1、学习数学学习数学领悟数学领悟数学应应用用数学数学中考压轴中考压轴专专题题 每天进步一点点，学霸离你不遥远！ 1 中考几何综合专题突破 相似及图形变换的综合考查，是各地中考的热点考查内容2015 年开始，成都市中考 A 卷 20 的相似 及图形变换综合考查， 调整到 B 卷 27 题， 分值仍然为 10 分， 难度相对有所提升 下面我们对 20152019 这五年中考 B27 进行分析，从而把握好学习的重点、必须突破的难点，总结归纳出常用的解题方法，提升 解题技能 基本条件分析：图形 3 个，四边形构图，由动态、相似、轴对称、旋转为主条件 组合条件分析：在上述基本条件的基础上，和“平行线、垂线、
2、直角三角形、等腰三角形、特殊角、 三角函数值”综合，设置解答问题 问题设置分析： 问题（1）：证明题全等三角形，相似三角形，求值难度系数 0.8 问题（2）：用类比方法判断说理及求值 难度系数 0.5 问题（3）：用类比方法求线段长，用相似与勾股建立方程是解题主线 难度系数 0.3 【知识点储备】 储备一：四点共圆 储备二：双勾股建方程储备三：旋转等腰储备四：斜直角放正 【技能储备】 技能一：“多条线段具有某一关系”时，设某条线段为 k，其余线段用 k 的代数式表示，注意设 k 技巧 “相似+勾股+三角比”是 B27 计算的主要手段 技能二：类比的方法解决问题，类比什么是平时训练重点 技能三：
3、熟练地运用“三角形内角和定理、外角定理、圆周角定理”导角或等角转化四点共圆在“转 化角与角之间的关系”具有重要作用 技能四：熟练运用“分析法”与“综合法”，将“已知与所求”对接 学习数学学习数学领悟数学领悟数学应应用用数学数学中考压轴中考压轴专专题题 每天进步一点点，学霸离你不遥远！ 2 【训练重点】 一练熟设 k 法，用“相似、勾股、三角比”建方程解题的思想，“转化与类比”的思想 二有意识训练“四点共圆”，无论问题有无涉及，找一下“四点共圆”有备无患 三熟悉一些典型的“模型”解题方法与技能，掌握常用辅助线的构造方法 四解题后要反思，再练习，总结提炼方法，形成技能 【2015 成都
4、】 已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFCG的对角线， 点E在ABC内，90CAECBE （1）如图 1，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF （i）求证：CAECBF； （ii）若1BE ，2AE ，求CE的长； （2）如图 2，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且 ABEF k BCFC 时，若1BE ，2AE ，3CE ， 求k的值； （3）如图 3，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且45DABGEF 时，设BEm，AEn， CEp，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系（直接写出结果，不必写出解答过程） 【方法点睛】 （1）问：挖掘出正方形的隐藏条件“直角边与斜边
5、的比为1:2”，由“两边成比例且夹角相等”秒杀； （2）问：类比（1）问字母找相似，由“双勾股”建立关于 k 的方程求解； （3）问：类比字母找相似，“设 k 法”找线段关系，由“相似比+勾股”建立关系式求解 【解析】 （1）（i）证明： 四边形ABCD和EFCG均为正方形， 2 ACCE BCCF ，45ACBECF 132345 ，12 CAECBF （ii）解： CAECBF，45 ，2 AEAC BFBC 又564690 ，5690EBF 又1BE ，2A
6、E ，2BF 22 3EFBEBF， EFC是等腰直角三角形， 6CE 评注：两个正方形是相似多边形，且直角边与斜边的比为1:2，是隐藏的条件 学习数学学习数学领悟数学领悟数学应应用用数学数学中考压轴中考压轴专专题题 每天进步一点点，学霸离你不遥远！ 3 （2）连接BF，四边形ABCD和EFCG均为矩形， ABEF k BCFC ， 90ABCEFC ， ABCEFC ACBC ECFC ，ACBECF ，ACEECBECBBCF ACEBCF ，AECBFC，CAECBF 90CAECBE，90EBF 设,BCa FC
