1、 四川省泸州市四川省泸州市 20182018- -20192019 学年高二上学期末统一考试学年高二上学期末统一考试 数学（文）试题数学（文）试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.直线的倾斜角为 A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 直线是与 轴垂直的直线，倾斜角为 90 【详解】解：直线的斜率不存在，倾斜角为 故选：D 【点睛】本题考查了直线方程与倾斜角的应用问题，常见解题方法是当斜率存在时，利用 求解；不存在时，倾斜角为 90，是基础题 2.抛物线的准线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【
2、解析】 ，则，焦点位于 轴上，所以抛物线的准线方程为，故选 A。 3.如果一个几何体的正视图是矩形，则这个几何体不可能是 A. 三棱柱 B. 四棱柱 C. 圆锥 D. 圆柱 【答案】C 【解析】 【分析】 选项中圆锥的正视图不可能是矩形，可以逐一排除 【详解】解：三棱柱，四棱柱 特别是长方体 ，圆柱的正视图都可以是矩形，圆锥不可能 几何体放置不同，则三视图也会发生改变三棱柱，四棱柱 特别是长方体 ，圆柱的正视图都可 以是矩形 【点睛】几何体放置不同，则三视图也会发生改变，考查了学生的空间想象力 4.设为实数,且,则下列不等式正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】
3、 对于 、 ，令可判断；对于 ， 取， 则可判断； 对于 ， 由， 可以得到，利用不等式的传递性可判断 的正误. 【详解】对于 ，令，故 错误； 对于 ，当时，则，故 错误； 对于 ，则，则，故 错误； 对于 ，且，故 正确，故选 D. 【点睛】 判断不等式是否成立主要从以下几个方面着手： （1） 利用不等式的性质直接判断； （2） 利用函数式的单调性判断； （3）利用特殊值判断. 5.如图是根据某赛季甲、 乙两名篮球运动员参加 11 场比赛的得分情况画出的茎叶图若甲运动 员的中位数为 a，乙运动员的众数为 b，则的值是 A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析
4、】 由两名运动员得分情况的茎叶图，可读出甲乙两名运动员的得分情况，由甲运动员的得分情 况可得甲的中位数 ，由乙运动员的得分情况可得乙的众数 ，然后求得。 【详解】解：根据茎叶图知，甲运动员的中位数为， 乙运动员的众数为， 则 故选：A 【点睛】本题考查了利用茎叶图求中位数和众数的应用问题，准确地读出茎叶图中的数据是 解题的关键，是基础题 6.某公司位员工的月工资（单位：元）为，其均值和方差分别为 和，若 从下月起每位员工的月工资增加元，则这位员工下月工资的均值和方差分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 试题分析：均值为; 方差为 ,故选 D. 考点：数据样
5、本的均值与方差. 7.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为 2，则其虚轴长为 A. 1 B. 4 C. 3 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】 由双曲线方程可知，； 又焦点到渐近线的距离为 2， 所以得到， 结合 可解得，故虚轴长为 4. 【详解】解：双曲线的一个焦点设为， 且， 一条渐近线的方程设为， 由题意可得， 即有， 故选：B 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，其中焦点落在不同的轴上，渐近线方程的形式是不 一样的，解与渐近线方程有关问题时，先要考虑焦点所在的轴；其次还考查了点到直线的距 离公式，以及运算能力，属于基础题 8.设 ， ， 是三个不重合的平面，m，n 是两条不重合的直线
6、，则下列说法正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】 判断立体几何中命题的真假性，可以用找反例方法来判断，如果找出了反例说明命题是错误 的，找不到反例可试着证明命题的正确性 【详解】解：A 中 m，n 还可能相交或异面； B 中漏掉了的情况； C 中 ， 也可能相交； D 中同垂直于一个平面的两条直线平行，正确， A，B，C 中的结论都不完整，D 中的结论有定理作保证，显然选 D 【点睛】此题考查了线面、面面的各种关系，假命题可通过取反例的方法来判断，若找不出 反例可试着用定理证明命题的正确性，难度较小 9.某市为调查某社区居民的家庭收入
7、与年支出的关系，现随机调查了该社区 5 户家庭，得到 如下统计数据： 收入万元 9 10 11 支出万元 若该社区居民家庭收入与年支出存在线性相关关系，且根据上表得到的回归直线方程是 ，其中，据此估计，该社区一户年收入为 15 万元的家庭的年支出约为 A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出社区 5 户家庭收入与支出的平均值，代入到回归直线方程中，求解出参数 ，然后估计 年收入为 15 万元家庭的年支出费用。 【详解】解：， 再根据样本中心点在回归直线上，所以可得， 所以线性回归直线方程为， 当时，解得元 故选：B 【点睛】本题考查了线性回归方程，
