1、陈志明陈志明 研究高考命题，提升复习效率研究高考命题，提升复习效率 我想讲三个问题： 一一、课程改革新阶段的数学高考命题导向课程改革新阶段的数学高考命题导向 二、什么原因造成高考成绩不尽理想二、什么原因造成高考成绩不尽理想 三三、解决基本解决基本题解不好，全面提升复习效题解不好，全面提升复习效 率的策率的策略。略。 一一、课程改革新阶段的数学高考命题导向课程改革新阶段的数学高考命题导向 课程改革进入着眼学生素养提升的新阶段，高课程改革进入着眼学生素养提升的新阶段，高 考要坚持素质教育的导向，这是时代的要求。考要坚持素质教育的导向，这是时代的要求。 近年来，高考题回归数学主干，在近年来，高考题回
2、归数学主干，在阅读理解阅读理解基基 础上，突出考查基本知识、础上，突出考查基本知识、 基本技能、基本思想、基本解题经验、基本技能、基本思想、基本解题经验、 基本策略选择、基本数学素养。基本策略选择、基本数学素养。 一个基本特色，即难题也不偏不怪，很基本。一个基本特色，即难题也不偏不怪，很基本。 以以20202020年考题为例：年考题为例： 20202020全国数学课标数学卷理全国数学课标数学卷理1 1： 3 3题，金字塔题，金字塔-正四棱锥模型，求正四棱锥模型，求侧面三角形底侧面三角形底 边上的高与底面正方形的边长的比值边上的高与底面正方形的边长的比值 考查考查阅读、抽象构图阅读、抽象构图能力
3、，以及直角三角形中的能力，以及直角三角形中的 基本计算。基本计算。 5.5.某课外小组为研究某作物种子的发芽率某课外小组为研究某作物种子的发芽率y y和温度和温度x x（单位：（单位：CC） 的关系，在的关系，在 2020 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数 据据( , )(1,2,20) ii x yi 得到下面的散点图：得到下面的散点图： 由此散点图，在由此散点图，在 10C10C 至至 40C40C 之间，下面四个回归方程类型中最之间，下面四个回归方程类型中最 适宜作为发芽率适宜作为发芽率y y和温度和温度x x的回归方程类型的是（的
4、回归方程类型的是（ ） 考查考查非线性回归的能力非线性回归的能力。 9.9.已知已知 ()0, ，且，且3cos28cos5，则，则sin（ ） A A. . 5 3 B. B. 2 3 C. C. 1 3 D. D. 5 9 分析：分析： 用二倍角余弦公式， 将方程转化为关于用二倍角余弦公式， 将方程转化为关于cos的一元二次方程，的一元二次方程， 解出解出cos，再用同角关系，再用同角关系求正弦求正弦. . 注意：注意：到了到了 9 9 题题 3 3 还如此基本，像平时作业题。还如此基本，像平时作业题。 14.14.设设 , a b为单位向量，且 为单位向量，且| | 1ab ，则，则|
5、|ab_. _. 思路思路分析分析：利用利用 222 2221ababaa bba b 立立得：得：21a b ，所以所以 222 23ababaa bb 。 代数几何结合思考：代数几何结合思考：据题设，据题设，两个单位向量相加的模长为两个单位向量相加的模长为 1 1，则，则向向 量量 a a,b,a+b,b,a+b 构成边长为构成边长为 1 1 的等边三角形，的等边三角形，心算即得，向量心算即得，向量 a a- -b b 模长模长 为为3。 此种方法，在教学中往往被忽略。此种方法，在教学中往往被忽略。 15.15.已知已知F F为双曲线为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab
6、 的右焦点，的右焦点，A A为为C C的右顶的右顶 点，点，B B为为C C上的点，且上的点，且BFBFx x轴轴. .若若ABAB的斜率为的斜率为 3 3，则，则C C的离心率的离心率 【分析】【分析】读题构图读题构图，根据双曲线根据双曲线性质可知，性质可知， 2 b BF a ，AF ca ，即，即 可根据斜率列出等式求解即可根据斜率列出等式求解即得得 2 2 注意：注意：这些这些基本基本题题几乎年年考。几乎年年考。 例例如如（20182018 课标课标卷卷理理 1111）已知双曲线已知双曲线 C C： y y 2 2=1 =1，O O 为坐标原点，为坐标原点，F F 为为 C C 的右焦
7、点，过的右焦点，过 F F 的直线与的直线与 C C 的两条渐近线的交点分别为的两条渐近线的交点分别为 M M，N N若若OMNOMN 为直角为直角 三角形，则三角形，则|MN|=|MN|=（ ） A A B B3 3 C C2 2 D D4 4 . . 11.11.已知已知M M： 22 2220 xyxy，直线，直线l：2 20 xy ，P为为l上的动上的动 点，过点点，过点P作作M M的切线的切线 ,PA PB，切点为 ，切点为 ,A B，当 ，当| | |PMAB 最小时，直线最小时，直线 AB的方程为（的方程为（ ） A. A. 2 10 xy B. B. 2 10 xy C. C.
