1、专题30 新定义与阅读理解创新型问题（31题）一、单选题1（2023湖北武汉统考中考真题）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积，其中分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点已知，则内部的格点个数是（）A266B270C271D285【答案】C【分析】首先根据题意画出图形，然后求出的面积和边界上的格点个数，然后代入求解即可【详解】如图所示，上有31个格点，上的格点有，共10个格点，上的格点有，共19个格点，边界上的格点个数，解得内部的格点个数是271故选：C【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解决问题的关键是
2、掌握数形结合的数学思想2（2023湖南张家界统考中考真题）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”若等边的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（）ABCD【答案】B【分析】根据等边三角形的性质及弧长公式求解即可【详解】解：等边三角形的边长为3，该“莱洛三角形”的周长，故选：B【点睛】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，熟练掌握等边三角形的性质和弧长公式是解题的关键3（2023重庆统考中考真题）在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算
3、，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”例如：，下列说法：存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果其中正确的个数是A0B1C2D3【答案】C【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法和说法需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案【详解】解：，故说法正确若使其运算结果与原多项式之和为0，必须出现，显然无论怎么添加绝对值，都无法使的符号为负，故说法正确当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是；当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是；共有7种情况；有两
4、对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法不符合题意故选：C【点睛】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用4（2023湖南岳阳统考中考真题）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”若关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】利用“倍值点”的定义得到方程，则方程的，可得，利用对于任意的实数总成立，可得不等式的判别式小于0，解不等式可得出的取值范围【详解】解：由“倍值点”的定义可得：，整理得，关于的二次函数（为常数，）总
5、有两个不同的倍值点，对于任意实数总成立，整理得，或当时，解得，当时，此不等式组无解，故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式以及二次函数与不等式的关系，理解新定义并能熟练运用是解答本题的关键5（2023山东统考中考真题）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是三倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】由题意可得：三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求出【详解】解：由题意可得：三倍点
6、所在的直线为，在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，即在的范围内，和至少有一个交点，令，整理得：，则，解得，或当时，即，解得，当时，即，解得，综上，c的取值范围是，故选：D【点睛】本题考查二次函数与一次函数交点问题，熟练掌握相关性质是关键6（2023福建统考中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在九章算术注中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的
7、面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（）ABC3D【答案】C【分析】根据圆内接正多边形的性质可得，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点，则，故正十二边形的面积为，圆的面积为，用圆内接正十二边形面积近似估计的面积可得，故选：C【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积
8、是解题的关键二、填空题7（2023甘肃武威统考中考真题）如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点处离开水面，逆时针旋转上升至轮子上方处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从处（舀水）转动到处（倒水）所经过的路程是
9、_米（结果保留）【答案】【分析】把半径和圆心角代入弧长公式即可；【详解】故填：【点睛】本题考查弧长公式的应用，准确记忆公式，并正确代入公式是解题的关键8（2023湖北随州统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次问最终
10、状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有_盏【答案】10【分析】灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”，确定1-100中，各个数因数的个数，完全平方数的因数为奇数个，从而求解【详解】所有灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”；因数的个数为奇数的自然
11、数只有完全平方数，1-100中，完全平方数为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100；有10个数，故有10盏灯被按奇数次，为“亮”的状态；故答案为：10【点睛】本题考查因数分解，完全平方数，理解因数的意义，完全平方数的概念是解题的关键9（2023湖南常德统考中考真题）沈括的梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图是以O为圆心，为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当，时，_（结果保留一位小数）【答案】0.1【分析】由已知求得与的值，代入得弧长的近似值，利用弧长公式可求弧长的值，进而即可得解【详解】，C是弦的中
12、点，D在上，延长可得O在上，故答案为：【点睛】本题考查扇形的弧长，掌握垂径定理。弧长公式是关键10（2023北京统考中考真题）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；各道工序所需时间如下表所示：工序ABCDEFG所需时间/分钟99797102在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要_分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的
