1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 第第2 2讲讲 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积 第七章 立体几何 考纲解读 1.掌握与三视图相结合求解球、柱、锥、台的表面积和体 积(重点) 2会用相关计算公式，会处理棱柱、棱锥与球组合体的“接”“切”问题 (难点) 考向预测 从近三年高考情况来看，本讲属于高考必考内容预测2021年 会一如既往地对本讲内容进行考查，命题方式为：根据三视图求几何体的 表面积或体积；涉及与球有关的几何体的外接与内切问题题型以客观题 为主，且试题难度不会太大，属中档题
2、型. 1 基础知识过关基础知识过关 PART ONE 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图 侧面积 公式 S圆柱侧01 _ S圆锥侧02 _ S圆台侧03 _ 2rl rl (r1r2)l 2柱、锥、台和球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) S表面积S侧2S底 V01 _ 锥体(棱锥和圆锥) S表面积S侧S底 V02 _ 台体(棱台和圆台) S表面积S侧S上S下 V1 3(S上S下 S上S下)h 球 S03 _ V04 _ Sh 4R2 1 3Sh 4 3R 3 1概念辨析 (1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形
3、，那么这个圆柱 的侧面积是2S.( ) (2)锥体的体积等于底面面积与高之积( ) (3)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上， 则该球的表面积为3a2.( ) (4)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 答案答案 2小题热身 (1)一个球的表面积是16，那么这个球的体积为( ) A.16 3 B.32 3 C16 D24 解析 设此球的半径为R，则4R216，所以R2，其体积V 4 3 R3 4 32 332 3 . 答案答案 解析解析 (2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A(9 5) B(92 5)
4、 C(10 5) D(102 5) 答案答案 解析 由三视图可知，该几何体为一个圆柱挖去一个同底的圆锥，且 圆锥的高是圆柱高的一半故该几何体的表面积S1242 2212(9 5). 解析解析 (3)(2018 江苏高考)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心 为顶点的多面体的体积为_ 解析 易知，此多面体是由两个四棱锥拼接而成，其体积V21 3 ( 2)214 3. 解析解析 4 3 (4)已知某棱台的上、下底面面积分别为63 和243 ，高为2，则其体 积为_ 解析 由已知得此棱台的体积V 1 3 (63243 6 324 3 )21 342 3228 3. 解析解析 28 3 2 经
5、典题型冲关经典题型冲关 PART TWO 1(2018 全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过 直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表 面积为( ) A12 2 B12 C8 2 D10 题型题型 一一 空间几何体的表面积空间几何体的表面积 解析 根据题意，可得截面是边长为22的正方形，结合圆柱的特 征，可知该圆柱的底面为半径是 2的圆，且高为2 2，所以其表面积为S 2( 2)22 22 212.故选B. 答案答案 解析解析 2(2019 安徽省江南十校联考)如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，实线画出的是某几何体的三视图，其中的曲线都是半径为
6、1的圆周的四 分之一，则该几何体的表面积为( ) A20 B20 4 C203 4 D205 4 答案答案 解析 由三视图可得该几何体的直观图如 图由已知得该几何体是由一个棱长为2的正方 体挖去一个四分之一的圆柱及一个八分之的 球体得到的，所以该几何体的表面积S622 2125 4 1 422 1 8420 4.故选 B. 解析解析 3某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( ) A2 5 B4 5 C22 5 D5 答案答案 解析 根据三视图画出该空间几何体的立体图如图： SABC1 2222； SABD1 2 51 5 2 ； 解析解析 SCBD1 2 51 5 2 ； SACD1
7、 22 5 5，所以 S表SABCSABDSCBDSACD 2 5 2 5 2 52 52.故选C. 解析解析 三类几何体表面积的求法 求多面体的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平 面图形面积的方法求多面体的表面积 求旋转体的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展 开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与 对应侧面展开图中的边长关系 求不规则几何体的 表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体， 先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通 过求和或作差，求出所给几何体的表面积 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A.
