1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 第第7 7讲讲 抛物线抛物线 第八章 平面解析几何 考纲解读 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质 (范围、对称性、顶点、准线)(重点) 2能根据几何性质求最值，能利用抛物线的定义进行灵活转化，并能理解 数形结合思想，掌握抛物线的简单应用(难点) 考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容预测 2021 年高考将会考查：抛物线的定义及其应用；抛物线的几何性质； 直线与抛物线的位置关系及抛物线与椭圆或双曲线的综合试题以选择 题、
2、填空题、 解答题形式呈现， 灵活多变、 技巧性强， 具有一定的区分度 试 题中等偏难. 1 基础知识过关基础知识过关 PART ONE 1.抛物线的定义 平面内到一个定点F和一条定直线l(Fl)距离相等的点的轨迹叫做抛物 线点 F 叫做抛物线的01 _，直线 l 叫做抛物线的02 _ 焦点 准线 2抛物线的标准方程与几何性质 图形 y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) 标准 方程 p 的几何意义：01 _ 焦点F到准线l的距离 顶点 O(0,0) 对称轴 02 _ 03 _ 焦点 F p 2，0 F p 2，0 04 _ 05 _ 离心率 e1 准线方
3、程 xp 2 xp 2 06 _ 07 _ 范围 x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR 性 质 开口方向 向右 向左 向上 向下 y0 x0 F 0，p 2 F 0，p 2 yp 2 yp 2 3必记结论 (1)抛物线 y22px(p0)上一点 P(x0，y0)到焦点 F p 2，0 的距离|PF| x0p 2，也称为抛物线的焦半径 (2)y2ax(a0)的焦点坐标为 a 4，0 ，准线方程为 x a 4. (3)直线 AB 过抛物线 y22px(p0)的焦点，交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2， y2)两点，如图 y1y2p2，x1x2p 2 4 . |AB|x1x2p，x1x
4、22 x1x2p，即当 x1x2时，弦长最短为 2p. 1 |AF| 1 |BF|为定值 2 p. 弦长 AB 2p sin2( 为 AB 的倾斜角) 以 AB 为直径的圆与准线相切 焦点 F 对 A，B 在准线上射影的张角为 90 . 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 答案答案 1概念辨析 (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是 抛物线( ) (2)方程 yax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线， 且其焦点坐 标是 a 4，0 ，准线方程是 x a 4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形( ) (4)若直线与抛物线只
5、有一个交点，则直线与抛物线一定相切( ) (5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫 做抛物线的通径，那么抛物线 x22ay(a0)的通径长为 2a.( ) 2小题热身 (1)若抛物线 y4x2上的一点 M 到焦点的距离为 1， 则点 M 的纵坐标是 ( ) A.17 16 B.15 16 C.7 8 D0 解析 M 到准线的距离等于 M 到焦点的距离，又准线方程为 y 1 16， 设 M(x，y)，则 y 1 161，y 15 16. 答案答案 解析解析 (2)抛物线 y2x2的准线方程是( ) Ax1 2 Bx1 2 Cy1 8 Dy1 8 解析 抛物线 y2x2的方
6、程可化为 x2y 2，其准线方程为 y 1 8. 答案答案 解析解析 (3)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 P(4，2)的抛物线的标准 方程是( ) Ay2x Bx28y Cy28x 或 x2y Dy2x 或 x28y 解析 设抛物线为 y2mx，代入点 P(4，2)，解得 m1，则抛 物线方程为 y2x；设抛物线为 x2ny，代入点 P(4，2)，解得 n 8，则抛物线方程为 x28y.故选 D. 答案答案 解析解析 (4)若过抛物线 y28x 的焦点作倾斜角为 45 的直线，则被抛物线截得 的弦长为( ) A8 B16 C32 D64 解析 由抛物线 y28x 的焦点为(2,0)，得直
