1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 第第2 2讲讲 同角三角函数的基本关系及同角三角函数的基本关系及 诱导公式诱导公式 第三章 三角函数、解三角形 考纲解读 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21， sin costan，并能熟练应用同角三角函数关系进行化简求值(重点) 2能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 ， 的正弦、余弦、 正切的诱导公式，理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，并能 利用诱导公式进行化简(重点、难点) 考向预测 从近三年高考情况来看， 本讲内容在高考中一般不单独
2、命题，但它是三角函数的基础预测 2021 年高考将以诱导公式为基 础内容，结合同角三角函数关系式及三角恒等变换进行考查，试题 以客观题为主，难度小，具有一定的技巧性. 1 基础知识过关基础知识过关 PART ONE 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：01 . (2)商数关系：02 . sin2cos21 sin costan 2k，kZ 2三角函数的诱导公式 一 二 三 四 五 六 角 2k (kZ) 2 2 正弦 sin 01 _ 02 _ 03 _ 04 _ 05 _ 余弦 cos 06 07 _ 08 _ 09 _ 10 _ sin sin sin cos cos cos co
3、s cos sin sin 续表 一 二 三 四 五 六 正切 tan 11 _ 12 _ 13 _ 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变， 符号看象限 tan tan tan 1概念辨析 (1)对任意 ，R，有 sin2cos21.( ) (2)若 R，则 tan sin cos恒成立( ) (3)(sin cos)21 2sincos.( ) (4)sin()sin 成立的条件是 为锐角( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 答案答案 2小题热身 (1)若 sin 5 5 ， 2，则 tan_. 解析 因为 sin 5 5 ， 2， 所以 cos1sin21 5 5 22 5 5
4、 ， 所以 tan sin cos 1 2. 解析解析 1 2 (2)化简：cos 21 sintan _. 解析 原式 sin2 sin sin cos cos. 解析解析 cos (3)sin2490 _；cos 52 3 _. 解析 sin2490 sin(7360 30 )sin30 1 2. cos 52 3 cos 16 3 cos 3 cos 3 1 2. 解析解析 1 2 1 2 (4)已知 sin 2 3 5， 0， 2 ，则 sin()_. 解析 因为 sin 2 cos 3 5， 0， 2 ，所以 sin1cos2 4 5，所以 sin()sin 4 5. 解析解析 4
5、5 2 经典题型冲关经典题型冲关 PART TWO 角度 1 化简与求值 1(2019 唐山模拟)已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半 轴重合，终边上一点 A(2sin，3)，则 cos( ) A.1 2 B1 2 C. 3 2 D 3 2 题型 一 同角三角函数关系式的应用 答案答案 解析 由任意角三角函数的定义得 tan 3 2sin，即 sin cos 3 2sin，所 以 3cos2sin22(1cos2)整理得 2cos23cos20， 解得 cos1 2或 cos2(舍去) 解析解析 角度 2 sincos、sincos、sincos 三者之间的关系 2.(2019 四
6、 川石室中学模拟)已知 为第二象限角，且 sincos1 5，则 cossin ( ) A.7 5 B7 5 C 7 5 D.24 25 答案答案 解析 因为 sincos1 5，所以(sincos) 2 1 25，即 12sincos 1 25，所以 2sincos 24 25.所以(cossin) 212sincos124 25 49 25 又因为 为第二象限角所以 cos0.所以 cossin0 ，cos0 ，所 以 tan 1 sin21 sin cos cos sin sin cos cos sin 1. 解析解析 1若 是第二象限角，则 tan 1 sin21化简的结果是( ) A
7、1 B1 Ctan2 Dtan2 答案答案 解析 由 sin()2sin 2 ，可得 sin2cos，则 tan 2，所以 sincos sincos sin2cos2 tan 1tan2 2 5. 解析解析 2若 sin()2sin 2 ，则 sincos 的值等于( ) A2 5 B1 5 C.2 5或 2 5 D.2 5 答案答案 3 已知 0， 4 ， sincos2 2 9 ， 则 sincos_.(提示(2 2 1)294 2) 解析 因为 sincos2 2 9 ， 所以(sincos)212sincos 14 2 9 94 2 9 2 21 3 2. 又因为 0， 4 ，所以
8、sincos0， 所以 sincos12 2 3 . 12 2 3 1化简 sin(1071 )sin99 sin(171 )sin(261 )的结果为( ) A1 B1 C0 D2 答案答案 题型题型 二二 诱导公式的应诱导公式的应用用 解析 原式(sin1071 )sin99 sin171 sin261 sin(3360 9 )sin(90 9 )sin(180 9 ) sin(270 9 )sin9 cos9 sin9 cos9 0. 解析解析 解析 cos 4 cos 2 4 sin 4 5 5 . 解析解析 2(2019 安徽六校教育研究会联考)若 sin 4 5 5 ，那么 cos
