1、第 1 页 共 20 页 2019-2020 学年福建省龙岩市一级达标校高一下学期期末质学年福建省龙岩市一级达标校高一下学期期末质 检数学试题检数学试题 一、单选题一、单选题 1下列命题正确的是（下列命题正确的是（ ） A若若ab，则，则acbc B若若ab，cd，则，则acbd C若若0ab，a b，则，则 11 ab D若若ab，cd，则，则 ab cd 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据每个选项的条件取特殊值或利用不等式的基本性质判断即可 【详解】 对A取0c =，则acbc不成立，故A错误； 对B当0ab，0dc时，acbd不成立，故B错误； 对C0ab ，ab， 11 ab a
2、bab ， 11 ba ，故C正确； 对D根据ab，cd，取0c =，则 ab cd 不成立，故C错误 故选：C 【点睛】 本题考查不等式的基本性质，属基础题 2在在ABC 中，已知中，已知bc，sin3sinAB= ，则，则 A 等于等于( ) A 6 B 4 C 3 D 2 3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】由正弦定理可得3ab=，利用余弦定理表示出cosA，即可求出角A 【详解】 由正弦定理可得sin3sin3ABab， 由余弦定理可得： 222 cos 2 bca A bc ， bc，3ab=， 22 2 231 cos 22 bb A b ， 第 2 页 共 20 页 又在AB
3、C中，(0, )A， 2 3 A ， 故答案选 D 【点睛】 本题考查利用正弦定理进行边角互化以及余弦定理的简单应用，属于基础题 3记记 n S为等比数列为等比数列 n a的前的前n项和，若项和，若 1 1 3 a ， 2 46 aa，则，则 3 S （ ） A 13 27 B 11 3 C4 D 13 3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据 2 46 aa求出公比，再把首项和公比代入等比数列求和公式即可. 【详解】 设等比数列 n a的公比为q，则0q ，由 1 1 3 a ， 得 3 3 41 3 q aa q， 5 5 61 3 q aa q， 因为 2 46 aa，所以 2 35
4、 33 qq ，整理得 5( 3)0q q，由 0q 得3q ， 所以 3 1 3 (1)13 13 aq S q . 故选：D. 【点睛】 本题主要考查等比数列的通项公式与等比数列求和公式. 4在梯形在梯形ABCD中，中，4 ABDC ，则，则BC等于（等于（ ） A 13 44 ABAD B 3 4 ABAD C 3 4 ABAD D 35 44 ABAD 【答案】【答案】B 【解析】【解析】利用平面向量的加法法则可得出BC BAADDC ，由此可得出BC关于 AB、AD的表达式. 【详解】 如下图所示： 第 3 页 共 20 页 13 44 BCBAADDCABADABABAD . 故选
5、：B. 【点睛】 本题考查利用基底表示平面向量，考查计算能力，属于基础题. 5如图，在长方体如图，在长方体 1111 ABCDABC D中，底面中，底面ABCD为正方形，为正方形， 1 3 AA AB ，则异，则异 面直面直线线 1 BC与与 1 DC所成角的余弦值为（所成角的余弦值为（ ） A 1 2 B 3 5 C 3 4 D 2 2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】连结 1 AB， 11 AC，由 11 / /ABDC，得到 11 ABC是异面直线 1 BC与 1 DC所成 角，然后利用余弦定理能求出异面直线 1 BC与 1 DC所成角的余弦值 【详解】 解：在长方体 1111 AB
6、CDABC D中，底面ABCD为正方形， 1 3 AA AB ， 连结 1 AB， 11 AC，则 11 / /ABDC， 11 132BCAB， 11 1 12AC ， 11 ABC异面直线 1 BC与 1 DC所成角， 11 4423 cos 2224 ABC 则异面直线 1 BC与 1 DC所成角的余弦值为 3 4 第 4 页 共 20 页 故选：C 【点睛】 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面的关系、余弦定理等 基础知识，考查运算求解能力，是基础题 6若一个几何体的三视图如图所示，其俯视图为正三角形，则这个三若一个几何体的三视图如图所示，其俯视图为正三角形，则这