7、线的方程为 yx2，代入 y28x，得(x2)28x，即 x212x40，所以 x1x212，弦长为 x1x2 p12416.故选 B. 答案答案 解析解析 2 经典题型冲关经典题型冲关 PART TWO 1过点 F(0,3)且和直线 y30 相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) Ay212x By212x Cx212y Dx212y 解析 由题意，得动圆的圆心到直线 y3 的距离和到点 F(3,0)的距 离相等，所以动圆的圆心是以点 F(0,3)为焦点，直线 y3 为准线的抛物 线，其方程为 x212y. 答案答案 解析解析 题型一题型一 抛物线的定义及应用抛物线的定义及应用 2 (2019 沈
8、阳模拟)抛物线 y26x 上一点 M(x1， y1)到其焦点的距离为9 2， 则点 M 到坐标原点的距离为_ 解析 由题意，知焦点坐标为 3 2，0 ，准线方程为 x 3 2，点 M(x1，y1) 到焦点的距离等于它到准线的距离，所以 x13 2 9 2，解得 x13，所以 y 2 1 18，所以|OM| x2 1y 2 13 3. 3 3 解析解析 条件探究 将本例中的条件变为“在抛物线上找一点 M，使|MA|MF| 最小， 其中 A(3,2)” 则点 M 的坐标为_， 此时的最小值为_ 解析 如图， 点 A 在抛物线 y26x 的内部， 由抛物线的定义可知， |MA| |MF|MA|MH|
9、， 其中|MH|为点 M 到抛物线的准线的距离 过 A 作抛物线准线的垂线交抛物线于 M1，垂足为 B， 则|MA|MF|MA|MH|AB|3(3 2) 9 2，当且仅当点 M 在 M1 的位置时等号成立即|MA|MF|的最小值为9 2，此时点 M 的坐标为 2 3，2 . 2 3，2 解析解析 9 2 利用抛物线的定义可解决的常见问题 (1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关 的轨迹是否为抛物线见举例说明 1. (2)距离问题： 涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时， 注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化见举例说明 2. (3)看到准线想焦点，看到焦
10、点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问 题的重要途径 1若抛物线 y24x 上一点 P 到其焦点 F 的距离为 2，O 为坐标原点， 则OFP 的面积为( ) A.1 2 B1 C.3 2 D2 解析 设 P(xP，yP)，由题意，得抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x 1，又点 P 到焦点 F 的距离为 2，由抛物线的定义知点 P 到准线的距 离为 2，xP12，得 xP1，代入抛物线方程得|yP|2，OFP 的面 积为 S1 2 |OF| |yP| 1 2121. 答案答案 解析解析 2(2020 山西大学附中模拟)已知点 Q(2 2，0)及抛物线 yx 2 4 上一动点 P(x，y
11、)，则 y|PQ|的最小值是_ 解析 抛物线 yx 2 4 即 x24y，其焦点坐标为点 F(0,1)，准线方程为 y 1.因为点 Q 的坐标为(2 2，0)， 所以|FQ| 2 22123. 过点 P 作准线的垂线 PH， 交 x 轴于点 D，如图所示 结合抛物线的定义， 有 y|PQ|PD|PQ|PH|PQ|1|PF|PQ|1|FQ|13 12，即 y|PQ|的最小值是 2. 2 解析解析 1(2019 全国卷)若抛物线 y22px(p0)的焦点是椭圆 x2 3p y2 p 1 的一 个焦点，则 p( ) A2 B3 C4 D8 题型二题型二 抛物线的标准方程和几何性质抛物线的标准方程和几
12、何性质 解析 抛物线 y22px(p0)的焦点坐标为 p 2，0 ， 椭圆 x2 3p y2 p 1 的焦点 坐标为 2p，0.由题意得p 2 2p，解得 p0(舍去)或 p8.故选 D. 答案答案 解析解析 2(2019 北京高考)设抛物线 y24x 的焦点为 F，准线为 l，则以 F 为 圆心，且与 l 相切的圆的方程为_ 解析 抛物线 y24x 的焦点 F 坐标为(1,0)，准线 l 的方程为 x1， 以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为(x1)2y24. (x1)2y24 解析解析 解 建立如图所示的直角坐标系， 设抛物线方程为 x22py(p0)， 因为抛物线过点 B(10，4