9、 4 的值为( ) A.2 5 5 B2 5 5 C. 5 5 D 5 5 答案答案 3若 cos 6 a，则 cos 5 6 sin 2 3 的值为_ 解析 因为 cos 5 6 cos 6 cos 6 a. sin 2 3 sin 2 6 cos 6 a， 所以 cos 5 6 sin 2 3 0. 解析解析 0 (1)诱导公式的两个应用方向与原则 求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了 化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了 (2)应用诱导公式的基本流程 (3)巧用口诀：奇变偶不变，符号看象限 (4)注意观察已知角与所求角的关系，如果两者之差或和为 2的整
10、数 倍，可考虑诱导公式，如举例说明 2 中 4 4 2. 1(2020 石家庄高三摸底)在平面直角坐标系 xOy 中，角 的终边经 过点 P(3,4)，则 sin 2021 2 ( ) A4 5 B3 5 C.3 5 D.4 5 答案答案 解析 因为角 的终边经过点 P(3,4) 所以 cos 3 3242 3 5. 所以 sin 2021 2 sin 21010 sin 2 sin 2 cos 3 5. 解析解析 解析 当 k 为偶数时，原式sincos sincos sincos sincos 1. 当 k 为奇数时， 原式sincos sincos sincos sincos1. 综上知
11、，原式1. 解析解析 2已知 kZ，化简：sinkcosk1 sink1cosk_. 1 1(2019 郑州模拟)已知 cos 2019 2 1 2， 2， ，则 cos( ) A.1 2 B1 2 C 3 2 D. 3 2 题型题型 三三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 答案答案 解析 因为 cos 2019 2 cos 10083 2 cos 3 2 sin1 2， 又 2， ，所以 cos 1sin2 3 2 . 解析解析 解析 因为 3sin 2A 3sin(A)，所以 3cosA3sinA，所以 tanA 3 3 ，又 0A，所以
12、 A 6.因为 cosA 3cos(B)，即 cosA 3 cosB，所以 cosB 1 3cos 6 1 2，又 0B，所以 B 3，所以 C(AB) 2.故选 C. 解析解析 2在ABC 中， 3sin 2A 3sin(A)，且 cosA 3cos(B)， 则 C 等于( ) A. 3 B. 4 C. 2 D.2 3 答案答案 3 (2019武 威 六 中 第 一 次 阶 段 性 检 测 ) 已 知f() sin 2 tancos 21 4sin 3 2 coscos2 . (1)化简 f()； (2)若 3 3，且 f() 1 4，求 的取值范围 解 (1)f() costancos21
13、 4coscoscos sincos 21 4cos 2sincos 4cos 1 2sin. (2)由已知得1 2sin 1 2， 2k 62k 7 6 ，kZ. 3 3， 6 3. 故 的取值范围为 6， 3 . 解解 同角三角函数关系式和诱导公式综合应用题的解法 (1)使用诱导公式把求解的三角函数式化为只含一个角的三角函数 式如举例说明 3. (2)使用同角三角函数的基本关系式求解该三角函数式的值，求解 中注意公式的准确性 1(2019 湖北八校联考)已知 sin()1 3，则 tan 2 ( ) A2 2 B2 2 C. 2 4 D 2 2 解析 因为 sin()sin1 3，所以 s
14、in 1 3，所以 cos 1sin2 2 2 3 ，所以 tan 2 sin 2 cos 2 cos sin 2 2. 解析解析 答案答案 2. 12sin3cos3化简的结果是( ) Asin3cos3 Bcos3sin3 C (sin3cos3) D以上都不对 解析 因为 sin(3)sin3，cos(3)cos3，所以原式 12sin3 cos3sin3cos32|sin3cos3|.因 为 2 30，cos30，所以原式sin3cos3. 解析解析 答案答案 3已知 tan100 k，则 sin80 的值等于( ) A. k 1k2 B k 1k2 C. 1k2 k D 1k2 k
15、解析 由已知得 tan100 ktan(180 80 )tan80 ，所以 tan80 k，又因为 tan80 sin80 cos80 sin80 1sin280 ，所以 sin280 1sin280 k2，注意到 k0，可解得 sin80 k 1k2 . 解析解析 答案答案 3 课时作业课时作业 PART THREE 1计算：sin11 6 cos10 3 ( ) A1 B1 C0 D.1 2 3 2 A组组 基础关基础关 解析 sin11 6 cos10 3 sin 2 6 cos 3 3 sin 6cos 3 1 2 1 21. 答案答案 解析解析 2已知 sin() 3cos(2)，|
16、 2，则 等于( ) A 6 B 3 C. 6 D. 3 解析 因为 sin() 3cos(2)，所以sin 3cos，所 以 tan sin cos 3.又因为| 2，所以 3. 答案答案 解析解析 3已知 cos31 a，则 sin239 tan149 的值是( ) A.1a 2 a B. 1a2 C.a 21 a D 1a2 解析 sin239 tan149 sin(270 31 ) tan(180 31 )(cos31 ) ( tan31 )sin31 1a2. 答案答案 解析解析 4 若 02x2， 则使 1sin22xcos2x 成立的 x 的取值范围是( ) A. 0， 4 B.
