1、 山东省威海市山东省威海市 20182018- -20192019 学年高二数学上学期期末考试试题学年高二数学上学期期末考试试题 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分考试时间 120 分钟共 150 分 第卷（选择题 共 60 分） 注意事项： 每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1.已知abc，0ac ，则下列关系式一定成立的是 A. 2 cbc B. 22 ab C.abc D. (
2、)0bc ac 2.命题“任意向量, ,a b| | | |a bab”的否定为 A.任意向量, ,a b| | |a bab B.存在向量, ,a b| | |a bab C.任意向量, ,a b| | | |a bab D.存在向量, ,a b| | | |a bab 3.已知直线, l m和平面, 满足,lm.给出下列命题：/ /lm； / /lm ；/ /lm；/ /lm，其中正确命题的序号是 A. B. C. D. 4.设aR，则“1a ”是“直线 1: 240laxy与 2: (1)20lxay平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要
3、条件 5.已知等差数列 n a前17项和为34，若 3 10a ，则 99 a A.180 B.182 C.178 D.180 6.右图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米则水位上 涨1米后，水面宽为 A. 2米 B.2 米 C.2 2米 D.4米 7.已知椭圆 2 2 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F，短轴长为4 3，离心率 为 1 2 .过点 1 F的直线交椭圆于,A B两点，则 2 ABF的周长为 A.4 B.8 C.16 D.32 8.关于x的不等式 2 (2)20 xmxm的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围 为 A.(5,6 B.
4、(5,6) C.(2,3 D.(2,3) 9. 设 ,m n为正实数，若直线( 1)(1)20mxny与圆 22 (1)(1)1xy相切，则 mn的最小值为 A.1 2 B.2 2 2 C.3 2 2 D.4 2 2 10.不等式 2 2(2)0 xaxa对任意(1,5)x恒成立，则实数a的取值范围为 A.5a B.5a C.55a D. 55a 11.已知 12 ,F F分别是双曲线 22 2 1(0,0) 16 xy ab a 的左、右焦点，过点 1 F的直线与双曲 线的右支交于点P，若 212 | |PFFF，直线 1 PF与圆 222 xya相切，则双曲线的焦 距为 A.7 B.2 7
5、 C.5 D.10 12.已知函数 2 ( )6, ( )4,f xxaxg xx 若对任意 1 (0,),x 存在 2 (, 1,x 使 12 ( )()f xg x，则实数a的最大值为 A.6 B.4 C.3 D.2 第卷（非选择题 共 90 分） 注意事项： 请用 0.5 毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第卷答题纸的指定位置 在试题卷上 答题无效 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.已知圆 22 460 xyxy，则过点 (1,1)M 的最短弦所在的直线方程是 . 14.已知条件 2 :3p xaa，条件 :q 向量(2, 1, 3) a，(3, ,2)
6、xb的夹角为锐角.若p 是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 . 15.已知正三棱柱 111 ABCABC的底面边长和侧棱长相等，D为 1 A A的中点，则直线BD 与 1 BC所成的角为 . 16.毕达哥拉斯的生长程序如图所示：正方形一边上连接着等腰直角三角 形，等腰直角三角形两直角边再分别连接着一个正方形，如此继续下去, 共得到511个正方形，设初始正方形的边长为1，则最小正方形的边长 为 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.（本小题满分 10 分） 记 n S为数列 n a的前n项和，已知 1 8a ， 1 8 nn aS
