1、 2016-2017 学年上海市虹口区复兴高中高一（上）期中数学试卷学年上海市虹口区复兴高中高一（上）期中数学试卷 一、填空题（每题一、填空题（每题 4 分，共分，共 56 分）分） 1不等式|2x|1 的解集为 2若集合 M=x|y=2x+1，N=（x，y）|y=x2，则 MN= 3已知函数 y=f（x+1）定义域是2，3，则 y=f（2x1）的定义域是 4不等式的解集是 5设函数 f（x）=为奇函数，则实数 a= 6函数 y=2x的值域为 7若函数 y=x2+2（a1）x+2 在区间（，4上单调递减，则实数 a 的取值范围是 8不等式（a2）x22（a2）x40 对 xR 恒成立，则实数
2、a 的取值范围为 9定义在（，0）（0，+）的奇函数 f（x）在（0，+）上为增函数，且 f（1）=0，则 不等式 f（x）0 的解集是 10设 f（x）是 R 上的奇函数，g（x）是 R 上的偶函数，若函数 f（x）+g（x）的值域为1，3） ， 则 f（x）g（x）的值域为 11已知函数 f（x）=，则不等式的解集是 12要设计两个矩形框架，甲矩形的面积是 1m2，长为 xm，乙矩形的面积为 9m2，长为 ym，若 甲矩形的一条宽与乙矩形一条宽之和为 1m，则 x+y 的最小值为 13已知关于 x 的不等式的解集为 p，若 1p，则实数 a 的取值范围为 14若对于满足1t3 的一切实数
3、t，不等式 x2（t2+t3）x+t2（t3）0 恒成立，则 x 的 取值范围为 二、选择题（每题二、选择题（每题 5 分，共分，共 20 分）分） 15设 x 取实数，则 f（x）与 g（x）表示同一个函数的是（ ） Af（x）=x，g（x）= Bf（x）=，g（x）= Cf（x）=1，g（x）=（x1）0 Df（x）=，g（x）=x3 16是 成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 17已知 f（x）是偶函数，xR，当 x0 时，f（x）为增函数，若 x10，x20，且|x1|x2|， 则（ ） Af（x1）f（x2） Bf（x1）f（x2）
4、Cf（x1）f（x2） Df（x1） f（x2） 18已知函数 f（x）=|x1|，若存在 x1，x2a，b，且 x1x2，使 f（x1）f（x2）成立，则 以下对实数 a，b 的描述正确的是（ ） Aa1 Ba1 Cb1 Db1 三、解答题（共三、解答题（共 5 题，共题，共 74 分）分） 19记函数 f（x）=的定义域为集合 A，则函数 g（x）=的定义域为集合 B， （1）求 AB 和 AB （2）若 C=x|p2x2p+1，且 C A，求实数 p 的取值范围 20某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在 150 吨至 250 吨之间，其生产的总成本 y（万元） 与年产量 x（吨）之间的
5、函数关系式可近似地表示为 问： （1）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成本？ （2）若每吨平均出厂价为 16 万元，则年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润？ 21已知函数 f（x）=|xa|，g（x）=x2+2ax+1（a 为正常数） ，且函数 f（x）和 g（x）的图象与 y 轴的交点重合 （1）求 a 实数的值 （2）若 h（x）=f（x）+b（b 为常数）试讨论函数 h（x）的奇偶性； （3）若关于 x 的不等式 f（x）2a 有解，求实数 a 的取值范围 22已知函数 f（x）= （1）求证 f（x）在（0，+）上递增 （2）若 f（x）在m，n上的值域是m
6、，n，求实数 a 的取值范围 （3）当 f（x）2x 在（0，+）上恒成立，求实数 a 的取值范围 23定义实数 a，b 间的计算法则如下 ab= （1）计算 2（31） ； （2）对 0 xzy 的任意实数 x，y，z，判断 x（yz）与（xy）z 的大小，并说明理由； （3）写出函数 y=（1x）+（2x） ，xR 的解析式，作出该函数的图象，并写出该函数单调递 增区间和值域（只需要写出结果） 2016-2017 学年上海市虹口区复兴高中高一（上）期中数学学年上海市虹口区复兴高中高一（上）期中数学 试卷试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题一、填空题（每题（每题 4 分，共
