1、 2018201820192019 学年度第一学期期末考试试题学年度第一学期期末考试试题 高二数学（选修物理）高二数学（选修物理） 一、填空题请把答案填写在答题纸相应位置上一、填空题请把答案填写在答题纸相应位置上 1.双曲线的渐近线方程是 （用一般式表示） 【答案】 【解析】 由题意得在双曲线中， 所以双曲线的准线方程为。 答案： 2.焦点为的抛物线标准方程是_. 【答案】 【解析】 【分析】 设抛物线标准方程为x 22py，由焦点坐标公式可得 p值，将p值代入抛物线方程即可得答 案 【详解】抛物线的焦点为（0，-5）在y轴上， 设抛物线的标准方程为x 22py， 则有 5，解可得p10， 故
2、抛物线标准方程为x 220y； 故答案为：x 220y 【点睛】本题考查抛物线的标准方程，注意分析抛物线焦点的位置，进而设出抛物线的标 准方程 3.命题“若，则”的逆否命题为_. 【答案】若，则 【解析】 【分析】 根据逆否命题的定义进行求解即可 【详解】命题若p则q的逆否命题为若q则p， 则命题“若，则”的逆否命题为：若x 20，则 x0， 故答案为：若x 20，则 x0 【点睛】本题考查四种命题之间的关系，根据逆否命题的定义是解决本题的关键 4.若，且，则的最大值是_. 【答案】1 【解析】 试题分析：根据约束条件画出可行域， 当直线 z=x-y 过点 A（1，0）时， z 最大值，最大值
3、是 1， 考点：简单的线性规划，以及利用几何意义求最值 5.已知双曲线与椭圆有公共焦点且离心率为 ，则其标准方程为_. 【答案】 【解析】 【分析】 求出椭圆的焦点坐标得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的离心率，求解a，c，得到b，即 可求出双曲线方程 【详解】双曲线与椭圆有公共焦点，可得c5， 双曲线的离心率为 ，可得a3，则b4， 则该双曲线方程为： 故答案为： 【点睛】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力 6.已知函数，则_. 【答案】3 【解析】 【分析】 对函数求导，将 x= 代入即可得到答案. 【详解】 f(x)=2cos2x+， 则 故答案为：3 【点睛】本题考查导
4、数公式的应用，考查计算能力. 7.函数的极小值是_. 【答案】 【解析】 【分析】 求函数的导数，由 f(x)0，得增区间，由 f(x)0，得减区间，从而可确定极值 【详解】函数，定义域为,则 f(x)x-， 由 f(x)0 得x1，f（x）单调递增； 当x0 或 0 x1 时，f(x)0，f（x）单调递减， 故x1 时，f（x）取极小值 故答案为： 【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间和求极值，注意判断极值点的条件，考查运算 能力，属于基础题 8.已知，若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是 _. 【答案】 【解析】 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义转化为对应关系进行求解即可
5、 【详解】x 2（a+1）x+a0 即（x1） （xa）0， p是q的必要不充分条件， 当a1 时，由（x1） （x1）0 得x1，此时不满足条件， 当a1 时，由（x1） （xa）0 得ax1，此时不满足条件 当a1 时，由（x1） （xa）0 得 1xa， 若p是q的必要不充分条件，则a3， 即实数a的取值范围是（3，+） ， 故答案为： （3，+） 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据定义转化为不等式的包含关系是 解决本题的关键. 9.若直线是曲线的一条切线，则实数 的值是_. 【答案】1 【解析】 【分析】 设出切点坐标P（x0，e x0） ，利用导数的几何意义写出在点
6、P处的切线方程，由直线yx+b是 曲线ye x的切线，根据对应项系数相等可求出实数 b的值 【详解】ye x，yex， 设切点为P（x0，e x0） ， 则在点P处的切线方程为ye x0ex0（xx 0） ， 整理得ye x0 xex0 x 0+e x0， 直线是yx+b是曲线ye x的切线， e x01，x 00， b1 故答案为：1 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查曲线在某点处的切线方程的求法，属于基础题. 10.已知是椭圆上一点，为椭圆的两个焦点，则的最大值与最小 值的差是_. 【答案】1 【解析】 试题分析：设 P（x0，y0） ，|PF1| =2+ x0，|PF2| =2- x0
