1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 解答题专项突破解答题专项突破( (五五) ) 圆锥曲线的综圆锥曲线的综 合问题合问题 第八章 平面解析几何 圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必有一道解答题，常 以求圆锥曲线的标准方程、研究直线与圆锥曲线的位置关系为主，涉及题 型有定点、定值、最值、范围、探索性问题等，此类命题起点较低，但在 第(2)问中一般都有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通 常以压轴题的形式呈现 热点题型 1 圆锥曲线中的定点问题 典例1 (2019 北京高考)已知抛物
2、线 C：x22py 经过点(2，1) (1)求抛物线 C 的方程及其准线方程 (2)设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M，N，直线 y1 分别交直线 OM，ON 于点 A 和点 B.求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点 解题思路 (1)根据抛物线 C 过点(2，1)，列方程求 p，得抛物线 C 的方程，进而得出其准线方程 (2)设直线 l 的方程，与抛物线 C 的方程联立，用根与系数的关系推出 关于 M，N 两点坐标的等量关系，设所求定点坐标为(0，n)，利用DA DB 0 列方程式求 n 的值 解题思路解题思路 规范解答 (1
3、)由抛物线 C：x22py 经过点(2，1)，得 22 2p(1)，解得 p2. 所以抛物线 C 的方程为 x24y，其准线方程为 y1. (2)证明：抛物线 C 的焦点为 F(0，1) 设直线 l 的方程为 ykx1(k0) 由 ykx1， x24y， 得 x24kx40. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x24. 直线 OM 的方程为 yy1 x1x. 规范解答规范解答 令 y1，得点 A 的横坐标 xAx1 y1. 同理得点 B 的横坐标 xBx2 y2. 设点 D(0，n)，则DA x1 y1，1n ， DB x2 y2，1n ， 规范解答规范解答 DA DB x1x2
4、 y1y2(n1) 2 x1x2 x 2 1 4 x 2 2 4 (n1)2 16 x1x2(n1) 2 4(n1)2. 令DA DB 0，即4(n1)20，得 n1 或 n3. 综上，以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的定点(0,1)和(0，3) 规范解答规范解答 典例2 (2019 济南模拟)已知 Q 为圆 x 2y21 上一动点，Q 在 x 轴， y 轴上的射影分别为点 A，B，动点 P 满足BA AP ，记动点 P 的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程； (2)过点 0，3 5 的直线与曲线 C 交于 M，N 两点，判断以 MN 为直径的 圆是否过定点？若是，求出定点的坐标；若
5、不是，请说明理由 解题思路 (1)设 Q(x0，y0)，P(x，y)，利用所给条件建立两点坐标之间 的关系，利用 Q 在圆上可得 x，y 的方程，即为所求 (2)设定点为 H，及直线 l 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关 系，及HM HN 0，得出恒等式，求得定点的坐标 解题思路解题思路 规范解答 (1)设 Q(x0，y0)，P(x，y)，则 x2 0y 2 01， 由BA AP ，得 x0 x 2， y0y， 代入 x2 0y 2 01，得x 2 4 y21， 故曲线 C 的方程为x 2 4 y21. 规范解答规范解答 (2)假设存在满足条件的定点，由对称性可知，该定点在 y 轴上，
6、设定 点为 H(0，m)， 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykx3 5， 由 ykx3 5， x2 4 y21， 得(14k2)x224 5 kx64 250， 规范解答规范解答 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 x1x2 24k 5(14k2)，x1x2 64 25(14k2)， y1y2k(x1x2)6 5 6 5(14k2)， y1y2 kx13 5 kx23 5 k2x1x23 5k(x1x2) 9 25 9100k2 25(14k2)， HM (x1，y1m)，HN (x2，y2m)， HM HN x1x2y1y2m(y1y2)m2 100(m21)k2
