1、例例1 如图，已知抛物线如图，已知抛物线yx22x3与与x轴交于轴交于A，B两点两点(点点A在点在点B左侧左侧)，与，与y轴交于点轴交于点C，直线，直线yx3过过B、C两两点，点点，点P是抛物线第一象限内一动点是抛物线第一象限内一动点微专题运动产生的线段问题微专题运动产生的线段问题函数微技能函数微技能一阶一阶一题多设问一题多设问例1题图能力点一能力点一 点坐标的表示点坐标的表示(1)若点若点P在在x轴上，设点轴上，设点P的横坐标为的横坐标为p，则点，则点P的坐标可表示为的坐标可表示为_；点点P在在y轴上，设点轴上，设点P的纵坐标为的纵坐标为q，则点，则点P的坐标可表示为的坐标可表示为_；(p，
2、0)(0，q)例1题图(2)若点若点P在抛物线上，设点在抛物线上，设点P的横坐标为的横坐标为p，则点，则点P的坐标可表示为的坐标可表示为_；(3)若点若点P在直线上，设点在直线上，设点P的横坐标为的横坐标为p，则点，则点P的坐标可表示为的坐标可表示为_；(4)若点若点P在抛物线的对称轴上，设在抛物线的对称轴上，设P点纵坐标为点纵坐标为q，则点，则点P的坐标可表示的坐标可表示为为_(p，p2 2p3)(p，p3)(1,q)例1题图能力点二线段的表示能力点二线段的表示(5)如图，若点如图，若点P是第一象限内抛物线上一动点，过点是第一象限内抛物线上一动点，过点P作作x轴的垂线交轴的垂线交x轴于点轴于
3、点Q，PQ交交BC于点于点H，设点，设点P的横坐标为的横坐标为p.点点P到到y轴的距离为轴的距离为_；点点P到对称轴的距离为到对称轴的距离为_；PQ的长为的长为_；PH的长为的长为_；p|p1|p22p3p23p例1题图点点P与点与点P关于关于y轴对称，则轴对称，则PP的距离为的距离为_；点；点P与点与点P关于关于x轴对称，则轴对称，则PP的距离为的距离为_；点点P到直线到直线BC的距离为的距离为_.2p24p623 222pp 2p例1题图【方法总结】【方法总结】与与x轴垂直的线段的长即纵坐标相减轴垂直的线段的长即纵坐标相减(上减下上减下);与与y轴垂直的线段的长即横坐标相减轴垂直的线段的长
4、即横坐标相减(右减左右减左);斜线段时，可过线段端点分别作斜线段时，可过线段端点分别作x轴、轴、y轴垂线构造直角三角形，利轴垂线构造直角三角形，利用勾股定理、特殊三角函数值或相似进行求解用勾股定理、特殊三角函数值或相似进行求解设问突破设问突破二阶二阶例例2 已知二次函数已知二次函数y x2 x3的图象与的图象与x轴轴交于交于A、B两点两点(点点B在点在点A右侧右侧)，与，与y轴交于点轴交于点C，对称轴为直线，对称轴为直线l，顶点，顶点为为M.(1)设点设点E为为x轴上一点，当轴上一点，当AECE时，求点时，求点E的坐标；的坐标；一题多设问一题多设问3834例2题图【思维教练】【思维教练】解：解
5、：(1)如解图，由题意可得如解图，由题意可得A(2，0)，C(0，3)，设点，设点 E 的坐标为的坐标为(e，0)，AE|e(2)|，CO3，OE|e|，在在RtCOE 中，中，CE2OC2OE29e2.AECE，AE2CE2，e(2)29e2，解得，解得 e ，点点E的坐标为的坐标为(，0)；5454例2题解图(2)点点P是抛物线在第一象限内一点，过点是抛物线在第一象限内一点，过点P作作PQy轴交直线轴交直线BC于点于点Q.求线段求线段PQ的最大值；的最大值；【思维教练】设出点【思维教练】设出点P的横坐标，根据竖直线段的坐标特性，表示出的横坐标，根据竖直线段的坐标特性，表示出PQ的长度的长度
6、利用二次函数性质求线段利用二次函数性质求线段PQ的最大值；的最大值；例2题图(2)由题可得由题可得B(4，0)，直线直线BC过点过点B(4，0)，C(0，3)，直线直线BC表达式为表达式为y x3.设点设点P的坐标为的坐标为(p，p2 p3)，PQy 轴，轴，点点Q的坐标为的坐标为(p，p3)，PQ p2 p3(p3)p2 p (p2)2 .0，0p4，当当 p2 时，时，PQ有最大值，最大值为有最大值，最大值为 ；32383434343434383838323238例2题图求点求点P到直线到直线BC距离的最大值；距离的最大值；如解图，过点如解图，过点P作作PNBC交交BC于点于点N，连接，连