13、)， 所以 1022p (4)， 解得 p25 2 ，所以 x225y，当 x2 时，y 4 25， 所以最长支柱长为 4|y|4 4 253.84(m) 解解 3如图所示，抛物线形拱桥的跨度是 20 米，拱高是 4 米，在建桥时， 每隔 4 米需要用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长度 1求抛物线标准方程的方法 (1)抛物线的标准方程有四种不同的形式，要掌握焦点到准线的距离， 顶点到准线、焦点的距离，通径长与标准方程中系数 2p 的关系见举例说 明 2. (2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时 可设为 y2mx 或 x2my(m0)见举例说明 3. 2抛物线性质的应用
14、技巧 (1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程 化成标准方程 (2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算 1已知 A 是抛物线 y22px(p0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐 标原点，当|AF|4 时，OFA120 ，则抛物线的准线方程是( ) Ax1 By1 Cx2 Dy2 解析 过A向准线作垂线， 设垂足为B， 准线与x轴的交点为D(图略) 因 为OFA120 ，所以ABF 为等边三角形，DBF30 ，从而 p|DF| 2，因此抛物线的准线方程为 x1. 答案答案 解析解析 2(2019 荆门模拟)抛物线 C：y22px(p0)焦点 F，过 C 上
15、一点 D 作 直线 DE 垂直准线于点 E，DEF 恰好为等腰直角三角形，其面积为 4，则 抛物线方程为( ) Ay22x By22 2x Cy24x Dy24 2x 答案答案 解析 根据抛物线的定义，得|DF|DE|，又DEF 恰好为等腰直角三 角形，所以EDF90， 1 2 |DE| |DF|4，|DE|DF|22， D 2 2p 2， 2 2 ，将其代入 y 22px，得 82p 2 2p 2 ，解得 p2 2. 抛物线方程为 y24 2x. 解析解析 3抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于 抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后 必经过抛
16、物线的焦点已知抛物线 y24x 的焦点为 F，一平行于 x 轴的光 线从点 M(3,1)射出， 经过抛物线上的点 A 反射后， 再经抛物线上的另一点 B 射出，则直线 AB 的斜率为( ) A.4 3 B4 3 C 4 3 D16 9 答案答案 解析 令 y1，代入 y24x 可得 x1 4，即 A 1 4，1 .由抛物线的光学性 质可知，直线 AB 经过焦点 F(1,0)，所以 k10 1 41 4 3.故选 B. 解析解析 题型三题型三 直线与抛物线综合问题直线与抛物线综合问题 角度 1 直线与抛物线相切问题 1(2019 全国卷)已知曲线 C：yx 2 2 ，D 为直线 y1 2上的动点
17、，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B. (1)证明：直线 AB 过定点； (2)若以 E 0，5 2 为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点， 求四边形 ADBE 的面积 解 (1)证明：设 D t，1 2 ，A(x1，y1)，则 x2 12y1. 因为 yx，所以切线 DA 的斜率为 x1， 故 y11 2 x1t x1. 整理得 2tx12y110. 设 B(x2，y2)，同理可得 2tx22y210. 故直线 AB 的方程为 2tx2y10. 所以直线 AB 过定点 0，1 2 . 解解 (2)由(1)得直线 AB 的方程为 ytx1 2. 由 ytx1 2
18、， yx 2 2 可得 x22tx10. 于是 x1x22t，x1x21， y1y2t(x1x2)12t21， |AB| 1t2|x1x2| 1t2 x1x224x1x22(t21) 解解 设 d1，d2分别为点 D，E 到直线 AB 的距离， 则 d1 t21，d2 2 t21. 因此，四边形 ADBE 的面积 S1 2|AB|(d1d2)(t 23) t21. 解解 设 M 为线段 AB 的中点，则 M t，t21 2 . 因为EM AB ，而EM (t，t22)，AB 与向量(1，t)平行， 所以 t(t22)t0，解得 t0 或 t 1. 当 t0 时，S3；当 t 1 时，S4 2.