7、个三棱柱的体积为 棱柱的体积为 （ ） A12 3 B18 3 C27 3 D36 3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】首先根据题中所给的几何体的三视图，可以判断其为正三棱柱，根据数据求得 底面边长和棱柱的高，利用柱体体积公式求得结果. 【详解】 由三视图可知这个几何体为正三棱柱， 底面正三角形的高为3 3，则 2 2 2 3 3 2 a a ， 解得底面正三角形的边长为6a， 第 5 页 共 20 页 正三棱柱的高为 4，所以所求几何体的体积为 2 3 6436 3 4 VSh 故选：D. 【点睛】 该题考查的是有关几何体的问题，涉及到的知识点有几何体的三视图，根据三视图求几 何体的体积
8、，属于基础题目. 7 设设m，n是两条不同的直线，是两条不同的直线， ，是两个不同的平面， 下列命题中正确的是 （是两个不同的平面， 下列命题中正确的是 （ ） A若若mn，/n，则，则m B若若 / /m， ，则，则m C若若m，mn，则，则/n D 若若m ，n，n， 则， 则m 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得 结果. 【详解】 对于 A，当m为内与n垂直的直线时，不满足m，A错误； 对于 B，设l，则当m为内与l平行的直线时，/m，但m，B错误； 对于 C，还有一种可能就是n，C错误. 对于 D，由m，n知：/m
9、n，又n，m，D 正确； 故选：D. 【点睛】 本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相 关定理的掌握情况，属于基础题. 8两个正实数两个正实数a，b满足满足3a， 1 2 ，b成等差数列，则不等式成等差数列，则不等式 2 13 4mm ab 恒成立恒成立 时实数时实数m的取值范围是（的取值范围是（ ） A4,3 B 2,6 C6,2 D3,4 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由题意利用等差数列的定义和性质求得13ab，再利用基本不等式求得 1 12 ab ，根据题意， 2 412mm，由此求得m的范围 【详解】 解：两个正实数a，b满足3a， 1 2
10、，b成等差数列， 第 6 页 共 20 页 13ab ， 1 2 3ab ， 1 12 ab， 1 12 ab 不等式 2 13 4mm ab 恒成立，即 2 3 4 ab mm ab 恒成立， 即 2 1 4mm ab 恒成立 2 412mm，求得62m 剟， 故选：C 【点睛】 本题主要考查等差数列的定义和性质，不等式的恒成立问题，基本不等式的应用，属于 基础题 9在平面直角坐标系中，向量在平面直角坐标系中，向量 1,0n ，将向量，将向量n绕原点绕原点O按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转 3 后得后得 到向量到向量m，若向量，若向量a满足满足1amn，则，则a r 的最大值是（的最大值是（
11、 ） A31 B31 C3 D61 【答案】【答案】A 【解析】【解析】先算出 13 , 22 m ，设,ax y r ，由1a m n确定, x y的轨迹，则 a r 的最大值可求. 【详解】 解：显然 13 , 22 m ，设,ax y r ， 33 , 22 amnxy ， 由1amn， 所以 2 2 33 +=1 22 xy ，表示以 33 , 22 为圆心，半径为 1 的圆， 22 =axy r 表示, x y到0,0的距离， 所以a r 的最大值是 2 2 33 +1= 3+1 22 . 故选：A 【点睛】 考查向量的运算以及向量模的几何意义，基础题. 10四棱锥四棱锥PABCD的
12、底面的底面ABCD为正方形，平面为正方形，平面PAB 平面 平面ABCD， PAB 是是 边长为边长为2 3的等边三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（的等边三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（ ） 第 7 页 共 20 页 A36 B28 C24 D12 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由平面PAB 平面ABCD，可推得以 12 ,EO EO为邻边的矩形的另一顶点设 为O是四棱锥PABCD外接球的球心，利用勾股定理求出球的半径，代入球的表面 积公式可得答案 【详解】 连,AC BD交于 1 O，设AB中点E，连PE，则PE 面ABCD，设 2 O是 PAB 的 中心，且 2 1 3 EOP
13、E，则以 12 ,EO EO为邻边的矩形的另一顶点设为O，则O是四棱 锥PABCD外接球的球心 PAB 边长为2 3 3,PE 2 1O E， 1 3OE ， 2OE，设外接球半径为R 则 2222 2( 3)7ROBOEBE 2 428SR 球表 故选：B 【点睛】 本题考查四棱锥外接球的半径与棱长的关系，球的表面积公式的应用，属于中档题 二、多选题二、多选题 11等差数列等差数列 n a的前的前n项和为项和为 n S， 138 5aaS，则下列结论一定正确的是（，则下列结论一定正确的是（ ） A 10 0a B当当9n 或或 10 时，时， n S取最大值取最大值 C 911 aa D 6