8、 2 10 xy D D. . 2 10 xy 思路思路：圆的方程可化为圆的方程可化为 22 114xy，画出草图； ，画出草图； 画直线画直线l：2 20 xy 草图，可判断直线与圆相离；草图，可判断直线与圆相离； 在直线上取任意点在直线上取任意点 P P, ,向圆引切线，勾勒草图得四边形向圆引切线，勾勒草图得四边形 P PAMBAMB 利用几何知识，不难判断， “利用几何知识，不难判断， “| | |PMAB ”恰为四边形面积”恰为四边形面积 面积又等于面积又等于切线长的切线长的 2 2 倍倍。 点点 P P 运动， 易知运动， 易知MPl时， 切线最短， 面积时， 切线最短， 面积| |
9、 |PMAB 最小， 于是，最小， 于是， A AB B 与直线与直线l平行，故立舍平行，故立舍 A A,C,C,再据草图否再据草图否 B,B,得得 D D. . 证明如上推断证明如上推断：由题意可判断直线与圆相离，由题意可判断直线与圆相离， 根据圆的知识可知，四点根据圆的知识可知，四点 , , ,A P B M 共圆，且共圆，且AB MP， 根据根据 22 PAM PMABSPA 可知， 当直线可知， 当直线MP l 时，时，PM AB 最小，最小， 求出以求出以MP为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直 线线AB的方程的方程 在运动变化中在运动
10、变化中，考查阅读，考查阅读、构图、构图、分析、分析、解决的能力、解决的能力，我们，我们 1 1 卷有传统卷有传统。 例例，2 2015015 课标课标卷理卷理 1616 题：题： 四边形四边形 ABCDABCD 中，中，A=A=B=B= C=75C=75，BC=2BC=2，则，则 ABAB 取值范围取值范围 是是 . . 这是当年该卷填空题的压轴题，但从题设看，绝这是当年该卷填空题的压轴题，但从题设看，绝 不是应试备考中的热门题型，却像一道初中题。不是应试备考中的热门题型，却像一道初中题。 此题考虑到此题考虑到B=B=C=75C=75，且，且 BC=2BC=2，等腰三角形，等腰三角形 EBCE
11、BC 是确定的（如图） ，作是确定的（如图） ，作 CF, CF, 使使C CFBFB=75=75，在，在 ADAD F FC C 的的条件条件下下，点，点 A A 在在 E,FE,F 间移动到任何位置，所截间移动到任何位置，所截 四边形四边形 ABCDABCD 都满足题设，所以都满足题设，所以 BFABBFAB0a0时，与“方程时，与“方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0无实根”无实根” 等价的命题有哪些？等价的命题有哪些？ 当当 a0a0 时，时， “方程方程cbxax 2 =0=0 无实根无实根” 04 2 acb a bac 4 4 2 00 f(x)=f(x)= cbxax
12、 2 无零点无零点，且且图象图象在在 x x 轴轴 轴上方轴上方 cbxax 2 00 的解集为的解集为 R R cbxax 2 0 0 的解集为空集。的解集为空集。 此处此处逻辑与结构兼容逻辑与结构兼容。先由学生独立完先由学生独立完 成，必要时教师补充。成，必要时教师补充。 案例2-解三角形（相关知识结构化，根往下扎） 课前下发一组解三角形的题目，尽力要求学生解课前下发一组解三角形的题目，尽力要求学生解答，课上反馈解答，课上反馈解 答情况，以了解学生对正弦定理、余弦定理的掌握程度答情况，以了解学生对正弦定理、余弦定理的掌握程度。题目如下：。题目如下： 在ABC中，内角,A B C的对边分别为
13、, ,a b c （1 1） 4 A ， 2 3 B ，6b ，求，求a， ，c； ； （正弦定理（正弦定理或化斜为直或化斜为直） （2 2） 3 A ，3a ，2b ，求求B； （正弦定理（正弦定理化斜为直化斜为直） （3 3） 6 A ，10 ca，求求b； （运用定理或化斜为直）（运用定理或化斜为直） （4 4） 6 A ，10,103ac，求求b； （运用定理或化斜为直）（运用定理或化斜为直） （5 5） 3 A ，b 2，c 3，求，求cosB （两定理的综合运用）（两定理的综合运用） 设计意图：设计意图：不呈现定理，试图让学生通过对问题的检索，选择问不呈现定理，试图让学生通过对问题