7、接PC，PB，要求点，要求点P到到直线直线BC的最大值，即为求的最大值，即为求PCB面积的最大值面积的最大值例2题解图由知由知PQ (p2)2 ，SPCB PQOB (p2)2 4 (p2)23，0，0p4，当当p2时，时，SPCB最大最大3，1232383412383234方法一：利用方法一：利用PCB的面积即可求出点的面积即可求出点P到直线到直线BC距离的最大值；方距离的最大值；方法二：利用相似三角形求出点法二：利用相似三角形求出点P到直线到直线BC距离的最大值距离的最大值在在RtBOC中，由勾股定理可知中，由勾股定理可知BC 5，SPCB BCPN，3 5PN，解得，解得PN ，点点P到
8、直线到直线BC距离的最大值为距离的最大值为 ；6512126522OBOC 例2题解图(3)设点设点D是对称轴是对称轴l上一点，是否存在点上一点，是否存在点D，使得，使得DCDA的值最小，若的值最小，若存在，请你求出点存在，请你求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；例2题图【思维教练】作点【思维教练】作点A关于对称轴关于对称轴l l的对称点，恰好与点的对称点，恰好与点B重合，直线重合，直线BC与对称轴与对称轴l l的交点即为要求的点的交点即为要求的点D.(3)存在由题意可知，存在由题意可知，A(2，0)，B(4，0)，C(0，3),抛物线的对称轴抛物线的对称轴为直
9、线为直线 x1，点点 A 关于对称轴关于对称轴 l 的对称点的坐标为的对称点的坐标为(4，0)，恰好与点，恰好与点B重合重合直线直线BC与对称轴的交点即为使得与对称轴的交点即为使得 DCDA 最小时点最小时点D的位置，由的位置，由(2)可知直线可知直线BC的表达式为的表达式为y x3，当当x1时，时，y ，点点D的坐标为的坐标为(1,)；349494例2题图(4)在在y轴上找一点轴上找一点H，使得，使得BMH的周长最小，请你求出此时点的周长最小，请你求出此时点H的坐的坐标标例2题图【思维教练】求【思维教练】求BMH的周长最小值，的周长最小值，BM是定值，则求出是定值，则求出HMHB的的最小值即
10、可最小值即可由题意，可知由题意，可知 M(1，)，M(1，)，B(4，0)，设直线设直线 BM的解析式为的解析式为 yk1xb1，解得解得2782781 11127,804k bkb 112740,27,10kb 例2题解图(4)如解图，作点如解图，作点 M 关于关于 y 轴的对称点轴的对称点 M，连接，连接 BM交交 y 轴与点轴与点 H，此时点此时点 H 可以使得可以使得BMH 的周长最小的周长最小直线直线BM的表达式为的表达式为y x ，当当 x0 时，时，y ，此时点此时点H的坐标为的坐标为(0，)；2710274027102710例2题解图例2题图(5)点点P是是x轴上一点，是否存在
11、点轴上一点，是否存在点P，使，使PC PB最小，若存在，请最小，若存在，请你求出你求出PC PB的最小值，并求出点的最小值，并求出点P的坐标；若不存在，请说明的坐标；若不存在，请说明理由理由2222【思维教练】要求【思维教练】要求PC PB的最小值，的最小值，可在可在x轴下方作轴下方作ABD45，交，交y轴负半轴于点轴负半轴于点D，过点过点P作作PBBD，交，交BD于点于点B，此时此时PB PB，当点，当点C，P，B在同一条直线上时，在同一条直线上时，PC PB最小，最小值为最小，最小值为CB，再在再在RtBOC和和RtCBB中，利用勾股定理求点中，利用勾股定理求点P的坐标的坐标222222例
12、2题解图(5)存在如解图，在存在如解图，在x轴下方作轴下方作ABD45，交，交y轴负半轴于点轴负半轴于点D，则则OBOD4，在在RtODB中，中，BD OB4 .OC3，CD347，.过点过点P作作PBBD于点于点 B，连接，连接PC，在在RtPBB中，中，PBPB，PC PBPCPB，当点当点C、P、B在同一条直线上时，在同一条直线上时，PC PB最小，此时最小，此时CBBD交交BD于点于点B，最小值为，最小值为CB.222222SBCD CDOB BDCB，CB .即即PC PB的最小值为的最小值为 ；在在RtBOC中，中，OC3，OB4，BC5.在在RtCBB中，中，BB ，PB PB1，OPOBPB413.点点P的坐标为的坐标为(3，0)221212747 224 2CD OBBD 7 222222BCCB2例2题解图