19、 因此，四边形 ADBE 的面积为 3 或 4 2. 解解 角度 2 过焦点的直线与抛物线相交问题 2(2019 湖南长郡中学模拟)已知 F 为抛物线 C：y24x 的焦点，E 为 其准线与 x 轴的交点，过 F 的直线交抛物线 C 于 A，B 两点，M 为线段 AB 的中点，且|ME| 11，则|AB|( ) A6 B3 3 C8 D9 答案答案 解析 根据题意，知直线 AB 的斜率存在且不为零，抛物线的焦点坐标 是 F(1,0)设直线 AB：yk(x1)，将直线方程与抛物线方程联立得方程组 y24x， ykx1， 消去 y 并整理， 得 k2x2(2k24)xk20， 则 x1x22k 2
20、4 k2 ， 从而 M k22 k2 ，2 k .又 E(1,0)，根据|ME| 11，得 k22 k2 1 24 k211，解 得 k22.所以|AB|x1x2p2 4 k226.故选 A. 解析解析 3过抛物线 y22px(p0)的焦点作直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，直 线 l 与 y 轴的负半轴交于点 C.若AB 3BC ，则直线 l 的斜率为_ 解析 解法一： 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 直线 l 的方程为 yk xp 2 (k0) 由 AB 3BC ，得 x14x2.由 y22px， yk xp 2 得 k2x2(k22)pxp 2k2 4 0，则 x1x
21、2 pk 22 k2 ，x1x2p 2 4 ，故x 1x2 x1x2 2k 22 k2 ，即5 22 4 k2，解得 k2 2. 2 2 解析解析 解法二： 设直线 l：yk xp 2 (k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由AB 3BC ， 得 x14x2.由 y22px， yk xp 2 ， 得 k2x2(k22)pxp 2k2 4 0，则 x1x2p 2 4 .所以 x1p，y1 2p，则直线 l 的斜率 k y1 x1p 2 2p pp 2 2 2. 解析解析 角度 3 不过焦点的直线与抛物线相交问题 4(2019 全国卷)已知抛物线 C：y23x 的焦点为 F，斜率为3 2的直
22、线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P. (1)若|AF|BF|4，求 l 的方程； (2)若AP 3PB ，求|AB|. 解 设直线 l：y3 2xt，A(x1，y1)，B(x2，y2) (1)由题设得 F 3 4，0 ， 故|AF|BF|x1x23 2. 又|AF|BF|4，所以 x1x25 2. 由 y3 2xt， y23x 可得 9x212(t1)x4t20， 解解 则 x1x24t1 3 . 从而4t1 3 5 2，得 t 7 8. 所以 l 的方程为 y3 2x 7 8. 解解 (2)由AP 3PB 可得 y13y2. 由 y3 2xt， y23x 可得 y22y
23、2t0， 所以 y1y22，从而3y2y22，故 y21，y13. 代入 C 的方程得 x13，x21 3， 即 A(3,3)，B 1 3，1 . 故|AB|4 13 3 . 解解 1直线与抛物线交点问题的解题思路 (1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组 (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决见举 例说明 2,3,4. 2解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法 (1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点， 若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式(见举例说明 2)，若不过焦点， 则必须用一般弦长公式 (2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关
