1、 20182018- -20192019 学年高一数学上学期期中考试学年高一数学上学期期中考试试题试题 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 1212 小题，每题小题，每题 5 5 分，共分，共 6060 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是 符合题目要求的）符合题目要求的） 1.已知集合，则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 集合交集是两个集合的公共元素，由此求得两个集合的交集. 【详解】两个集合的交集为集合的公共元素，故.所以选 D. 【点睛】本小题主要考查两个集合的交集.交集是两个集合的公共元素组成.属于
2、基础题. 2.下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：因为函数是奇函数，所以选项 A 不正确；因为函为函数既不是奇函数，也不 是偶函数，所以选项 B 不正确；函数的图象抛物线开口向下，对称轴是 轴，所以此函数是 偶函数，且在区间上单调递减，所以，选项 C 正确；函数虽然是偶函数，但是此函数在 区间上是增函数，所以选项 D 不正确；故选 C。 考点：1、函数的单调性与奇偶性；2、指数函数与对数函数； 3 函数的图象。 3.下列四个命题中的真命题是( ) A. xR R，x 231 C. xZ Z，使 D. xQ Q，x 23 【
3、答案】C 【解析】 【分析】 利用函数的性质、特殊值对四个选项逐一分析，进行排除，得出正确选项. 【详解】由于，故 选项错误.当时，故 选项错误.当，故 选项. 由于，不是有理数，故 选项错误.故本题选 C. 【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题真假性判断，只要举出反例就可以判断为假命题.属 于基础题. 4.已知集合，若中只有一个元素，则 的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 当时，满足题意。 当时， 要使集合中只有一个元素， 即方程有两个相等的实数根， 则， 解得。 综上可得或。选 C。 5.下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A. B. C. D. ，
4、 【答案】C 【解析】 【分析】 利用函数的定义、对应法则和值域，逐一对各个选项进行判断，由此得出正确结论. 【详解】对于 A 选项，的定义域为，的定义域为 ，不是同一函数. 对于 B 选项， 的定义域为，的定义域为 ，不是同一函数.对于 C 选项，是同一函数.对 于 D 选项，的定义域为，的定义域为，不是同一函数.故选 C. 【点睛】本小题主要考查函数的定义域、值域、对应法则等概念，这是函数的三要素.属于基础题. 6.已知函数的定义域为，的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数的定义域为，求得的定义域，结合分母可求得所求函数定义域. 【详解】 函数的
5、定义域为， 所以对于， 有， 结合分母可 求函数的定义域为. 【点睛】本小题主要考查了函数定义域的求法.主要考查分式分母不为零，以及复合函数定义域的 求法.属于基础题. 7.已知，则( ) A. 36 B. 26 C. 16 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 令，求得对应 的值，代入函数解析式中，由此求得函数值. 【详解】令，解得，故.所以选 C. 【点睛】本小题考查函数的对应法则，考查利用函数的解析式求函数值的基本方法，属于基础题. 8.已知函数，在下列区间中，函数存在零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 通过计算，利用来判断得零点所在的区间. 【详
6、解】，故零点所在区间为，故选 B. 【点睛】本小题主要考查零点存在性定理，即在区间上，若区间上有零点.属 于基础题. 9.下列叙述中正确的是( ) A. 若a，b，cR R，则“ax 2bxc0”的充分条件是“b24ac0” B. 若a，b，cR R，则“ab 2cb2”的充要条件是“ac” C. 命题“对任意xR R，有x 20”的否定是“存在 xR R，有x 20” D. 若p：x3，q：1x3，则p是q成立的必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】 对于 A,B,D 选项，利用充要条件的概念进行判断.对于 C 选项，用全称命题的否定来判断. 【详解】 当时，不是恒成立， 不是充分条
7、件， 故 A 选项错误.当 时，不能推出，不是充分条件，故 B 选项错误.全称命题的否定是特称命题，并且要否定结论， 故 C 选项错误.对于 D 选项，由于，故 是 的必要不充分条件，故选 D. 【点睛】本小题主要考查充要条件的判断，考查全称命题和特称命题.对于充要条件本身的定义来 说，则 是 的充分条件， 是 的必要条件.也可以通过包含关系来确定，当时， 是 的充 分不必要条件， 是 的必要不充分条件.全称命题的否定是特称命题，要注意否定结论. 10.已知函数，则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 11.函数的图象大致为（ ） A. B. C. D.