7、25m230m55 25(14k2) 0， 规范解答规范解答 对任意的 k 恒成立， 100(m21)0， 25m230m550， 解得 m1，即定点为 H(0,1)， 当直线 l 的斜率不存在时，以 MN 为直径的圆也过定点(0,1) 综上，以 MN 为直径的圆过定点(0,1) 规范解答规范解答 热点题型 2 圆锥曲线中的定值问题 典例1 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 F 1 2，0 ，直线 l：x 1 2，点 P 在直线 l 上移动，R 是线段 FP 与 y 轴的交点，RQFP，PQl. (1)求动点 Q 的轨迹 C 的方程； (2)设圆 M 过 A(1,0)，且圆心 M 在曲线
8、 C 上，TS 是圆 M 在 y 轴上截得 的弦，当 M 运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由 解题思路 (1)R 是线段 FP 的中点， 且 RQFPRQ 是线段 PF 的垂直 平分线|PQ|QF|点 Q 的轨迹是以 F 为焦点，l 为准线的抛物线确定 焦准距，根据抛物线的焦点坐标，求出抛物线的方程 (2)求|TS|的依据：a2 r2d2，其中 a 为弦长，r 为圆的半径，d 为 圆心到弦所在直线的距离 策略：设曲线 C 上点 M(x0，y0)，用相关公式求 r，d；用 x0，y0满足 的等量关系消元 解题思路解题思路 规范解答 (1)依题意知，点 R 是线段 FP 的中点， 且 RQ
9、FP， RQ 是线段 FP 的垂直平分线 点 Q 在线段 FP 的垂直平分线上， |PQ|QF|， 又|PQ|是点 Q 到直线 l 的距离， 故动点 Q 的轨迹是以 F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为 y2 2x(x0) 规范解答规范解答 (2)弦长|TS|为定值理由如下： 取曲线 C 上点 M(x0，y0)，M 到 y 轴的距离为 d|x0|x0，圆的半径 r |MA| x012y2 0， 则|TS|2 r2d22 y2 02x01， 点 M 在曲线 C 上， x0y 2 0 2 ，|TS|2 y2 0y 2 012，是定值 规范解答规范解答 典例2 (2019 六安三模)给定椭圆 C
10、： x2 a2 y2 b21(ab0)，称圆心在原 点 O，半径为 a2b2的圆为椭圆 C 的“准圆”若椭圆 C 的一个焦点为 F( 2，0)，其短轴上的一个端点到 F 的距离为 3. (1)求椭圆 C 的方程和其“准圆”方程； (2)若点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的动点，过点 P 作椭圆的切线 l1，l2 交“准圆”于点 M，N.证明：l1l2，且线段 MN 的长为定值 解题思路 (1)根据椭圆的几何性质求 a，c，再用 b2a2c2求 b，可得 椭圆 C 的方程，进而可依据定义写出其“准圆”方程 (2)分以下两种情况讨论：l1，l2中有一条斜率不存在；l1，l2斜率存 在对于，易知切点
11、为椭圆的顶点；对于，可设出过 P 与椭圆相切的 直线，并与椭圆方程联立后消元，由 0 推出关于椭圆切线斜率的方程， 利用根与系数的关系进行证明 解题思路解题思路 规范解答 (1)椭圆 C 的一个焦点为 F( 2，0)， 其短轴上的一个端点到 F 的距离为 3. c 2，a 3， b a2c21， 椭圆方程为x 2 3 y21， “准圆”方程为 x2y24. 规范解答规范解答 (2)证明：当直线 l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线 l1斜率不 存在，则 l1：x 3， 当 l1：x 3时，l1与“准圆”交于点( 3，1)，( 3，1)， 此时 l2为 y1(或 y1)，显然直线 l1，l
12、2垂直； 同理可证当 l1：x 3时，直线 l1，l2垂直 当 l1，l2斜率存在时， 设点 P(x0，y0)，其中 x2 0y 2 04. 规范解答规范解答 设经过点 P(x0，y0)与椭圆相切的直线为 yt(xx0)y0， 由 yt(xx0)y0， x2 3 y21， 得(13t2)x26t(y0tx0)x3(y0tx0)230. 由 0 化简整理，得(3x2 0)t 22x 0y0t1y 2 00， x2 0y 2 04，有(3x 2 0)t 22x 0y0t(x 2 03)0. 规范解答规范解答 设 l1，l2的斜率分别为 t1，t2， l1，l2与椭圆相切，t1，t2满足上述方程(3
13、x2 0)t 22x 0y0t(x 2 03) 0， t1 t21，即 l1，l2垂直 综合知，l1l2. l1，l2经过点 P(x0，y0)，又分别交其“准圆”于点 M，N，且 l1，l2垂直 线段 MN 为“准圆”x2y24 的直径，|MN|4， 线段 MN 的长为定值 规范解答规范解答 热点题型 3 圆锥曲线中的证明问题 典例1 已知抛物线 C：x 22py(p0)，过焦点 F 的直线交 C 于 A，B 两点，D 是抛物线的准线 l 与 y 轴的交点 (1)若 ABl，且ABD 的面积为 1，求抛物线的方程； (2)设 M 为 AB 的中点，过 M 作 l 的垂线，垂足为 N.证明：直线