7、. （）求数列 n a的通项公式； （）求使不等式 123 1000 n a aaa成立的正整数n的最小值. 18.（本小题满分 12 分） 已知三棱台 111 ABCABC， 1 AA 平面ABC， 底面ABC为直角三角形， 11 22ABACAC， 1 2AA ，点M，N分别为 1 CC， 11 AB的中点. （）求证：MN平面 1 ABC； （）求二面角ABCN的余弦值. 19.（本小题满分 12 分） 已知 n a是公差为3的等差数列，数列 n b满足 1 1b ， 2 3b ， 1 (1) nnn abnb . （）求数列 n a， n b的通项公式； （）设 nnn cab，求数列
8、 n c的前n项和 n S. 20.（本小题满分 12 分） 已知四棱锥PABCD，底面ABCD为等腰梯形， ADBC， 1 2 2 ABBCAD，AP 平面PCD， 且APPC，点E为AD中点. （）求证：BE平面APC； （）求直线AB与平面PAD所成角的正弦值. 21.（本小题满分 12 分） 已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线方程为 3 3 yx，点(2 3,1)在双 C 1 A B A 1 B 1 C N M A B C P D E 曲线上，抛物线 2 2(0)ypx p的焦点F与双曲线的右焦点重合. （）求双曲线和抛物线的标准方程； （）过点F做互
9、相垂直的直线 12 ,l l，设 1 l与抛物线的交点为,A B， 2 l与抛物线的交点 为,D E，求|ABDE的最小值. 22.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F，焦距为2 3，点P为椭圆 上一点， 12 90FPF， 12 FPF的面积为1. （）求椭圆的标准方程； （）设点B为椭圆的上顶点，过椭圆内一点(0,)Mm的直线l交椭圆于,C D两点，若 BMC与BMD的面积比为2:1，求实数m的取值范围. 高二数学答案高二数学答案 2019.012019.01 一、选择题（每题一、选择题（每题 5 5 分，共分，共
10、6060 分）分） DBDCB CCACB DA 二、填空题（每题填空题（每题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13.230 xy 14. 03a 15.90 16. 1 16 三、解答题:本大题共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.17.（本小题满分（本小题满分 1 10 0 分）分） 解：（）当1n 时， 21 816aS； -1 分 当2n时， 1 8 nn aS ，所以 11nnnnn aaSSa ， 即 1 2 nn aa ， 1 2(2) n n a n a -3 分 因为 2 2 1 16,2 a a a ，所以数列 n a为等比数列， -4 分 所
11、以 12 8 22 nn n a . -5 分 （） (5) 3 4(2) 2 123 22 n n n n a aaa ， -7 分 由 2 5 2 21000 nn ， 即 2 5 10 2 nn ，化简得 2 5200nn， -8 分 因为函数 2 520yxx在1,)单调递增， 所以，正整数n的最小值为3. -10 分 18.18.（本小题满分（本小题满分 1212 分分） 证明：（）取 11 BC的中点F，连接,NF FM， 点M，N分别为 1 CC， 11 AB的中点， 1 FMBC， 11 NFAC， -2 分 又 11 ACAC，NFAC， -3 分 FMNFF，平面MNF平面
12、 1 ABC，-5 分 MN 平面MNF， MN平面 1 ABC .-6 分 （）由题意知 1 ,AB AC AA两两垂直，以A为原点， 分别以 1 ,AB AC AA为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系， -7 分 z A 1 A 1 B 1 C F M N B x C y 则 1 (0,0,0), (2,0,0),(0,2,0),( ,0, 2), 2 ABCN -8 分 3 ( 2,2,0),(,0, 2), 2 BCBN -9 分 设平面BCN的法向量为( , , )x y zn =，由 220 3 20 2 BCxy BNxz n = n = ， 令1x ，解得 3 2 1, 4
13、 yz， 所以平面BCN的一个法向量为 3 2 (1,1,) 4 n =， -10 分 因为 1 AA 平面ABC， 可得平面ABC的一个法向量为 1 (0,0,1)n =, -11 分 3 cos, 5 1 n n，所以二面角ABCN的余弦值为 3 5 . -12 分 19.19.（本小题满分（本小题满分 1212 分分） 解：（）当1n 时， 112 (1)abb，解得 12 12ab 由已知可得23(1)31 n ann， -2 分 将 n a代入 1 (1) nnn abnb ，整理可得 1 3 n n b b ， 所以数列 n b为等比数列， -4 分 公比3q ，由 1 1,b 可