24、问题时，一般利用根与系数 的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法 提醒：为了回避讨论直线斜率存在和不存在，可以灵活设直线方程 1(2019 南宁二模)已知抛物线 x22py(p0)的准线方程为 y1， ABC 的顶点 A 在抛物线上，B，C 两点在直线 y2x5 上，如果 |AB AC |2 5，那么ABC 面积的最小值为( ) A5 B4 C.1 2 D1 答案答案 解析 依题意得抛物线方程为 x24y.因为|AB AC |2 5，所以|CB | 2 5.设抛物线 x24y 的一条切线方程为 y2xb.将 y2xb 代入 x24y， 得 x28x4b0.由 6416b0，得 b4.此时抛物
25、线 x24y 的切线 方程为 y2x4.该切线与直线 BC 的距离为 d 1 5，即点 A 到直线 y2x 5 的最小距离为 1 5，故 S ABC的最小值为1 2|BC| d1. 解析解析 2已知直线 l 与抛物线 y24x 交于 A，B 两点，且 l 经过抛物线的焦 点 F，A 点的坐标为(4,4)，则线段 AB 的中点到准线的距离是_ 解析 抛物线 y24x 的焦点 F 的坐标为(1,0)，准线方程为 x1，所 以 kAF40 41 4 3. 所以直线 l 的方程为 y04 3(x1)，即 y 4 3(x1) 由 y24x， y4 3x1 消去 y，整理得 4x217x40， 所以线段
26、AB 的中点的横坐标为17 8 . 所以线段 AB 的中点到准线的距离是17 8 (1)25 8 . 25 8 解析解析 解 (1)由抛物线的定义可知|PF|ta 42t， 则 a4t，由点 P t，1 2 在抛物线上，则 at1 4. 所以 aa 4 1 4，则 a 21， 由 a0，得 a1，故抛物线 C 的方程为 y2x. 解解 3已知抛物线 C：y2ax(a0)上一点 P t，1 2 到焦点 F 的距离为 2t. (1)求抛物线 C 的方程； (2)抛物线上一点 A 的纵坐标为 1， 过点 Q(3， 1)的直线与抛物线 C 交 于 M，N 两个不同的点(均与点 A 不重合)，设直线 A
27、M，AN 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1 k2为定值 (2)证明：因为 A 点在抛物线上，且 yA1. 所以 xA1，所以 A(1,1)， 设过点 Q(3，1)的直线 l 的方程为 x3m(y1) 即 xmym3，代入 y2x 得 y2mym30. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 y1y2m，y1y2m3， 所以 k1 k2y 11 x11 y21 x21 y1y2y1y21 m2y1y2mm2y1y2m22 m3m1 m2m3mm2mm22 1 2， 为定值 解解 3 课时作业课时作业 PART THREE 1(2019 厦门一模)若抛物线 x2ay 的焦点到准线的距离为
28、 1，则 a ( ) A2 B4 C 2 D 4 A组组 基础关基础关 解析 抛物线 x2ay 的焦点坐标为 0，a 4 ，准线方程为 ya 4.而抛物 线 x2ay 的焦点到准线的距离为 1，所以 a 4 a 4 1，解得 a 2. 答案答案 解析解析 2(2019 汀赣十四校第一次联考)已知抛物线 y24x 与 x22py(p0)的 焦点间的距离为 2，则 p 的值为( ) A4 B12 C2 3 D6 解析 两抛物线的焦点坐标分别为(1,0)和 0，p 2 .由题意可知 1p 2 4 2，且 p0，解得 p2 3. 答案答案 解析解析 3(2020 南昌摸底)一动圆的圆心在抛物线 y28