14、 AN 与 抛物线相切 解题思路 (1)判断ABD 的形状，求|FD|，|AB|.由ABD 的面积为 1， 列方程求 p，得抛物线的方程 (2)将直线 AB 的方程与抛物线 C 的方程联立，消去 y 并整理，结合根 与系数的关系用 k，p 表示 M，N 的坐标求 kAN：斜率公式，导数的几 何意义，两个角度求斜率相等，证明相切 解题思路解题思路 规范解答 (1)ABl，ABD 为等腰三角形，且 FDAB，又|FD| p，|AB|2p. SABDp21. p1，故抛物线 C 的方程为 x22y. 规范解答规范解答 (2)证明：显然直线 AB 的斜率存在，设其方程为 ykxp 2，A x1， x2
15、 1 2p ，B x2， x2 2 2p . 由 ykxp 2， x22py 消去 y 整理得，x22kpxp20. x1x22kp，x1x2p2. M kp，k2pp 2 ，N kp，p 2 . 规范解答规范解答 kAN x2 1 2p p 2 x1kp x2 1 2p p 2 x1x 1x2 2 x2 1p 2 2p x1x2 2 x2 1x1x2 2p x1x2 2 x1 p . 又 x22py，yx p. 抛物线 x22py 在点 A 处的切线的斜率 kx1 p . 直线 AN 与抛物线相切 规范解答规范解答 典例2 (2019 漳州二模)设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：x
16、2 a2y 2 1(1a0，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1x22 4 k2，则|MN|x1x22 4 1 1 k2 ； 同理设 D(x3，y3)，E(x4，y4)，x3x424k2， 则|DE|x3x424(1k2) 四边形 MDNE 的面积 S1 2|MN| |DE|8 2k2 1 k2 32. 当且仅当 k 1 时，四边形 MDNE 的面积取得最小值 32. 规范解答规范解答 典例2 如图，椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右顶点为 A(2，0)，左、右 焦点分别为 F1，F2，过点 A 且斜率为1 2的直线与 y 轴交于点 P，与椭圆交于 另一个点 B，且点
17、B 在 x 轴上的射影恰好为点 F1. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)过点 P 且斜率大于1 2的直线与椭圆交于 M，N 两点(|PM|PN|)，若 SPAMSPBN，求实数 的取值范围 解题思路 (1)求点 B 的坐标根据 kAB1 2列方程由题意得 a2，a 2 b2c2，解方程组求 a，b，c，写出椭圆 C 的标准方程 (2)SPAMSPBN 面积公式PM 与PN 的关系点 M， N 坐标之间的关系 直线 MN 的方程与椭圆 C 的方程联立，消去 y 整理用根与系数的关系 得出点 M， N 的坐标之间的关系式推出 与 k 的关系， 并根据 k1 2求范围， 找到 所满足的不等式，
18、求出 的取值范围 解题思路解题思路 规范解答 (1)因为 BF1x 轴，所以点 B c，b 2 a ， 所以 a2， b2 aac 1 2， a2b2c2 a2， b 3， c1， 所以椭圆 C 的标准方程是x 2 4 y 2 3 1. 规范解答规范解答 由(1)可知 P(0，1)，设直线 MN：ykx1 k1 2 ，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立方程，得 ykx1， x2 4 y 2 3 1， 化简得，(4k23)x28kx80. (2)因为S PAM SPBN 1 2|PA| |PM| sinAPM 1 2|PB| |PN| sinBPN 2 |PM| 1 |PN| |PM|
19、|PN| 2(2)， 所以PM 2PN . 规范解答规范解答 得 x1x2 8k 4k23， x1x2 8 4k23. (*) 又PM (x1，y11)，PN (x2，y21)， 有 x1 2x2， 将 x1 2x2 代入(*)可得，2 2 16k2 4k23. 因为 k1 2，所以 16k2 4k23 16 3 k24 (1,4)， 则 12 2 240， 解得 2 2 k 2 2 (k0)， 规范解答规范解答 设点 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 x1x2 8k2 12k2， x1x28k 22 12k2， y1y2k(x1x2)4kk 8k2 12k24k 4k 12k2， 规范解答规范解答 取 MN 的中点 H，即 H x1x2 2 ，y 1y2 2 ， 则 y1y2 2 1 x1x2 2 k1， 即 2k 12k21 4k2 12k2 k1， 化简得 2k22k10，无实数解，故舍去 规范解答规范解答 当 k0 时，M，N 为椭圆 C 的左、右顶点，显然满足|BM|BN|， 此时直线 l 的方程为 y0. 综上可知，存在直线 l 满足题意，此时直线 l 的方程为 y0. 规范解答规范解答 本课结束本课结束
