1、 20182018 年秋季高中二年级期末质量评价检测年秋季高中二年级期末质量评价检测 数学（文科）数学（文科） 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的. . 1.钱大妈常说“便宜没好货”，她这句话的意思中：“好货”是“不便宜”的 A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 “好货”“不便宜”，反之不成立即可判
2、断出结论 【详解】 “好货”“不便宜”， 反之不成立 “好货”是“不便宜”的充分不必要条件 故选：A 【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法和推理能力与计算能力，属于基础题 2.已知命题 ：若，则，命题 ：，则下列命题为真命题的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先判定命题 p与 q 的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出 【详解】命题 ：若，则，是真命题. 命题 ： ，则，因此不，是假命题. 则下列命题为真命题的是 . 故选：A. 【点睛】本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 3.已知椭圆，则下列结论正确的是（
3、 ） A. 长轴长为 B. 焦距为 C. 短轴长为 D. 离心率为 【答案】D 【解析】 【分析】 将椭圆化为标准方程，根据方程可求得 a、b、c的值，求椭圆的离心率，进而判断各选项。 【详解】由椭圆方程化为标准方程可得 所以 长轴为 ，焦距，短轴，离心率 所以选 D 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及 a、b、c的含义，椭圆离心率的求法，属于基础题。 4. 将一条长为 6 的线段分成长度为正整数的三条线段，则这三条线段可以构成三角形的概 率是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 将一条长为 6 的线段分成长度为正整数的三条线段，所有的公法共有： 三 种，其中 均不能构成三角
4、形，能构成三角形.故能构成三角形的概率为 故正确答案为 B 5.在平面直角坐标系中，经过点且离心率为的双曲线的标准方程为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由，得，当焦点在 x 轴时，设双曲线方程为，代入 ，得，解得 ，当焦点在 y 轴时，设双曲线方程为 ，代入，得，无解。所以，即双曲线方 程为，选 B. 【点睛】求圆锥线方程，一定要先定位，再定量，当不能定位时，要根据焦点在 x 轴，y 轴 分类讨论。 6.已知函数，则的单调增区间是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可 【详解】 ， ，
5、当 时，函数单调递减； 当时，函数单调递增. 故选:B. 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，注意定义域，是一道常规题 7.某单位青年、中年、老年职员的人数之比为 1087，从中抽取 200 名职员作为样本，若 每人被抽取的概率是 0.2，则该单位青年职员的人数为( ) A. 280 B. 320 C. 400 D. 1000 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为，从中 抽取名职员作为样本，得到要从该单位青年职员中抽取的人数，根据每人被抽取的概率 为，得到要求的结果 【详解】由题意知这是一个分层抽样问题， 青年、中年
6、、老年职员的人数之比为，从中抽取名职员作为样本， 要从该单位青年职员中抽取的人数为： 每人被抽取的概率为， 该单位青年职员共有 故选 【点睛】本题主要考查了分层抽样问题，运用计算方法求出结果即可，较为简单，属于基础 题。 8.执行如图所示程序框图，输出的 S（ ） A. 25 B. 9 C. 17 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当，不满足判断框的条件， 退出循环输出结果即可 【详解】按照程序框图依次执行为，； ，； ， 退出循环，输出故应选 C 【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意 区分程
