1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 第第5 5讲讲 椭圆椭圆 第八章 平面解析几何 考纲解读 1.掌握两种求椭圆方程的方法：定义法、待定系数法，并能根 据其标准方程及几何图形研究椭圆的几何性质(范围、对称性、顶点、离心 率)(重点) 2掌握直线与椭圆位置关系的判断，并能求解直线与椭圆相关的综合问 题(难点) 考向预测 从近三年高考情况来看，本讲为高考的必考内容预测 2021 年将会考查：椭圆标准方程的求解；直线与椭圆位置关系的应用； 求解与椭圆性质相关的问题试题以解答题的形式呈现，灵活多变、技巧 性
2、强，具有一定的区分度，试题中等偏难. 1 基础知识过关基础知识过关 PART ONE 1.椭圆的定义 (1)定义：在平面内到两定点 F1，F2的距离的01 _等于02 _ (大 于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间 的距离叫做03 _ (2)集合语言： PM|MF1|MF2|04 _， 且 2a05 _|F1F2|， |F1F2| 2c，其中 ac0，且 a，c 为常数 注：当 2a|F1F2|时，轨迹为椭圆；当 2a|F1F2|时，轨迹为线段 F1F2； 当 2a 2椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) y2 a2 x2
3、 b21(ab0) 图形 范围 axa，byb bxb，aya 对称性 对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：原点 焦点 F1(c,0)，F2(c,0) F1(0，c)，F2(0，c) 顶点 A1(a,0)，A2(a,0)； B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a)； B1(b,0)，B2(b,0) 轴 线段 A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长为 2a，短轴长为 2b 焦距 |F1F2|2c 离心率 ec a且 e(0,1) 性 质 a，b，c 的关系 c2a2b2 3直线与椭圆位置关系的判断 直线与椭圆方程联立方程组，消掉 y，得到 Ax2BxC0 的形式(这
4、 里的系数 A 一定不为 0)，设其判别式为 ： (1)0直线与椭圆01 _； (2)0直线与椭圆02 _； (3)b0)上任意一点 P(x，y)，则当 x0 时，|OP|有 最小值 b，P 点在短轴端点处；当 x a 时，|OP|有最大值 a，P 点在长轴 端点处 (2)已知过焦点 F1的弦 AB，则ABF2的周长为 4a. 答案 (1) (2) (3) (4) 答案答案 1概念辨析 (1)平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭 圆( ) (2)方程 mx2ny21(m0，n0 且 mn)表示的曲线是椭圆( ) (3)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F2构成PF1F2的
5、周长为 2a2c(其中 a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)( ) (4)x 2 a2 y2 b21(ab0)与 y2 a2 x2 b21(ab0)的焦距相同( ) 2小题热身 (1)椭圆x 2 9 y 2 4 1 的离心率是( ) A. 13 3 B. 5 3 C.2 3 D.5 9 解析 由已知得 a3，b2，所以 c a2b2 3222 5，离心率 ec a 5 3 . 答案答案 解析解析 (2)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)，若长轴的长为 6，且两焦点恰好将 长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( ) A. x2 36 y2 321 B.x 2 9 y 2 8 1
6、 C.x 2 9 y 2 5 1 D. x2 16 y2 121 解析 由题意， 得2c 2a 1 3， 2a6， 解得 a3， c1， 则 b 3 212 8， 所以椭圆 C 的方程为x 2 9 y 2 8 1.故选 B. 答案答案 解析解析 (3) 若 方 程 x2 m2 y2 6m 1 表 示 椭 圆 ， 则 m 的 取 值 范 围 是 _ 解析 方程 x2 m2 y2 6m1 表示椭圆 m20， 6m0， m26m， 解得 2m6 且 m4. 2m|AB|，所以点 P 的轨迹是以 A(0，7)，B(0,7)为焦点，长轴长为 16 的椭 圆显然 a8，c7，故 b2a2c215，所以动点