8、求解线性回归方程先要将均值求出，准确计算出均值是 前提，属中档题 10.如图的程序框图的部分算法思路来源于我国古代内容极为丰富的数学名著九章算术中 的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入 a，b 的值分别为 12，15，则输出的 A. 3 B. 30 C. 60 D. 180 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 m 的值，模拟程序 的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【详解】解：模拟程序的运行，可得 ， 不满足条件， 满足条件， 满足条件， 满足条件， 此时，不满足条件，计算并输出 故选：C 【点睛】本题考查了程序
9、框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正 确的结论，是基础题 11.设抛物线 C：的焦点为 F，点 M 在 C 上，若以 MF 为直径的圆过点，则的 值为 A. B. 5 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】 根据抛物线的方程求出焦点 F，利用直径所对圆周角为直角得出，从而得到方程 ，求出点 M 的坐标，再通过两点距离公式计算出的值 【详解】解：抛物线 C：的焦点为， 设，以 MF 为直径的圆过点， ， ， ， 解得， ，； 故选：C 【点睛】本题考查了抛物线的定义应用问题、圆的性质，点在圆上这一条件如何转化是本题 的关键，恰当合理的转化能够简化后续的计算，本题是
10、中档题 12.已知双曲线 C：的左、右焦点分别为、，A，B 是圆 与双曲线 C 位于 x 轴上方的两个交点，且，则双曲线 C 的离心 率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据条件可得圆的圆心和半径，然后用 表示出，再运用双曲线的定义得出。 在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，又因为 ，从而可构建出关于 a，c 的方程，解出离心率 【详解】 解：圆的圆心为，半径为 2c， 且， 由双曲线的定义可得， 设， 在三角形中， ， 在三角形中， ， 由， 化简可得， 即为， 即有， 可得 故选：A 【点睛】圆锥曲线的离心率的问题常见解法是构建 与 的方程（不等式） ，从
11、而来求解离心率 的值（范围） 。本题中双曲线离心率的求法，考查了双曲线的定义和三角形的余弦定理运用， 还考查了化简变形能力和运算能力，属于中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 2020 分）分） 13.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 334，现用分层抽样的方法从该校高 中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本，则应从高二年级抽取_名学生 【答案】15 【解析】 试题分析：应从高一年级学生中抽取名学生,故应填. 考点：分层抽样及运用 14.已知变量 x，y 满足约束条件，则的最小值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，
12、目标函数的几何意义是一条斜率已知、纵截距未知的直线， 然后利用平移法进行求解即可 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由得， 由图象知当直线经过点 C 时，直线的截距最小此时 z 最小， 由，得，即， 此时， 故答案为： 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，准确作出不等式对应的区域是前提，准确解析出目 标函数的几何意义是解题的关键 15.三棱锥的侧棱 OA，OB，OC 两两垂直且长度分别为 2cm，2cm，1cm，则其外接球的 表面积是_ 【答案】 【解析】 试 题 分 析 ： 根 据 题 意 画 出 图 形 ， 为 了 找 到 球 心 建 立 如 图 的 坐 标 系 ， 则 设球心
13、坐标为，球心到的距离相等可得， ，解得 ，所以球的半径，故其表面积. 考点：1.空间向量；2.空间几何体的表面积和体积. 16.设 A， B 在圆上运动， 且， 点 P 在直线上运动则 的最小值是_ 【答案】4 【解析】 【分析】 取 AB 的中点 M， 在中， 根据勾股定理可得 M 的轨迹是以 O 为圆心 1 为半径的圆。 在 中，M 为中点，所以，即求，等于 O 到直线的距 离减去 1 可得 【详解】 解：取 AB 的中点 M，连 OM，则， ，即点 M 的轨迹是以 O 为圆心，1 为半径的圆 ， 设点 O 到直线的距离为， 所以当且仅当，M 为线段 OP 与圆的交点时取等 故答案为：4
14、【点睛】直线与圆相交的问题，常见解法是找出弦的中点，利用垂径定理构造出直角三角形， 求出圆心到直线的距离，此距离又可用点到直线的距离公式表示，从而得出结论，作为新的 条件为后续解题使用 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分）分） 17.为了解某企业生产的某种产品的质量情况，从其生产的产品中随机抽取了部分产品，测量 这些产品的一项质量指标值作为样本 样本容量为进行统计，按照， ，的分组作出频率分布直方图， 并作出样本的茎叶图 图中仅列出了质量指标值 在，的数据 求样本容量 n 和频率分布直方图中 x，y 的值 若产品的这一项质量指标平均值小于 70，则
