1、第 1 页 共 15 页 2019-2020 学年安徽省滁州市定远县重点中学高一下学期期学年安徽省滁州市定远县重点中学高一下学期期 中数学试题中数学试题 一、单选题一、单选题 1在在ABC中，若中，若 222 bcabc 则则A ( ) A90 B150 C135 D60 【答案】答案】D 【解析】【解析】利用余弦定理可求A. 【详解】 因为 222 1 cos 22 bca A bc ，而0,A，所以 3 A ， 故选 D. 【点睛】 在解三角形中， 如果题设条件是关于边的二次形式， 我们可以利用余弦定理化简该条件， 如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式， 那么我们可以利用正
2、弦定 理化简该条件. 2如图，在杨辉三角形中，斜线如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方从的上方从 1 按箭头所示方向可以构成一个按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形锯齿形” 的数列：的数列： 1,3,3,4,6,5,10,.，记此数列的前，记此数列的前n项之和为项之和为 n S，则，则 21 S的值为（的值为（ ） A66 B153 C295 D361 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 试题分析： 观察杨辉三角结合其中数的来源， 可得到这个数列的通项公式. n a当 n为偶数时， 4 2 n n a ；当n为奇数时， 021232 223355 1,3,6,CCCCCC, 所以 2 3 2 1
3、3 8 nn nn aC ，所以 第 2 页 共 15 页 21 S 2222 1352124620 1 246222 2462275 8 aaaaaaaa 1 22 4 2311 247528675361 8 ，故选 D. 【考点】归纳推理与数列求和. 3 如图，如图，ADC是等边三角形，是等边三角形，ABC是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形，90ACB，BD与与AC 交于交于 E点点. .若若2AB ，则，则AE的长为（的长为（ ） A62 B 1 ( 62) 2 C 62 D 1 ( 62) 2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由条件求得BCD150，CBE15，故ABE30，可得
4、AEB 105计算 sin105，代入正弦定理 sin30sin105 AEAB ，化简求得 AE 62 【详解】 由题意可得，ACBCCDDA 2 ，BAC45，BCDACB+ACD 90+60150又BCD 为等腰三角形，CBE15，故ABE4515 30，故BEC75，AEB105 再由 sin105sin（60+45）sin60cos45+cos60sin45 62 4 ， ABE 中，由正弦定理可得 sin30sin105 AEAB ， 2 1 62 2 4 AE ，AE 62 ） ， 故选: A 【点睛】 本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题 4 等差数列
5、等差数列 n a的前的前 n项和为项和为 n S， 已知， 已知 12 10,aa为整数， 且为整数， 且 4n SS， 设， 设 1 1 n nn b a a ， 则数列则数列 n b的前项和的前项和 n T为（为（ ） 第 3 页 共 15 页 A 3 10(103 ) n n B 10(103 ) n n C 103 n n D 10(133 ) n n 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据已知条件求得 n a的通项公式，利用裂项求和法求得 n T. 【详解】 依题意等差数列 n a的前 n项和为 n S，已知 12 10,aa为整数，且 4n SS， 所以 41 51 030 04
6、0 aad aad ，即 10 30 10 40 d d ，解得 105 32 d ，由于 2 a为整数， 1 a为整数，所以d为整数，所以 3d . 所以 1 1313 n aandn. 所以 1 3113310 n ann ， 1 11111 3133103310313 n nn b a annnn ， 所以 1111111 371047310313 n T nn 103101111 331010310 10310 103 nn nnn . 故选：B 【点睛】 本小题主要考查裂项求和法，属于中档题. 5等差数列等差数列 n a的公差是的公差是 2，若，若 248 ,a a a成等比数列，则
7、成等比数列，则 n a的前的前 n项和项和 n S （ ） ） A( 1)n n B (1)n n C (1) 2 n n D (1) 2 n n 【答案】【答案】A 【解析】【解析】试题分析：由已知得， 2 428 aaa，又因为 n a是公差为 2 的等差数列，故 2 222 (2 )(6 )adaad， 2 2 (4)a 22 (12)aa，解得 2 4a ，所以 2 (2) n aand2n，故 1 () (1) 2 n n n aa Sn n 【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前 n 项和 第 4 页 共 15 页 6在等比数列在等比数列 n a中，若中，若 1
8、2345 31aaaaa， 23456 62aaaaa， 则通项则通项 n a等于（等于（ ） A 1 2n B2n C 1 2n D 2 2n 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 【详解】 设等比数列an的公比为 q， a1+a2+a3+a4+a5=31,a2+a3+a4+a5+a6=62， q=2， a1(1+q+q 2+q3+q4)=31， 则 a1=1， 故 an=2 n1. 故选 A. 7当当x，y满足不等式组满足不等式组 1 1 yx y xy 时，目标函数时，目标函数2txy最小值是（最小值是（ ） A- -4 4 B- -3 3 C3 3 D 3 2 【答案】【答案】B 【解