8、7 3 B.17 2 C13 D.173 10 2 解析 由三视图可知几何体为三棱台，作出直观 图如图所示则CC平面ABC，上下底均为等腰 直角三角形，ACBC，ACBC1，AC BCCC2， AB2 ，AB22 .棱台的上底面积为 1 2 111 2，下底面积为 1 2222，梯形ACCA的面积为 1 2(1 答案答案 解析解析 2)23，梯形BCCB的面积为 1 2 (12)23，过A作ADAC 于点D，过D作DEAB，则ADCC2，DE为ABC斜边高 的 1 2，DE 2 2 ，AEAD2DE2 3 2 2 ，梯形ABBA的面积为 1 2 ( 22 2) 3 2 2 9 2 ，几何体的表
9、面积SS上底S下底S梯形ACCAS梯形 BCCBS梯形ABBA1 2233 9 213. 解析解析 角度1 根据几何体的三视图计算体积 1陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作 “干乐”，北方叫做“冰尜”或“打老牛”，陀螺的主体形状一般是由上 面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，从前的制作材料多为木头，现代多 为塑料或铁制，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发 条的弹力使其旋转，如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小 正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为( ) 题型 二 空间几何体的体积 A.107 3 B.32 3 33 C3299 D.16 3 33
10、答案答案 解析 依题意，该陀螺模型由一个四棱锥、一个圆柱以及一个圆锥拼 接而成，故所求几何体的体积V 1 3 442323 1 3 322 32 3 33，故选B. 解析解析 角度2 根据几何体的直观图计算体积 2(2019 全国卷)学生到工厂劳动实践，利 用3D打印技术制作模型如图，该模型为长方体 ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥OEFGH后所得的 几何体其中O为长方体的中心，E，F，G，H分 别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印 损耗，制作该模型所需原料的质量为_g. 118.8 解析 由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形
11、，对角线长分别为6 cm 和4 cm， 故V挖去的四棱锥1 3 1 246312(cm 3) 又V长方体664144(cm3)， 所以模型的体积为 V长方体V挖去的四棱锥14412132(cm3)， 所以制作该模型所需原料的质量为1320.9118.8(g) 解析解析 求体积的常用方法 直接法 对于规则的几何体，利用相关公式直接计算 割补法 首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计 算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何 体补成熟悉的几何体，便于计算 等体 积法 选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即 利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体
12、积变换 1(2019 湖南省长沙一中、常德一中等六校联考)如图是一个几何体的 三视图，且这个几何体的体积为8，则俯视图中三角形的高x等于( ) A1 B2 C3 D4 答案答案 解析 该几何体的示意图为如图所示的四棱锥P ABCD，故其体积V1 3 1 2(24)2x8，解得x 4.故选D. 解析解析 2祖暅是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既 同，则积不容异”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处 的水平截面的面积相等则这两个几何体的体积相等该原理在西方直到 十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年椭球 体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体如图所示，将底面直
13、径皆为2b，高皆 为a的半椭球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上以平行 于平面的平面在距平面任意高度d处可横截得到S圆及S环两截面，可以证 明S圆S环总成立，据此，短轴长为4 cm，长轴长为6 cm的椭球体的体积是 _cm3. 16 解析 因为总有S圆S环，所以半椭球体的体积为V圆柱V圆锥b2a 1 3 b2a 2 3 b2a.又2a6,2b4，即a3，b2，所以椭球体的体积V 4 3 b2a 4 3 22316(cm3) 解析解析 1已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB 3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为( ) A.3 17 2 B2 10