13、加工，则最少需要_分钟【答案】53；28【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A，乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，然后可得答案【详解】解：由题意得：（分钟），即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；假设这两名学生为甲、乙，工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成，甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟，然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序
14、C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟，最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟，若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要（分钟），故答案为：53，28；【点睛】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键11（2023重庆统考中考真题）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”如：四位数7311，7311是“天真数”；四位数8421，8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为_；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，若能被10整除，则满足条件的M的最
15、大值为_【答案】6200；9313【分析】根据题中“天真数”可求得最小的“天真数”；先根据题中新定义得到，进而，若M最大，只需千位数字a取最大，即，再根据能被10整除求得，进而可求解【详解】解：根据题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小，所以最小的“天真数”为6200；根据题意，则，若M最大，只需千位数字a取最大，即，能被10整除，满足条件的M的最大值为9313，故答案为：6200，9313【点睛】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解新定义是解答的关键12（2023四川乐山统考中考真题）定义：若x，y满足且（t为常数），则称点为“和谐点”（1）若是“和谐点”，
16、则_（2）若双曲线存在“和谐点”，则k的取值范围为_【答案】；【分析】（1）根据“和谐点”的定义得到，整理得到，解得（不合题意，舍去），即可得到答案；（2）设点为双曲线上的“和谐点”，根据“和谐点”的定义整理得到，由得到，则，由进一步得到，且，根据二次函数的图象和性质即可得到k的取值范围【详解】解：（1）若是“和谐点”，则，则，即，解得（不合题意，舍去），故答案为：（2）设点为双曲线上的“和谐点”，即，则，即，且，对抛物线来说，开口向下，当时，当时，对称轴为，当时，k取最大值为4，k的取值范围为，故答案为：【点睛】此题考查了反比例函数的性质、二次函数的图象和性质等知识， 读懂题意，熟练掌握反比
17、例函数和二次函数的性质是解题的关键13（2023浙江绍兴统考中考真题）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则_【答案】或【分析】根据题意求得点，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解【详解】由，当时，四边形是矩形，当抛物线经过时，将点，代入，解得：当抛物线经过点时，将点,代入，解得：综上所述，或，故答案为：或【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键14（202
18、3重庆统考中考真题）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”例如：四位数4129，4129是“递减数”；又如：四位数5324，5324不是“递减数”若一个“递减数”为，则这个数为_；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是_【答案】；8165【分析】根据递减数的定义进行求解即可【详解】解： 是递减数，这个数为；故答案为：一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，能被整除，能被9整除，各数位上的数字互不相等且均不为0，最大的递减数，即：，最大取，此时
19、，这个最大的递减数为8165故答案为：8165【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程的应用理解并掌握递减数的定义，是解题的关键三、解答题15（2023内蒙古通辽统考中考真题）阅读材料：材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值解：m，n是一元二次方程的两个实数根，则根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则_，_；(2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；(3)提升：已知实数s，t满足且，求的值【答案】(1)，(2)(3)的值为或【分析】（1）直
20、接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，再根据，最后代入求值即可；（3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为，故答案为：，；（2）解：一元二次方程的两根分别为m、n，；（3）解：实数s、t满足，s、t可以看作方程的两个根，或，当时，当时，综上分析可知，的值为或【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键16（2023江苏徐州统考中考真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博
21、物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据尔雅释器记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 ；(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔【答案】(1)(2)符合，图
22、见详解；图见详解【分析】（1）根据圆环面积可进行求解；（2）先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；先确定好圆的圆心，然后根据平行线所截线段成比例可进行作图【详解】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为；环的“肉”的面积为，它们的面积之比为；故答案为；（2）解：在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可由作图可知满足比例关系为的关系；