14、的检索，选择问 题解决的策略，加大了思维力度，起到问题导学的作用题解决的策略，加大了思维力度，起到问题导学的作用。 例题选配“舍末求本、突出主干” 例例 1 1 ABC的内角的内角,A B C的对边分别为的对边分别为, ,a b c， 3 coscos 5 aBbAc 求证： （求证： （1 1） 222 3 5 abc； （2 2）tan4tanAB 变式：变式：ABC中，若中，若cossinabCcB，求，求B 意图分析：在课前练习基础上，意图分析：在课前练习基础上，学生学生已初步会用已初步会用正弦、余弦定理正弦、余弦定理 解三角形解三角形。例例 1 1 的设计，的设计，又为又为解决综合问
15、题解决综合问题，揭示了，揭示了两个基本的变形两个基本的变形 方式。方式。 从题干“从题干“ 3 coscos 5 aBbAc”出发，”出发， （1 1）逆用余弦定理，把等式逆用余弦定理，把等式 化为边的关系化为边的关系； （2 2）利用正弦定理，把等式化为角的关系利用正弦定理，把等式化为角的关系。 起点虽低，起点虽低， 却有却有帮学生树立解题目标意识帮学生树立解题目标意识, ,固化 “双基” 的作用。固化 “双基” 的作用。 例例 2 2 已知已知, ,a b c分别为分别为ABC三个内角三个内角,A B C的对边，若的对边，若2bca， 3sin5sinAB，则角，则角C 变式：变式：在在A
16、BC中，若中，若 2 bac， 3 cos()cos 2 ACB，求，求B 意图分析：例意图分析：例 2 2 及其变式都涉及利用角的函数值求角的问题及其变式都涉及利用角的函数值求角的问题。 利用正弦定理变换， 例利用正弦定理变换， 例 2 2 的两个题设条件可转化为由两个方程构的两个题设条件可转化为由两个方程构 成的三元（成的三元（ , ,a b c）一次方程组，总可实现其一表示其二的目的，于 ）一次方程组，总可实现其一表示其二的目的，于 是，利用余弦定理，是，利用余弦定理，cosCcosC 约分得解。约分得解。 其 变 式 依 然 可 把 题 设 转 化 为 两 个 方 程 “其 变 式 依
17、 然 可 把 题 设 转 化 为 两 个 方 程 “ 2 sinsinsinACB, , 3 sinsin 4 AC ”联立的方程组，整体换元后，易得”联立的方程组，整体换元后，易得 3 B （据题设舍（据题设舍 弃弃 2 3 B） 。） 。 例例3 3已 知已 知,a b c分 别 为分 别 为ABC三 个 内 角三 个 内 角,A B C的 对 边 ， 若的 对 边 ， 若 cossinaCaCbc30 （1 1）求）求A； （； （2 2）若）若a 2，ABC的面积为的面积为3，求，求,b c 变式：在变式：在ABC中，中，ac 6，b 2，cos B 7 9 ，求，求,a c的值的值
18、例例 3 3 的（的（1 1）题可利用正弦定理、两角和的正弦公式、辅助角公）题可利用正弦定理、两角和的正弦公式、辅助角公 式，把题设化简为三角方程式，把题设化简为三角方程2sin()1 6 A ，于是得，于是得 3 A 。 （2 2）题把三角形面积公式与余弦定理联立，）题把三角形面积公式与余弦定理联立，整体消元（代换） ，整体消元（代换） ， 强化方程思想的运用。强化方程思想的运用。 相应变式把解方程组的技能提升到新的层次，首先用余弦定理相应变式把解方程组的技能提升到新的层次，首先用余弦定理 “cos cab B ca 222 7 29 ” ，并化简得” ，并化简得 222 14 9 caba
