1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 第三章 三角函数、解三角形 第 4 讲 函数 yAsin(x)的 图象及应用 考纲解读 1.了解函数 yAsin(x)的物理意义，能用五点法画出 y Asin(x)的图象，了解参数 A， 对函数图象变化的影响(重点) 2能结合 yAsin(x)的图象与三角函数的性质求函数解析式，熟练掌 握对称轴与对称中心的求解方法及图象的平移和伸缩变换(重点、难点) 3了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，能用三角函数解决 一些简单的实际问题 考向预测 从近三年高考情况来
2、看，本讲内容一直是高考的一个考查热 点预测 2021 年会把函数 yAsin(x)的图象及性质和三角恒等变换相 结合进行考查，尤其是函数图象的平移变换与性质的结合题型以客观题的 形式为主，有时也会出现于解答题中，试题难度以中档题为主. 1 基础知识过关基础知识过关 PART ONE 1.函数 yAsin(x)的有关概念 振幅 周期 频率 相位 初相 yAsin(x) (A0，0) A T01 _ f1 T02 _ 03 _ 2“五点法”作函数 yAsin(x)(A0，0)的简图 “五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、 最低点及与 x 轴相交 的三个点，作图时的一般步骤为 2 2 x (1
3、)定点：如下表所示 x 01 _ 02 _ 03 _ 04 _ 05 _ x 0 2 3 2 2 yAsin(x) 0 A 0 A 0 2 3 2 2 (2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得 到 yAsin(x)在一个周期内的图象 (3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得 yAsin(x)在 R 上的图象 3.函数 ysinx 的图象经变换得到 yAsin(x)(A0，0)的图象 的步骤 1概念辨析 (1)将函数y3sin2x的图象左移 4个单位长度后所得图象的解析式是y 3sin 2x 4 .( ) (2)利用图象变换作图时，“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”
4、中 平移的长度一致( ) 答案 (1) (2) 答案答案 (3)将函数 y2sinx 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的1 2，纵坐标不 变，得函数 y2sinx 2的图象( ) (4)由图象求解析式时， 振幅 A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值 与最低点的值确定的( ) 答案 (3) (4) 答案答案 2小题热身 (1)函数 y2sin 2x 4 的振幅、频率和初相分别为( ) A2，1 ， 4 B2， 1 2， 4 C2，1 ， 8 D2， 1 2， 8 解析 函数 y2sin 2x 4 的振幅是 2，周期 T2 2 ，频率 f1 T 1 ，初相是 4，故选 A. 解析解析 答案答案
5、 (2)用五点法作函数 ysin x 6 在一个周期内的图象时， 主要确定的五 个点是_，_，_，_，_. 解析解析 6，0 2 3 ，1 7 6 ，0 5 3 ，1 13 6 ，0 解析 列表： x 6 2 3 7 6 5 3 13 6 x 6 0 2 3 2 2 ysin x 6 0 1 0 1 0 五个点依次是 6，0 ， 2 3 ，1 ， 7 6 ，0 ， 5 3 ，1 ， 13 6 ，0 . (3)将函数 f(x)1 2cos2x 的图象向右平移 6个单位长度后，再将图象 上各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数 yg(x)的图象，则 g 3 4 _. 解析 函数 f(x)1 2
6、cos2x 的图象向右平移 6个单位长度后得函数 y 1 2cos2 x 6 1 2cos 2x 3 ，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数 g(x)cos 2x 3 ，所以 g 3 4 cos 3 2 3 sin 3 3 2 . 解析解析 3 2 (4)(2019 长春模拟)函数 f(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分图 象如图所示，则函数 f(x)的解析式为_ 解析 由图象可知 A 2，T 4 7 12 3 4，所以 2 ，2，所以 f(x) 2sin(2x)，又 f 7 12 2，所以 27 122k 3 2 ，kZ， 2k 3，kZ，又|0，0，|)是奇 函数，将
