠以及三角形内角和定理，可得，根据邻补角互补可得，即可得证；（2）连接，交于点，则是的中位线，勾股定理求得，根据即可求解；问题2：连接，过点作于点，过点作于点，根据已知条件可得，则四边形是矩形，勾股定理求得，根据三线合一得出，根据勾股定理求得的长，即可求解【详解】（1）等腰中，由翻折得到，；（2）如图所示，连接，交于点，折叠，是的中点，在中，在中，；问题2：如图所示，连接，过点作于点，过点作于点，又，四边形是矩
34、形，则，在中，,，在中， 在中，【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键19（2023山东统考中考真题）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，垂足为点求证：【问题解决】（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，延长到点，使，连接求证：【类比迁移】（3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，求的长【答案】（1）见解析（2）见解析（3）3【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可得证；（2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证；（3）延长
35、到点，使，连接，由菱形的性质可得，则，推出，由全等的性质可得，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可【详解】（1）证明：四边形是矩形，；（2）证明：四边形是正方形，又，点在的延长线上，；（3）解：如图，延长到点，使，连接，四边形是菱形，是等边三角形，【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键20（2023福建统考中考真题）如图1，在中，是边上不与重合的一个定点于点，交于点是由线段绕点顺时针旋转得到的，的延长线相交于点(1)求证：；(2)求的
36、度数；(3)若是的中点，如图2求证：【答案】(1)见解析(2)(3)见解析【分析】（1）由旋转的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，再证明、，即可证明结论；（2）如图1：设与的交点为，先证明可得，再证明可得，最后运用角的和差即可解答；（3）如图2：延长交于点，连接，先证明可得，再证可得；进而证明即，再说明则根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答【详解】（1）解： 是由线段绕点顺时针旋转得到的，（2）解：如图1：设与的交点为， ，又，（3）解：如图2：延长交于点，连接， ，是的中点，又，由（2）知，即，【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形及直角三角形的判定与性质等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键21（2023四川统考中考真题）如图1，已知线段，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且(1)若，以为边在上方作，且，连接，用等式表示线段与的数量关系是 ；(2)如图2，在(1)的条件下，若，求的长；(3)如图3，若，