7、分，共 56 分）分） 1不等式|2x|1 的解集为 （1，3） 【考点】绝对值不等式的解法 【分析】由不等式|2x|1 可得1x21，即可得出结论 【解答】解：由不等式|2x|1 可得1x21， 1x3， 故不等式|2x|1 的解集为 （1，3） ， 故答案为： （1，3） 2若集合 M=x|y=2x+1，N=（x，y）|y=x2，则 MN= 【考点】交集及其运算 【分析】求出集合 M 中 x 的范围确定出 M，集合 N 表示开口向下，顶点为原点的抛物线上点的坐 标，确定出两集合交集即可 【解答】解：M=x|y=2x+1，N=（x，y）|y=x2， MN=， 故答案为： 3已知函数 y=f（
8、x+1）定义域是2，3，则 y=f（2x1）的定义域是 【考点】函数的定义域及其求法 【分析】 利用函数的定义域是自变量的取值范围， 同一法则 f 对括号的范围要求一致； 先求出 f （x） 的定义域；再求出 f（2x1）的定义域 【解答】解：y=f（x+1）定义域是2，3， 1x+14， f（x）的定义域是1，4， 令12x14， 解得 0 x， 故答案为： 4不等式的解集是 x|x 或 1x3 【考点】其他不等式的解法 【分析】不等式等价为（23x） （x3） （x1）0 且 x10，即可 得出结论 【解答】解：不等式等价为（23x） （x3） （x1）0 且 x10， x或 1x3， 不
9、等式的解集是x|x或 1x3， 故答案为x|x或 1x3 5设函数 f（x）=为奇函数，则实数 a= 1 【考点】函数奇偶性的性质 【分析】一般由奇函数的定义应得出 f（x）+f（x）=0，但对于本题来说，用此方程求参数的值 运算较繁，因为 f（x）+f（x）=0 是一个恒成立的关系故可以代入特值得到关于参数的方程求 a 的值 【解答】解：函数为奇函数， f（x）+f（x）=0， f（1）+f（1）=0， 即 2（1+a）+0=0， a=1 故答案为：1 6函数 y=2x的值域为 ，3 【考点】函数的值域 【分析】利用函数是增函数得出即可 【解答】解：函数 y=2x 根据函数是增函数得出：x=
10、1 时，y= x=时，y=3 值域为：，3 故答案为：，3 7若函数 y=x2+2（a1）x+2 在区间（，4上单调递减，则实数 a 的取值范围是 a3 【考点】二次函数的性质 【分析】若 y=x2+2（a1）x+2 在区间（，4上单调递减，则 1a4，解得答案 【解答】解：函数 y=x2+2（a1）x+2 的图象是开口朝上，且以直线 x=1a 为对称轴的抛物线， 若 y=x2+2（a1）x+2 在区间（，4上单调递减， 则 1a4， 解得：a3， 故答案为：a3 8不等式（a2）x22（a2）x40 对 xR 恒成立，则实数 a 的取值范围为 2a2 【考点】函数恒成立问题 【分析】依题意，
11、分 a=2 与 a2 两类讨论，即可求得实数 a 的取值范围 【解答】解：不等式（a2）x22（a2）x40 对 xR 恒成立， 当 a=2 时，40 对任意实数 x 都成立； 当 a2 时，解得：2a2； 综上所述，2a2 故答案为：2a2 9定义在（，0）（0，+）的奇函数 f（x）在（0，+）上为增函数，且 f（1）=0，则 不等式 f（x）0 的解集是 x|x1 或 0 x1 【考点】奇偶性与单调性的综合 【分析】先根据其为奇函数，得到在（，0）上的单调性；再借助于 f（1）=f（1）=0， 即可得到结论 【解答】解：定义在（，0）（0，+）的奇函数，且在（0，+）上是增函数， 在（，
12、0）上也是增函数； 又f（1）=f（1）=0 f（x）0 的解集为：x|x1 或 0 x1 故答案为：x|x1 或 0 x1 10设 f（x）是 R 上的奇函数，g（x）是 R 上的偶函数，若函数 f（x）+g（x）的值域为1，3） ， 则 f（x）g（x）的值域为 （3，1 【考点】函数的值域；奇函数；偶函数 【分析】根据奇偶函数的定义得到 f（x）=f（x） ，g（x）=g（x） ，由两函数的定义域都为 R，根据 f（x）+g（x）的值域列出不等式，把 x 换为x，代换后即可求出 f（x）g（x）的范围， 即为所求的值域 【解答】解：由 f（x）是 R 上的奇函数，g（x）是 R 上的偶函
