1、第 1 页 共 13 页 2019-2020 学年安徽省滁州市定远县育才学校高一下学期第学年安徽省滁州市定远县育才学校高一下学期第 一次检测数学试题一次检测数学试题 一、单选题一、单选题 1 下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A1， 1 2 ， 1 3 ， 1 4 ， B1，2，3，4， C1， 1 2 ， 1 4 ， 1 8 ， D1， 2， ， 3， ，n 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 根据递增数列、 递减数列、 无穷数列、 有穷数列的定义， 对各个选项依次判断 【详解】 对于 A中，数列 1 1 1 1, 2 3 4 是递减数
2、列，不符合题意； 对于 B中，数列1, 2, 3, 4, 是递减数列，不符合题意； 对于 C中，数列 111 1, 248 是递增数列有时无穷数列，不符合题意； 对于 D中，数列1,2, 3,n是有穷数列，不符合题意， 故选 C 【点睛】 本题主要考查了数列的分类，其中熟记递增数列、递减数列、无穷数列、有穷数列的定 义是解答的关键，着重考查了推理与论证能力 2两个数两个数 1 与与 5 的等差中项是（的等差中项是（ ） ） A1 B3 C2 D3 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由等差中项的定义可得结果. 【详解】 设两个数 1 与 5的等差中项是a，则21 56a ，解得3a ， 故选：
3、B 【点睛】 本题主要考查了等差中项的定义，属于基础题. 第 2 页 共 13 页 3在在ABCABC 中，角中，角 A A、B B、C C 所对的边分别为所对的边分别为 , ,a b c，己知，己知 A=60A=60， 4 3,4 2ab， 则则 B=B=（ ） A4545 B135135 C4545或或 135135 D以上都不对以上都不对 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 利用正弦定理求出sinB的值， 再结合ab， 得出AB， 从而可得出B的值 【详解】 由正弦定理得 sinsin ba BA ， 3 4 2 sin2 2 sin 24 3 bA B a ， ab，则AB，所以，4
4、5B ，故选 A 【点睛】 本题考查利用正弦定理解三角形， 要注意正弦定理所适用的基本情形， 同时在求得角时， 利用大边对大角定理或两角之和不超过180得出合适的答案，考查计算能力，属于中 等题 4 在在ABC中， 三个内角中， 三个内角 A， B， C的对边分别是 的对边分别是 a， b， c， 若， 若2a，3b， 1 cos 4 C ， 则则 c等于（等于（ ） A2 B3 C4 D5 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据余弦定理求解即可. 【详解】 由余弦定理得 22 1 232 2 3 ()4 4 c 故选：C 【点睛】 本题主要考查了余弦定理解三角形，属于基础题. 5已知数列，
5、已知数列，1，3，5，7， ，21n，则，则3 5是它的（是它的（ ）. A第第 22 项项 B第第 23 项项 C第第 24 项项 D第第 28 项项 【答案】【答案】B 【解析】【解析】将3 5改写成21n的形式，即可确定它的项数n. 【详解】 第 3 页 共 13 页 因为题中数列的第n项为 21n ， 而3 545223 1， 所以3 5是题中数列的第 23 项. 故选：B. 【点睛】 本题考查数列项数的确定，属于基础题. 6由由 1 1a ， 3d 确定的等差数列确定的等差数列 n a，当，当268 n a 时，序号时，序号n等于（等于（ ） A80 B100 C90 D88 【答案
6、】【答案】C 【解析】【解析】求出数列的通项公式，由268 n a 列出方程求解 n即可. 【详解】 1 1,3ad，1 3132 n ann ， 若26832 n an，则90n. 故选：C. 【点睛】 本题考查等差数列的通项公式，属于基础题. 7在在 ABC中，中，a2=b2+c2+ 3bc，则，则 A等于（等于（ ） A60 B45 C120 D150 【答案】【答案】D 【解析】【解析】由余弦定理和题设条件，求得 3 cos 2 A ，即可求解. 【详解】 在ABC中，因为 222 3abcbc ，即 222 3bcabc ， 由余弦定理可得 222 3 cos 3 222 bca A