7、 yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)， 所得图象对应的函数为 g(x) 若 g(x)的最小正周期为 2， 且 g 4 2， 则 f 3 8 ( ) A2 B 2 C. 2 D2 题型题型 一一 函数函数 yAsin(x)的图象及变换的图象及变换 答案答案 解析 因为 f(x)是奇函数(显然定义域为 R)，所以 f(0)Asin0，所 以 sin0.又|0，左移；0，上移；k0，0，| 2 的图象如图所示，则函 数 f(x)的对称中心可以为( ) A. 6，0 B. 6，1 C. 6，0 D. 6，1 答案答案 题型题型 二二 由图象确定由图象确定 yAsin(x
8、)的解析式的解析式 解析 由图可知 A31 2 2，b31 2 1， T2 7 12 12 ， 所以 2，所以 f(x)2sin(2x)1， 因为点 12，3 在函数 f(x)的图象上 所以 32sin 2 12 1，即 sin 6 1. 所以 62k 2(kZ)， 解析解析 又|0，| 2 的图象 上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为 2 2，且函数 f(x)的图象过 点 P 2，1 2 ，则函数 f(x)( ) Asin 2x 6 Bsin 2x 6 Csin 3 2 x 3 Dsin 2x 6 答案答案 解析 由题意得 22 22 2，解得 2，所以函数 f(x) sin 2x ，
9、又因为函数 f(x)的图象过点 P 2，1 2 ，所以 sin()1 2， 即sin1 2，sin 1 2，又因为|0，0)中参数的方法 (1)求 A，b：确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 A Mm 2 ，b Mm 2 .如举例说明 1. (2)求 ：确定函数的周期 T，则可得 2 T .如举例说明 1. (3)求 的常用方法 代入法：把图象上的一个已知点代入(此时 A，b 已知)或代入 图象与直线 yb 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降 区间上)如举例说明 1. 五点法：确定 值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突 破口具体如下： 第一点 图象上升时与 x 轴的交点
10、 x0 第二点 图象的“峰点” x 2 第三点 图象下降时与 x 轴的交点 x 第四点 图象的“谷点” x3 2 第五点 图象第二次上升时与 x 轴的交点 x2 1(2019 四川绵阳诊断)如图是函数 f(x)cos(x) 0 2 的部分图 象，则 f(3x0)( ) A.1 2 B1 2 C. 3 2 D 3 2 答案答案 解析 f(x)cos(x)的 图象过点 0， 3 2 ， 3 2 cos，结合 00，| 2 ，yf(x)的部分图象如图所 示，则 f 24 等于_ 3 解析 观察图象可知 T 2 3 8 8，所以 2 4，2，所以 f(x)Atan(2x) 又因为函数图象过点 3 8
11、，0 ， 所以 0Atan 23 8 ，所以 3 4 k(kZ)， 所以 k3 4 (kZ) 又因为| 2，所以 4.又图象过点(0,1)， 所以 A1.综上知，f(x)tan 2x 4 ， 故 f 24 tan 2 24 4 3. 解析解析 角度 1 三角函数模型的应用 1 如图， 某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲 线近似满足函数 y3sin 6x k，据此函数可知， 这段时间水深(单位：m)的最大值为( ) A5 B6 C8 D10 答案答案 题型题型 三三 三角函数图象性质的应用三角函数图象性质的应用 解析 由图象可知，ymin2，因为 ymin3k，所以3k2，解 得 k5，
12、所以这段时间水深的最大值是 ymax3k358. 解析解析 角度 2 函数零点(方程根)问题 2(2019 哈尔滨六中模拟)设函数 f(x)sin 2x 4 ，x 0，9 8 ，若方程 f(x)a 恰好有三个根 x1， x2， x3， 且 x1x2x3， 则 x1x2x3的取值范围是( ) A. 9 8 ，5 4 B. 5 4 ，11 8 C. 3 2 ，13 8 D. 7 4 ，15 8 答案答案 解析 由题意 x 0，9 8 ，则 2x 4 4， 5 2 ，画出函数的大致图 象，如图所示， 由图得，当 2 2 a1 时，方程 f(x)a 恰好有三个根，由 2x 4 2得 x 8，由 2x