19、c，再由，再由ac 6， 及及b 2， 得， 得 222 322cabac， 联立， 联立、 ， 可得， 可得 14 322 9 acac，9ac ， 进而进而3ac 沟通正、余弦定理的联系沟通正、余弦定理的联系 沟通沟通两定理的两定理的联系联系，分析分析正弦定理、余弦定正弦定理、余弦定 理解决同一个问题的有效性，符合一轮复习理解决同一个问题的有效性，符合一轮复习 追求结构性把握的意图；追求结构性把握的意图； 沟通联系可有两个途径：沟通联系可有两个途径： 其一，通过具体题目用多种方法解决；其一，通过具体题目用多种方法解决； 其二，证明正、余弦定理等价。其二，证明正、余弦定理等价。 例例 1 1
20、“：“：提出问题提出问题：能否用正弦定理解决：在：能否用正弦定理解决：在ABCABC 中，中，a=2, a=2, b=b=31,C=,C= 0 30, ,求边长求边长 c c 。 明眼人一看便知，明眼人一看便知，这是用余弦定理解决极方便的题目，即使视这是用余弦定理解决极方便的题目，即使视 ABCABC 由两个特殊角的直角三角形拼接构成，凭心算由两个特殊角的直角三角形拼接构成，凭心算立得“立得“2c” ，亦亦 不困难不困难。 但若运用“正弦定理” ，可得但若运用“正弦定理” ，可得 “ 00 30sin)150sin( 13 Asin 2c A ” 。 即 得即 得 “ 2sin(1502sin
21、(150 0 - -A)=(A)=(Asin) 13 ” 得 “” 得 “ tanA=1tanA=1 ” ， 再 由” ， 再 由 “ 00 1800 A”知“”知“A=45A=450”, ,最后得“最后得“c=c=2 45sin 30sin2 0 0 ” 。” 。 例例2 2：证明证明正正、余、余弦弦定理等价定理等价 虽有一定难度，但恰好是对一轮复习降低综虽有一定难度，但恰好是对一轮复习降低综 合性要求的弥补，而化简、等价变形能力是合性要求的弥补，而化简、等价变形能力是 学好数学之本，可谓“难得其所”；学好数学之本，可谓“难得其所”； 另外另外，推证过程如运用“分析与综合”等推，推证过程如运
22、用“分析与综合”等推 理方法，完全可回避和差化积，只需和角公理方法，完全可回避和差化积，只需和角公 式、同角的平方关系、因式分解等技能即可式、同角的平方关系、因式分解等技能即可 完成。完成。 择要证明如下：择要证明如下： （1 1）证）证 “” ：据“” ：据“2sin,2sin,2sinaRA bRB cRC”得”得 222222 2cossin ()sinsin2sinsincos()abcbcABCBCBCBC 22222222 sincoscossinsinsin2sinsinBCBCBCBC 2222 2sinsin2sinsin0BCBC （2 2）证“）证“” ：据余弦定理可得”
23、 ：据余弦定理可得 2222 (1cos)(1cos) sinsin ab aBbA AB 22222222 22 22 ()() 44 acbbca ab cc 222222222222 4()4()a cacbb cbca 22222222 4()4()cabcab。 案例3-解析几何的复习（突出结构化与层级化） 按照突出主干、通性通法、追求结构化的构按照突出主干、通性通法、追求结构化的构 想，进行整章设计，根据当前考风，按某些想，进行整章设计，根据当前考风，按某些 教辅书的顺序，严重影响复习效率。教辅书的顺序，严重影响复习效率。 设计要体现设计要体现三个基本三个基本： 基本思想基本思想-
24、用代数方法解决几何问题；用代数方法解决几何问题； 基本方法基本方法-坐标法（三部曲）坐标法（三部曲） 基本研究对象基本研究对象-几何问题主要分为四个层级：几何问题主要分为四个层级： （1 1）定点问题（中点、定比分点，对称点，）定点问题（中点、定比分点，对称点， 利用向量）利用向量） （2 2）动点轨迹问题（利用轨迹研究几何性质）动点轨迹问题（利用轨迹研究几何性质） （3 3）直线与曲线的位置关系；）直线与曲线的位置关系； （4 4）运用函数思想解决几何问题。）运用函数思想解决几何问题。 这样设计，即展示层级，又有利于结构性把这样设计，即展示层级，又有利于结构性把 握。握。 （1）定点问题 让