7、 bcbc bc ， 又因为(0, )A，所以150A . 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边 第 4 页 共 13 页 角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键通常当涉及两边及其中一边的对角 或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余 弦定理求解. 8 在在ABC中， 三个内角中， 三个内角A、B、C的对边分别是 的对边分别是a、b、c， 如， 如果果:1:2:3A B C ， 那么那么: :a b c等于（等于（ ） A1: 3:2 B1:2:3 C1:4:9 D1:2 : 3 【答案】【
8、答案】A 【解析】【解析】先根据:1:2:3A B C 可求出, ,A B C，再利用正弦定理可知 : :sin:sin:sina b cABC，即可求解. 【详解】 在ABC中，:1:2:3A B C ， , 632 ABC ， 由正弦定理可得 13 : :sin:sin:sin:11:3:2 22 a b cABC . 故选：A. 【点睛】 本题考查正弦定理的应用，属于基础题. 9在在ABC中，若中，若coscosaBbA ，则，则ABC一定是（一定是（ ） A等腰或直角三角形等腰或直角三角形 B等边三角形等边三角形 C直角三角形直角三角形 D等腰三角形等腰三角形 【答案】【答案】D 【解
9、析】【解析】根据正弦定理化边为角可得sincossincosABBA，即in0()sAB，可 得AB，即可判断ABC形状. 【详解】 在ABC中，由正弦定理化边为角可得：sincossincosABBA 即sincossincos0ABBA， 即in0()sAB， 因为AB ， 所以AB， 所以ABC是等腰三角形. 故选：D 第 5 页 共 13 页 【点睛】 本题主要考查了由正弦定理判断三角形的形状，属于基础题. 10在在ABC中，若中，若7a，3b，8c ，则其面积等于（，则其面积等于（ ） A6 3 B 21 2 C28 D12 【答案【答案】A 【解析】【解析】先由余弦定理求出一个角的
10、余弦值，得其正弦值，再有in 1 2 sSabC求面积. 已知三角形的三边，也可以直接由海伦-秦九韶公式()()()Sp pa pb pc求面 积. 【详解】 方法一：由余弦定理，得 222222 7381 cos 22 7 37 abc C ab ， 所以 2 4 3 sin1 sin 7 CA. 所以 114 3 sin7 36 3 227 SabC . 故选 A. 方法二：海伦-秦九韶公式()()()Sp pa pb pc，其中9 2 abc p ， 所以9 (9 7) (9 3) (9 8)=6 3S . 故选 A. 【点睛】 本题考查已知三角形的三边求面积，可由余弦定理和in 1 2
11、 sSabC，或 ()()()Sp pa pb pc(其中 2 abc p )求面积. 11在在ABC中，角中，角 A、B、C的对边分别为的对边分别为a、 、b、c，若，若 222 ()tan3acbBac， 则角则角 B的值为（的值为（ ） A 6 B 3 C 6 或或 5 6 D 3 或或 2 3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】先根据余弦定理进行化简，进而得到sinB的值，再由正弦函数的性质可得到 最后答案 第 6 页 共 13 页 【详解】 解： 222 ()tan3acbBac， 由余弦定理可得 222 cos 2 acb B ac 3 costansin 2 BBB 3 B 或
12、 2 3 故选：D 【点睛】 本题主要考查余弦定理的应用考查计算能力，属于基础题 12如图：如图：D， C，B 三点在地面同一直线上，三点在地面同一直线上，DC a，从，从 C，D 两点测得两点测得 A 点仰角分点仰角分 别是别是，()，则，则 A 点离地面的高度点离地面的高度 AB 等于等于( ) A sinsin sin() a B sinsin cos() a C sincos sin() a D cossin cos() a 【答案】【答案】A 【解析】【解析】试题分析：在ADC中，由正弦定理得 sin sinsin()sin() ACDCa AC ，在ABC中， sinsin sin
13、 sin() a ABAC ，选 A. 【考点】 正弦定理的应用. 二、填空题二、填空题 13已知等差数列已知等差数列 n a中，中， 3 9a ， 9 3a ，则公差，则公差d的值为的值为_. 【答案】【答案】1 第 7 页 共 13 页 【解析】【解析】由等差数列的通项公式列方程组，解方程组即可得公差d的值. 【详解】 由题意知 31 91 29 83 aad aad ，解得： 1 11 1 a d ， 所以公差d的值1 故答案为：1 【点睛】 本题主要考查了由等差数列通项公式求基本量，属于基础题. 14如图关于星星的图案构成一个数列，该数列的第如图关于星星的图案构成一个数列，该数列的第