9、析】【解析】 【详解】 绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可得2txy在点 ( 1, 1)A 处取得最小值 min 2113t ， 本题选择 B选项. 点睛：求线性目标函数 zaxby(ab0)的最值，当 b0时，直线过可行域且在 y轴上 截距最大时，z值最大，在 y轴截距最小时，z值最小；当 b0时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y轴上截距最小时，z 值最大. 第 5 页 共 15 页 8已知等差数列已知等差数列 n a的前的前 n项和为项和为 n S，若，若 6 3 3 S S ，则，则 12 9 S S （ （ ） A 4 3 B 5 3
10、C2 D3 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由已知条件利用等差数列前 n项和公式推导出 a12d，由此能求出 12 9 S S 的值 【详解】 等差数列an的前 n项和为 Sn， 6 3 S S 3， 1 1 6 5 6 2 3 2 3 2 ad ad 3，整理，得 a12d， 1 121 91 1 12 11 12 12665 2 9 8 9363 9 2 ad Sad Sad ad 故选：B 【点睛】 本题考查等差数列的前 n项和比值的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的前 n项 和公式的合理运用 9等比数列等比数列 n a中，中， 38 5,2aa，则数列，则数列lg n a的前的
11、前 10 项和等于（项和等于（ ） A2 B5 C10 Dlg50 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由等比数列的性质和题意得：a1a2a10（a5a6）5105，由对数的运算求 出数列lgan的前 10 项和即可 【详解】 由题意得，等比数列an中，a35，a82， 所以 a3a8a5a610， 由等比数列的性质得，a1a2a10（a5a6）5105， 所以数列lgan的前 10项和 Slga1+lga2+lga10 lg（a1a2a10）lg1055， 故选：B 【点睛】 第 6 页 共 15 页 本题考查等比数列的性质的灵活应用，以及对数的运算，属于中档题 10关于关于x的不等式的不等
12、式 2 242axxax只有一个整数解，则只有一个整数解，则a的取值范围是（的取值范围是（ ） A 1 1 2 a B12a C12a D11a 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 2 2422120axa xxax， 当0a时，得 1 2 x ，不符合题意； 当0a时，且 2 12 a ，解得12a 故选 C 点睛：本题考查含参的函数零点问题由于参数位于二次项系数位置，所以在讨论的过 程中要分0,0,0aaa讨论，本题中由题意，只需讨论0,0aa即可，然后根 据结合题意，利用数轴分析解集区间，满足题意即可 11在在ABC中，角中，角 , ,A B C所对应的边分别为 所对应的边分别为, ,
13、a b c，sinsin()3sin2CABB. . 若若 3 C , ,则则 a b ( )( ) A3 3 或或 1 2 B3 3 或或 1 4 C3 3 D 1 2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】利用正弦定理、两角差的正弦公式、二倍角公式、三角形内角和定理化简 sinsin()3sin2CABB ，结合正弦定理，求得 a b 的值. 【详解】 由sinsin()3sin2CABB得 sinsin6sincosABABBB,2sincos6sincosABBB. 当cos0B 时， 2 B ，由于 3 C ，所以 6 A ，所以 sin1 sin2 aA bB . 当cos0B 时，
14、sin3sinAB，所以3 ,3 a ab b . 综上所述，本小题选 A. 【点睛】 本小题主要考查利用正弦定理解三角形，还考查了两角差的正弦公式、二倍角公式、三 角形内角和定理，考查了分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 第 7 页 共 15 页 12设正实数设正实数 , x y满足 满足1xy，则，则 14x xy 的最小值为的最小值为( )( ) A4 4 B5 5 C6 6 D 16 3 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 【详解】 因为正实数 , x y满足 1xy， 所以 1414 ,(01) 1 xx f xx xyxx ， 则 2222 14(1)(31) (1)(1) x
15、x fx xxxx ， 令 0fx ，解得 1 1 3 x，此时函数 f x单调递增； 令 0fx ，解得 1 0 3 x，此时函数 f x单调递减， 所以当 1 3 x 时，函数 f x取得最小值，此时最小值为 1 ( )5 3 f，故选 B. 【点睛】 本题主要考查了利用导数求解函数的最值问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数 的单调性，利用导数求解函数的最值的应用，本题的解答中根据题设条件构造新函数 14 ,(01) 1 x f xx xx ，利用导数研究出函数的单调性是解题关键. 二、填空题二、填空题 13已知已知0a，0b，且，且22ab，那么，那么 21 ab 的最小值为的最小值为
16、_ 【答案】【答案】4. 【解析】【解析】根据“1”的变形，运用均值不等式即可求解. 【详解】 0a，0b，且22ab, 1 (2 )1 2 ab 2112114 222 22 ba ab ababab 14 4 2 ba ab 14 424 2 b a ab 第 8 页 共 15 页 当且仅当 4ba ab ，即21ab时，等号成立 故答案为：4 【点睛】 本题主要考查了基本不等式的灵活运用，属于中档题. 14在在ABC中，内角中，内角 , ,A B C所对应的边分别为 所对应的边分别为, ,a b c，已知，已知 sin23 sinaBbA ， 若若 1 cos 3 A ，则，则sinC的