13、数， 得到 f（x）=f（x） ，g（x）=g（x） ， 1f（x）+g（x）3，且 f（x）和 g（x）的定义域都为 R， 把 x 换为x 得：1f（x）+g（x）3， 变形得：1f（x）+g（x）3，即3f（x）g（x）1， 则 f（x）g（x）的值域为（3，1 故答案为： （3，1 11已知函数 f（x）=，则不等式的解集是 x0 x 【考点】其他不等式的解法 【分析】由 h（x）=x2+4x 在0，+）单调递增，h（x）min=h（0）=0，g（x）=x2+4x 在（， 0）上单调递增，g（x）max=g（0）=0 可知函数 f（x）在 R 上单调递增，则由 可得 2x，解不等式可求
14、【解答】解：f（x）=， h（x）=x2+4x 在0，+）单调递增，h（x）min=h（0）=0 g（x）=x2+4x 在（，0）上单调递增，g（x）max=g（0）=0 由分段函数的性质可知，函数 f（x）在 R 上单调递增 ， 2x， 0 x， 故答案为x|0 x 12要设计两个矩形框架，甲矩形的面积是 1m2，长为 xm，乙矩形的面积为 9m2，长为 ym，若 甲矩形的一条宽与乙矩形一条宽之和为 1m，则 x+y 的最小值为 16m 【考点】基本不等式 【分析】利用矩形的面积计算公式、“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出 【解答】解：由题意可得： +=1，x，y0 则 x+y=（x+
15、y）=10+10+216当且仅当 y=3x=12 时取等号 故答案为：16m 13已知关于 x 的不等式的解集为 p，若 1p，则实数 a 的取值范围为 （1，0） 【考点】其他不等式的解法 【分析】由题意知 1 不满足不等式，列出关于 a 的不等式，由分式不等式的解法求出实数 a 的取 值范围 【解答】解：不等式的解集为 p，且 1P， ，则，即 a（a+1）0， 解得1a0， 实数 a 的取值范围是（1，0） ， 故答案为： （1，0） 14若对于满足1t3 的一切实数 t，不等式 x2（t2+t3）x+t2（t3）0 恒成立，则 x 的 取值范围为 （，4）（9，+） 【考点】函数恒成立
16、问题 【分析】不等式 x2（t2+t3）x+t2（t3）0 可化为（xt2） （xt+3）0，求出不等式的解 集，再求出函数的最值，即可确定 x 的取值范围 【解答】解：不等式 x2（t2+t3）x+t2（t3）0 可化为（xt2） （xt+3）0 1t3，t2t3 xt2或 xt3 y=t2在1t3 时，最大值为 9；y=t3 在1t3 时，最小值为4， x9 或 x4 故答案为（，4）（9，+） 二、选择题（每题二、选择题（每题 5 分，共分，共 20 分）分） 15设 x 取实数，则 f（x）与 g（x）表示同一个函数的是（ ） Af（x）=x，g（x）= Bf（x）=，g（x）= Cf
17、（x）=1，g（x）=（x1）0 Df（x）=，g（x）=x3 【考点】判断两个函数是否为同一函数 【分析】根据确定函数的三要素判断每组函数是否为同一个函数，即需要确定每组函数的定义域、 对应关系、值域是否相同，也可只判断前两项是否相同即可确定这两个函数是否为同一个函数 【解答】解：A 组中两函数的定义域相同，对应关系不同，g（x）=|x|x，故 A 中的两函数不为 同一个函数； B 组中两函数的定义域均为所有正数构成的集合，对应关系化简为 f（x）=g（x）=1，故 B 中的 两函数是同一个函数； C 组中两函数的定义域不同，f（x）的定义域为 R，g（x）的定义域为x|x1，故 C 中的两
18、函 数不为同一个函数； D 组中两函数的定义域不同，g（x）的定义域为 R，f（x）的定义域由不等于3 的实数构成，故 D 中的两函数不为同一个函数 故选 B 16是 成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】根据不等式之间的关系，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论 【解答】解：当时，成立，即充分性成立， 当 x=10，满足成立但不成立，即必要性不成立 故是成立充分不必要条件， 故选：A 17已知 f（x）是偶函数，xR，当 x0 时，f（x）为增函数，若 x10，x20，且|x1|x2|，