15、可判断该产品的质量不合格，否则合格，请 根据以上抽样调查数据，判断该产品质量是否合格？并说明理由 【答案】 合格 【解析】 【分析】 根据茎叶图可得，总共有 8 人，结合频率分布直方图，可得频率为 0.16，从而可 求样本容量 n 和频率分布直方图中 x、y 的值； 求出平均值，与 70 作对比即可求出 【详解】解 由题意可知，样本容量， 则， 则平均值为，则该产品 质量合格 【点睛】本题考查频率分布直方图和茎叶图的应用，频率分布直方图中每一个矩形的面积为 相应组的频率，同时考查数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题 18.已知函数 若的解集为，求实数 a，b 的值； 当时，若关于 x 的不
16、等式恒成立，求实数 a 的取值范围 【答案】 【解析】 【分析】 根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，可将问题转化为 b，3 是一元二次方程 的两根，再根据韦达定理列方程组可解得； 不等式恒成立，分离变量，转化为求可得 【详解】解： 因为即的解集为， 所以 b，3 是一元二次方程的两根， ，解得， 当时，若关于 x 的不等式恒成立， 即在上恒成立， 令，则， ，当且仅当时取等 故 【点睛】一元二次不等式的问题可转化为二次函数的图像、二次方程根的问题来解决，不等 式恒成立问题常见解法为分离变量法，然后转化为求最值；有时也可以分情况讨论解决问题。 19.已知圆 C 的圆心在直线上，且经过点
17、， 求圆 C 的方程； 已知点，若 P 为圆 C 上的一动点，求的取值范围 【答案】 【解析】 【分析】 设圆心则，即，由列式可解得，从而可 得圆 C 的标准方程； 设，根据两点间的距离公式可得，再根据 y 的范围可得 【详解】解： 设圆心则，即， 由得，解得， 圆的半径， 圆 C 的方程为： 设，则，即 则 ， ， 故的取值范围是 【点睛】本题考查求解圆方程的问题，此问题可通过待定系数法解决，可设圆方程为标准式， 也可设为一般式，解题时灵活运用；解决几何中的最值（范围）问题时，可以将几何问题转 化为代数问题，通过减元思路，转化为函数问题求解范围。 20.如图， 在四棱锥中， 底面 ABCD
18、是直角梯形， 其中， E 为 SC 的中点， 证明：平面 SAD； 若，且，求三棱锥的体积 【答案】 【解析】 【分析】 取 SD 的中点 F，连接 AF，EF，利用三角形中位线定理及平行公理可得且， 则四边形 ABEF 为平行四边形，得到，再由线面平行的判定可得平面 SAD； 由，得，又，由线面垂直的判定得平面 SAD，进一 步得到平面平面 SAD，再证明，由已知利用等积法即可求得三棱锥的 体积 【详解】 证明：取 SD 的中点 F，连接 AF，EF， 为 SC 的中点，且， 又， 且，则四边形 ABEF 为平行四边形， 平面 SAD，平面 SAD， 平面 SAD； 解：， 又，且， 平面
19、SAD，则平面平面 SAD， 又，平面平面， 平面 SAD，则， ， 由平面 SAD，得平面平面 SAD， 又平面平面，且，得平面 SCD，则平面 SCD， ， 【点睛】本题考查空间中直线与平面的平行关系，线线平行可以得到线面平行，在空间中证 明线线平行的常见方法有：中位线法、平行四边形法等等；在求解空间几何体的体积问题时， 首先要对几何体的构造进行研究，观察其是否需要适当割（补）形，然后再通过面面垂直求 出高，从而解决体积问题，同时本题考查空间想象能力与思维能力，训练了等积法思路，是 中档题 21.已知抛物线 C 的焦点是椭圆的右焦点，准线方程为 求抛物线 C 的方程； 若点 P，Q 是抛物
20、线 C 上异于坐标原点 O 的任意两点，且满足，求证：直线 PQ 过 定点 【答案】 直线 PQ 过定点 【解析】 【分析】 求出椭圆的右焦点得出抛物线的焦点，根据抛物线的准线方程写出抛物线的方程； 设直线 PQ 的方程和 P、Q 的坐标，根据得出，再利用直线方程与抛物线 方程联立，结合根与系数的关系求出直线 PQ 所过的定点 【详解】 解： 椭圆的右焦点为， 抛物线的焦点为 F， 且准线方程为； ，即， 抛物线 C 的方程； 证明：设直线 PQ 的方程为，； ， 又，解得； 联立， 化为， ， ， 解得； 直线 PQ 过定点 【点睛】本题考查了抛物线的标准方程以及性质应用问题，求直线的定点问
21、题常见的解法有 可以先求出含参数的直线方程，然后对 x、y 取值使得参数消失，也可以先通过几个特殊位置 求出定点，再证明其一般性，本题还考查了直线与抛物线相交问题和平面向量垂直与数量积 的关系应用问题，是中档题 22.已知椭圆 C：的离心率为 ，且过点 求椭圆 C 的方程； 若直线 l：与椭圆 C 交于 A，B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为点，直 线交 x 轴于点 D，求当面积最大时，直线 l 的方程 【答案】 【解析】 【分析】 由题意可得，解得，即可求出椭圆方程 求出 D 点坐标，求出弦长，代入面积公式，利用换元法和基本不等式得出面积取得最大 值的条件，进而得出 m 的值 【详解】解： 由题意可得，解得， 则椭圆 C 的方程为 证明：设，联立方程组，消去 x 可得： ， ， ， 直线的方程为， 令得 故 D 到直线 AB 的距离 又， 的面积， 令，则， 当且仅当即时取等号 当时，即 当面积最大时，直线 l 的方程为 【点睛】本题考查了椭圆的方程，求解直线与椭圆的位置关系问题时，常用方法是设而不求 法，借助韦达定理等手段，将多变量问题逐步转化为单变量问题，进而转化为函数问题研究 其最值