25、让学生感悟坐标法三步曲的优势，领会坐标法与综学生感悟坐标法三步曲的优势，领会坐标法与综 合法的区别，享受合法的区别，享受“牛刀宰蚊子牛刀宰蚊子” ” 的快感，以极大的快感，以极大 提高兴趣。提高兴趣。 第一类：运用坐标法（结合向量），计算定点坐标；第一类：运用坐标法（结合向量），计算定点坐标； 第二类：论证三点共线（向量工具）；第二类：论证三点共线（向量工具）； 第三类：证明一些简单的几何命题。第三类：证明一些简单的几何命题。 如：三角形中位线定理；平行四边形对角线互相平如：三角形中位线定理；平行四边形对角线互相平 分；等等分；等等 再如，求证三角形再如，求证三角形ABCABC的中位线平行于第
26、三边，且等的中位线平行于第三边，且等 于第三边的一半。于第三边的一半。 （2）动点轨迹问题 把直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线求轨迹问题把直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线求轨迹问题放放 在一起复习在一起复习。 深化求轨迹的方法是对运动不变量的代数刻画（深化求轨迹的方法是对运动不变量的代数刻画（几几 何条件代数化何条件代数化）。）。 直线的运动不变量是什么直线的运动不变量是什么？斜率！以已知两点求斜？斜率！以已知两点求斜 率公式为基础，强化点斜式奠基作用率公式为基础，强化点斜式奠基作用 把据条件求轨迹，反之利用轨迹方程研究曲线性质把据条件求轨迹，反之利用轨迹方程研究曲线性质 结合复习，例如：直线的倾
27、斜角、截距，曲线的长结合复习，例如：直线的倾斜角、截距，曲线的长 短轴、顶点、离心率、渐近线等。短轴、顶点、离心率、渐近线等。 （3）直线与曲线的位置关系 三个层次三个层次： 其一，其一，研究直线间位置关系（平行、垂直、研究直线间位置关系（平行、垂直、 相交），相交）， 其二，其二，研究直线与圆的位置关系（运用几何研究直线与圆的位置关系（运用几何 性质和一般代数方法）性质和一般代数方法） 其三，其三，研究直线与一般圆锥曲线的位置关系。研究直线与一般圆锥曲线的位置关系。 三个层级，既独立，又整体，给学生渐次提三个层级，既独立，又整体，给学生渐次提 升的整体观。升的整体观。 如何突破解析几何中的计
28、算问题如何突破解析几何中的计算问题? ? 第一类：涉及圆锥曲线性质的计算第一类：涉及圆锥曲线性质的计算 通常根据通常根据a,b,ca,b,c关系，构建方程组模型，求关系，构建方程组模型，求 离心率，渐近线等。离心率，渐近线等。 第二类：研究直线与一般圆锥曲线的位置关第二类：研究直线与一般圆锥曲线的位置关 系，要系，要落实计算能力的培养，落实计算能力的培养，可从最简单的可从最简单的 问题入手问题入手。 例如，下气力解决求弦长问题：例如，下气力解决求弦长问题： 定直线与定圆、定椭圆相交，求弦长；定直线与定圆、定椭圆相交，求弦长； 直线直线y=y=x+b,yx+b,y=kx+1,=kx+1,当当b,
29、kb,k为何值时，与定为何值时，与定 圆、定椭圆相交、相离、相切？弦长为某定圆、定椭圆相交、相离、相切？弦长为某定 长？长？ 利用定义、相似比降维，简化运算。利用定义、相似比降维，简化运算。 又如又如，利用方程组解决问题，落实生成性方，利用方程组解决问题，落实生成性方 法，与待定性方法（见法，与待定性方法（见数学通报数学通报2014.122014.12期：期： 坐标法技能之我见）。坐标法技能之我见）。 例：已例：已知在单位圆知在单位圆O O中，中，A A，P P，Q Q是圆周上任意三点。是圆周上任意三点。 请用请用坐标法求证坐标法求证： APAPAQAQ的充要条件是的充要条件是PQPQ为圆为圆
30、O O的直径。的直径。 意图：意图：如何建系？原点一定选在圆心，如何建系？原点一定选在圆心，A,P,QA,P,Q选一选一 点在坐标轴不失一般性，选两点失一般性，选点在坐标轴不失一般性，选两点失一般性，选AOAO为为x x 轴合理。轴合理。 生成特征的解法生成特征的解法 待定特征的解法待定特征的解法 总结解析几何的主要解题方法总结解析几何的主要解题方法 复习充要条件。复习充要条件。 本例首先要选择位置建系，本例首先要选择位置建系，如果以直线如果以直线AOAO为为x x 轴，建立直角坐标系，轴，建立直角坐标系，有如下方法有如下方法 （1 1）由垂直证直径：）由垂直证直径： 方法（方法（生成特征生成