7、b，则,ABka EFkb， 222 1ACABBCa k， 222 1CEEFFCb k 2 1 ACEC k BCFC ， 2 1 AEAC k BFBC ， 又1BE ，2AE ，3CE ， 2 2 1k BF ， 2 3 1k FC ， 2 2 1 BF k ， 2 3 1 FC k 222 2 4 1 1 BEBF k EF ， 222 2 9 9 1 ECFC k EF 22 49 19 11kk ， 10 4 k 评注：长与宽比
8、值相等的两个矩形相似，由（1）问类比字母证相似，由相似比建立方程求解 （3）连接BF，由类比方法同理可得ACEBCF，90EBF，过C点作CHAB延长线于H， 四边形ABCD为菱形，ABBC，设ABBCx， 45CBHDAB ， 2 2 BHCHx， 222222 22 ()()(22) 22 ACAHCHxxxx， 222 :1:1:(22)ABBCAC 同理可得 222 :1:1:(22)EFFCEC ， 22 2 2 1 , 2222 EFp EF EC 由ACEBCF， 22 22 22 AEAC BFBC ， 2 2 22 n BF
9、 90EBF， 222 EFBEBF， 22 2 2222 pn m 222 (22)pmn 即m，n，p三者之间满足的等量关系是： 222 (22)pmn 评注：有一个夹角相等的两个菱形相似，类比字母证相似，由相似比和勾股建立关于m、n、p的方程， 整理后可得三者的关系式 学习数学学习数学领悟数学领悟数学应应用用数学数学中考压轴中考压轴专专题题 每天进步一点点，学霸离你不遥远！ 4 本题主要考查：图形的相似变化特征，用类比的思想探究相似三角形，由相似比和勾股建立方程（组） 解答问题其核心考点是类比探究能力而学生的薄弱点一是用“用双勾股建方程”，二是“挖掘
10、隐藏条 件” 【2016 成都】如图 1，ABC中，45ABC，AHBC于点H，点D在AH上，且DHCH，连接BD （1）求证：BDAC； （2）将BHD绕点H旋转，得到EHF（点B，D分别与点E，F对应），连接AE ）如图 2，当点F落在AC上时（F不与C重合），若4BC ，tan3C ，求AE的长； ） 如图 3， 当EHF是由BHD绕点H逆时针旋转30得到时， 设射线CF与AE相交于点G， 连接GH， 试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由 【方法点睛】 （1）问：由“SAS”秒杀； （2）i)问：由“两个旋转等腰相似+三角比+勾股”秒杀； （2）ii)问：类比 i)问找“旋
11、转等腰”，再导角得到“特殊直角三角形和相似”，由“三角比”秒杀 【解析】（1）证明：AHBC，45ABC，AHBH 在Rt BDH和Rt ACH中， 90 AHBH AHCBHD HCHD ， BHDAHD（SAS） BDAC 评注：证明三角形全等时，要规范表达 （2）i）tan3 AH C HC ，设CHx，则3BHAHx 4BC ，34xx， 1x ，31AHCH， 由旋转知：90EHFBHDAHC ，3EHAH，1CHDHFH EHAFHC ，1 EHFH AHHC ， EHAFHC，EAHC ， tantan3EAHC
12、 如图，过点H作HPAE于P，则3HPAP，2AEAP 在Rt AHP中， 222 APHPAH， 22 (3)9APAP，解得： 3 10 10 AP ， 学习数学学习数学领悟数学领悟数学应应用用数学数学中考压轴中考压轴专专题题 每天进步一点点，学霸离你不遥远！ 5 3 10 5 AE 评注：AHE与CFH是旋转构成的等腰三角形且相似，底边上的高是常用辅助线 ）当EHF是由BHD绕点H逆时针旋转30时 ,AHBHEHHCHDHF，30BHEDHF 120AHECHF ，30GAHGCH 又AQGCQH ，90AGQCHQ