17、 3 4 ， C. 4， 5 4 D. 0， 4 3 4 ， 解 析 显 然 cos2x0 ， 因 为 02x2 ， 所 以 02x 2 或 3 2 2x2，所以 x 0， 4 3 4 ， . 答案答案 解析解析 5(2019 南昌二中模拟)已知角 终边上一点 P 的坐标是(2sin2， 2cos2)，则 sin 等于( ) Asin2 Bsin2 Ccos2 Dcos2 解析 因为 r2sin222cos222，由任意角的三角函数的定 义，得 siny rcos2. 答案答案 解析解析 6若 sin，cos 是方程 4x22mxm0 的两根，则 m 的值为( ) A1 5 B1 5 C1 5
18、 D1 5 解析 由已知得 (2m)244m4m(m4)0，所以 m0 或 m4，排除 A，C.又因为 sincosm 2 ，sincosm 4 ，(sincos)2 12sincos，所以m 2 4 1m 2 ，解得 m1 5或 m1 5(舍去) 答案答案 解析解析 7已知 tan3，则12sincos sin2cos2 的值是( ) A.1 2 B2 C1 2 D2 解析 因为 tan3，所以 12sincos sin2cos2 sin 2cos22sincos sin2cos2 tan 212tan tan21 3 2123 321 2. 答案答案 解析解析 8化简：(1tan2)(1s
19、in2)_. 解析 (1tan2)(1sin2) 1 sin2 cos2 cos2cos2sin21. 1 解析解析 9化简： sincossin 5 2 tancos32 _. 解析 原式 sincossin 2 tancos3 sincoscos sin coscos 3 sincos2 sincos21. 1 解析解析 10 已知 cos(75 )1 3， 则 sin(15 )cos(105 )的值是_ 解析 因为 cos(75 )1 3， 所以 sin(15 )sin(75 )90 cos(75 )1 3. cos(105 )cos180 (75 )cos(75 )1 3. 所以 si
20、n(15 )cos(105 )2 3. 2 3 解析解析 1已知 2 是第一象限的角，且 sin4cos45 9，那么 tan( ) A. 2 2 B 2 2 C. 2 D 2 B组组 能力关能力关 解析 因为 sin4cos45 9，所以(sin 2cos2)22sin2cos25 9，所以 sincos 2 3 ，所以 sincos sin2cos2 2 3 ，所以 tan tan21 2 3 ，解得 tan 2 2 (tan 2，舍去， 这是因为 2 是第一象限的角， 所以 tan 为小于 1 的正数) 答案答案 解析解析 2(2019 广州模拟)当 为第二象限角，且 sin 2 2 1
21、 3时， 1sin cos 2sin 2 的值是( ) A1 B1 C 1 D0 答案答案 解析 sin 2 2 1 3， cos 2 1 3， 2在第一象限，且 cos 2sin 2， 1sin cos 2sin 2 cos 2sin 2 cos 2sin 2 1. 解析解析 3已知 20，sincos 1 5，则 1 cos2sin2的值为( ) A.7 5 B.25 7 C. 7 25 D.24 25 答案答案 解析 因为 20，sin0，因为(sin cos)2(cossin)22，所以(cossin)22(sincos)22 1 25 49 25，cossin 7 5，cos 2si
22、n21 5 7 5 7 25，所以 1 cos2sin2的值为 25 7 . 解析解析 4(2020 沈阳摸底)若1cos sin 2，则 cos3sin( ) A3 B3 C9 5 D.9 5 答案答案 解析 因为 1cos sin 2，所以 cos2sin1.又因为 sin2cos21， 所以 sin2(2sin1)21.整理得 5sin24sin0，因为 sin0，所以 sin4 5.所以 cos2sin1 3 5.所以 cos3sin 3 5 12 5 9 5. 解析解析 5已知 cos 5 12 1 3，且 2，则 cos 12 等于( ) A.2 2 3 B.1 3 C1 3 D2 2 3 答案答案 解析 因为 5 12 12 2 ，所以 cos 12 sin 2 12 sin 5 12 .因为 2，所以 7 12 5 120，所以 2 5 120， 为第一或第二象限角 8已知 sin2 5 5 ，求 tan() sin 5 2 cos 5 2 的值 解解 当 为第一象限角时，cos1sin2 5 5 ， 则原式 1 sincos 5 2； 当 为第二象限角时，cos1sin2 5 5 ， 则原式 1 sincos 5 2. 本课结束本课结束