31、特征）设）设AP:yAP:y=k(x+1)=k(x+1)，求点，求点P P 坐标，类比点坐标，类比点Q Q坐标，证坐标，证P,O,QP,O,Q共线；共线； 方法（方法（待定特征待定特征）设）设P(xP(x1 1,y,y1 1),Q(x),Q(x2 2,y,y2 2),),利利 用点在圆上和垂直条件，证用点在圆上和垂直条件，证P,O,QP,O,Q共线；共线； （2 2）由直径证垂直：由直径证垂直： 方法（方法（生成特征生成特征）设）设PQ:yPQ:y= =kxkx, ,求坐标，证求坐标，证APAQ;APAQ; （补斜率不存在情况补斜率不存在情况） 方法（方法（待定特征待定特征）设）设P(xP(x
32、1 1,y,y1 1),),据据PQPQ是直径则是直径则P,QP,Q关关 于原点中心对称，推出于原点中心对称，推出Q(Q(- -x x1 1, ,- -y y1 1) )，证，证AP AQAP AQ。 注意：两种方法对比，待定方法更容易利用“直径注意：两种方法对比，待定方法更容易利用“直径 等价于垂直”证明。但往往对代数式恒等变形能力等价于垂直”证明。但往往对代数式恒等变形能力 要求较高要求较高 还可以直线还可以直线PQPQ为为x x轴建系，相应得解。轴建系，相应得解。 如学生情况容许，可研究下面三例：如学生情况容许，可研究下面三例： 例例 1 1、对于抛物线、对于抛物线 y y 2 2=2x
33、 =2x 有没有与有没有与引引例类似的事实？请预测出相应的例类似的事实？请预测出相应的 结论，并给出证明或证伪。结论，并给出证明或证伪。 进一步求证： 直线进一步求证： 直线ABAB与抛物线与抛物线 2 2ypx=交与交与A A、 B B 两点，两点，O O 是原点，则是原点，则OAOB的充要条件是直线的充要条件是直线 PQPQ 过定点过定点（ （2p,02p,0） 。） 。 例例 2 2. .对于椭圆对于椭圆 2 2 :y1 4 x C+= , ,有没有类似的事实？有没有类似的事实？ 请预测出相应的结论，并给出证明或证伪。请预测出相应的结论，并给出证明或证伪。 例例 3 3、进一步双曲线进一
34、步双曲线 2 2 :y1 4 x C-= 。 （4 4）运用函数思想解决几何问题运用函数思想解决几何问题 例：例：用解析法用解析法证明：证明：在点在点P(1,P(1,- -1)1)到直线到直线x+y+2=0 x+y+2=0任任 意点的连线中，垂线段最短。意点的连线中，垂线段最短。 此题需要此题需要（1 1）设）设Q(Q(m,nm,n) )为直线上任意一点，消元，为直线上任意一点，消元， 用用n n表示表示m m； （2 2）构建函数）构建函数|PQ|=f(n),|PQ|=f(n),求最小值点，并求点求最小值点，并求点Q Q坐坐 标；标； （3 3）证明）证明直线直线PQPQ是已知直线的垂线。是
35、已知直线的垂线。 学生能把简单事说明白，才可能说明复杂事 例例1 1：设直线：设直线y=y=kxkx与椭圆与椭圆 相交弦长为相交弦长为d d 。 求证：求证：2d2 2d2 构建函数构建函数:d=f(k),:d=f(k),求值域求值域 变式变式1 1：求椭圆上任意一点：求椭圆上任意一点P(xP(x0 0,y,y0 0) )到焦点距离的最值到焦点距离的最值 （焦半径长（焦半径长d=f(xd=f(x0 0) )） 变式变式2 2：过右焦点（：过右焦点（1 1，0 0）的直线与椭圆交于）的直线与椭圆交于A,B,A,B,求求 弦长弦长ABAB的最值。的最值。 2 2 1 2 x y 2 案例4-函数复