14、 C.13 2 D3 10 答案答案 题型 三 几何体与球的切、接问题 解析 解法一：如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点 M.又AM1 2BC 1 2 3 2425 2，OM 1 2AA16，所以球O的半径ROA 5 2 26213 2 . 解法二：将直三棱柱补形为长方体ABECA1B1E1C1， 则球O是长方体ABECA1B1E1C1的外接球 所以体对角线BC1的长为球O的直径 因此2R 324212213.故R13 2 . 解析解析 2(2018 全国卷)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四 点，ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥DABC体积的最大值 为(
15、 ) A12 3 B18 3 C24 3 D54 3 答案答案 解析 如图所示，点M为三角形ABC的重心，E为AC的中点，当DM 平面ABC时，三棱锥DABC体积最大，此时，ODOBR4. SABC 3 4 AB29 3， AB6， 点M为三角形ABC的重心， BM2 3BE2 3， 在RtOMB中，有OM OB2BM22. DMODOM426， (V三棱锥DABC)max1 39 3618 3.故选B. 解析解析 条件探究 将本例中的三棱锥DABC满足的条件改为“AB为球O的直 径，若该三棱锥的体积为 3，BC3，BD 3，CBD90”，则球O的 体积为_ 32 3 解析 设A到平面BCD的
16、距离为h，三棱锥的体积为 3，BC3，BD 3，CBD90 ， 1 3 1 23 3h 3， h2， 球心O到平面BCD的距离为1. 设CD的中点为E，连接OE，则由球的截面性质可得OE平面CBD， BCD外接圆的直径CD2 3， 球O的半径OD2，球O的体积为32 3 . 解析解析 1解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题 转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是： 2三条侧棱互相垂直的三棱锥或直三棱柱的外接球 (1)依据：长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于其外 接球的直径，即 a2b2c22R. (2)方法：补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱
17、锥或直三棱 柱的外接球的球心如举例说明1解法二 1(2017 天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个 正方体的表面积为18，则这个球的体积为_ 解析 设正方体的棱长为a，则6a218，a 3. 设球的半径为R，则由题意知2R a2a2a23， R3 2. 故球的体积V4 3R 34 3 3 2 39 2 . 解析解析 9 2 2(2019 华中师范大学第一附中模拟)某几何体的三视图如图所示，则 该几何体的外接球的体积为( ) A.28 7 27 B.28 7 9 C.28 21 27 D.28 21 9 答案答案 解析 如图所示，该几何体为三棱锥PABC，底面 ABC是等边三角
18、形，设O1为ABC的中心，则该几何体外接 球的球心在过O1且垂直于平面ABC的直线上，记作点O，并 设此球的半径为R，则在梯形OO1CP中，OCOPR，因为 O1C2 32sin60 2 3 3 ，所以R212 2 3 3 27 3，V球 4 3R 34 3 7 3 3 2 28 21 27 . 解析解析 3 课时作业课时作业 PART THREE 1(2020 太原摸底)如图为一几何体的三视图，其表面积为( ) A44 B54 C6 D7 A组组 基础关基础关 答案答案 解析 由三视图知，该几何体由一个半圆柱和四分之一个球构成，半 圆柱的底面半径为1，高为2，球的半径为1，所以该几何体的表面
19、积S 21 21 21 441 21 22122244，故选A. 解析解析 2(2020 北京西城区模拟)鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结 构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作下图是经典的六柱鲁班锁及六个 构件的图片，下图是其中一个构件的三视图，则此构件的体积为( ) A34000 mm3 B33000 mm3 C32000 mm3 D30000 mm3 答案答案 解析 由三视图得鲁班锁的其中一个零件是长为100 mm，宽为20 mm，高为20 mm的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40 mm，宽为20 mm，高为10 mm的小长方体的一个几何体，如图，所以该零件的体积V 1002020