8、【答案】B 【解析】 函数的定义域为。 当时，；当时，。 ，其图象如选项 B 所示。选 B。 12.若对于任意，都有成立，则 的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 , 不等式恒成立等价于对于任意恒成立。 ， 。 ，解得。 的范围是。选 C。 点睛： （1）对于函数中的恒成立问题，解题时一般选择分离参数的方法，将参数分离后转化为求 具体函数的最值问题处理； （2）恒成立， 恒成立。 当函数的最值不存在时， 可用函数 值域的端点值代替，但要注意得到的不等式中等号能否取得。 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，
9、共 2020 分，把答案填在题中横线上）分，把答案填在题中横线上） 13.不等式的解集是_. 【答案】 【解析】 【分析】 将 移动到不等式的左边，通分后利用分式不等式的解法来求得不等式的解集. 【详解】原不等式可化为，解得或. 【点睛】本小题考查分式不等式的解法，要记住把分式不等式一边化为 ，再来解不等式，属于基 础题. 14.已知全集 U=0，1，2，3，4，5，,，, 则用列举法表示集合 A=_. 【答案】1,2 【解析】 【分析】 根据知，集合 有，集合 没有.根据可知，集合 没有 ，集合 没有，再根据，即可解得集合 . 【详解】根据知，集合 有，集合 没有.根据可知，集 合 没有，集
10、合 没有.由于，所以集合. 【点睛】本小题主要考查集合子集、交集、并集、全集和补集的概念.根据集合有关概念，容易求 得集合 的元素，属于基础题. 15.已知函数（且）恒过定点，则_. 【答案】 【解析】 【分析】 当时，函数值域与 没有关系，由此求得恒过的定点，并求得表达式的值. 【详解】当，即时，函数值域与 没有关系，此时，故函数过定点，即， ，所以. 【点睛】本小题主要考查指数函数横过定点的问题，当指数函数底数为 的时候，由此求得 恒过的定点，属于基础题. 16.数学老师给出一个函数，甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质 甲：在上函数单调递减； 乙：在上函数单调递增； 丙：在定
11、义域 R R 上函数的图象关于直线x=1 对称； 丁：不是函数的最小值. 老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确. 那么，你认为_说的是错误. 【答案】乙 【解析】 如果甲、乙两个同学回答正确，在上函数单调递增；丙说“在定义域 上函数的图象关 于直线对称”错误，此时是函数的最小值，所以丁的回答也是错误的，与“四个同学中怡好有 三个人说的正确”矛盾，所以只有乙回答错误，故答案为乙. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17.计算下列各式的值： （）； （）. 【
12、答案】(I) ;(II) . 【解析】 【分析】 （I）根据指数运算公式，化简表达式求得结果过.（II）根据对数运算公式，化简表达式求得结 果. 【详解】 （I）原式 . （II）原式 . 【点睛】本小题主要考查指数的运算公式，考查对数的运算公式.指数运算公式包括：， ，等.主要化简方法是将带分数化为假分数，将大的数变为小 的数的指数形式，小数变为分数来进行化简.不同底数的指数没有加法的公式.属于基础题. 18.设全集，集合， （）求； （）若集合，且，求 的取值范围. 【答案】 （1）;（2）. 【解析】 试题分析： （1）由题意求得，然后根据集合的运算的定义求解即可； （2）由可得，由此可
13、得关于 的不等式，解不等式可得。 试题解析： （1）由得， 解得， 。 。 又 （2）由题意得 ， 解得. 实数 的取值范围为。 19.设命题p：实数x满足x 24ax3a20；命题q：实数x满足x 25x60. （）若a1，且p、q均为真命题，求实数x的取值范围； （）若是成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围 【答案】(I) ； （II）. 【解析】 【分析】 （I）当时，由于均为真命题，所以求得的解集，再取交集得到 的取值范围.（II）是 成立的必要不充分条件，则 是 的必要不充分条件，由此列不等式组，求得 的取值范围. 【详解】 （I）当时，由于均为真命题，命题 ：，命题 ：，取两个