36、习 四个层次：四个层次： （1 1）通过基本初等函数图像及性质的掌握，强化）通过基本初等函数图像及性质的掌握，强化 学生勾勒函数草图的习惯；学生勾勒函数草图的习惯； （2 2）提升函数建模的自觉性；）提升函数建模的自觉性； （3 3）用函数的观点审视综合问题；）用函数的观点审视综合问题； （4 4）函数拟合（相关关系近似为函数关系）函数拟合（相关关系近似为函数关系）-线线 性（非线性）回归性（非线性）回归 （主要是前三个）（主要是前三个） （1）掌握基本函数性质，强化勾勒函数草图的习惯 例例 1 1(2007(2007 年天津卷年天津卷) )设设 cba, 均为正数，均为正数， 满足满足 a
37、a 2 1 log2 ， b b 2 1 log 2 1 ， c c 2 log 2 1 . . 则则 a a、b b、c c 的大小关系是（的大小关系是（ ） 。） 。 A.A.cba B.B.abc C.C.bac D.D.cab 方法方法 1 1：画函数图像；：画函数图像； 方法方法 2 2：分析范围。：分析范围。 例例 2 2. .奇函数奇函数f f( (x x) )在在( ,0)上单上单 调调递增，若递增，若f f( (- -1)=01)=0，则不等，则不等 式式x xf f( (x x)0)0 的解集是 （的解集是 （ ） （A A） ( , 1)(0,1) （B B） ( , 1
38、)(1,) （C C） ( 1,0) (0,1) （D D）( 1,0)(1,) “数形结合”既是能力，也是习惯“数形结合”既是能力，也是习惯。 基础不好的同学解题时，往往缺乏借助“基础不好的同学解题时，往往缺乏借助“草草 图图”的直观性，揭示较为隐蔽的数量关系的”的直观性，揭示较为隐蔽的数量关系的 习惯习惯。 通过通过练习练习来促进来促进（甚至是逼迫甚至是逼迫）数学基础一数学基础一 般的学生养成这种习惯，般的学生养成这种习惯，不仅可行，而且有不仅可行，而且有 效。效。 （2）提升函数建模的自觉性 例例 已知已知 OPQOPQ 是半是半 径为径为 1 1， 圆心角为， 圆心角为 3 的扇的扇
39、形，形，C C 是扇形弧是扇形弧 PQPQ 上动上动 点，点，ABCDABCD 是扇形的内接是扇形的内接 矩形。记矩形。记COP，求，求 当当取何值时，矩形取何值时，矩形 ABCDABCD 的面积最大？并的面积最大？并 求出这个最大面积。求出这个最大面积。 解题过程中， 一定要引导学生认识， 由形变到量变的过程：解题过程中， 一定要引导学生认识， 由形变到量变的过程： （1 1）点）点 C C 在在扇形弧扇形弧 PQPQ 上运动，内接上运动，内接 矩形矩形 ABCDABCD 随之而变（由扁到高） ；随之而变（由扁到高） ； （2 2）在）在从从 0 0 到到 3 的变化过程中，的变化过程中，S
40、 S 从从 0 0 变到变到 0 0，由此形成猜想：，由此形成猜想： 6 时，时，S S 最大。最大。 最后， 通过最后， 通过建立函数关系建立函数关系 ( )Sf ， 计算证明， 核实猜想。， 计算证明， 核实猜想。 例例在在 ABC ABC 中，角中，角A A，B B，C C对对边分别为边分别为a a，b b，c c， 又又c c=2=2，sin3sinAB，则，则ABCABC面积面积最大值为最大值为 方法方法 1 1， 据据 sin3sinAB得得3ab ，余弦定理得余弦定理得 2 2 2(1) cos 3 b C b ，所以所以 22 2 2 (4)12 sin1 cos 3 b CC
41、 b ， 所以所以 1 sin 2 SabC 22 (4)12 2 b ，b=2b=2 时，时，面积最大面积最大3. 方法方法 2 2， 以， 以 A A 为原点， 直线为原点， 直线 ABAB 为为 x x 轴建轴建系，系， 求点求点 C C （阿（阿 波罗尼斯圆波罗尼斯圆）求最值）求最值。 （3）用函数的观点审视综合问题 例例. .函数函数 2 ( )(12)f xaxx 与函与函 数数 ( )1g xx 的图像上的图像上，存在存在 着关于着关于 x x 轴对称的点，则轴对称的点，则a 的的 取值范围是取值范围是 。 解法分析解法分析： （1 1）勾画草图勾画草图，明确问题明确问题； （2
