1、 辽宁省重点高中协作校辽宁省重点高中协作校 20162016- -20172017 学年高一上学期期中考试学年高一上学期期中考试 数学试题数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 个小题个小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. .） 1.设P 质数，Q 偶数，则PQ等于（ ） A 2 B2 CN D 【答案】A 考点：集合交集. 【易错点晴】质数是只能被1和本身整除的数，是从2开始的.集合的三要素是：确定性、互异性 和无序性.研究一个集合， 我们首先
2、要看清楚它的研究对象， 是实数还是点的坐标还是其它的一些元素， 这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的 解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合 与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目. 2.若0a且1a ，那么函数 x ya与logayx的图象关于（ ） A原点对称 B直线yx对称 Cx轴对称 Dy轴对称 【答案】B 【解析】 试题分析：同底的指数函数和对数函数互为反函数，图象关于yx对称. 考点：指数函数和对数函数图象. 3.无论a取何值
3、，函数( )log2 a f xx的图象必过（ ）点 A0, 2 B1,0 C1, 2 D0,2 【答案】C 【解析】 试题分析：当1x 时，函数值恒为2，故定点为1, 2. 考点：指数函数图象过定点. 4.下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A 4 ( )lgf xx，( )4lgg xx B ,0 ( ) ,0 x x f x x x ， 2 ( )g xx C 2 4 ( ) 2 x f x x ，( )2g xx D( )11f xxx ， 2 ( )1g xx 【答案】B 考点：定义域与值域. 5.已知( )f x是一次函数， 且3 (1)2 (2)5ff ，2 (0)( 1)1
4、ff， 则( )f x的解析式为 （ ） A( )32f xx B( )32f xx C( )23f xx D( )23f xx 【答案】A 【解析】 试题分析： 设一次函数 f xkxb， 依题意有32 25kbkb， 21bkb ， 联立方程组，解得3,2kb ，所以( )32f xx. 考点：待定系数法求解析式. 6.下列说法正确的是（ ） A对于任何实数a， 21 42 |aa都成立 B对于任何实数a，| nn aa都成立 C对于任何实数a，b，总有ln()lnlna bab D对于任何实数a，b，总有ln()lnlnabab 【答案】A 【解析】 试题分析：当0a时， nn aa，故
5、 B 错误；C，D 都不满足对数运算；A 选项正确. 考点：指数运算. 7.已知集合0,1A，, ,Bx y z，则从集合A到集合B的映射可能有（ ）种 A6 B8 C9 D12 【答案】C 考点：映射. 8.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)上单调递减的函数是（ ） A 2 3 yx B 1 3 yx C 3 2 yx D 2 3 yx 【答案】D 【解析】 试题分析：A 的指数大于零，故在(0,)上递增，B，C 不是偶函数，故选 D. 考点：函数的单调性与奇偶性. 9.函数 1 lg 1 lg x y x （1x）的值域是（ ） A1,1 B 1,1) C( 1,1 D1,1 【答案
6、】C 【解析】 试题分析： 分离常数得 2 1 1 lg y x ， 因为 2 1,lg1 1,02 lg1 xx x ， 所以1,1y . 考点：值域. 10.已知 0 x是函数 1 ( )2xf x x 的一个零点，若 10 (0,)xx， 20 (,)xx，则有（ ） A 1 ( )0f x， 2 ()0f x B 1 ( )0f x， 2 ()0f x C 1 ( )0f x， 2 ()0f x D 1 ( )0f x， 2 ()0f x 【答案】D 【解析】 试题分析：函数 f x是增函数，故 12 0,0f xf x. 考点：零点. 11.下列四个命题： （1）函数( )f x在0
7、 x时是增函数，0 x时也是增函数，所以( )f x是增函数； （2）若log 2 a m ，log 2 b n 且mn，则ab； （3）函数 2 ( )2(1)2f xxax在区间(,4上是减函数，则实数a的取值范围是3a； （4） 2 1 2 log (2)yxx的减区间为(1,) 其中正确的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【答案】C 考点：函数的单调性. 【思路点晴】 本题主要考查函数的单调性. （1） 是考查单调性的定义， 如 1 y x ， 在0 x和0 x 上都是递减的，但是在整个定义域上不是递减的.（2）考查了对数函数的值域，当底数大于零小于一 且真数大于一时，对数值是小于