13、 ， AGQCHQ， GQHQ AQCQ ， 又AQCGQE ，AQCGQH， 1 sinsin30 2 HGGHGQ G EFA AQ AQC 2EFGH 评 注 ： 类 比 i) 问 字 母 ， 得AHE与CFH是 旋 转 等 腰 ， 导 角 得 到30GAQQCH ， 90AGQCHQ ,再由相似三角形和三角比可求得结果类比上问方法寻找下问求解方法，是常用手 段 本题主要考查：图形的旋转变换，用类比的思想找出“两个相似的旋转等腰三角形”，在解决问题中起 到决定性的作用相似比，特殊角的三角比，设 k 法等的综合运用而学生的最大薄弱点就是“找出两个相 似的旋转等腰三
14、角形” 【2017 成都】问题背景：如图 1，等腰ABC中，ABAC，120BAC，作ADBC于点D，则D为 BC的中点， 1 60 2 BADBAC，于是 2 3 BCBD ABAB ； 迁移应用：如图 2，ABC和ADE都是等腰三角形，120BACDAE ，D，E，C三点在同一条直 线上，连接BD 求证：ADBAEC； 请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式； 拓展延伸：如图 3，在菱形ABCD中，120ABC，在ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E， 连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF 证明CEF是等边三角形； 若5AE ，2CE ，求BF的长 【方法点睛】 迁移
15、问：“手拉型”全等，（SAS）秒杀； 学习数学学习数学领悟数学领悟数学应应用用数学数学中考压轴中考压轴专专题题 每天进步一点点，学霸离你不遥远！ 6 迁移问：由问的结论将三线段关系转化为两线段的关系秒杀； 拓展问：由“轴对称性质+四点共圆”秒杀； 拓展问：由“等边三角形性质+特殊角的三角比”秒杀 【解析】迁移应用： 证明： 120BACDAE 120DABBAEBAEEAC ，DABEAC ， 在DAE和EAC中， DAEA DABEAC ABAC ，DABEAC()SAS 评注：问题要求证明两个三角形全等，过程要
16、规范 解：结论：3CDBDAD 理由：如图，作AHCD于H DABEAC，BDCE，CDBDCDCEDE ,120ADAEDAE， 30ADH，2DEDH 3 cos30, 2 DH DHAD AD ，3DEAD 3CDBDAD 评注：运用上问的结论得BDCE，则CDBDCDCEDE，转化为AD与DE的关系，运用题干条 件和方法，问题得解 拓展延伸：证明：连接BE 四边形ABCD是菱形，120ABC， ABD，BDC是等边三角形， E、C关于BM对称， BCBEBDBA，FEFC， A、D、E、C四点共圆， 120AECADC ， 60CEF， EFC是等边三角形 评注
17、：等线段共点，即BCBEBDBA，A、D、E、C四点在以B为圆心的圆上，根据圆内接 四边形的性质得证 解：作BHAE于H，5AE ，2.5AHHE， EFC是等边三角形，E、C关于BM对称， 2CEFE，30BFH cos30 HF BF ， 34.5 = 2BF ，3 3BF 评注：上问的等边三角形条件可用，再由特殊角的三角比很快得解 学习数学学习数学领悟数学领悟数学应应用用数学数学中考压轴中考压轴专专题题 每天进步一点点，学霸离你不遥远！ 7 本题主要考查：120的等腰三角形和等边三角形的边角关系，由条件到结论的“转化与对接”能力， “四点共
18、圆”在角的转化过程中的强大功用学生的最大薄弱点是“四点共圆”，其次是“选勾股而不选 三角比”解题 【2018 成都】在Rt ABC中，90ACB，7AB ，2AC ，过点B作直线mAC，将ABC绕点C 顺时针旋转得到A B C（点A，B的对应点分别为A，B），射线CA，CB分别交直线m于点P，Q （1）如图 1，当P与A重合时，求ACA的度数； （2）如图 2，设A B与BC的交点为M，当M为A B的中点时，求线段PQ的长； （3）在旋转过程时，当点P，Q分别在CA，CB的延长线上时，试探究四边形PA B Q的面积是否存在 最小值若存在，求出四边形PA B Q的最小面积；若不存在，请说明理由