29、x 上，且动圆恒与直线 x20 相切，则此动圆必过定点( ) A(4,0) B(2,0) C(0,2) D(0,0) 解析 由抛物线 y28x，得准线方程为 xp 22，焦点坐标为 (2,0)因为动圆的圆心在抛物线 y28x 上，且动圆恒与直线 x20 相切， 由抛物线的定义可知动圆必经过定点(2,0) 答案答案 解析解析 4(2019 哈尔滨三模)过抛物线 y24x 的焦点作一条倾斜角为 6的直线， 与抛物线交于 A，B 两点，则|AB|( ) A4 B6 C8 D16 解析 抛物线的焦点坐标为 F(1,0)， p2， 过焦点的直线的斜率 ktan 6 3 3 ，则直线方程为 y 3 3 (
30、x1)，代入 y24x 得1 3(x1) 24x，整理得 x2 14x10，设 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 x1x214，则 |AB|x1x2p14216. 答案答案 解析解析 5设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 A，过抛物 线 C 上一点 P 作准线 l 的垂线，垂足为 Q.若QAF 的面积为 2，则点 P 的 坐标为( ) A(1,2)或(1，2) B(1,4)或(1，4) C(1,2) D(1,4) 解析 设点 P 的坐标为(x0， y0) 因为QAF 的面积为 2， 所以1 22|y0| 2，即|y0|2，所以 x01，所以
31、点 P 的坐标为(1,2)或(1，2) 答案答案 解析解析 6(2018 全国卷)设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过点(2,0)且斜 率为2 3的直线与 C 交于 M，N 两点，则FM FN ( ) A5 B6 C7 D8 解析 根据题意，过点(2,0)且斜率为2 3的直线方程为 y 2 3(x2)，与 抛物线方程联立 y2 3x2， y24x， 消去 x 并整理，得 y26y80，解得 M(1,2)，N(4,4)，又因为 F(1,0)，所以FM (0,2)，FN (3,4)，从而可以求得 FM FN 03248.故选 D. 答案答案 解析解析 7 (2019 怀化三模)过抛物线 y22
32、px(p0)的焦点 F 作斜率为 k 的直线， 与抛物线相交于 A，B 两点，设直线 OA，OB(O 为坐标系原点)的斜率分别 为 k1，k2，则下列等式正确的是( ) Ak1k2k B.1 kk1k2 C.1 k 1 k1 1 k2 Dk2k1 k2 答案答案 解析 由题意，得 OA 的方程为 yk1x，与抛物线 C：y22px(p0)联 立，解得 A 2p k2 1 ，2p k1 ，同理可得 B 2p k2 2 ，2p k2 ，k 2p k1 2p k2 2p k2 1 2p k2 2 1 1 k1 1 k2 ，1 k 1 k1 1 k2.故选 C. 解析解析 8(2019 湖北四地七校联
33、考)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F， 准线 l 与 x 轴的交点为 A，P 是抛物线 C 上的点，且 PFx 轴若以 AF 为 直径的圆截直线 AP 所得的弦长为 1，则实数 p 的值为_ 解析 由题意，F p 2，0 ，A p 2，0 ，设 P 在第一象限，则 P p 2，p ，kAP p p1， 则直线AP的方程为xy p 20， 以AF为直径的圆的圆心为O(0,0)， 半径为 Rp 2，则 O 到直线 AP 的距离为 d p 2 2 2p 4 ，则圆 O 截直线 AP 所 得的弦长为 12 R2d22 p2 4 2p 4 2，解得 p 2. 2 解析解析 9(2019 武
34、汉 4 月调研)已知过点 M(1,0)的直线 AB 与抛物线 y22x 交 于 A，B 两点，O 为坐标原点，若 OA，OB 的斜率之和为 1，则直线 AB 的 方程为_ 解析 当直线 AB 的斜率不存在时，不符合题意，故设直线 AB 的斜率 为 k(k0)，则直线 AB 的方程为 yk(x1)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由 ykx1， y22x 消去 y 并整理，得 k2x22(k21)xk20，则 x1x2 2k21 k2 ，x1x21.直线 OA，OB 的斜率之和为y1 x1 y2 x2 2kx1x2kx1x2 x1x2 2k2k 21 k 1，解得 k2，直线 AB 的方程