14、的交集 得到.（II）是成立的必要不充分条件，则 是 的必要不充分条件，即 ，故，解得. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查命题真假性的判断及集合交集，考查充要 条件的判断以及子集.属于中档题. 20.如图所示， 定义域为上的函数是由一条射线及抛物线的一部分组成.利用该图提供 的信息解决下面几个问题. （1）求的解析式； （2）若 关于的方程有三个不同解，求 的取值范围； （3）若，求 的取值集合. 【答案】 （1）.;（2）;（3）. 【解析】 试题分析： （1）由图象可知，当时，为一次函数；当时，是二次函数，分别用 待定系数法求解析式； （2）当时，结合图象可以得到当时，函数
15、的图象 和函数的图象有三个公共点，即方程有三个不同解； （3）分和两种情况分别解 方程即可。 试题解析： （1）当时，函数为一次函数，设其解析式为， 点和在函数图象上， 解得 当时，函数是二次函数，设其解析式为， 点在函数图象上， 解得 综上. （2）由（1）得当时， 。 结合图象可得若方程有三个不同解，则。 实数 的取值范围. （3）当时，由得 解得 ； 当时，由得， 整理得 解得或（舍去） 综上得满足的 的取值集合是. 21.国际上钻石的重量计量单位为克拉已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正 比，且一颗重为 3 克拉的该钻石的价值为 54 000 美元 （1）写出钻石的价值
16、y关于钻石重量x的函数关系式； （2）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试求：当 为何值 时，价值损失的百分率最大 (注：价值损失的百分率；在切割过程 中的重量损耗忽略不计) 【答案】(1);(2)时，损失百分率最大. 【解析】 【分析】 （1）根据钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，设出关系式，利用 克拉时的价 值，求得 的值为，由此求得关系式为.（2）分别利用（1）求得的关系式写出原有 价值和现有价值，通过计算价值损失百分率，利用基本不等式求得当 为何值时，价值损失的百分率的 最大值. 【详解】(1)由题意可设价值与重量的关系式为： ykx 2，
17、3 克拉的价值是 54000 美元， 54 000k3 2，解得：k6 000， y6 000 x 2， 答：此钻石的价值与重量的函数关系式为y6 000 x 2. (2)若两颗钻石的重量为m、n克拉，则原有价值是 6 000(mn) 2， 现有价值是 6 000m 26 000n2， 价值损失的百分率 当且仅当mn时取等号 当时，价值损失的百分率最大. 【点睛】本小题主要考查利用待定系数法求函数的解析式，考查利用基本不等式求实际问题的最 大值.属于中档题. 22.已知：函数对一切实数都有成立，且. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）已知,设 当时，不等式恒成立； 当时，是 单调函数.
18、如果满足 成立的 的集合记为 ，满足 成立的 的集合记为 ，求为全集）. 【答案】 （1）； （2）； （3）. 【解析】 试题分析： （1）对抽象函数满足的函数值关系的理解和把握是解决该问题的关键，对自变量适当 的赋值可以解决该问题，结合已知条件可以赋求出； （2）在（1）基础上赋值可以实 现求解的解析式的问题； （3）利用（2）中求得的函数的解析式，结合恒成立问题的求解策略，即 转化为相应的二次函数最值问题求出集合 ，利用二次函数的单调性求解策略求出集合 试题解析： （1）令 x=1，y=1，则由已知 f（0）f（1）=1（1+2+1） f（0）=2 （2）令 y=0，则 f（x）f（0）=x（x+1） 又f（0）=2，f（x）=x 2+x2 （3）不等式 f（x）+32x+a 即 x 2+x2+32x+a 也就是 x 2x+1a由于当 时， 又 x 2x+1= 恒成立， 故 A=a|a1，g（x）=x 2+x2ax=x2+（1a）x2 对称轴 x= ， 又 g（x）在2，2上是单调函数，故有，或， B=a|a3，或 a5，CRB=a|3a5，ACRB=a|1a5 考点：抽象函数的性质；不等式的求解