19、则（ ） Af（x1）f（x2） Bf（x1）f（x2） Cf（x1）f（x2） Df（x1） f（x2） 【考点】奇偶性与单调性的综合 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论 【解答】解：f（x）是偶函数，xR，当 x0 时，f（x）为增函数，且|x1|x2|， f（|x1|）f（|x2|） ， 则 f（x1）f（x2）成立， 故选：B 18已知函数 f（x）=|x1|，若存在 x1，x2a，b，且 x1x2，使 f（x1）f（x2）成立，则 以下对实数 a，b 的描述正确的是（ ） Aa1 Ba1 Cb1 Db1 【考点】分段函数的应用 【分析】先根据 f（x）=|x|的图
20、象性质，推得函数 f（x）=|x1|的单调区间，再依据条件分析 求解 【解答】解：f（x）=|x|的图象是把 f（x）=x 的图象中 x 轴下方的部分对称到 x 轴上方， 函数在（，0）上递减；在（0，+）上递增 函数 f（x）=|x1|的图象可由 f（x）=|x|的图象向右平移 1 个单位而得， 在（，1上递减，在1，+）上递增， 若存在 x1，x2a，b，x1x2，使 f（x1）f（x2）成立， a1 故选：A 三、解答题（共三、解答题（共 5 题，共题，共 74 分）分） 19记函数 f（x）=的定义域为集合 A，则函数 g（x）=的定义域为集合 B， （1）求 AB 和 AB （2）若
21、 C=x|p2x2p+1，且 C A，求实数 p 的取值范围 【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算 【分析】 （1）先分别求出函数 f（x） 、g（x）的定义域 A、B，再利用交集、并集的定义可求出 AB 和 AB （2）由 C A，分类讨论，即可求出实数 p 的取值范围 【解答】解： （1）x20，解得 x2，函数 f（x）=的定义域为集合 A=x|x2 9x20，解得3x3， 函数 g（x）=的定义域为集合 B=x|3x3 AB=x|x2x|3x3=（2，3， AB=x|x2x|3x3=3，+） （2）C=x|p2x2p+1，且 C A， C=，p22p+1， p3； C， ，
22、p4， 综上所述，p3 或 p4 20某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在 150 吨至 250 吨之间，其生产的总成本 y（万元） 与年产量 x（吨）之间的函数关系式可近似地表示为 问： （1）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成本？ （2）若每吨平均出厂价为 16 万元，则年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润？ 【考点】函数模型的选择与应用 【分析】 （1）利用总成本除以年产量表示出平均成本，利用基本不等式求出平均成本的最小值 （2）利用收入减去总成本表示出年利润，通过配方求出二次函数的对称轴，由于开口向下，对称 轴处取得最大值 【解答】解： （1）设每吨的平均
23、成本为 W（万元/T） ， 则 W=+ 30230=10， 当且仅当 =，x=200（T）时每吨平均成本最低，且最低成本为 10 万元 （2）设年利润为 u（万元） ， 则 u=16x（30 x+4000）=+46x4000=（x230）2+1290 所以当年产量为 230 吨时，最大年利润 1290 万元 21已知函数 f（x）=|xa|，g（x）=x2+2ax+1（a 为正常数） ，且函数 f（x）和 g（x）的图象与 y 轴的交点重合 （1）求 a 实数的值 （2）若 h（x）=f（x）+b（b 为常数）试讨论函数 h（x）的奇偶性； （3）若关于 x 的不等式 f（x）2a 有解，求实