35、为 2xy20. 2xy20 解析解析 10 (2019 河南六市第二次联考)抛物线 y24x 的焦点为 F， 其准线为 l， 过点 M(5,2 5)作直线 l 的垂线，垂足为 H，则FMH 的平分线的斜率为 _ 解析 连接 HF.因为点 M 在抛物线 y24x 上，所以由抛物线的定义可 知|MH|MF|.所以MHF 为等腰三角形 所以FMH 的平分线所在的直线 经过 HF 的中点 因为点 F(1,0)， H(1,2 5)， 所以 HF 的中点坐标为(0， 5)， 所以FMH 的平分线的斜率为2 5 5 50 5 5 . 5 5 解析解析 1(2019 潍坊高三上学期期末)已知抛物线 y24x
36、 的焦点为 F，P 为抛 物线上一点，A(1,1)，当PAF 周长最小时，PF 所在直线的斜率为( ) A4 3 B3 4 C.3 4 D.4 3 B组组 能力关能力关 答案答案 解析 求PAF 周长的最小值，即求|PA|PF|的最小值设点 P 在准 线上的投影为 D，则根据抛物线的定义，可知|PF|PD|.因此问题转化为求 |PA|PD|的最小值根据平面几何知识，可得当 D，P，A 三点共线时|PA| |PD|最小A(1,1)，点 P 在抛物线上，P 1 4，1 ，PF 所在直线的斜率 为10 1 41 4 3. 解析解析 2(2020 重庆名校联盟调研抽测)过抛物线 y22x 上一点 A(
37、2,2)作倾斜 角互补的两条直线 AB，AC，分别交抛物线于 B，C 两点，则直线 BC 的斜 率为( ) A2 3 B1 4 C3 4 D1 2 答案答案 解析 依题意，可设直线 AB 的方程为 y2k(x2)，则直线 AC 的方 程为 y2k(x2)设 B(x1，y1)，C(x2，y2)(y12，y22)由 y22x， y2kx2， 得 y122k k .同理，得 y222k k .所以直线 BC 的斜率为 y2y1 x2x1 y2y1 1 2y 2 21 2y 2 1 2 y2y1 1 2.故选 D. 解析解析 3(2019 华中师大第一附中模拟)如图所示，点 F 是抛物线 y28x 的
38、焦 点，点 A，B 分别在抛物线 y28x 及圆(x2)2y216 的实线部分上运动， 且 AB 总平行于 x 轴，则FAB 的周长的取值范围是( ) A(2,6) B(6,8) C(8,12) D(10,14) 答案答案 解析 设 A(xA，yA)，B(xB，yB)抛物线的准线 l：x2，焦点 F(2， 0) 由抛物线定义， 得|AF|xA2.因为圆(x2)2y216 的圆心为(2,0)， 半径为 4，所以FAB 的周长为|AF|AB|BF|(xA2)(xBxA)4 6xB.由 y28x， x22y216， 得 x2， y 4， 则 xB(2,6)，所以 6xB(8,12) 解析解析 4(2
39、018 全国卷)已知点 M(1,1)和抛物线 C：y24x，过 C 的焦点 F 且斜率为 k 的直线与 C 交于 A， B 两点 若AMB90 ， 则 k_. 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y2 14x1， y2 24x2， 所以 y2 1y 2 24x14x2，所以 ky 1y2 x1x2 4 y1y2. 取 AB 的中点 M(x0，y0)，分别过点 A，B 作准线 x1 的垂线，垂 足分别为 A，B. 因为AMB90 ，所以|MM| 1 2 |AB| 1 2 (|AF|BF|) 1 2 (|AA| |BB|) 因为 M为 AB 的中点，所以 MM平行于 x 轴 因为 M