7、序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结 构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6） 在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算， 直到达 到输出条件即可. 9.甲、乙两位同学在高一年级的 5 次考试中，数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的 平均成绩分别是，则下列叙述正确的是（ ） A. ，乙比甲成绩稳定 B. ，甲比乙成绩稳定 C. ，乙比甲成绩稳定 D. ，甲比乙成绩稳定 【答案】C 【解析】 甲的平均成绩，甲的成绩的方差 ； 乙的平均成绩，乙的成绩的方差 . ，乙比甲成绩
8、稳定. 故选 C. 10.已知为函数的导函数，当 是斜率为 的直线的倾斜角时，若不等式 恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数g（x），根据函数单调性和三角函数值即可判断 【详解】ktanx，f（x）f（x）k0，x） cosxf（x）sinxf（x）0， 设g（x）， g（x）， 不等式f（x）f（x）k0 恒成立， g（x）0 恒成立， g（x）在（0， ）上单调递增， g（ ）g（1）g（ ）g（ ） ， ， f（ ）f（ ） ，2f（ ） ，f（ ）f（ ） ，f（ ）f（ ） A，C，D错误，B正确， 故选：B 【点睛】本题考查了导数和函数
9、的单调性的关系，关键是构造函数，属于中档题 11.在直角坐标系中， 是椭圆 ：的左焦点， 分别为左、右顶点， 过点 作 轴的垂线交椭圆 于 ， 两点，连接交 轴于点 ，连接交于点，若是 线段的中点，则椭圆 的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意结合几何性质找到 a,c 的关系即可确定椭圆的离心率。 【详解】如图，连接 BQ，则由椭圆的对称性易得PBF=QBF，EAB=EBA，所以 EAB=QBF，所以 ME/BQ. 因为PMEPQB，所以， 因为PBFEBO，所以，从而有， 又因为 M是线段 PF的中点，所以. 本题选择 C选项. 【点睛】椭圆的离心率
10、是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或 离心率的取值范围)，常见有两种方法： 求出 a，c，代入公式； 只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2a2c2转化为 a，c的齐次式， 然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2转化为关于 e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可 得 e(e的取值范围) 12.过点作抛物线 的两条切线，切点为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设抛物线过点 的切线方程为，即 ，将点代入可得 ，同理 都 满足方程，即为直线的方程为，与抛物线联立，可得 ， 点 到直线的距离， 则的 面积为，故选 B. 【方法点晴】
11、本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及弦长公式与点到直线距离公式， 属 于难题.求曲线切线方程的一般步骤是： （1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在 处的切线与 轴平行时，在 处导数不存在，切线方 程为） ； （2）由点斜式求得切线方程. 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.已知一组数据从小到大排列为1,0,4，x,6,15，且这组数据的中位数为 5，则这组数据 的众数为_. 【答案】6 【解析】 这组数据按从小到大的顺序排列其中中间的两个数为 4， 这
12、组数据的中位数为x 6，故这组数据的众数为 6，填 6. 14.在区间中随机取出两个数，则两数之和小于 的概率是_ 【答案】 【解析】 【分析】 利用几何概型面积公式直接计算即可. 【详解】设取出两个数为；则，若这两数之和小于 ，则有 ， 根据几何概型，原问题可以转化为求不等式组表示的区域与表示区域的 面积之比问题，如图所示；易得其概率为. 【点睛】几何概型概率公式的应用： （1）一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上 即可； （2）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的 基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面