14、13 SS 【答案】【答案】AD 第 8 页 共 20 页 【解析】【解析】由 138 5aaS求出 10 0a，即 1 9ad ，由此表示出 9 a、 11 a、 6 S、 13 S， 可判断 C、D 两选项；当0d 时， 1 0a ， n S有最小值，故 B 错误. 【详解】 解： 138 5aaS， 111110 8 7 5108,90,0 2 d aadaada ，故正确 A. 由 1 90ad，当0d 时， 1 0a ， n S有最小值，故 B 错误. 9101110 ,aaddaadd，所以 911 aa，故 C 错误. 61 6 5 6+541539 2 d Saddd ， 13
15、1 13 12 13 +1177839 2 d Saddd ，故 D正确. 故选：AD 【点睛】 考查等差数列的有关量的计算以及性质，基础题. 12如图，如图，ABC的内角的内角A，B，C所对所对的边分别为的边分别为a， ，b，c若若ab，且，且 3coscos2 sinaCcAbB，D是是ABC外一点，外一点，1DC ，3DA，则下列，则下列 说法正确的是（说法正确的是（ ） AABC是等边三角形是等边三角形 B若若2 3AC ，则，则A，B，C，D四点共圆 四点共圆 C四边形四边形ABCD面积最大值为面积最大值为 5 3 3 2 D四边形四边形ABCD面积最小值为面积最小值为 5 3 3
16、2 【答案】【答案】AC 【解析】【解析】 利用三角函数恒等变换化简已知等式可求sinB， 再利用ab， 可知ABC为 等边三角形，从而判断A；利用四点A，B，C，D共圆，四边形对角互补，从而判 断B；设ACx，0 x，在ADC中，由余弦定理可得 2 106cosxD，利用三角 形的面积公式，三角函数恒等变换的，可求 ABCD S四边形 ，利用正弦函数的性质，求出最 第 9 页 共 20 页 值，判断CD 【详解】 由正弦定理2 sin,2 sin,2 sinaRA bRB cRC， 得3 (sincossincos)2sinsinACCABB， 3 32sin,sin 2 BB， ab，B是
17、等腰ABC的底角，(0,) 2 B ， , 3 BABC 是等边三角形，A正确； B 不正确：若, , ,A B C D四点共圆，则四边形对角互补， 由 A 正确知 21 ,cos 32 DD ， 但由于1,3,2 3DCDAAC时， 222222 13(2 3)11 cos 22 1 332 DCDAAC D DA DC ， B不正确 C正确，D 不正确： 设D，则 222 2cos106cosACDCDADC DA， 35 33 3 (106cos )cos 422 ABC S ， 3 sin 2 ADC S ， 33 35 3 sincos 222 ABCADCABCD SSS 四边形
18、， 135 3 3(sincos) 222 ， 5 3 3sin() 32 ， 3 (0, ),sin()(,1 32 ， 5 3 33 2 ABCD S 四边形 ，C正确，D 不正确； 第 10 页 共 20 页 故选：AC. 【点睛】 本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在解三 角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题 三、填空题三、填空题 13若向量若向量1,2a ，, 1bmm，且，且a b，则实数，则实数m的值为的值为_ 【答案】【答案】 2 3 【解析】【解析】根据a b 即可得出0a b ，进行向量坐标的数量积运算即可求出m的值 【详
19、解】 解： ab ， 2(1)0a bmm，解得 2 3 m 故答案为： 2 3 【点睛】 本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，考查计算能力，属于基础题 14如图，研究性学习小组的同学为了估测古塔如图，研究性学习小组的同学为了估测古塔CD的高度，在塔底 的高度，在塔底D和和A，B（与（与 塔底塔底D同一水平面）处进行测量，在点同一水平面）处进行测量，在点A，B处测得塔顶处测得塔顶C的仰角分别为的仰角分别为45和和30， 且且A，B两点相距两点相距12 7m，150ADB，则古塔，则古塔CD的高度为的高度为_m 【答案】【答案】12 【解析】【解析】设CDh，用h表示出,AD BD