7、 P 的轨迹方程为 x2 64 y2 15 1. x2 64 y2 151 解析解析 2 经典题型冲关经典题型冲关 PART TWO 1过椭圆x 2 4 y21 的左焦点 F1作直线 l 交椭圆于 A，B 两点，F2是椭 圆右焦点，则ABF2的周长为( ) A8 B4 2 C4 D2 2 题型一题型一 椭圆的定义及应用椭圆的定义及应用 解析 因为椭圆为x 2 4 y21，所以椭圆的半长轴 a2，由椭圆的定义 可得 AF1AF22a4，且 BF1BF22a4，所以ABF2的周长为 AB AF2BF2(AF1AF2)(BF1BF2)4a8. 答案答案 解析解析 2在平面直角坐标系 xOy 中，P
8、是椭圆y 2 4 x 2 3 1 上的一个动点，点 A(1,1)，B(0，1)，则|PA|PB|的最大值为( ) A5 B4 C3 D2 答案答案 解析 如图，椭圆y 2 4 x 2 3 1，焦点坐标为 B(0，1)和 B(0,1)， 连接 PB，AB，根据椭圆的定义，得|PB|PB|2a4，可得|PB|4 |PB|，因此|PA|PB|PA|(4|PB|)4(|PA|PB|) |PA|PB|AB|， |PA|PB|4|AB|415. 当且仅当点 P 在 AB的延长线上时，等号成立 综上所述，可得|PA|PB|的最大值为 5. 解析解析 3(2019 九江模拟)F1，F2是椭圆x 2 9 y 2
9、 7 1 的左、右焦点，A 为椭圆上 一点，且AF1F245 ，则AF1F2的面积为( ) A7 B.7 4 C.7 2 D.7 5 2 解析 由题意，得 a3，b 7，c 2，|AF1|AF2|6.|AF2|6 |AF1|.在AF1F2中，|AF2|2|AF1|2|F1F2|22|AF1| |F1F2| cos45 |AF1|2 4|AF1|8，(6|AF1|)2|AF1|24|AF1|8，解得|AF1|7 2，AF1F2 的面 积 S1 2 7 22 2 2 2 7 2. 答案答案 解析解析 利用定义解焦点三角形问题及求最值的方法 解焦点 三角形 问题 利用定义求焦点三角形的周长和面积解决
10、焦点三角形问题常利 用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理其中|PF1|PF2|2a 两边 平方是常用技巧见举例说明 3 求最值 抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到基本不等式求|PF1| |PF2|的 最值；利用定义|PF1|PF2|2a 转化或变形，借助三角形性质求 最值见举例说明 2 1如图所示，一圆形纸片的圆心为 O，F 是圆内一定点，M 是圆周上 一动点，把纸片折叠使 M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 交于点 P，则点 P 的轨迹是( ) A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆 解析 由题意得|PF|MP|，所以|PO|PF|PO|MP|MO|OF|，
11、即点 P 到两定点 O，F 的距离之和为常数(圆的半径)，且此常数大于两定点 的距离，所以点 P 的轨迹是椭圆 答案答案 解析解析 2(2019 安徽皖江模拟)已知 F1，F2是长轴长为 4 的椭圆 C：x 2 a2 y2 b2 1(ab0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点，则PF1F2面积的最大值为 _ 解 析 解 法 一 ： PF1F2的 面 积 为 1 2 |PF1|PF2| sin F1PF2 1 2 |PF1|PF2| 2 21 2a 2.又 2a4，a24，PF 1F2面积的最大值为 2. 2 解析解析 解法二：由题意可知 2a4，解得 a2.当 P 点到 F1F2距离最大时， SP
12、F1F2最大，此时 P 为短轴端点， SPF1F21 2 2c bbc. 又 a2b2c24，bcb 2c2 2 2， 当 bc 2时，PF1F2面积最大，为 2. 解析解析 角度 1 定义法求椭圆的标准方程 1已知 A 1 2，0 ，B 是圆 x1 2 2y24(F 为圆心)上一动点，线段 AB 的垂直平分线交 BF 于点 P，则动点 P 的轨迹方程为_ 题型二题型二 椭圆的标准方程椭圆的标准方程 x2y 2 3 4 1 解析 如图， 由题意知|PA|PB|， |PF|BP|2.所以|PA|PF|2 且|PA| |PF|AF|，即动点 P 的轨迹是以 A，F 为焦点的椭圆，a1，c1 2，b