13、4 3 2 得 x5 8 ， 解析解析 由图知，点(x1,0)与点(x2,0)关于直线 x 8对称，点(x2,0)与点(x3,0)关于 直线 x5 8 对称， x1x2 4，x3 9 8 ，则5 4 x1x2x30， 0)； 画出一个周期上的函数图象； 利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题如举例说明 2. (3)研究 yAsin(x)的性质时可将 x 视为一个整体，利用换元 法和数形结合思想解题 1(2019 玉溪模拟)函数f(x)log4x的图象与函数g(x)sinx的图象的 交点个数是( ) A2 B3 C4 D5 解析 如图，在同一坐标系中画出函数 f(x) log4x，函数 g(
14、x)sinx 的图象，当 x4 时，f(x)1，与 g(x)1 不再有交点，结合图象可知，交点个数为 3. 解析解析 答案答案 2 一个大风车的半径为8 m,12 min旋转一周， 它的最低点P0离地面2 m， 风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转， 则点P离地面距离h(m) 与时间 t(min)之间的函数关系式是( ) Ah(t)8sin 6t10 Bh(t)cos 6t10 Ch(t)8sin 6t8 Dh(t)8cos 6t10 答案答案 解析 设 h(t)AcostB，因为 12 min 旋转一周， 所以2 12，所以 6， 由于最大值与最小值分别为 18,2. 所以 AB1
15、8， AB2， 解得 A8，B10. 所以 h(t)8cos 6t10. 解析解析 3函数 f(x)Asin(x) 0，| 2 的部分图象如图，则( ) A函数 f(x)的对称轴方程为 x4k 4(kZ) B函数 f(x)的递减区间为 8k 4，8k 5 4 (kZ) C函数 f(x)的递增区间为8k1,8k5(kZ) Df(x)1 的解集为 8k1 3，8k 7 3 (kZ) 答案答案 解析 由题图知，A2，函数 f(x)的最小正周期 T4(31) 8，故 2 8 4，所以 f(x)2sin 4x ，因为点(1,2)在图象上，所以 2sin 4 2，因为|0)的部分图象如图，则 等于( )
16、A5 B4 C3 D2 解析 由图象可知，函数 ysin(x)的最小正周期 T2 x0 4x0 2，所以 2 2，所以 4. 答案答案 解析解析 3(2019 山西五校联考)设 kR，则函数 f(x)sin kx 6 k 的部分图 象不可能为( ) 答案答案 解析 当 k0 时，f(x)sin 6 1 2，其图象为 A；当 k2 时，f(x) sin 2x 6 2，其图象为 B；当 k1 时，f(x)sin x 6 1，其图象 为 C；由 D的图象可知 f(x)max2，则 21kk1.此时，f(x)sin x 6 1 的图象关于直线 x 3对称，这与图象不符，故选 D. 解析解析 4(202
17、0 广东汕头摸底)若函数 y3cos(2x)的图象关于点 4 3 ，0 对 称，则|的最小值为( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 答案答案 解析 由题意得 3cos 24 3 3cos 2 3 2 3cos 2 3 0， 2 3 k 2，kZ， k 6，kZ.取 k0，得|的最小值为 6. 解析解析 5(2019 枣庄二模)将函数 f(x)2sin 4x 3 的图象向左平移 6个单位， 再把所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数 yg(x)的图象，则下列 关于函数 yg(x)的说法错误的是( ) A最小正周期为 B图象关于直线 x 12对称 C图象关于点 12，0 对称 D初
18、相为 3 答案答案 解析 易求得 g(x)2sin 2x 3 ，其最小正周期为 ，初相为 3，即 A，D 正确；而 g 12 2sin 22，故函数 yg(x)的图象关于直线 x 12对 称，即 B 正确，C 错误，故选 C. 解析解析 6 (2020 湖北襄阳摸底)将函数 f(x)sin(2x) 20)个单位长度后得到函数 g(x)的图象，若 f(x)，g(x)的图象都经过点 P 0， 3 2 ，则 的值可以是( ) A.5 3 B.5 6 C. 2 D. 6 答案答案 解析 由题意知 g(x)sin(2x2)，由 f(0)sin 3 2 ， 20，0)的部分图象如图 所示，则 f 3 的值
19、是_ 6 2 解析 由题中图象可知 A 2，T 4 7 12 3 4， 即 T，又知 T2 ， 2， 即函数 f(x) 2sin(2x) 由题意知 f 7 12 2，即 2sin 27 12 2， sin 7 6 1， 7 6 2k3 2 ，kZ. 2k 3(kZ) 解析解析 f(x) 2sin 2x2k 3 2sin 2x 3 . f 3 2sin 3 6 2 . 解析解析 9如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系 时刻 t 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21： 00 24：00 水深 y(m) 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0