8、零的.（3）考查了二次函数单调性问题，主要突破口在于开口方向和 对称轴.（4）考查了复合函数的单调性，首先要求出定义域，然后利用同增异减来求得减区间. 12.已知函数 1 ( )( ) 2 x f x ， 2 ( )g xx，对于不相等的实数 1 x， 2 x，设 12 12 ()()f xf x m xx ， 12 12 ()()g xg x n xx ，则下列说法正确的有（ ） 对于任意不相等的实数 1 x， 2 x，都有0m； 对于任意不相等的实数 1 x， 2 x，都有0n； 存在不相等的实数 1 x， 2 x，使得mn A B C D 【答案】B 【解析】 试题分析：m表示函数 f
9、x图象上任意两点连线的斜率，同理n表示函数 g x图象上任意两点 连线的斜率.由于 f x是减函数，所以正确； g x左减右增，所以错误；由于两个函数图像有 两个交点，此时这两个交点连线斜率相同，故正确. 考点：函数的单调性. 【思路点晴】 本题主要考查指数函数的单调性， 二次函数的单调性. 1 2 x fx 是单调递减函数， 2 g xx是二次函数，且左减右增. 12 12 ()()f xf x m xx ， 12 12 ()()g xg x n xx 的几何意义表示的是函 数图象上任意两点连线的斜率. 由于 f x是减函数，所以正确； g x左减右增，所以错误；由 于两个函数图象有两个交点
10、，此时这两个交点连线斜率相同，故正确. 第第卷（非选择题共卷（非选择题共 9090 分）分） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每题小题，每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分分 ） 13.设( )f x的图象在区间, a b上不间断，且( ) ( )0f a f b ，用二分法求相应方程的根时，若 ( )0f a ，( )0f b ，()0 2 ab f ，则取有根的区间为 【答案】( ,) 2 ab a 考点：二分法. 14.设函数(1)f x的定义域为1,0，则函数(2)fx 的定义域为 【答案】4,9 【解析】 试题分析：1,0 ,10,1xx ，所以20,
11、1 ,2,3 ,4,9xxx . 考点：定义域. 【思路点晴】求函数定义域的主要依据是：分式的分母不能为零；偶次方根的被开方式其值 非负；对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1；含 0( ) yfx，则( )0f x ；含 tan( )yf x，则 ( ), 2 f xkkZ .对于复合函数求定义域问题，若已知( )f x的定义域 , a b，则复合函数 ( ( )f g x的定义域由不等式( )ag xb得到. 15.若函数 1 ln 21 ax y x 为奇函数，则a 【答案】2 考点：函数的奇偶性. 【思路点晴】判断函数奇偶性，首先判断函数的定义域是否关于原点对称若定义域关于原点对 称
12、，则 在定义域的条件下对函数式进行适当的化简最后判断fx与 f x间的关系(相等还是互为 相反数)；若定义域不关于原点对称，则不具有奇偶性对于分段函数的奇偶性应分段判断也可以利 用 0f xfx，或 0f xfx等于零来判断. 16.设xR， x表示不超过x的最大整数，若存在实数t，使得 1t ， 2 2 t ， n tn 同时成立，则正整数n的最大值是 【答案】4 【解析】 试题分析： 1t ， 则1 ,2t； 2 2 t ， 则 2 , 3t ； 3 3t ， 则 33 3 , 4t ； 4 4 t ， 则 44 4, 5t ； 5 5 t ，则 55 5, 6t ；其中 354 31.7
13、32,41.587,51.495,61.4311.495，由此可得4t 时，可以找到实数t，使 3434 1,22,33,44,5t ，但当5t 时，上述区间没有公共部分，故n的最大值 为4. 考点：取整函数. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.已知集合 2 2,logAt，集合 |(2)(5)Bx yxx （1）对于区间, a b，定义此区间的“长度”为ba，若A的区间“长度”为 3，试求实数t的 值； （2）若AB，试求实数t的取值范围 【答案】
14、 （1）32t ； （2）432t . 考点：定义域，值域，子集. 18.化简： （1） 133 4 3 6 36 88 ()() 12527 aa bb ； （2） 1 2 (lg2)(ln)log5e 【答案】 （1） 3 6 25 a； （2）2. 【解析】 试题分析： （1） 1332213 4 3 6 362212 88226 ()() 125275325 aaaaa bbbb ； （2） 1 222 2 (lg2)(ln)log5(lg2) log 4log 25lg2 log 100lg1002e . 试题解析： （1） 3 6 25 a； （2）2 考点：对数和指数运算. 19
15、.设全集UR， 2 |20Axxx， 2 |10Bx mxmx ，其中xR，如果 () UA B ，求m的取值范围 【答案】40m . 试题解析： 由题意 1 0, 2 A ， 因为() UA B ，所以BA， 当B时，当0m时符合题意， 当0m，0，即 2 40mm，解得40m ，符合题意； 当B时，当B中只有一个元素时， 0 ，即 2 40mm，解得0m（舍） ，4m， 检验，此时 2 1 | 4410 2 Bxxx ，符合题意； 当B中有两个元素时，由题意 1 0, 2 B ，将0， 1 2 代入方程可知此时无解 综上所述，m的取值范围为40m 考点：集合交集，并集和补集. 20.如图所