13、 23 4. 所以动点 P 的轨迹方程为 x2y 2 3 4 1. 解析解析 角度 2 待定系数法求椭圆的标准方程 2已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 3 2， 5 2 ， ( 3， 5)，则椭圆方程为_ 解析 设椭圆方程为 mx2ny21(m0，n0 且 mn)由已知得 9 4m 25 4 n1， 3m5n1， 解得 m1 6，n 1 10，所以椭圆方程为 y2 10 x2 6 1. y2 10 x2 6 1 解析解析 1定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义确定 a2， b2的值， 再结合焦点位置求出椭圆的方程 见 举例说明 1.其中常用的关系有： (1)b2a2c2；
14、(2)椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于 2a； (3)椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于实半轴长 a. 2待定系数法求椭圆的标准方程的四步骤 提醒：当椭圆的焦点位置不明确时，可设为 mx2ny21(m0，n0， mn)可简记为“先定型，再定量”见举例说明 2. 1与圆 C1：(x3)2y21 外切，且与圆 C2：(x3)2y281 内切的 动圆圆心 P 的轨迹方程为_ 解析 设动圆的半径为 r，圆心为 P(x，y)，则有|PC1|r1，|PC2|9 r. 所以|PC1|PC2|10|C1C2|， 所以点 P 的轨迹是以 C1(3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为 10 的椭圆， 点
15、 P 的轨迹方程为 x2 25 y2 161. x2 25 y2 161 解析解析 2(2019 武汉调研)一个椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2在 x 轴上， P(2， 3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F2F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为 _ 解析 椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2在 x 轴上， 可设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， P(2， 3)是椭圆上一点， 且|PF1|， |F1F2|，|PF2|成等差数列， 4 a2 3 b21， 2a4c， 又 a2b2c2，a2 2，b 6，c 2，椭圆方 程为x 2 8 y 2 6 1. x2 8 y 2 6 1
16、解析解析 1已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的一个焦点是圆 x 2y26x80 的圆 心，且短轴长为 8，则椭圆的左顶点为( ) A(3,0) B(4,0) C(10,0) D(5,0) 题型三题型三 椭圆的几何性质椭圆的几何性质 解析 由已知得， 椭圆的一个焦点坐标为(3,0)， 故 c3， 又因为 2b8， b4，所以 a2b2c216925.故 a5.所以椭圆的左顶点为(5,0) 答案答案 解析解析 2已知 F1，F2分别是椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点，过 F1 且垂 直于 x 轴的直线与椭圆交于 A，B 上下两点，若ABF2是锐角三角形，则 该椭圆的
17、离心率 e 的取值范围是( ) A(0， 21) B( 21,1) C(0， 31) D( 31,1) 答案答案 解析 F1，F2分别是椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点，过 F1 且垂 直于 x 轴的直线与椭圆交于 A， B 上下两点， F1(c,0)， F2(c,0)， A c，b 2 a ， B c，b 2 a ，ABF2是锐角三角形，AF2F145 ，tanAF2F11， b2 a 2c1，整理，得 b 22ac，a2c20，解得 e 21 或 e 21(舍去)，0eb0)和直线 l： x 4 y 31， 若过 C 的左焦点和下顶点的直线与 l 平行，则椭圆 C 的离