20、，在ABD中，由余弦定理列方程求出h 【详解】 由题意知：CD平面 ,45 ,30 ,150 ,12 7 ,ABDDACDBCADBABm 第 11 页 共 20 页 设CDh，则,33ADCDh BDCDh， 在ABD中，由余弦定理得： 222 2cosABADBDAD BDADB 即 2 222 12 733hhh，解得12hm 故答案为：12 【点睛】 此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键， 属于中档题 15锐角锐角ABC的内角的内角A，B，C所对的边分别为所对的边分别为a， ，b，c，且，且1 2coscaB， 则则 b a 的取值范围是的取值范围
21、是_ 【答案】【答案】23()， 【解【解析】析】利用正弦定理和两角和的正弦公式得出角A，B的关系，由ABC为锐角三 角形得到角A的范围，进而利用二倍角公式得出 b a 的取值范围 【详解】 由已知sinsin()sin(12cos)CABAB sincoscossinsin2sincosABABAAB 得sin()sinBAA BAA，即2BA ABC为锐角三角形 2,3 22 BACABA 23 ,cos(,) 6422 AA sin2sincos 2cos( 2, 3) sinsin bBAA A aAA 故答案为：23()， 【点睛】 本题考查正弦定理的应用， 考查两角和与差的正弦公式
22、， 考查二倍角公式， 属于中档题 四、双空题四、双空题 16两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在 沙滩上画点或用小石子来表示数， 按照点或小石子能排列的形状对数进行分类， 如图中沙滩上画点或用小石子来表示数， 按照点或小石子能排列的形状对数进行分类， 如图中 第 12 页 共 20 页 的实心点个数的实心点个数 1，5，12，22，被称为五角形数，其中第，被称为五角形数，其中第 1 个五角形数记作个五角形数记作 1 1a ， 第第 2 个五角形数记作个五角形数记作 2 5a ，第，第 3
23、 个五角形数记作个五角形数记作 3 12a ，第，第 4 个五角形数记作个五角形数记作 4 22a ，若按此规律继续下去，得到数列，若按此规律继续下去，得到数列 n a，则，则 5 a _；对；对 * nN， n a _ 【答案】【答案】35 2 3 2 n nn a 【解析】【解析】仔细观察法各个图形中实心点的个数，找到个数之间的通项公式，再求第 5个 五角星的中实心点的个数 【详解】 解：第一个有 1 个实心点， 第二个有1 1 315 个实心点， 第三个有1 1 3123112 个实心点， 第四个有1 1 312313 3122 个实心点， 第n个有 2 3 (1)3 1 1 3 12
24、3 13 3 13(1)1 22 n nnn nn 个实心 点，即 2 3 2 n nn a 故当5n时， 2 5 3 35 2 nn a 个实心点 故答案为：35， 2 3 2 nn 【点睛】 本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察每个图形并从中找到通项公式 五、解答题五、解答题 17 如图， 在四棱锥如图， 在四棱锥PABCD中， 底面中， 底面ABCD为菱形， 为菱形，PC 平面平面ABCD，E为为PD 的中点的中点 第 13 页 共 20 页 （1）证明：）证明：/PB平面平面AEC； （2）证明：平面）证明：平面PBD 平面平面PAC 【答案】【答案】 （1）证明见解析；
25、（2）证明见解析 【解析】【解析】 （1）设BD与AC的交点为O，连接EO，要证明/PB平面AEC，只需要 证明/EOPB； （2）要证明平面PBD 平面PAC，只需要证明BD 平面PAC，将证明面面垂直 转化为证明线面垂直； 【详解】 （1）设BD与AC的交点为O，连接EO 底面ABCD为菱形，O为BD的中点 又E为PD的中点，/EOPB 又EO平面AEC，PB 平面AEC， / /PB平面AEC （2）底面ABCD为菱形，BDAC， 又PC 平面ABCD，PCBD， 又PCACC，BD平面PAC， 又BD 平面PBD，平面PBD 平面PAC 【点睛】 本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查
26、空间线面、面面间的位置关系判定定理、性 质定理等知识，是中档题，解题中需要能熟练应用判定、性质定理 18ABC的内角的内角A，B，C所对的边分别为所对的边分别为a， ，b，c，若，若 2 C ，且，且 第 14 页 共 20 页 4sincos sin BC CA CB A （1）求）求a的值；的值； （2）若角）若角B，A，C成等差数列，求成等差数列，求ABC周长的最大值周长的最大值 【答案】【答案】 （1）2； （2）6 【解析】【解析】 （1）由向量数量积的定义及正弦定理易求a的值. （2）先求出 3 A ，由余弦定理以及基本不等式易求ABC周长的最大值 【详解】 解;（1）由已知及正弦