16、示的函数( )F x的图象，由指数函数( ) x f xa与幂函数( ) b g xx“拼接”而成 （1）求( )F x的解析式； （2）比较 b a与 a b的大小； （3）已知(4)(32 ) bb mm ，求m的取值范围 【答案】 （1） 1 2 11 () , 164 ( ) 1 ,. 4 x x F x xx ； （2） ba ab； （3） 1 2 (, ) 3 3 . 试题解析： （1）由题意得 1 4 1 , 2 11 ( ), 42 b a 解得 1 , 16 1 , 2 a b 1 2 11 () , 164 ( ) 1 ,. 4 x x F x xx 因为 32 11 (
17、 ) 22 ，所以 1 1 16 32 16 11 ( )( ) 22 ，即 ba ab （3）由题意 11 22 (4)(3 2 )mm ， 所以 40, 320, 432 , m m mm 解得 13 32 m， 所以m的取值范围是 1 2 (, ) 3 3 考点：函数的单调性. 21.某产品关税与市场供应量P的关系近似地满足： 2 (1)() ( )2 ktx b P x （其中t为关税的税率，且 0, 2 t ，x为市场价格，b，k为正常数） ，当 1 8 t 时，市场供应量曲线如图所示： （1）根据函数图象求k，b的值； （2）若市场需求量Q，它近似满足 1 (11) 2 ( )2
18、x Q x 当PQ时的市场价格为均衡价格，为使均 衡价格控 制在不低于 9 元的范围内，求税率t的最小值 【答案】 （1） 6 5 k b ； （2） 19 192 . 试题解析： 考点：函数实际应用. 【方法点晴】解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：读不懂实际背景，不 能将实际问题转化为函数模型对涉及的相关公式，记忆错误在求解的过程中计算错误.另外需 要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解利用图象上点的坐标待定系 数，利用分离参数法求t的最值. 22.已知函数( ) m f xx x （0 x，0m） 和函数( )|g xa xbc（xR，0a，0b）
19、 问： （1）证明：( )f x在(,)m 上是增函数； （2）把函数 1( ) | |g xx和 2( ) | 1|gxx写成分段函数的形式，并画出它们的图象，总结出 2( ) gx 的图象 是如何由 1( ) g x的图象得到的请利用上面你的结论说明：( )g x的图象关于xb对称； （3）当1m，2b，0c 时，若( )( )f xg x对于任意的0 x恒成立，求a的取值范围. 【答案】 （1）证明见解析； （2）理由见解析； （3）(0,1. 【解析】 试题分析： （1）利用单调区间定义法，计算 12 ( )()0f xf x，所以函数为增函数； （2）根据绝 对值的意义，有 1 ,0
20、 ( ) ,0 x x g x x x 2 1,1 ( ) 1,1 xx gx x x . 2( ) gx的图象是由 1( ) g x的图象向右平移1个 单位得到的，因此，函数( )|g xa xbc图象，是由( )|h xa xc向右平移b个单位得到，故 图像关于xb对称； （3）当1m，2b，0c 时，若( )( )f xg x等价于 1 |2|xa x x 对于 任意的0 x恒成立，根据2,02xx去绝对值，分类讨论a的取值范围. 试题解析： （1）在(,)m 内任取两个实数 1 x， 2 x，且 12 xx，则 21 0 xxx ， 12 212121 2112 ()()()() x
21、xmmm yf xf xxxxx xxx x ， 因为 1 xm， 2 xm，所以 12 0 x xm，又有 21 0 xx，所以0y ， 所以( )f x在(,)m 是增函数 （2） 1 ,0, ( ) ,0, x x g x x x 2 1,1, ( ) 1,1. xx gx x x 2( ) gx的图象是由 1( ) g x的图象向右平移 1 个单位得到的， 先考虑函数( )|h xa xc（xR，0b） ， 在( )h x的定义域内任取一个实数x，则x也在其定义域内， 因为()|( )hxaxca xch x ，所以函数( )h x是偶函数, 即其图象的对称轴为0 x， 由上述结论，(
22、 )g x的图象是由( )h x的图象向右平移b个单位得到， 所以( )g x的图象关于xb对称 结合以上两种情况01a 当02x时，不等式 1 (2)xax x ， 即 2 (1)210axax 对于任意02x恒成立， 由题意 0, 10, a a 进而对称轴1 1 a x a ， 所以 2 44(1)0aa ，即 2 10aa ，解得1 515 22 a ， 所以 15 0 2 a 综上所述，a的取值范围为(0,1 考点：单调性的证明，函数图象与性质. 【方法点晴】本题主要考查利用定义法证明单调性，考查函数图象平移变换. 若对于定义域I内 的某个区间D DI上的任意两个自变量 1 x、 2 x，当 12 xx时，都有 12 f xf x，那么就说函 数 f x在区间D上是增函数； 若对于定义域I内的某个区间D DI上的任意两个自变量 1 x、 2 x， 当 12 xx时，都有 12 f xf x， 那么就说函数 f x在区间D上是减函数.ya xbc的图像可经过yx 平移、伸缩或对称变换得到.