18、心率为( ) A.4 5 B.3 5 C.3 4 D.1 5 解析 直线 l 的斜率为3 4，过 C 的左焦点和下顶点的直线与 l 平行， 所以b c 3 4，又 b 2c2a2 3 4c 2c2a225 16c 2a2，所以 ec a 4 5. 答案答案 解析解析 3若点 O 和点 F 分别为椭圆x 2 4 y 2 3 1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆 上的任意一点，则OP FP 的最大值为( ) A2 B3 C6 D8 解析 由椭圆x 2 4 y 2 3 1， 得 F(1,0)， 点 O(0,0)， 设 P(x， y)(2x2)， 则OP FP x2xy2x2x3 1x 2 4 1 4
19、x2x3 1 4 (x2)22， 2x2，当且仅当 x2 时，OP FP 取得最大值 6. 答案答案 解析解析 题型四题型四 直线与椭圆的综合问题直线与椭圆的综合问题 角度 1 直线与椭圆的位置关系 1已知直线 l：y2xm，椭圆 C：x 2 4 y 2 2 1.试问当 m 取何值时，直 线 l 与椭圆 C： (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点 解 将 直 线l 的 方 程 与 椭 圆C 的 方 程 联 立 ， 得 方 程 组 y2xm， x2 4 y 2 2 1， 将代入， 整理，得 9x28mx2m240. 方程根的判别式 (8m)249(2m24)
20、8m2144. 解解 (1)当 0，即3 2m3 2时，方程有两个不同的实数根，可知原 方程组有两组不同的实数解这时直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点 (2)当 0，即 m 3 2时，方程有两个相同的实数根，可知原方程 组有两组相同的实数解 这时直线 l 与椭圆 C 有两个互相重合的公共点， 即 直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 (3)当 0，即 m3 2时，方程没有实数根，可知原方程 组没有实数解，这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点 解解 角度 2 点差法解中点弦问题 2焦点是 F(0,5 2)，并截直线 y2x1 所得弦的中点的横坐标是2 7的 椭圆的标准方程为_ y2
21、75 x2 251 解析 设所求的椭圆方程为y 2 a2 x2 b21(ab0)，直线被椭圆所截弦的端 点为 A(x1， y1)， B(x2， y2) 由题意， 可得弦 AB 的中点坐标为 x1x2 2 ，y 1y2 2 ， 且x 1x2 2 2 7， y1y2 2 3 7.将 A， B 两点坐标代入椭圆方程， 得 y2 1 a2 x2 1 b21， y2 2 a2 x2 2 b21. 两式相减并化简，得a 2 b2 y1y2 x1x2 y1y2 x1x22 6 7 4 7 3，所以 a23b2，又 c2a2b250，所以 a275，b225，故所求椭圆的标准方程为 y2 75 x2 25 1
22、. 解析解析 解 (1)由 4x2y21， yxm， 得 5x22mxm210， 因为直线与椭圆有公共点， 所以 4m220(m21)0，解得 5 2 m 5 2 . 解解 角度 3 弦长问题 3已知椭圆 4x2y21 及直线 yxm. (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程 (2)设直线与椭圆交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由(1)知，5x22mxm210， 所以 x1x22m 5 ，x1x21 5(m 21)， 所以|AB| x1x22y1y22 2x1x22 2x1x224x1x2 2 4m2 25 4 5m 21
23、 2 5 108m2. 所以当 m0 时，|AB|最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为 yx. 解解 角度 4 综合计算问题 4(2019 天津高考)设椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点为 F，上顶点为 B.已知椭圆的短轴长为 4，离心率为 5 5 . (1)求椭圆的方程； (2)设点 P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点，点 N 在 y 轴的负半轴上，若|ON|OF|(O 为原点)，且 OPMN， 求直线 PB 的斜率 解 (1)设椭圆的半焦距为 c，依题意，2b4，c a 5 5 ， 又 a2b2c2，可得 a 5，b2，c1.