7、， |PF1|PF2|=4- x0 2， ，|PF1|PF2|的最大值是 4，最大值是 3，的最大 值与最小值之差 1。 考点：本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质。 点评：应用焦半径公式，将最值问题转化成闭区间上二次函数的最值问题。 11.设集合，若，则实数 的取值范围是 _. 【答案】 【解析】 【分析】 若AB，得x 2+2（1a）x+3a0 在 x0，3有解，分离变量再构造函数g（t） ，转 为求函数最值即可得解. 【详解】集合Ax|x 2+2（1a）x+3a0，Bx|0 x3， 若AB，得x 2+2（1a）x+3a0 在 x0，3有解， 即（2x+1）ax 2+2x+3 在 x0，3
8、有解， 设t2x+1，则t1，7，则x， 则a， 设g（t），t1，7， 由对勾函数的性质可得yg（t）在（1，3）为减函数，在（3，7）上为增函数，又g（t） 的最小值为 g(3)2， 所以实数a的取值范围是2，+） ， 故答案为：2，+） 【点睛】本题考查不等式有解问题及集合交集的运算，考查转化与化归思想，考查对勾函 数图像的性质，属中档题 12.已知 ，R R +，且 ，则的最小值是_. 【答案】 【解析】 【分析】 根据a，b0，及a+3b4ab即可得出，则，展开根据基本 不等式即可得最小值 【详解】a，bR R +，且 a+3b4ab； ； 3a+4b的最小值为 故答案为： 【点睛】
9、本题考查基本不等式在求最值时的应用，注意 1 的妙用. 13.已知椭圆过点，其短轴长的取值范围是，则椭圆离心率的 取值范围是_. 【答案】 【解析】 【分析】 由椭圆的短轴长的取值范围，结合a，b关系，即可得椭圆的离心率的范围 【详解】根据题意，椭圆过点，则， 短轴长 2b 的取值范围是，可得b 2 , 即e， 故答案为： 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，求解椭圆的离心率的范围，注意短轴长为 2b 14.已知，若，使成立，则实数 的取值范围 是_. 【答案】 【解析】 【分析】 问题等价于“当xe，e 2时，有 f（x）maxf（x）max+a”，利用导数性质结合分类讨论思 想，能求出实数a的
10、取值范围 【详解】若，使成立， 等价于“当xe，e 2时，有 f（x）maxf（x）max+a”， 当xe，e 2时，lnx1，2， ，1， f（x）a+（ ） 2+ a， f（x）max+a ， 问题等价于：“当xe，e 2时，有 f（x）max ”， 当a ，即a 时， f（x）a+（ ） 2+ a0， f（x）在e，e 2上为减函数， 则f（x）maxf（e）eaee（1a） ， a1， 当 a0，即 0a 时，xe，e 2， ，1， f（x）a+，由复合函数的单调性知f（x）在e，e 2上为增函数， 存在唯一x0（e，e 2） ，使 f（x0）0 且满足：f（x）在e，x0）递减，在（
11、x0，e 2 递增， f（x）maxf（e）或f（e 2） ，而 f（e 2） ae2， 故 ae 2 ，解得：a ，无解舍去； 综上，实数a的取值范围为 故答案为： 【点睛】本题主要考查函数、导数等基本知识考查运算求解能力及化归思想、函数方程思 想、分类讨论思想的合理运用 二、解答题请在二、解答题请在答题卡指定区域内答题卡指定区域内 作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知 ：函数在 R R 上是单调增函数， ： （1）若为真命题，求实数 的取值范围； （2）若为假命题，求实数 的取值范围 【答案】 （1） （2） 【解析】 【
12、分析】 （1）函数f（x）mx2sinx在 R R 上是单调递增函数得xR R 时，f（x）0 恒成立，即m 2cosx0，即m2cosx恒成立，得 m 范围，取补集即可； （2）解二次不等式m 2m60， 利用复合命题及其真假列不等式组可得解 【详解】 （1）由函数在 R R 上是单调递增函数，得 R R 时，恒成立，且无连续区间上的导数为 0， 则 ， 恒成立，所以， 则若为真命题，则 （2）由，得，则， 所以当 为假命题时，或 又为假命题，则 ， 都是假命题， 所以实数 满足解得 【点睛】本题考查复合命题及其真假、利用导数研究函数的单调性及解二次不等式，属简单 题 16.如图，在棱长为
13、3 的正方体中，点 在棱上，且 （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求二面角的正弦值 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 （1）以 为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐 标系，求和， 利用空间向量的数量积求解即可 （2）求平面PAD1和平面BAD1的法向量， 利用空间向量的数量积求解即可 【详解】如图建立以 为原点，分别以，的方向为 轴， 轴， 轴的正方向的空间 直角坐标系， 因为棱长为 3，且可得， ， （1）则， 所以 （2）依题意，可得 设为平面的法向量， 则即不妨令，可得； 设为平面的法向量， 则即不妨令，可得 因此有，于是 所以，二面角的正弦值