27、定理得， 4cos cos bC b aC a ， 又 2 C ，即cos0C ，则 2 4a ，2a （2）+B A C，角, ,B A C成等差数列，则 3 A ， 又 222 2cosabcbcA， 则 2 2 222 () ()3()3 24 bcbc abcbcbc ， 又2a，故4b c ，+6a bc ，ABC周长的最大值为 6， 当且仅当2bc时等号成立 【点睛】 考查正余弦定理、向量数量积的定义以及基本不等式求最值，中档题. 19已知关于已知关于x的不等式的不等式 2 430axx的解集为的解集为 |1xxb （1）求）求a，b的值；的值； （2）求关于）求关于x的不等式的不
28、等式 2 0axacb xbc的解集的解集 【答案】【答案】 （1） 1 3 a b ； （2）分类讨论，答案见解析 【解析】【解析】 （1）根据题意利用根与系数的关系列方程求出a、b的值； （2）不等式化为 2 (3)30 xcxc，求出对应方程的解，利用分类讨论写出不等 式的解集 【详解】 （1）由题意知：0a且b和1是方程 2 430axx的两根， 第 15 页 共 20 页 由根与系数的关系有 4 1 3 1 b a b a ， 解得 1 3 a b （2）不等式 2 ()0axacb xbc可化为 2 (3)30 xcxc， 即(3)()0 xxc 其对应方程的两根为 1 3x ，
29、2 xc 当3c 即3c时，原不等式的解集为 |3xxc ； 当3c 即3c 时，原不等式的解集为 |3xcx ； 当3c 即3c 时，原不等式的解集为； 综上所述：当3c时，原不等式的解集为 |3xxc ； 当3c 时，原不等式的解集为 |3xcx ； 当3c 时，原不等式的解集为； 【点睛】 本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，考查运算求解能力，求解时注意进行分类 讨论 20某制造商为拓展业务，计划引进一设备生产一种新型体育器材通过市场分析，每某制造商为拓展业务，计划引进一设备生产一种新型体育器材通过市场分析，每 月需投入固定成本月需投入固定成本 3000 元，生产元，生产x台需另投入
30、成本台需另投入成本 C x元，且元，且 2 10400 ,030 ( ) 10000 8049000,30 xxx C x xx x ，若每台售价，若每台售价 800 元，且当月生产的体育器材该元，且当月生产的体育器材该 月内能全部售完月内能全部售完 （1）求制造商由该设备所获的月利润）求制造商由该设备所获的月利润 L x关于月产量关于月产量x台的函数关系式； （利润销台的函数关系式； （利润销 售额成本）售额成本） （2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润 【答案】【答案】 （1） 2 1
31、04003000,030 ( ) 10000 6000(4),30 xxx L x xx x ； （2）当月产量50 x时，获 第 16 页 共 20 页 得增加的利润最大，且增加的最大利润为 5600元 【解析】【解析】 （1）分030 x和30 x时两种情况，利用利润销售额成本列式即可； （2）利用二次函数求030 x时的最大值，利用基本不等式求30 x时的最大值， 取最大即可. 【详解】 （1）当030 x时， 22 ( )800104003000104003000L xxxxxx ； 当30 x时， 1000010000 ( )800804900030006000(4)L xxxx x
32、x 2 104003000,030 ( ) 10000 6000(4),30 xxx L x xx x （2）当030 x时， 2 ( )10(20)1000L xx ， 当 20 x=时， max ( )(20)1000L xL 当30 x时， 1000010000 ( )6000(4)60002 45600L xxx xx ， 当且仅当 10000 4x x ，即50 x时， max ( )(50)56001000L xL 当 50 x时，获得增加的利润最大，且增加的最大利润为 5600元 【点睛】 本题主要考查了分段函数的实际应用，涉及二次函数求最值和基本不等式求最值，属于 基础题. 2
33、1如图，在三棱锥如图，在三棱锥PABC中，平面中，平面PAC 平面 平面ABC，侧面，侧面PAC为等边三角形，为等边三角形， 90ABC，ABBC，4AC （1）证明：）证明：PBAC； 第 17 页 共 20 页 （2）若）若M，N是线段是线段AC上的动点，且上的动点，且30MBN ，设，设ABM，求三棱锥，求三棱锥 PMBN体积关于体积关于的函数表达式并求体积取最小值时的函数表达式并求体积取最小值时的值的值 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2） 1 31 sin 230 42 2 3 3 V ；当30时，三 棱锥PMBN的体积有最小值 【解析】【解析】（1） 利用等边三角形的特征，