24、所以椭圆的方程为x 2 5 y 2 4 1. (2)由题意，设 P(xP，yP)(xP0)，M(xM,0)设直线 PB 的斜率为 k(k0)， 又 B(0,2)，则直线 PB 的方程为 ykx2，与椭圆方程联立 ykx2， x2 5 y 2 4 1， 整理得(45k2)x220kx0， 解解 可得 xP 20k 45k2， 代入 ykx2 得 yP810k 2 45k2 ， 进而直线 OP 的斜率为yP xP 45k2 10k . 在 ykx2 中，令 y0，得 xM2 k. 由题意得 N(0，1)，所以直线 MN 的斜率为k 2. 由 OPMN，得45k 2 10k k 2 1， 化简得 k
25、224 5 ，从而 k 2 30 5 . 所以直线 PB 的斜率为2 30 5 或2 30 5 . 解解 1直线与椭圆位置关系的判定方法 (1)代数法 联立直线与椭圆方程可得到一个关于 x，y 的方程组，消去 y(或 x)得一 元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标见举 例说明 1. (2)几何法 画出直线与椭圆的图象，根据图象判断公共点个数 2“点差法”的四步骤 处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步 骤如下： 3中点弦的重要结论 AB 为椭圆 x2 a2 y2 b2 1(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0) (
26、1)斜率：kb 2x 0 a2y0.见举例说明 2. (2)弦 AB 的斜率与弦中点 M 和椭圆中心 O 的连线的斜率之积为定值 b 2 a2. 4直线与椭圆相交的弦长公式 (1)若直线 ykxm 与椭圆相交于两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB| 1k2|x1x2|1 1 k2|y1y2|.见举例说明 3. (2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2 a ，最长为 2a. 1若直线 ykx1 与椭圆x 2 5 y 2 m1 总有公共点，则 m 的取值范围是 ( ) Am1 Bm0 C0m0 且 m5，综上知 m 的取值范围是 m1 且 m5. 答案答案 解析解析
27、2直线 yxm 被椭圆 2x2y22 截得的线段的中点的横坐标为1 6， 则中点的纵坐标为_ 解析 解法一： 由 yxm， 2x2y22， 消去y并整理得3x22mxm220， 设线段的两端点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22m 3 ，2m 3 1 3， 解得 m1 2.由截得的线段的中点在直线 yx 1 2上，得中点的纵坐标 y 1 6 1 2 1 3. 1 3 解析解析 解法二：设线段的两端点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 2x2 1y 2 12,2x 2 2 y2 22.两式相减得 2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.把y 1y2
28、 x1x21，x1 x21 3代入上式，得 y1y2 2 1 3，则中点的纵坐标为 1 3. 解析解析 解 (1)证明：由 x2 8 y 2 2 1， x2y40， 消去 x 整理得 y22y10， 440，l2与 C 相切 解解 3(2019 武威六中模拟)已知直线 l：ykx2 与椭圆 C：x 2 8 y 2 2 1 交 于 A，B 两点，直线 l1与直线 l2：x2y40 交于点 M. (1)证明：直线 l2与椭圆 C 相切； (2)设线段 AB 的中点为 N，且|AB|MN|，求直线 l1的方程 (2)由 ykx2， x2y40， 得 M 的坐标为(0,2) 由 x2 8 y 2 2
29、1， ykx2， 消去 y 整理得(14k2)x216kx80， 因为直线 l1与椭圆交于 A，B 两点， 所以 (16k)232(14k2)128k2320， 解得 k21 4. 解解 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0，y0)， 则 x1x2 16k 14k2，x1x2 8 14k2， 所以 x0 x 1x2 2 8k 14k2. |AB|MN|， 即 1k2|x1x2| 1k2|x00|， x1x224x1x2|x0|， 即 8k 14k2 4 2 4k21 14k2 ，解得 k21 2，满足 k 21 4. k 2 2 ，直线 l1的方程为 y 2 2 x2. 解解 3