20、40201032000(mm3) 解析解析 3一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为120 的扇形， 则该圆锥的高为( ) A.1 2 B. 2 C.3 2 D2 解析 设圆锥的底面半径为r，它的侧面展开图是圆心角为120 的扇 形，圆锥的母线长为3r，又圆锥的表面积为，r(r3r)，解得r 1 2，母线长l 3 2，故圆锥的高h l 2r2 2. 答案答案 解析解析 4如图，在边长为1的正方形组成的网格中，画出的是一个几何体的 三视图，则该几何体的体积是( ) A9 B.27 2 C18 D27 答案答案 解析 根据三视图可知，几何体是一个三 棱锥ABCD，三棱锥的外面是长、宽、高分别
21、 为6,3,3的长方体，几何体的体积V1 3 1 2 6339. 解析解析 5(2019 安徽省六校教育研究会联考)一 个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是 半径为r的圆，若该几何体的体积是9 8 ，则它 的表面积是( ) A.2 9 B9 C.45 4 D.54 4 答案答案 解析 由三视图可知该几何体是一个底面半径为r，高为r的圆柱内挖 去一个半径为r的半球因为该几何体的体积为 9 8 ，所以r2 r 1 2 4 3 r3 9 8 ，即1 3r 39 8 ，解得r3 2.所以该几何体的表面积为r 22r r1 24r 2 5r259 4 45 4 .故选C. 解析解析 6(2019 江西
22、九江一模)如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一 个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为( ) A64 22 3 B84 2 C66 2 D62 24 3 答案答案 解析 直观图是四棱锥PABCD，如图所 示，SPABSPADSPDC1 2222，SPBC 1 2 2 22 2sin60 2 3，S四边形ABCD2 22 4 2，因此所求棱锥的表面积为64 22 3.故 选A. 解析解析 7(2019 衡水中学三调)已知正方体ABCD ABCD的外接球的体积为 3 2 ，将正方 体割去部分后，剩余几何体的三视图如图所 示，则剩余几何体的表面积为( ) A.9 2 3 2 B3 3或9 2 3 2
23、 C2 3 D.9 2 3 2 或2 3 答案答案 解析 设正方体的棱长为a，依题意得， 4 3 3 3a3 8 3 2 ，解得a1. 由三视图可知，该几何体的直观图有以下两种可能，图1对应的几何体的 表面积为9 2 3 2 ，图2对应的几何体的表面积为3 3.故选B. 解析解析 8(2020 驻马店摸底)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，O为BD1的 中点，三棱锥OABD的体积为V1，四棱锥OADD1A1的体积为V2，则 V1 V2 的值为_ 1 2 解析 因为O为BD1的中点，所以VOABDVAOBDVAODD1， 又因为四边形ADD1A1是平行四边形， 所以VAODD1VOADD1
24、1 2VOADD1A1， 所以VOABD1 2VOADD1A1，即V1 1 2V2， 所以V1 V2 1 2. 解析解析 9我国古代数学经典名著九章算术中将底面为长方形且有一条 侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称 为鳖臑(bi no)若三棱锥PABC为鳖臑，且PA平面ABC，PAAB 2，且该鳖臑的外接球的表面积为24，则该鳖臑的体积为_ 解析 根据题意，三棱锥PABC为鳖臑，且PA 平面ABC，PAAB2，如图所示，可得PAB PACABCPBC90 .易知PC为外接球的直 径，设外接球的半径为R.又该鳖臑的外接球的表面 积为24，则R224 4 6，则BC 2
25、 622 22 4，则该鳖臑的体积为1 3 1 2242 8 3. 8 3 解析解析 10(2020 河南八市重点高中联盟测评)已知一个高为1的三棱锥，各侧 棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，则三棱锥的表面积为_， 若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为_ 解析 该三棱锥侧面的斜高为 1 3 3 212 2 3 3 ，则S侧3 1 2 22 3 3 2 3，S底1 2 32 3，所以三棱锥的表面积S表2 3 3 33 .由题意知，当球与三棱锥的四个面都相切时，其体积最大设三棱 锥的内切球的半径为r，则三棱锥的体积V锥 1 3 S表 r 1 3 S底 1，所以33 r 3，所以r1