19、【方法点睛】 （1）问：“特殊角的三角比计算”秒杀； （2）问：“等角转化+三角比”秒杀； （3）问：“面积和差转化+斜边上的中线最短”秒杀 【解析】 （1）由旋转可得：2ACA C， mAC，90ACB，7AB 90ABC， 22 3BCABAC， 3 cos 2 BC A CB A C ， 30A CB，60ACA； 评注：求角度，一般与特殊值的三角函数值有关 （2）当M为A B的中点时，A MCMB M 1CA MA ，2=CB MABC tan1tanA , PBBC BCAC ，即 33 223 PB PB， tan2tanABC ，
20、 BQAC BCBC ，即2BQAC， 3 2 22 7 PBBPQQ 评注：由PQPBBQ，求PQ转化为求PB和BQ （3）取PQ中点G，连接CG, PGCGQG，2PQCG 学习数学学习数学领悟数学领悟数学应应用用数学数学中考压轴中考压轴专专题题 每天进步一点点，学霸离你不遥远！ 8 PCQA B CPA B Q SSS 四边形 ， 3 A B CABC SS 当PQC面积最小时，四边形PA B Q的面积最小， 此时PQ最短，CG最短，CG垂直于PQ = 3PGCGQG，2 3PQ &nb
21、sp;1 =2 33333 2 PCQA B CPA B Q SSS 四边形 四边形PA B Q的面积最小为33 评注： PA B Q S四边形 转化为 PCDA CB SS ， A CB S为定值，转化为 PCQ S 最小，BC为定值，转化为PQ最小， 再转化为斜边上的中线CG最小，由垂线段最短求得结果 本题主要考查：图形旋转过程中，抓不变量特征和特殊位置进行“转化、计算、说理”，其中学生的最 大薄弱点是“所求+图形结合进行转化的能力” 【2019 成都】如图 1，在ABC中，20ABAC， 3 tan 4 B ，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C 重合）以点D
22、为顶点作ADEB ，射线DE交AC边于点E，过点A作AFAD交射线DE于F，连 接CF （1）求证：ABDDCE； （2）当DEAB时（如图 2），求AE的长； （3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DFCF？若存在，求出此时BD的长；若 不存在，请说明理由 【方法点睛】 （1）问：“一线三等角”秒杀； （2）问：“设 k 法+相似比”秒杀； （3）问：“等腰三角形底边上的高，斜直角放正是常用的辅助线”，“相似比+三角比”秒杀 【解析】 （1）ABAC，BACB ADECDEBBAD ，ADEB ， BADCDE ABDDCE 评注：“一线三等角由外角
23、导角技能”要熟练掌握 （2）过点A作AMBC于点M在Rt ABM， 3 tan 4 AM B BM ，20ABAC 学习数学领悟数学应用数学中考压轴专题学习数学领悟数学应用数学中考压轴专题 设3AMk，则4BMMCk，5 =20ABk，4k 121632AMBMBC， ABAC，BADEACB DEAB， =BADADEACB 又BB ， ABDCBA， ABDB CBAB 22 2025 322 AB DB CB ， DEAB， AEBD ACBC 25 20 12 1 2 32 5 6 A
24、AC E BD BC 评注：“设 k 法”是解多条线段具有某一关系最常用的手段 （3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DFCF 过点F作FHBC于点H，过点A作AMBC于点M，ANFH于点N 90AMDABFNHM 四边形AMHN是矩形， 90MANDAF ，ANMH， 90MADDANDANNAH ，MADNAH MADNAF， 3 tantan 4 ANAE ADFB AMAD 33 129MH AN 4 AM 4 CH CM MH 16 9 7 当DF CF时，DH CH 7， DC 14，BD BC CD 3214 18 评注：如何利用“DF CF, DAF 90”这两个条件是解决本问的关键，构造辅助线是决定性的一步 本题主要考查：“一线三等角”模型中的导角技能，动态变化中的特殊位置求值学生的薄弱点是“设 k 法”和“辅助线构造”