30、课时作业课时作业 PART THREE 1已知椭圆 mx23y26m0 的一个焦点的坐标为(0,2)，则 m 的值为 ( ) A1 B3 C5 D8 A组组 基础关基础关 解析 由 mx23y26m0，得x 2 6 y2 2m1.因为椭圆的一个焦点的坐标 为(0,2)，所以 2m64，解得 m5. 答案答案 解析解析 2(2019 邯郸模拟)如图，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数 据可知该椭圆的离心率为( ) A.2 5 B.3 5 C.2 3 5 D.2 5 5 答案答案 解析 由题 2b16.4,2a20.5，则b a 4 5，则离心率 e 1 4 5 23 5. 解析解析 3如果方
31、程x 2 a2 y2 a61 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值 范围是( ) A(6，2) B(3，) C(6，2)(3，) D(6，3)(2，) 解析 由题意，得 a2a6， a60， 解得 a3， a6， 所以6a3. 答案答案 解析解析 4过椭圆x 2 5 y 2 4 1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为( ) A.4 3 B.5 3 C.5 4 D.10 3 解析 由题意知椭圆的右焦点 F 的坐标为(1,0)，则直线 AB 的方程为 y 2x2.联立 x2 5 y 2 4 1， y2x2， 解得交点(0，2)，
32、5 3， 4 3 ，SOAB1 2 |OF| |yA yB|1 21 24 3 5 3.故选 B. 答案答案 解析解析 5如图，已知椭圆 C 的中心为原点 O，F(2 5，0)为 C 的左焦点，P 为 C 上一点，满足|OP|OF|且|PF|4，则椭圆 C 的方程为( ) A. x2 25 y2 5 1 B. x2 30 y2 101 C. x2 36 y2 161 D. x2 45 y2 251 答案答案 解析解析 解析 设 F为椭圆的右焦点，连接 PF，在POF 中，由余弦定理， 得 cosPOF|OP| 2|OF|2|PF|2 2|OP|OF| 3 5，则|PF| |OP|2|OF|22
33、|OP|OF|cosPOF8，由椭圆定义，知 2a 4812， 所以 a6， 又 c2 5， 所以 b216.故椭圆 C 的方程为 x2 36 y2 16 1. 解析解析 6已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的一条弦所在的直线方程是 xy50， 弦的中点坐标是 M(4,1)，则椭圆的离心率是( ) A.1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 5 5 答案答案 解析 设直线 xy50 与椭圆x 2 a2 y2 b21 相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2) 两点，因为 AB 的中点 M(4,1)，所以 x1x28，y1y22.易知直线 AB 的斜率 ky 2y1 x2x11. x
34、2 1 a2 y2 1 b21， x2 2 a2 y2 2 b21， 两式相减得， x1x2x1x2 a2 y 1y2y1y2 b2 0， 所以y 1y2 x1x2 b2 a2 x1x2 y1y2， 所以 b2 a2 1 4，于是椭圆的离心率 e c a 1b 2 a2 3 2 .故选 C. 解析解析 7(2020 成都一诊)已知点 M(1,0)和 N(1,0)，若某直线上存在点 P， 使得|PM|PN|4，则称该直线为“椭型直线”，现有下列直线： x2y60；xy0；2xy10；xy30. 其中是“椭型直线”的是( ) A B C D 答案答案 解析 由椭圆的定义知，点 P 的轨迹是以 M，