14、为 【点睛】本题考查空间向量的数量积的应用，二面角与异面直线所成角的求法，考查空间想 象能力以及计算能力 17.如图，在等腰直角中， ，点 ， 分别为，边上的动 点，且 设，的面积为 （1）试用 的代数式表示； （2）当 为何值时，的面积最大？求出最大面积 【答案】 （1）（2）当时，的面积最大，最大面积为 【解析】 【分析】 （1） 先已知条件得到， 利用相似成比例化简即可得到 EC.(2)利用面积公式表示 出面积，然后求导，判断单调性，由单调性即可得到最值. 【详解】 （1）在中， ， 又，则 在和中，由得， 所以因直角中，则，所以， 代入 ； （2）的面积为 ，则 ， 则 ，得 当时，所
15、以 在上单调递增； 当时，所以 在上单调递减 所以当时， 当时，的面积最大，最大面积为 【点睛】本题考查函数解析式的求解，考查利用导数求函数最值问题，属于基础题. 18.已知抛物线经过点，过 作直线 与抛物线相切 （1）求直线 的方程； （2）如图，直线 ，与抛物线 交于 ， 两点，与直线 交于 点，是否存在常数 ，使 【答案】 （1）（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）将T（2，2）代入y 22px，得抛物线方程，设直线 l方程与抛物线方程联立，通过 0 得k2， 得直线l方程. （2） 设直线l的方程为yx+b， 联立方程组解得P（22b， 2b） ， 则PT 25b2，设 A（x1，
16、y1） ，B（x2，y2） ，与抛物线联立，利用弦长公式，转化求解即可 【详解】 （1）将代入，则，所以抛物线方程为 设直线 的方程为，联立方程组 消 得，因相切，由得， 所以直线 的方程为 设直线 的方程为，联立方程组 消 得，因相切，由得， 所以直线 的方程为 （2）因， ，设直线 的方程为，联立方程组 解得，则 设，联立方程组得， 所以，； ， 所以存在实数，使 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综 合应用，考查设而不求思想方法的应用，考查分析问题解决问题的能力 19.已知椭圆的离心率，且经过点， ， ， ， 为椭圆的四个 顶点（如图） ，直线 过右顶点 且垂直于 轴 （1）求该椭
17、圆的标准方程； （2） 为 上一点（ 轴上方） ，直线，分别交椭圆于 ， 两点，若，求点 的 坐标 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 （1）利用椭圆的离心率和经过的点，列方程组求解即可 （2）设P（2，m） ，m0，得 直线PC方程与椭圆联立， 利用韦达定理， 推出E的坐标， 同理求F点横坐标， 由SPCD2SPEF， 转化求解即可 【详解】 （1）因的离心率，且经过点， 所以 解得，所以椭圆标准方程为 （2）由（1）知椭圆方程为，所以直线 方程为， 设，则直线的方程为， 联立方程组消 得， 所以 点的横坐标为； 又直线的方程为 联立方程组消 得， 所以 点的横坐标为 由得， 则有，
18、则， 化简得，解得，因为，所以， 所以点 的坐标为 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法和直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决 问题的能力和转化思想的应用. 20.已知函数，R （1）若函数在上单调递减，在上单调递增，求 的值； （2）求函数在上的最大值； （3）当时，若有 3 个零点，求 的取值范围 【答案】 （1）（2）（3） 【解析】 【分析】 （1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出a值即可； （2）求出函数导数，通过讨论a的 范围，求出函数最大值即可； （3）求出函数导数，根据函数的单调性求出函数的极值，结合 图象判断a的范围即可 【详解】 （1）由，则 因函数在上单调递减，
19、在上单调递增，得， 当时，显然满足要求，所以 （2）因 ， 当，即时，在上单调递增， 则； 当，即时，在上单调递减， 则； 当，即时，当时，；当时， 所以在递减，在递增，则 又，故当时，； 当时，；当时， 综上，在上的最大值 （3）因得或； 又，单调递增；，单调递减；， 单调递增，则， 令，因R R，所以R R，所以与图像相同则的零点个数即为方 程不同实数解的个数 当(如图 1)，即时，有唯一负实数解，则存在使 ，而只有一个实数解，故只有一个实数解 当（如图 2） ，即时，有两个不同实数解， 因，与各有一个实数解，故有两个不同的实数解 当时（如图 3） ，即，有三个不同实数解， 因，有一个实数解，则与只能各有一个实数解 则由（2）可知在单调递减，单调递增， 则 即由得，当时， 因， 故有 综上，时，若有 3 个零点，则 的取值范围是 【点睛】本题考查了函数的单调性，极值，最值，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论 思想，转化思想，数形结合，综合性较强