40、(1,1)，所以 y01，则 y1y22，所以 k2. 2 解析解析 5(2020 银川摸底)已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，动点 P 在抛物 线 C 上，点 A(1,0)，则|PF| |PA|的最小值为_；当 |PF| |PA|取得最小值时，直线 AP 的方程为_ 解析 设 P 点的坐标为(4t2,4t)，F(1,0)，A(1,0)， |PF|2(4t21)216t216t48t21， |PA|2(4t21)216t216t424t21， 2 2 解析解析 xy10 或 xy10 |PF| |PA| 2 16t48t21 16t424t211 16t2 16t424t21 1 16
41、16t21 t224 1 16 216t2 1 t224 116 32 1 2， 当且仅当 16t2 1 t2，即 t 1 2时取等号 故|PF| |PA| 的最小值为 2 2 ；当|PF| |PA| 取得最小值时，点 P 的坐标为(1,2)或(1， 2)，直线 AP 的方程为 y (x1)，即 xy10 或 xy10. 解析解析 6(2019 洛阳模拟)已知抛物线 E：x22py(p0)的焦点为 F，A(2，y0) 是 E 上一点，且|AF|2. (1)求 E 的方程； (2)设点 B 是 E 上异于点 A 的一点，直线 AB 与直线 yx3 交于点 P， 过点 P 作 x 轴的垂线交 E
42、于点 M，证明：直线 BM 过定点 解 (1)根据题意，知 42pya， 因为|AF|2，所以 yap 22. 联立解得 ya1，p2.所以 E 的方程为 x24y. 解解 (2)证明：设 B(x1，y1)，M(x2，y2) 由题意，可设直线 BM 的方程为 ykxb， 代入 x24y，得 x24kx4b0. 所以 x1x24k，x1x24b. 由 MPx 轴及点 P 在直线 yx3 上， 得 P(x2，x23)， 解解 则由 A，P，B 三点共线，得x 24 x22 kx1b1 x12 ，整理， 得(k1)x1x2(2k4)x1(b1)x22b60. 将代入上式并整理，得(2x1)(2kb3
43、)0. 由点 B 的任意性，得 2kb30， 所以 ykx32kk(x2)3. 即直线 BM 恒过定点(2,3) 解解 1(2019 咸阳二模)设定点 F(0,1)，动点 E 满足：以 EF 为直径的圆与 x 轴相切 (1)求动点 E 的轨迹 C 的方程； (2)设 A，B 是曲线 C 上的两点，若曲线 C 在 A，B 处的切线互相垂直， 求证：A，F，B 三点共线 C组组 素养关素养关 解 (1)设 E 点坐标为(x，y)，则 EF 中点为圆心，设为 P，则 P 点坐标 为 x 2， y1 2 .P 到 x 轴的距离等于|EF| 2 ， 即 y1 2 x2y12 2 ，化简得 x24y. 点
44、 E 的轨迹 C 的方程为 x24y. 解析解析 (2)证明：由(1)知，曲线 C 是以 F 为焦点的抛物线，其方程可化为 y 1 4x 2， 设 A，B 两点的坐标分别为 x1，1 4x 2 1， x2，1 4x 2 2， 曲线方程为 y1 4x 2，y1 2x，曲线在 A，B 处切线的斜率分别 为 k11 2x1，k2 1 2x2， k1k21，1 2x1 1 2x21，x2 4 x1， 解解 A，B 两点连线的斜率为 kAB 1 4x 2 21 4x 2 1 x2x1 1 x1 1 4x1， A，F 两点连线的斜率为 kAF 1 4x 2 11 x10 1 x1 1 4x1kAB， A，
45、B，F 三点共线 解解 2(2019 衡水一模)已知抛物线 y24x 的焦点为 F，ABC 的三个顶点 都在抛物线上，且FB FC FA . (1)证明：B，C 两点的纵坐标之积为定值； (2)设 AB AC ，求 的取值范围 解 (1)证明： 设 A y2 0 4 ，y0， B y2 1 4 ，y1， C y2 2 4 ，y2， F(1,0)， FA y2 0 4 1，y0， FB y2 1 4 1，y1，FC y2 2 4 1，y2， FB FC FA ， y 2 1 4 1y 2 2 4 1y 2 0 4 1，y1y2y0， 即 y2 1y 2 2y 2 04，(y1y2) 2y2 0， y2 042y1y2y 2 0， y1y22. 解解 (2)由FB FC FA ，得四边形 ABFC 为平行四边形， 故 AB AC