14、得 1 3n n b . -6 分 （） 1 (31)3n nnn cabn ， -7 分 21 25 38 3(31)3n n Sn （1） 23 32 35 38 3(31)3n n Sn （2） -8 分 （1）（2）可得 23 22333(31)3 nn n Sn -9 分 所以 1 39(56 )35 22(31)3 22 nn n n n Sn ， -11 分 即 (65)35 4 n n n S . -12 分 20.20.（本小题满分（本小题满分 1212 分分） 证明：（）AP 平面PCD，CD平面PCD， APCD. -1 分 E为AD中点，AD BC， DEBC且 DEB
15、C，所以四边形BEDC为平行四边形，-2 分 BECD， APBE， -3 分 ABAEBC且AE BC， 所以四边形ABCE为菱形， ACBE， -4 分 ACAPA，BE平面APC. -5 分 （）在等腰梯形ABCD中， 1 2 2 ABBCAD，24ADCD， BE 平面APC，BE CD， CD平面APC，CDAC， Rt ACD中2 3AC ，又AP 平面PCD，APPC， 3PO . -7 分 BE 平面APC， ,BOOP BOOC ， APPC，O为AC中点，POOC， ,OB OC OP两两垂直， -8 分 以O为原点，分别以,OB OC OP为 , ,x y z轴建立空间直
16、角坐标系，-9 分 则(0,3,0),(1,0,0),(0,0, 3),( 1,0,0)ABPE， ( 1, 3,0)AE ，(0, 3, 3)AP ，(1, 3,0)AB ， -10 分 设( , , )x y zn =为平面APD的法向量，则有 30 0 xy yz ，令1z ，得(3, 1,1)n =， -11 O A B C P D E z y x 分 设直线AB与平面PAD所成角为， 15 sincos, 5 AB n， 所以直线AB与平面PAD所成角的正弦值为 15 5 . -12 分 2121. .（本小题满分（本小题满分 1212 分分） 解：（）由题意可得 3 3 b a ，
17、即3ab， 所以双曲线方程为 222 33xyb， -1 分 将点(2 3,1)代入双曲线方程，可得 2 3b ， 所以双曲线的标准方程为 22 1 93 xy ， -3 分 222 12cab，所以 2 3 2 p c， 所以抛物线的方程为 2 8 3yx. -4 分 （）由题意知(2 3,0)F， 1 l， 2 l与坐标轴不平行， 设直线 1 l的方程为 (2 3)yk x， -5 分 2 (2 3) 8 3 yk x yx ，整理可得 2222 (4 38 3)120k xkxk, 0 恒成立， 2 2 4 38 3 AB k xx k , -7 分 因为直线 12 ,l l互相垂直，可
18、设直线 2 l的方程为 1 (2 3)yx k , 同理可得 2 8 34 3 DE xxk， -9 分 2 2 2 4 38 3 |28 34 38 3 ABDE k ABDExxxxpk k 2 2 1 16 38 3()32 3k k . -11 分 当且仅当1k 时取等号，所以|ABDE的最小值为32 3. -12 分 22.22.（本小题（本小题满分满分 1212 分）分） 解：（）设 12 |,|PFp PFq， 由题意可得， 22 2,12pqpq， -2 分 222 2()24apqpqpq，所以2a， -3 分 222 431bac，所求椭圆的标准方程为 2 2 1 4 x
19、y. -4 分 （）因为BMC与BMD的面积比为2:1，所以2CMDM -5 分 由题意知，直线l的斜率必存在，设为(0)k k ， 设直线l的方程为ykxm， 1122 ( ,),(,)C x yD xy，则有 12 2xx ,-6 分 联立 22 44 ykxm xy ，整理得 222 (41)8440kxkmxm，由0 得 22 410km ， 12 2 8 41 km xx k ， 2 12 2 44 41 m x x k ，由 12 2xx 可求得 2 2 2 2 2 2 8 41 44 2 41 km x k m x k ， -8 分 可得 222 222 6444 2 (41)41 k mm kk ， -9 分 整理得 2 2 2 1 4 91 m k m ， -10 分 由 2 0k ， 22 410km 可得 2 2 1 0 91 m m ， 2 1 1 9 m， -11 分 解得 1 1 3 m或 1 1 3 m . -12 分