34、 结合线面平行的判定定理， 得到AC 平面POB， 进而证得PBAC； （2）利用三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，求得其体积为 1 31 sin 230 42 2 3 = 3 V ，结合三角函数的性质求得最值，得到结果. 【详解】 （1）证明：AC的中点O，连接,PO BO， PAC为等边三角形，O为AC的中点， PO AC，同理BOAC， 又=OBOPO，AC 平面POB PB AC （2）由（1）知POAC 又平面PAC 平面ABC， 平面PAC平面,ABCAC PO平面PAC， PO平面ABC PO是三棱锥P ABC的高，易得2 3PO ， ABM，060， 在ABM中，由正弦定理得
35、 sin452 sin 45sin 45 AB BM ， 同理 2 sin 75 BN ， 故 1 sin 2 BMN SBMBNMBN 1 sin 45sin 4530 第 18 页 共 20 页 1 31 sin 45sin 45cos 45 22 1 331 sin2cos2 444 1 31 sin 230 42 三棱锥P MBN的体积 11 3131 sin 230sin 230 4242 12 3 2 3= 33 V 060，30230150， 当 30时，sin 230的最大值为1， 此时三棱锥PMBN的体积有最小值且最小值为 2 3116 3 8 3331 42 ， 当 30时
36、，三棱锥PMBN的体积有最小值 【点睛】 该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有由线面垂直证明线线垂直，棱锥 的体积最值的求解，属于简单题目. 22已知数列已知数列 n a的前的前n项和为项和为 2* 4 n Snn nN （1）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； （2）令）令 3 n n n a b ，求数列，求数列 n b的的前前n项和项和 n T； （3）若数列）若数列 n c满足满足 1nnn cca ，且不等式，且不等式 2 20 n cn对任意的对任意的 * nN都成立，都成立， 第 19 页 共 20 页 求求 1 c的取值范围的取值范围 【答案】【答案】
37、（1）23 n an； （2） 3 =3 3 n n T n ； （3）2,13 【解析】【解析】 （1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式 （2）利用（1）的应用，利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和 （3）利用分类讨论思想的应用和恒成立问题的应用，求出 1 c的取值范围 【详解】 解： （1）数列 n a的前n项和为 2 4 n Snn， 当2n时， 2 1 (1)4(1) n Snn ， 得23 n an 当1n 时， 1 5a （首项符合通项） ， 所以23 n an （2）因为 23 33 n n nn an b ， 则 2 5723 333 n n n T ， 231 1
38、5723 3333 n n n T ， 得 231 2522223 333333 n nn n T ， 整理得 3 3 3 n n n T （3）由（1）知，当2n时， 1 2(1)3 nn ccn ， 又 1 23 nn ccn ， 两式相减得 11 2 nn cc ， 所以数列 2 n c是以 2 c为首项，公差为 2 的等差数列， 数列 21 n c 是以 1 c为首项，公差为 2 的等差数列 12 5cc，所以 21 5cc， 当n为偶数时， 21 2 (1)3 2 n n ccnc ； 当n为奇数时， 11 1 2 (1)1 2 n n ccnc 第 20 页 共 20 页 所以 1 1 1 3 n ncn c ncn 为奇数 为偶数 因为对任意的nN 都有 2 20 n cn成立， 当n为奇数时， 22 1 2120 n cnncn 恒成立， 所以 2 1 21cnn在n为奇数时恒成立， 所以 1 2c ，即 1 2c； 同理当n为偶数时， 22 1 2320 n cnncn 恒成立， 2 1 23cnn在n为偶数时恒成立， 所以 1 13c 综上所述， 1 c的取值范围是 2，13 【点睛】 本题考查的知识要点：数列的通项公式，乘公比错位相减法的求和，恒成立的问题，主 要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型