20、7.0 5.0 3.0 5.0 若该港口的水深 y(m)和时刻 t(0t24)的关系可用函数 yAsint h(其中 A0，0，h0)来近似描述，则该港口在 11：00 的水深为_ m. 4 解析 从题表可以看出最大值和最小值分别为 7,3，周期为 T12， 即 Ah7， Ah3 且 2 12 6，解得 A2， h5， 所以 y2sin 6t5，所以当 t11 时，y2sin 11 6 5514. 解析解析 10已知关于 x 的方程 2sin x 6 1a0 在区间 0，2 3 上存在两个 根，则实数 a 的取值范围是_ 2,3) 解析 2sin x 6 1a0 化为 sin x 6 a1 2
21、 ，令 tx 6，由 x 0，2 3 得，tx 6 6， 5 6 ，画出函数 ysint，t 6， 5 6 的图象和直线 ya1 2 ，当 1 2 a1 2 1，即 2a3 时，函数 ysint，t 6， 5 6 的图象和 直线 ya1 2 有两个公共点，原方程有两个根 解析解析 1 (2019 石嘴山模拟)将函数 f(x)2sin(2x)(0)的图象向左平移 6 个单位后得到函数 yg(x)的图象，若函数 yg(x)为偶函数，则函数 yf(x) 在 0， 2 的值域为( ) A1,2 B1,1 C 3，2 D 3， 3 B组组 能力关能力关 答案答案 解析解析 解析 由已知得 g(x)f x
22、 6 2sin 2 x 6 2sin 2x 3 ，因为 函数 yg(x)为偶函数，所以 3 2k，kZ.又 00，A0)，由 T4，得 2 4，所以 2. 因为 Afx maxfxmin 2 1.50.5 2 1 2，所以 f(x) 1 2sin x 2 1.又函数 f(x)的周期为 4，且 f(1)f(2)f(3)f(4)1.510.514，所以 S f(1)f(2)f(2020)505f(1)f(2)f(3)f(4)50542020. 解析解析 3水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古 老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征如图是一个 半径为 R 的水车，一个水斗从点 A 3
23、3，3出发，沿圆周按 逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时 60 秒经过 t 秒后， 水斗旋转到 P 点，设 P 的坐标为(x，y)，其纵坐标满足 yf(t)Rsin(t ) t0，0，| 2 .则下列叙述正确的是_ R6， 30， 6； 当 t35,55时，点 P 到 x 轴的距离的最大值为 6； 当 t10,25时，函数 yf(t)单调递减； 当 t20 时，|PA|6 3. 解析 由点 A(3 3，3)，可得 R6， 由旋转一周用时 60秒，可得 T2 60，则 30，由点 A(3 3，3)，可得 AOx 6，则 6，故正确；由 知，f(t)6sin 30t 6 ，当 t35,55时， 3
24、0t 6 ，5 3 ， 即当 30t 6 3 2 时，点 P 的坐标为(0，6)，点 P 到 x 轴 的距离的最大值为 6，故正确； 解析解析 当 t10,25时， 30t 6 6， 2 3 ，由正弦函数的单调性可 知，函数 yf(t)在10,25上有增有减，故错误； 当 t20 时，水车旋转了三分之一周期，则 AOP2 3 ， 所以|PA|6 3，故正确 解析解析 4已知函数 f(x)2sin 2x 6 (其中 01)，若点 6，0 是函数 f(x) 图象的一个对称中心 (1)求 的值，并求出函数 f(x)的增区间； (2)先列表，再作出函数 f(x)在区间 x，上的图象 解 (1)因为点 6，0 是函数 f(x)图象的一个对称中心， 所以 3 6k(kZ)， 所以 3k1 2(kZ)，因为 00，00，0 2 的图象在 y 轴上的截距 为 1， Asin1 21，即 Asin 3 2. 函数 f(x)Asin(2x)1 2的图象关于直线 x 12对称， 2 12k 2，kZ， 又 0 2， 3， A sin 3 3 2， A 3， 解解 f(x) 3sin 2x 3 1 2. 当 x 0， 2 时，2x 3 3， 4 3 ， 当 2x 3 4 3 ，即 x 2时，f(x)min 3 2 1 22. 令 m23m2，解得 m2 或 m1. 本课结束本课结束