23、按照中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接，然后分别过点C、D作的平行线，交于点F、G，进而以为直径画圆，则问题得解；如图所示：【点睛】本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的基本性质及平行线所截线段成比例是解题的关键17（2023浙江宁波统考中考真题）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角(1)如图1，在四边形中，对角线平分求证：四边形为邻等四边形(2)如图2，在65的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形
24、，请画出所有符合条件的格点D(3)如图3，四边形是邻等四边形，为邻等角，连接，过B作交的延长线于点E若，求四边形的周长【答案】(1)证明见解析(2)画图见解析(3)【分析】（1）先证明，再证明，即可得到结论；（2）根据新定义分两种情况进行讨论即可；，结合图形再确定满足或的格点D；，结合图形再确定满足的格点D；（3）如图，过作于，可得四边形是矩形，证明四边形为平行四边形，可得，设，而，由新定义可得，由勾股定理可得：，再解方程可得答案【详解】（1）解：，对角线平分，四边形为邻等四边形（2）解：，即为所求；（3）如图，过作于，四边形是矩形，四边形为平行四边形，设，而，由新定义可得，由勾股定理可得：，
25、整理得：，解得：，（不符合题意舍去），四边形的周长为【点睛】本题考查的是新定义的含义，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键18（2023山西统考中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边，的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形瓦里尼翁是法国数学家、力学家瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼
26、翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半此结论可借助图1证明如下：证明：如图2，连接，分别交于点，过点作于点，交于点分别为的中点，（依据1），四边形是瓦里尼翁平行四边形，即，即，四边形是平行四边形（依据2），同理，任务：(1)填空：材料中的依据1是指：_依据2是指：_(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，使得四边形为矩形；（要求同时画出四边形的对角线）(3)在图1中，分别连接得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论【答案】(1)三
27、角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）；平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）(2)答案不唯一，见解析(3)平行四边形的周长等于对角线与长度的和，见解析【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的定义解答即可；（2）作对角线互相垂直的四边形，再顺次连接这个四边形各边中点即可；（3）根据三角形中位线定理得瓦里尼翁平行四边形一组对边和等于四边形的一条对角线，即可得妯结论【详解】（1）解：三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）（2）解：答案不唯一，只要是对角
28、线互相垂直的四边形，它的瓦里尼翁平行四边形即为矩形均可例如：如图即为所求（3）瓦里尼翁平行四边形的周长等于四边形的两条对角线与长度的和，证明如下：点分别是边的中点，同理四边形的周长即瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度的和【点睛】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，三角形中位线熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键19（2023河北统考中考真题）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式：从点移动到点称为一次乙方式例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点(1)设直线经过上例
29、中的点，求的解析式；并直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式；(2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点其中，按甲方式移动了m次用含m的式子分别表示；请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上设这条直线为，在图中直接画出的图象；(3)在（1）和（2）中的直线上分别有一个动点，横坐标依次为，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式【答案】(1)的解析式为；的解析式为；(2)；的解析式为，图象见解析；(3)【分析】（1）根据待定系数法即可求出的解析式，然后根据直线平移的规律：上加下减即可求出直线的解析式；（2）根据题意可
30、得：点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为，再得出点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果；由的结果可得直线的解析式，进而可画出函数图象；（3）先根据题意得出点A，B，C的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，再把点C的坐标代入整理即可得出结果【详解】（1）设的解析式为，把、代入，得，解得：，的解析式为；将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式为；（2）点P按照甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次，点P按照乙方式移动了次，点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为；点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标为，纵坐标为，；由于，直线的解析式为；函数图象如图所示：（3）点
31、的横坐标依次为，且分别在直线上，设直线的解析式为，把A、B两点坐标代入，得，解得：，直线的解析式为，A，B，C三点始终在一条直线上，整理得：；即a，b，c之间的关系式为：【点睛】本题是一次函数和平移综合题，主要考查了平移的性质和一次函数的相关知识，正确理解题意、熟练掌握平移的性质和待定系数法求一次函数的解析式是解题关键20（2023湖南张家界统考中考真题）阅读下面材料：将边长分别为a，的正方形面积分别记为，则例如：当，时，根据以上材料解答下列问题：(1)当，时，_，_；(2)当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想；(3)当，时
32、，令，且，求T的值【答案】(1)，(2)猜想结论：，证明见解析(3)【分析】（1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可；（2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可；（3）结合题意利用（2）中结论求解即可【详解】（1）解：当，时，原式；当，时，原式；（2）猜想结论：证明：；（3）【点睛】题目主要考查利用完全平方公式进行计算，理解题意，得出相应规律是解题关键21（2023湖北荆州统考中考真题）如图1，点是线段上与点，点不重合的任意一点，在的同侧分别以，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线(1)如