13、积有关的几何概型； （3）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表 示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型. 15.设抛物线 ：的焦点为 ，点 为抛物线 上一点，若 ，则直线的倾斜角为 _ 【答案】 或. 【解析】 【分析】 先设出 A 的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而 利用点到直线的距离求得 x 的值，代入抛物线方程求得 y然后求解直线的斜率，得到直线 FA 的倾斜角 【详解】设该 坐标为，抛物线 ：的焦点为，根据抛物线定义可知， 解得，代入抛物线方程求得 ， 故 坐标为：，的斜率为： ， 则直线的倾斜角
14、为： 或. 【点睛】 本题主要考查了抛物线的简单性质 在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线 的定义来解决 16.若函数在 内有且只有一个零点，则在上的最大值 与最小值的和为_ 【答案】. 【解析】 分析： 先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件， 求出参数 a,再根据单 调性确定函数最值，即得结果. 详解： 由得， 因为函数在上有且仅有一个零点且， 所以，因此从而函数在上单调递增，在上单 调递减，所以 ， 点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件从图象 的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象 的走向趋势，分
15、析函数的单调性、周期性等 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤算步骤. .） 17.已知集合. （1）若，且为整数，求的概率； （2）若，求的概率. 【答案】 （1） （2） 【解析】 【分析】 （1）因为 x，yZ，且 x0，2，y1，1，基本事件是有限的，所以为古典概型，这样 求得总的基本事件的个数，再求得满足 x，yZ，x+y0的基本事件的个数，然后求比值即 为所求的概率； （2）因为，几何概型中的面积类型，先求表示的区域的面积，再求 x+y0 表示的区域的面积，
16、然后求比值即为所求的概率. 【详解】解： （1）设“，”为事件 ， ， 即；，即. 则基本事件有：，共 9 个，其中 满足的基本事件有 8 个， 所以. 故，的概率为 . （2）设“，”为事件 ，因为，则基本事件为如图四边 形区域，事件 包括的区域为其中的阴影部分. 所以 ， 故“ ，”的概率为 . 【点睛】本题主要考查了古典概型与几何概型，属于中档题。解 决古典概型问题时，首先分析试验的基本事件是什么，然后找到所有的基本事件，计算事件 总数，其次要找到所研究事件包含的基本事件，计算总数，然后根据比值计算概率；几何概 型问题时，首先分析基本事件的总体， 再找所研究事件的区域，选择合适的度量方式
17、，概 率就是度量比，一般是长度、面积、体积。 18.已知， 命题 ： 关于 的不等式 对一切恒成立， 命题 ： 抛物线 的焦点在点的左侧.若 或 为真， 且 为假，求实数的取值范围. 【答案】或 【解析】 【分析】 先分别求出 p，q 为真时实数 a的取值范围，再由 p或 q为真，p且 q为假，可知 p和 q 一真 一假，从而解得 【详解】解：设，若关于 的不等式对一切恒成立， 则 ， . 若抛物线的焦点在点的左侧，则且. 由 或 为真， 且 为假，可知 和 一真一假. 若 真 假，则. 若 假 真，则. 综上可知，所求实数的取值范围为或. 【点睛】本题考查了复合命题的真假性的应用，考查一元二
18、次不等式恒成立问题，考查分类 讨论思想，属于基础题 19.2017 年 11 月、12 月全国大范围流感爆发，为研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间 的关系， 一兴趣小组抄录了某医院 11 月到 12 月间的连续 6 个星期的昼夜温差情况与因患感 冒而就诊的人数，得到如下资料: 日期 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 第六周 昼夜温差 x(C) 10 11 13 12 8 6 就诊人数 y(个) 22 25 29 26 16 12 该兴趣小组确定的研究方案是： 先从这六组数据中选取 2 组， 用剩下的 4 组数据求线性回归 方程，再用被选取的 2 组数据进行检验。 ()求选取的 2 组数