26、3，所以三棱锥的内切球的体积最大为Vmax 4 3r 34 81. 3 3 解析解析 4 81 视图如图，几何体甲的正视图和侧视图为两个全等的等腰三角形，且 等腰三角形的高与几何体乙的三视图中的圆的直径相等若几何体甲与乙 的体积相等，则几何体甲与乙的表面积之比为( ) B组组 能力关能力关 A. 31 B.1 7 6 C. 31 D.1 3 2 解析 由三视图可知甲为圆锥，乙为球设球的半径为R，圆锥的底 面半径为r，则圆锥的高h2R，母线长lr2h2.甲与乙的体积相等， 4 3R 31 3r 2h，即2R2r2，则l r24R2 3r，几何体甲与乙的表面 积之比S 甲 S乙 r2rl 4R2
27、r 2r3r 2r2 1 3 2 .故选D. 答案答案 解析解析 2(2019 江西重点中学协作体模拟)如图所示，网格纸上小正方形的 边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 ( ) A284 5 B288 2 C164 28 5 D168 24 5 答案答案 解析 由三视图知该几何体是如图所示的三棱锥 ABCD.将该三棱锥放置在棱长为4的正方体中，其 中A是所在棱的中点在ADC中，AC2 5，又CD AC，AD CD2AC2 422 526，SADC 1 2AC DC 1 22 544 5. 在ABD中，AB2 5，BD4 2，由余弦定理得 cosDABAD 2AB2B
28、D2 2AD AB 362032 262 5 1 5. 解析解析 sinDAB1cos2DAB 2 5 .SABD 1 2 AD AB sinDAB 1 2 62 5 2 512.又S ABC与SBDC均为8， 三棱锥ABCD的表面积为12824 5284 5.故选A. 解析解析 3(2019 全国卷)已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上， PAPBPC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中 点，CEF90 ，则球O的体积为( ) A8 6 B4 6 C2 6 D. 6 答案答案 解析 设PAPBPC2a，则EFa，FC 3，EC23a2. 在PEC中，cosPEC a
29、23a22a2 2a 3a2 . 解析解析 在AEC中，cosAEC a23a24 2a 3a2 .PEC与AEC互补，3 4a21，a 2 2 ，故PAPBPC 2.又ABBCAC2，PAPB PC，外接球的直径2R 22 22 22 6，R 6 2 ， V4 3R 34 3 6 2 3 6.故选D. 解析解析 4(2019 河北省五校联考)如图，一个密闭容器水平放置，圆柱底面 直径为2，高为10，圆锥母线长为2，里面有一个半径为1的小球来回滚 动，则小球无法碰触到的空间部分的体积为( ) A.2 3 B. 31 3 C.52 3 3 D.5 3 3 答案答案 解析 小球滚动形成的几何体为圆
30、柱和两个 半球小球运动到左侧与圆锥相切时，其轴截面 如图所示由题意，知OAB30 ，OB1，则 OA2.AC1.AD2，ANAD cos30 3.CNANAC 3 1.小球滚动形成的圆 柱的高h10 3127 3.小球滚动形成的几何体的体积V 12(7 3)4 31 3253 3 3 ，V容器12101 3 12 330 3 3 ，V空V容器V52 3 3 .故选C. 解析解析 5(2018 全国卷)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值 为 7 8 ，SA与圆锥底面所成角为45 ，若SAB的面积为515，则该圆锥的侧 面积为_ 解析 因为母线SA，SB所成角的余弦值为 7 8 ，所
31、以母线SA，SB所成角 的正弦值为 15 8 ，因为SAB的面积为515，设母线长为l，所以 1 2 l2 15 8 515 ，所以l280，因为SA与圆锥底面所成角为45 ，所以底 面圆的半径为lcos 4 2 2 l，因此，圆锥的侧面积为rl 2 2 l240 2. 解析解析 40 2 6如图所示，等腰三角形ABC的底边AB 6 6，高CD3，点E是线段BD上异于点B，D的 动点，点F在BC边上，且EFAB，现沿EF将 BEF折起到PEF的位置，使PEAE，记BE x，V(x)表示四棱锥PACFE的体积，求V(x)的 最大值 解 因为PEEF，PEAE，EFAEE，所以PE平面ABC. 因为CDAB，FEAB，所以EFCD，所以 EF CD BE BD， 即EF 3 x 3 6，所以EF x 6，所以S ABC1 26 639 6， SBEF 1 2 x x 6 6 12 x2，所以V(x) 1 3 9 6 6 12 x2x 6 3 x 9 1 12x 2 (0x0，V(x)单调递增； 当6x3 6时，V(x)0，V(x)单调递减， 因此当x6时，V(x)取得最大值12 6. 解析解析 本课结束本课结束