14、20 个图案有 个图案有_. 【答案】【答案】210 【解析】【解析】 观察图案找规律，1n 时， 有1个，2n时， 有12个，3n时， 有1 2 3 个， ，20n时，有1 2 320 个，即可得出答案. 【详解】 观察数列中的星星构成的规律： 当1n 时，有1个， 当2n时，有12个， 当3n时，有1 2 3 个， 所以当20n时，有 20 1 20 1 2320210 2 个， 故答案为：210 【点睛】 本题主要考查了数列的递推与求数列中的项，属于基础题 15已知数列已知数列 n a满足满足 1 1a ， 1nn aan （n + N） ，则数列） ，则数列 n a的通项公式为的通项公
15、式为 _ . 【答案】【答案】 2 2 () 2 n nn anN . 【解析】【解析】利用累加法，根据递推公式直接求数列通项即可. 【详解】 1nn aan ， 1 1a ， 第 8 页 共 13 页 1 1 nn aan ， 12 2 nn aan ， 21 1aa， 上述等式累加可得， 2 1 1 112 1 211 22 n nnnn aan ， 又 1 1a ，满足上式， 所以 2 2 () 2 n nn anN . 【点睛】 本题考查已知数列递推公式求通项公式，考查累加法的应用，考查等差数列求和，难度 不大. 16设锐角三角形设锐角三角形ABC的内角的内角 , ,A B C所对的边
16、分别为 所对的边分别为, ,a b c，2 sinabA，则，则 cossinAC的取值范围为的取值范围为_ 【答案】【答案】 3 3 (,) 22 【解析】【解析】 由正弦定理及2 sinabA有 1 sin,0, 226 BBB ， 所以 5 6 AC , 则 533 cossincossin()sincos3sin() 6223 ACAAAAA ， 由已知 有 5 0,0 262 AA ，所以 3 3 , 3sin()(, ) 32322 AA 点睛：本题主要考查了正弦定理，两角差正弦公式以及两角和正弦公式的逆用，属于中 档题本题关键是灵活运用这些公式 三、解答题三、解答题 17数列数列
17、 n a中，中， 2 54 n ann . （1）18是数列中的第几项？是数列中的第几项？ （2）n为何值时，为何值时， n a有最小值？并求最小值有最小值？并求最小值. 【答案】【答案】 （1）第7项； （2）2n或3n时，最小值为2 第 9 页 共 13 页 【解析】【解析】 （1）令 2 5418 n ann且n N，解方程可得n的值. （2）利用二次函数的单调性和最值可得 n a有最小值以及对应的n的值. 【详解】 令 2 5418 n ann，即 2 5140nn， 解得：7n或2n（舍） （2）由 2 54 n ann，因为 2 54yxx，开口向上，对称轴 5 2 x 所以2n或
18、3n时， n a有最小值为 2 2 25 242a . 【点睛】 本题主要考查了判断数列中的项，以及求数列的最小项，属于基础题. 18已知下列数列已知下列数列 n a的前的前n项和项和 n S，分别求它们的通项公式，分别求它们的通项公式 n a . （1） 2 23 n Snn； （2）31 n n S . 【答案】【答案】 （1）41 n an； （2） 1 4,1 2 3,2 n n n a n 【解析】【解析】 （1）1n 时， 11 5aS；2n时， 1nnn aSS ，再检验 1 a是否满足 n a 即可. （2）1n 时， 11 4aS；2n时， 1nnn aSS ，再检验 1 a
19、是否满足 n a即可. 【详解】 （1）当1n 时， 11 5aS， 当2n时， 1 2 2 23213411 nnn nnnnaSSn ， 经检验 1 5a 满足41 n an，所以41 n an， （2）当1n 时， 11 4aS； 当2n时， 11 1 31312 3 nnn nnn aSS ， 经检验 1 4a 不满足 1 2 3n n a ， 所以 1 4,1 2 3,2 n n n a n ， 【点睛】 第 10 页 共 13 页 本题主要考查了已知 n S求 n a，注意分1n 和2n讨论，属于中档题. 19若数列若数列 n a满足满足 1 1a ， 1 nnn an aa，Nn
20、 ，求数列，求数列 n a通项公式通项公式. 【答案】【答案】 n an 【解析】【解析】将 1 nnn an aa化为 1 1 n n an an ，然后用累乘法即可求出数列 n a通项 公式. 【详解】 1nnn an aa ， 1 1 n n an an ， 324 1231 234 1231 n n aaaan aaaan ， 1 1 n an a = ， n an. 【点睛】 本题考查用累乘法求数列的通项公式，属于基础题. 20在在ABC中，中，5,3,sin2sinBCACCA . （）求）求AB的值；的值； （）求）求sin 2 4 A 的值的值 【答案】【答案】 （）2 5；