24、数 a 的取值范围 【考点】函数的图象；函数奇偶性的判断 【分析】 （1）由题意得：f（0）=g（0） ，即|a|=1，可得 a=1 （2）利用奇偶函数的定义，确定 b 的值，进而可得函数的奇偶性 （3）关于 x 的不等式 f（x）2a 有解转化为|x1|2|x+1|的最大值大于或等于 a，画 出函数画出函数 y=|x1|2|x+1|的图象，由图象可得答案 【解答】解： （1）由题意得： f（0）=g（0） ， 即|a|=1， 又a0， a=1 （2）由（1）可知，f（x）=|x1|， g（x）=x2+2x+1=（x+1）2， h（x）=f（x）+b =|x1|+b|x+1|， 若 h（x）为
25、偶函数，即 h（x）=h（x） ，则有 b=1，此时 h（2）=4，h（2）=4， 故 h（2）h（2） ，即 h（x）不为奇函数； 若 h（x）为奇函数，即 h（x）=h（x） ，则 b=1，此时 h（2）=2，h（2）=2， 故 h（2）h（2） ，即 h（x）不为偶函数； 综上，当且仅当 b=1 时，函数 h（x）为偶函数，且不为奇函数， 当且仅当 b=1 时，函数 h（x）为奇函数，且不为偶函数， 当 b1 时，函数 h（x）既非奇函数又非偶函数 （3）关于 x 的不等式 f（x）2a 有解， 即 x 的不等式|x1|2|x+1|a 有解 故|x1|2|x+1|的最大值大于或等于 a，
26、 画出函数 y=|x1|2|x+1|的图象，如图所示： 由图象可知，|x1|2|x+1|的最大值为 2， a2 22已知函数 f（x）= （1）求证 f（x）在（0，+）上递增 （2）若 f（x）在m，n上的值域是m，n，求实数 a 的取值范围 （3）当 f（x）2x 在（0，+）上恒成立，求实数 a 的取值范围 【考点】函数恒成立问题；函数的值域 【分析】 （1）利用 f（x）=0 即可证明 f（x）在（0，+）上递增； （2）若 f（x）在m，n上的值域是m，n，则则，构造函数 y=与 y=x+（x0） ， 利用两函数的图象有两个公共点，即求实数 a 的取值范围； （3）当 f（x）2x
27、在（0，+）上恒成立a=在（0，+）上恒成立，构造函 数 g（x）=，利用基本不等式可求得 g（x）max，从而可求实数 a 的取值范围 【解答】 （1）证明：f（x）=，x（0，+） ， f（x）=0， 故函数 f（x）在（0，+）上单调递增； （2）f（x）在（0，+）上单调递增， 若 f（x）在m，n上的值域是m，n， 则，即， 故函数 y=与 y=x+（x0）的图象有两个公共点， 当 x0 时，y=x+2（当且仅当 x=，即 x=1 时取“=”） ， 2，解得 0a （3）f（x）=，f（x）2x 在（0，+）上恒成立上， a=在（0，+）上恒成立， 令 g（x）=， 则 g（x）=（
28、当且仅当 2x=，即 x=时取等号） ， 要使（0，+）上恒成立， 故 a 的取值范围是，+） 23定义实数 a，b 间的计算法则如下 ab= （1）计算 2（31） ； （2）对 0 xzy 的任意实数 x，y，z，判断 x（yz）与（xy）z 的大小，并说明理由； （3）写出函数 y=（1x）+（2x） ，xR 的解析式，作出该函数的图象，并写出该函数单调递 增区间和值域（只需要写出结果） 【考点】分段函数的应用；函数解析式的求解及常用方法；函数的图象 【分析】 （1）先求出 31，再求出 2（31）的值即可； （2）分别求出 x（yz）和（xy）z 的值，讨论 y2与 z 的大小即可；
29、（3）讨论 x 的大小，分 x2，x1，1x2，求得函数式，画出函数图象，即可得到该函数单 调递增区间和值域 【解答】解： （1）实数 a，b 间的计算法则如下 ab= 则 2（31）=23=32=9； （2）对 0 xzy 的任意实数 x，y，z， x（yz）=xy=y2， （xy）z=y2z， 此时若 y2z，则（xy）z=y2； 若 y2z，则（xy）z=z2 即若 y2z，则 x（yz）=（xy）z； 若 y2z，则 x（yz）（xy）z （3）当 x2 时，y=（1x）+（2x）=x2 +x 2=2x2； 当 1x2 时，y=（1x）+（2x）=x2+2； 当 x1 时，y=（1x）+（2x）=1+2=3 即有 y= ， 画出函数 y 的图象，如右： 该函数单调递增区间为（1，2） ， （2，+） ； 值域为3，+） 2017 年年 1 月月 4 日日