19、据恰好是相邻两个星期的概率； ()若选取的是第一周与第六周的两组数据，请根据第二周到第五周的 4 组数据,求出 关 于 的线性回归方程； ()若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则认为 得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想? (参考公式: ) 参考数据：1092， 498 【答案】() ;()见解析;()见解析. 【解析】 试题分析：()用列举法列出所有的基本事件，再找出相邻两个星期的数据的事件个数，利 用古典概型的概率公式即可求得；()根据所给数据分别算出 ， ，再根据求线性回归方程 系数的方法求得 ，把 ， 和 代入到求得公式，
20、求出，即可求出线性回归方程；()根据所 求的线性回归方程，将和代入求得 ，再同原来表中所给的和 对应的值做差， 差的绝对值不超过 ，即可得到线性回归方程理想 试题解析：()将连续六组数据分别记为，从六组中任意选取两组，其基本事件 为：，共 15种情况. 其中两组是相邻的为，共 5 种情况. 设抽到相邻两个星期的数据为事件，则抽到相邻两个星期的数据的概率为. ()由数据求得，由公式求得 ，再由 . 关于 的线性回归方程为 ()当 时, ； 同样, 当时, . 该小组所得线性回归方程是理想的 20.已知函数（其中） ，且曲线 在点处的切线垂直于直线 . （1）求的值及此时的切线方程； （2）求函数
21、的单调区间与极值. 【答案】 （）a= ,； （）减区间为，增区间为；极小值为， 无极大值. . 【解析】 【分析】 （）先求导函数，根据切线与直线垂直可得切线的斜率为 k=-2.由导函数的意义代 入即可求得 a 的值；代入函数后可求得，进而利用点斜式可求得切线方程。 （）将 a 代入导函数中，令，结合定义域求得 x 的值；列出表格，根据表格即可判 断单调区间和极值。 【详解】 （）由于，所以， 由于 在点 处的切线垂直于直线， 则 ，解得. 此时， 切点为，所以切线方程为. （）由（）知，则, 令，解得或（舍） ， 则的变化情况如下表， 5 0 递减 极小值 递增 所以函数的减区间为，增区间
22、为. 函数的极小值为，无极大值. . 【点睛】本题考查了函数图像上点切线方程的求法，利用导函数研究函数的单调性与极值， 属于基础题。 21.已知椭圆的离心率为 ， ， 分别为椭圆 的左、 右焦点， 且 . （1）求椭圆 的方程； （2）设为椭圆上任意一点，以为圆心，为半径作圆，当圆与直线：有公共 点时，求面积的最大值. 【答案】 （1）； （2） 【解析】 【分析】 （1）根据离心率及焦距即可求出椭圆方程（2）设点 M 的坐标为(x0，y0)，表示出圆的半径， 因为圆与直线有公共点,所以 M 到直线距离小于等于半径，即可求出 x0的取值范围，进而求 出|y0|的最大值，即可求三角形面积的最大值
23、. 【详解】(1)2c2，且 ，c1，a2，b 2a2c23. 则椭圆 C 的方程为 1. (2)设点 M 的坐标为(x0，y0)，则 1.F1(1，0)， 4，直线 l 的方程为 x4. 圆 M 与 l 有公共点，M 到 l 的距离 4x0小于或等于圆的半径 R. R 2|MF 1| 2(x 01) 2y，(4x 0) 2(x 01) 2y，即 y10 x 0150. 又 y3，310 x0150，解得 x012，又2x02， x02.当 x0 时，|y0|，此时MF1F2的面积取得最大值，且(SMF1F2)max 2. 【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率，标准方程，及直线与圆的位置关系，三
24、角形面积的 最大值，属于难题.解题时注意圆与直线的位置关系，可通过圆心到直线的距离与半径的大 小来确定. 22.已知函数. （1）证明：函数在区间上是减函数； （2）当时，证明：函数只有一个零点. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）求出函数的导数，结合 a，x 的范围得到函数的单调性，从而证明结论； （2）代入 a 的值，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值，从而证明 结论即可 【详解】分析： （1）只需证明的导函数恒成立，且不恒等于 0.注意定义域和参数 a 的范围。 （2）当时，其定义域是，通过求导分析函数的单调 性及极值可知函数的图像与 x 轴相切于（1，0）点，其余点均在 x 轴下方，所以只有一 个零点。 解： （1）显然函数的定义域为. . . 所以函数在上是减函数. （2）当时，其定义域是， . 令，即，解得或. 舍去. 当时，；当时，. 函数在上单调递增，在区间上单调递减. 当，函数取得最大值，其值为， 当时，即，函数只有一个零点. 【点睛】当在某个区间 D 上恒成立时，在区间 D 上单调递增，当在某个区 间 D 上恒成立时，在区间 D 上单调递减。求函数零点问题，一般利用导数分析函数单调 性与极值等图像特征，再根据零点存在性定理分析函数零点个数。