35、N 为焦点的椭圆，其方 程为x 2 4 y 2 3 1.对于，把 x2y60 代入x 2 4 y 2 3 1，整理得 2y29y12 0， 由 (9)24212150，知 2xy10 是“椭型直线”；对于，把 xy30 代入x 2 4 y 2 3 1，整理得 7x224x240，由 (24)2 4724b0)由离心率 e 5 5 可得 a25c2，所以 b24c2，故椭圆的方程为 x2 5c2 y2 4c21，将 P(5,4)代入 可得 c29，故椭圆的方程为 x2 45 y2 361. x2 45 y2 361 解析解析 9已知椭圆x 2 5 y 2 4 1 的右焦点为 F，若过点 F 且倾
36、斜角为 4的直线 l 与椭圆相交于 A，B 两点，则|AB|的值为_ 解析 由题意知，F(1,0)直线 l 的倾斜角为 4，斜率 k1.直线 l 的方程为 yx1.代入椭圆方程，得 9x210 x150.设 A(x1，y1)， B(x2，y2)，则 x1x2 10 9 ，x1x2 5 3 .|AB| 2 x1x224x1x2 2 10 9 245 3 16 5 9 . 16 5 9 解析解析 10已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭 圆上，且 PF2垂直于 x 轴，若直线 PF1的斜率为 3 3 ，则该椭圆的离心率为 _ 3 3 解析 因为点
37、P在椭圆上， 且PF2垂直于x轴， 所以点P的坐标为 c，b 2 a . 又因为直线 PF1的斜率为 3 3 ，所以在 RtPF1F2中， PF2 F1F2 3 3 ，即 b2 a 2c 3 3 .所以 3b22ac. 3(a2c2)2ac， 3(1e2)2e， 整理得 3e22e 30， 又 0eb0)的下、上焦点分别为 F1，F2，直线 l：ykx1 过椭圆 C 的焦点 F2，与椭圆交于 A，B 两点，若 点 A 到 y 轴的距离是点 B 到 y 轴距离的 2 倍，则 k2_. 2 7 解析 直线 l 过定点(0,1)，即 F2为(0,1)，由于c a 2 2 ，a2b2c2，故 a 2，
38、b1，则椭圆 C 的方程为y 2 2 x21，由 y2 2 x21， ykx1， 得(k22)x2 2kx10， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 2k k22，x1x2 1 k22，由点 A 到 y 轴的距离是点 B 到 y 轴距离的 2 倍，得 x12x2，代入 x1x2 2k k22，解 得 x2 2k k22，x1 4k k22，代入 x1x2 1 k22，解得 k 22 7. 解析解析 3(2019 全国卷)设 F1，F2为椭圆 C： x2 36 y2 201 的两个焦点，M 为 C上一点且在第一象限 若MF1F2为等腰三角形， 则 M 的坐标为_ 解析 设 F1
39、为椭圆的左焦点，分析可知点 M 在以 F1为圆心，焦距为 半径的圆上，即在圆(x4)2y264 上因为点 M 在椭圆 x2 36 y2 201 上， 所以联立方程可得 x42y264， x2 36 y2 201， 解得 x3， y 15. 又因为点 M 在第一象限，所以点 M 的坐标为(3， 15) (3， 15) 解析解析 4(2020 厦门摸底)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的一个焦点为( 3， 0)， A 为椭圆 C 的右顶点， 以 A 为圆心的圆与直线 yb ax 相交于 P， Q 两点， 且 AP AQ0，OP3OQ，则椭圆 C 的标准方程为_，圆 A 的 标准方
40、程为_ x2 4 y21 (x2)2y28 5 解析 如图，设 T 为线段 PQ 的中点， 连接 AT，则 ATPQ. AP AQ0，即 APAQ， |AT|1 2|PQ|. 又 OP 3OQ，|OT|PQ|. |AT| |OT| 1 2，即 b a 1 2. 由已知得焦半距 c 3，a24，b21， 故椭圆 C 的方程为x 2 4 y21. 又|AT|2|OT|24，|AT|24|AT|24， |AT|2 5 5 ，r|AP|2 10 5 . 圆 A 的方程为(x2)2y28 5. 解析解析 解 (1)由椭圆的焦距为 2，知 c1， 又 e1 2，a2，故 b 2a2c23， 椭圆 C 的标