33、图2，在个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段请用三种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在中，延长至点，使，作的等联角和将沿折叠，使点落在点处，得到，再延长交的延长线于，连接并延长交的延长线于，连接确定的形状，并说明理由；若，求等联线和线段的长（用含的式子表示）【答案】(1)见解析(2)等腰直角三角形，见解析；【分析】（1）根据新定义，画出等联角；（2）是等腰直角三角形，过点作交的延长线于由折叠得，证明四边形为正方形，进而证明，得出即可求解；过点作于，交的延长线于，则证明，得出，在中，进而证
34、明四边形为正方形，则，由，得出，根据相似三角形的性质得出，根据即可求解【详解】（1）解：如图所示（方法不唯一）（2）是等腰直角三角形理由为：如图，过点作交的延长线于由折叠得，四边形为正方形又， ，而，是等腰直角三角形过点作于，交的延长线于，则，由是等腰直角三角形知：，而，在中，由，四边形为正方形，由，得：，而，即，解得：，由知：，【点睛】本题考查了几何新定义，正方形的性质与判定，折叠问题，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，理解新定义，掌握正方形的性质是解题的关键22（2023内蒙古赤峰统考中考真题）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横
35、坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”(1)如图，矩形的顶点坐标分别是，在点，中，是矩形“梦之点”的是_；(2)点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是_，直线的解析式是_当时，x的取值范围是_(3)如图，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接，判断的形状，并说明理由【答案】(1)，(2)，或(3)是直角三角形，理由见解析【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形内部或边上即可；（2）把代入求出解析式，再求与的交点即为，最后根据函数图象判断当时，x的取值范围；（3）根据“梦之点”的定义求出点A，B的坐标，再求
36、出顶点C的坐标，最后求出，即可判断的形状【详解】（1）矩形的顶点坐标分别是，矩形“梦之点”满足，点，是矩形“梦之点”，点不是矩形“梦之点”，故答案为：，；（2）点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，把代入得，“梦之点”的横坐标和纵坐标相等，“梦之点”都在直线上，联立，解得或，直线的解析式是，函数图象如图：由图可得，当时，x的取值范围是或；故答案为：，或；（3）是直角三角形，理由如下：点A，B是抛物线上的“梦之点”，联立，解得或，顶点，是直角三角形【点睛】本题是函数的综合题，考查了一次函数、反比例函数、二次函数，理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式，正确理解新定义是解决此题的关键23（202
37、3北京统考中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1对于的弦和外一点C给出如下定义：若直线，中一条经过点O，另一条是的切线，则称点C是弦的“关联点”(1)如图，点，在点，中，弦的“关联点”是_若点C是弦的“关联点”，直接写出的长；(2)已知点，对于线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”，记的长为t，当点S在线段上运动时，直接写出t的取值范围【答案】(1)，；(2)或【分析】（1）根据题目中关联点的定义并分情况讨论计算即可；（2）根据，两点来求最值情况，S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的的垂直平分线上，运用相似三角形计算即可【详解】（1）解：由关联点的定义可知，若直线中一经过点O，
38、另一条是的切线，则称点C是弦的“关联点”，点，直线经过点O，且与相切，是弦的“关联点”，又和横坐标相等，与都位于直线上，与相切，经过点O，是弦的“关联点”，设，如下图所示，共有两种情况，a、若与相切，经过点O，则、所在直线为： ，解得：，b、若与相切，经过点O，则、所在直线为：，解得：，综上，（2）解：线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”，又弦随着S的变动在一定范围内变动，且，S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的的垂直平分线上，如图所示，当S位于点时，为的切线，作，的半径为1，且为的切线，即，解得，根据勾股定理得，根据勾股定理，同理，当S位于点时，的临界值为和当S位于经过点O的
39、的垂直平分线上即点K时，点，又的半径为1，三角形为等边三角形，在此情况下，当S位于经过点O的的垂直平分线上即点K时，的临界值为和，在两种情况下，的最小值在内，最大值在，综上所述，t的取值范围为或，【点睛】本题主要考查最值问题，题目较为新颖，要灵活运用知识点，明确新概念时解答此题的关键24（2023四川凉山统考中考真题）阅读理解题：阅读材料：如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则证明：设，易证，若时，当，则同理：若时，当，则根据上述材料，完成下列问题：如图2，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知(1)求
40、反比例函数的解析式；(2)直接写出的值；(3)求直线的解析式【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）首先求出点，然后设，在中，利用勾股定理求出，得到，然后代入求解即可；（2）首先根据，得到，求出，然后利用正切值的概念求出，然后证明出四边形是矩形，得到，然后由即可求出；（3）首先根据矩形的性质得到，然后利用求出，进而得到，然后设直线的解析式为，利用待定系数法将和代入求解即可【详解】（1）将代入得，直线与反比例函数的图象交于点，设，在中，解得，点A的横坐标要大于点B的横坐标，应舍去，将代入，解得；反比例函数的解析式为；（2），四边形是矩形，将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，；（3）四边形是
41、矩形，即，解得，设直线的解析式为，将和代入得，解得，直线的解析式为【点睛】此题考查了反比例函数，一次函数和几何综合题，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是正确理解材料的内容25（2023浙江台州统考中考真题）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：流水时间t/min010203040水面高度h/cm（观察值）302928.12725.8任务1分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系任务2利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在