42、 2）求点求点 A A 00 (,+1)xx ，点，点 B B 2 00 (,)xax （3 3）构造方程模型构造方程模型 0+1+ x 2 0 =0ax； （4 4）转化函数模型）转化函数模型 2 0 =a x 00 1(1,2)xx； （5 5）利用单调性求值域。 （利用单调性求值域。 （ 1,1a ） 20092009 全国全国卷卷：已知：已知AC、BD是圆是圆 22 :4O xy的两条相互的两条相互 垂直的弦，垂足为垂直的弦，垂足为(1,2)M，求四边形，求四边形ABCD的面积的最大值的面积的最大值 是是 。 分析：分析：面积有最大，必有变化的根源面积有最大，必有变化的根源自变量自变量
43、的变化的变化。 由圆的对称性，条件“相互垂直的弦，垂足为由圆的对称性，条件“相互垂直的弦，垂足为(1,2)M” 等价于等价于“垂足为据圆心“垂足为据圆心3的点的点 P P” 。” 。 x y 1 2 3 1 2 3 13123 D B C P o A x y 1 2 3 1 2 3 13123 B D PA Co 设垂足设垂足 P P（3，0 0） （优化意识优化意识） ，四边形面积，四边形面积 S S 与直线与直线 ACAC 的斜率的斜率 k k 构成构成函数关系函数关系 S=f(k)S=f(k)，k=0(k=0(直线直线 ACAC 过圆心过圆心) )与与 k=1(k=1(直线直线 AC,B
44、DAC,BD 与圆心等距与圆心等距) )构成两个特殊位置构成两个特殊位置. . 考虑到在一个连续变化过程中，往往在特殊位置取得特考虑到在一个连续变化过程中，往往在特殊位置取得特 殊值，于是，易得殊值，于是，易得 f(0)=4,f(1)=5f(0)=4,f(1)=5。下面证明它们分别是四。下面证明它们分别是四 边形面积边形面积 S S 的最值。的最值。 x y 1 2 3 1 2 3 13123 D B C P o A x y 1 2 3 1 2 3 13123 B D PA Co 方法方法 1 1： 设直线： 设直线(3)yk x， 圆心到直线的距离， 圆心到直线的距离 2 3 1 k d k
45、 ， 所以所以 2 2 22 33 2 42 42 1 11 k ACd kk ，所以，所以， 2 3 2 1 1 1 BD k 23 2 4 1k ，（注意： 若用距离公式求，（注意： 若用距离公式求,ACBD, ,则更具一般性。 ）则更具一般性。 ） 令令 23 ,(0,3 1 xx k 。 1 2 SAC BD= = 2 253 2 (1)(4)2() 42 xxx，所以，当，所以，当 3 2 x 时，时， max 5S，此时，由，此时，由 23 3 12k 得得1k 。 当当3x 时，时， min 4S。此时，由。此时，由 23 3 1k ，解得，解得 k=0.k=0. 方法方法 2
46、2：用参数方程的方法亦可。用参数方程的方法亦可。 案例5导数复习 导数是压轴题，切记循序渐进，逐步达成。导数是压轴题，切记循序渐进，逐步达成。 导数复习要分为如下层级要求：导数复习要分为如下层级要求： （1 1）理解导数意义）理解导数意义, ,特别是几何意义，会求特别是几何意义，会求 过曲线某点处的切线方程；过曲线某点处的切线方程； （2 2）会利用导数工具研究无参数的多项式）会利用导数工具研究无参数的多项式 （三次）函数单调性及单调区间、极值点（三次）函数单调性及单调区间、极值点 （极值）、最值、零点个数。（极值）、最值、零点个数。 （3 3）会利用导数研究有一个参数介入的多项）会利用导数研究有一个参数介入的多项 式函数（内容同上）。式函数（内容同上）。 （4 4）会利用导数工具研究有超越函数（无参）会利用导数工具研究有超越函数（无参 数）介入的函数单调性及单调区间、极值点数）介入的函数单调性及单调区间、极值点 （极值）、最值、零点个数。（极值）、最值、零点个数。 （5 5）会利用导数研究有一个参数介入的超越）会利用导数研究有一个参数介入的超越 函数（内容同上）。函数（内容同上）。 （6 6）能通过构造函数的方法，完成相关求解）能通过构造函数的方法，完成相关求解 与证明。与证明。 例例 1 1：已知已知函数函数