21、（） 2 10 . 【解析】【解析】 （）直接利用正弦定理可求AB的值； （）由余弦定理求得cosA，再利用 同角三角函数的关系求出sin A，由二倍角公式求出sin2A，cos2A，根据两角差的 正弦公式可求sin 2 4 A 的值 【详解】 （）在中，根据正弦定理， sinsin ABBC CA ， 于是sin22 5 sin BC ABCBC A （）在ABC中，根据余弦定理，得 222 cos 2 ABACBC A AB AC 第 11 页 共 13 页 于是 2 5 sin1 cos 5 AA， 从而 22 43 sin22sincos,cos2cossin 55 AAAAAA 2
22、sin 2sin2 coscos2 sin 44410 AAA 【点睛】 本题主要考查余弦定理、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三 角形的有力工具，其常见用法有以下几种： （1）知道两边和一边的对角，求另一边的对 角（一定要注意讨论钝角与锐角） ； （2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边； （3）证明化简过程中边角互化； （4）求三角形外接圆半径. 21在在ABC中，角中，角A、B、C所对的边分别为所对的边分别为a、 、b、c，且满足，且满足 (2)coscosacBbC . . （1 1）求角）求角B的大小；的大小； （2 2）若）若 7b ，4ac ，求，求AB
23、C的面积的面积S. . 【答案】【答案】(1) 60B (2) 3 3 4 S 【解析】【解析】 【详解】 分析：（1）由2coscosacBbC，利用正弦定理可得 2sinsincossincosACBBC，结合两角和的正弦公式以及诱导公式可得 1 cos 2 B ；从而可得结果；（2）由余弦定理可得 2 2 222 2 cos 22 acacbacb B acac 可得3ac ， 所以 13 3 sin 24 SacB . 详解： (1)2sinsincossincosACBBC 2sincossincossincosABBCCB 2sincossinsinABBCA 1 cos 2 B
24、60B （2） 2 2 222 2 cos 22 acacbacb B acac 第 12 页 共 13 页 3ac 13 3 sin 24 SacB 点睛：解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更 方便、简捷如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的 式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要 考虑两个定理都有可能用到 22甲船在甲船在A处观察处观察到乙船在它的北偏东到乙船在它的北偏东60方向的 方向的B处，两船相距处，两船相距a海里，乙船正向海里，乙船正向 北行驶，若甲船是乙船速度的北行驶，若甲船是乙船速
25、度的 3倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上 倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上 乙船？此时乙船行驶多少海里乙船？此时乙船行驶多少海里. 【答案】【答案】甲船沿着北偏东30方向前进才能尽快追到乙船，相遇时乙船已经行驶了a海 里 【解析】【解析】由题意及方位角的定义画出简图，设到C点甲船追上乙船，乙到C点用的时 间为t，乙船速度为v，则BCtv，3ACtv，120B ，在三角形中利用正弦定 理和余弦定理即可求解. 【详解】 如图： 设到C点甲船追上乙船，乙到C点用的时间为t，乙船速度为v，则BCtv， 3ACtv ，120B ， 由正弦定理可知： sinsin BCAC CABB ，即 13 sinsin120CAB ， 所以 1 sin 2 CAB， 30CAB， 所以30ACB， 第 13 页 共 13 页 可得BCABa ， 在ABC中，由余弦定理可得 222 2cos120ACABBCAB BC 2222 1 23 2 aaaa ， 所以3ACa ，BCa. 所以甲船沿着北偏东30方向前进才能尽快追到乙船，相遇时乙船已经行驶了a海里. 【点睛】 本题主要考查了正弦、余弦定理的应用，涉及方向角，属于基础题.