41、准方程为x 2 4 y 2 3 1. 解解 5已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)，e 1 2，其中 F 是椭圆的右焦点， 焦距为 2，直线 l 与椭圆 C 交于点 A，B，线段 AB 中点的横坐标为1 4，且AF FB (其中 1) (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)求实数 的值 (2)由AF FB ，可知 A，B，F 三点共线， 设点 A(x1，y1)，点 B(x2，y2) 若直线 ABx 轴，则 x1x21，不符合题意； 当 AB 所在直线 l 的斜率 k 存在时， 设 l 的方程为 yk(x1) 由 ykx1， x2 4 y 2 3 1， 消去 y 得(34k2)x2
42、8k2x4k2120. 解解 的判别式 64k44(4k23)(4k212)144(k21)0. x1x2 8k2 4k23， x1x24k 212 4k23 ， x1x2 8k2 4k232 1 4 1 2， k21 4. 将 k21 4代入方程，得 4x 22x110，解得 x1 3 5 4 . 又AF (1x1，y1)，FB (x21，y2)，AF FB ， 即 1x1(x21)，1x 1 x21，又 1， 3 5 2 . 解解 C组组 素养关素养关 1(2019 长春二模)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2，P 为椭圆上一点，且满足 PF2x
43、轴，|PF2|3 2，离心率为 1 2. (1)求椭圆的标准方程； (2)若 M 为 y 轴正半轴上的定点，过 M 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点， 设 O 为坐标原点，SAOB3 2tanAOB，求点 M 的坐标 解 (1)由题意，知c a 1 2， b2 a 3 2，结合 a 2b2c2，得 a2，b 3， 所以x 2 4 y 2 3 1. (2)设 M(0，t)，t0，由题意知，直线 l 的斜率存在，设 l 为 ykxt， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 SAOB3 2tanAOB，得 1 2|OA|OB|sinAOB 3 2 sinAOB cosAOB， 得|OA|OB|
44、cosAOB3，即OA OB 3， 解解 联立直线 l 和椭圆 C 的方程，有 ykxt， x2 4 y 2 3 1， 整理得(34k2)x28ktx4t2120， x1x2 8kt 34k2，x1x2 4t212 34k2 ， 由 x1x2(kx1t)(kx2t)3， 得(k21)x1x2kt(x1x2)t23， (k21)4t 212 34k2 kt 8kt 34k2t 23， 整理可得 7t23，又 t0，得 t 21 7 . 故 M 的坐标为 0， 21 7 解解 2(2019 河南六市第二次联考)已知动点 P 到定点 F(1,0)和到直线 x2 的距离之比为 2 2 ，设动点 P 的
45、轨迹为曲线 E，过点 F 作垂直于 x 轴的直线 与曲线 E 相交于 A，B 两点，直线 l：ymxn 与曲线 E 交于 C，D 两点， 与 AB 相交于一点(交点位于线段 AB 上，且与点 A，B 不重合) (1)求曲线 E 的方程； (2)求直线l与圆x2y21相切时， 四边形ABCD的面积是否有最大值？ 若有，求出其最大值及对应的直线 l 的方程；若没有，请说明理由 解 (1)设点 P(x，y) 由题意可得 x12y2 |x2| 2 2 ，化简得x 2 2 y21. 所以曲线 E 的方程为x 2 2 y21. (2)设点 C(x1，y1)，D(x2，y2) 将 x1 代入x 2 2 y21，得|y| 2 2 ，所以|AB| 2. 当 m0 时，显然不符合题意 解解 当 m0 时，因为直线 l 与圆 x2y21 相切， 所以 |n| m211，所以 n 2m21. 由 ymxn， x2 2 y21 消去 y 并整理， 得 m21 2 x22mnxn210. 因为 4m2n24 m21 2 (n21)2m20， 所以 x1x2 4mn 2m21，x1x2 2n21 2m21 . 解解 所以 S 四边形ACBD1 2|AB| |x1x2| 1 2 2 x1x2 24x 1x2 2|m| 2m21 2 2|m| 1 |m| 2 2 ， 当且仅当