17、值为的值为_ 【答案】【答案】 2 61 6 【解析】【解析】由正弦定理得到 sin23 sinaBbA ， 2sinsincos3sinsinABBBA ，因为三角形内角的正弦 值都是大于 0的，故得到 3 cos, 2 B 12 2 sinsin()sincoscossin,cos,sin 33 CBABABAAA ， 1 sin 2 B ，代入表达式得到 2 61 6 故答案为 2 61 6 15已知等差数列已知等差数列 n a的前的前n项和为项和为 n S，若，若 3465 18aaaa，则，则 8 S _. 【答案】【答案】36 【解析】【解析】根据等差数列的性质求得 18 aa，由
18、此求得 8 S的值. 【详解】 由于数列 n a是等差数列，且 3465 18aaaa， 则 345618 218aaaaaa， 所以 18 9aa， 所以 18 8 9 8836 22 aa S . 故答案为：36 【点睛】 本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前n项和公式，属于基础题. 16今年冬天流感盛行，据医务室统计，北校近今年冬天流感盛行，据医务室统计，北校近 30 天每天因病请假人数依次构成数列 天每天因病请假人数依次构成数列 第 9 页 共 15 页 n a，已知，已知 1 1a ， 2 2a ，且，且 * 2 1 ( 1)n nn aanN ，则这，则这 30 天因病请假
19、的天因病请假的 人数共有人人数共有人_. . 【答案】【答案】255 【解析】【解析】根据题目所给递推关系找到数列 n a的规律，由此求得前30天的请假人数之 和 30 S. 【详解】 依题意 1 1a ， 2 2a ，且 * 2 1 ( 1)n nn aanN ， 所以 3131 1 101aaaa ， 424 1 124aaa ， 5353 1 101aaaa ， 646 1 126aaa ， 以此类推，数列 n a的奇数项均为1，偶数项是首项为2、公差为2的等差数列， 所以前30项的和 30 1 112430S 230 151515 16 15255 2 . 故答案为：255 【点睛】
20、本小题主要考查分组求和法，考查等差数列前n项和公式，属于中档题. 三、解答题三、解答题 17 在在 ABC中，角中，角A、B、C所对的边分别为所对的边分别为a、b、c，已知，已知 1 3,2,cos 3 abA （1）求）求sinB的值；的值； （2）求）求c的值的值. 【答案】【答案】 第 10 页 共 15 页 【解析】【解析】试题分析：本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查学生的 运算求解能力.（1）先根据 1 cos 3 A ，结合A的范围，计算出sin A的值；进而根据 正弦定理 sinsin ab AB ，从中求出sinB的值； （2）根据所给条件，结合余弦定理的变
21、形 222 cos 2 bca A bc ，将条件代入，即可求出c的值. 试题解析： （1）0A， 1 cos 3 A 2 2 2 sin1 cos 3 AA 2 分 由正弦定理得： sinsin ab AB 4 分 2 2 2 sin4 2 3 sin 39 bA B a 6 分 （2）3a ， 2b， 1 cos 3 A 222 1 23 bca bc 8 分 ，解得 12 分. 第 11 页 共 15 页 【考点】1.正弦定理；2.余弦定理. 18已知已知ABC的三个内角的三个内角 , ,A B C，满足，满足 sinsin sin coscos AB C AB . . （1）判断）判断
22、ABC的形状；的形状； （2）设三边）设三边, ,A B C成等差数列且成等差数列且 2 6cm ABC S，求，求ABC三边的长三边的长. . 【答案】【答案】 （1）ABC为直角三角形； （2）4cm,3cm,5cmbac. 【解析】【解析】 （1）利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，由此判断出ABC为直角三角 形. （2）利用已知条件列方程，解方程求得, ,a b c的值. 【详解】 （1）由已知等式变形得： sinsin coscos sin AB AB C ， 利用正弦余弦定理化简得： 222222 22 bcacabab bcacc ， 整理得： 222 0abcab， 222 a
23、bc， ABC为直角三角形 （2）由已知得： 222 abc，2acb ， 1 6 2 ab ， 由得：2cba， 代入得： 2 2222 244abbaaabb， 即 2 34bab， 34ba，即 3 4 ab，代入得： 2 16b ， 4cm,3cm,5cmbac. 【点睛】 本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题. 19设设 n S是是数列数列 n a的前的前n项和，已知项和，已知 1 2a ，则，则 1 2 nn aS . . （1 1）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； （2 2）令）令(21) nn bna，求数列，求数列 n b的前的前n项和项和 n
24、T. . 【答案】【答案】 （1）2n n a ； （2） 1 6(23) 2n n Tn . 【解析】【解析】试题分析：（1）由 1 2 nn aS 得 1 2 nn aS 两式相减得 1 2 nn aa ，再验 首项可得等比数列通项公式； 第 12 页 共 15 页 （2）利用错位相减求和即可. 试题解析： （1）当2n时， 1 2 nn aS 得 1 2 nn aS 两式相减得 1nnn aaa 1 2 nn aa ， 1 2 n n a a 当1n 时， 1 2a ， 21 24aS， 2 1 2 a a n a以 1 2a 为首项，公比为2的等比数列 1 2 22 nn n a （2
25、）由（1）得21 2n n bn 23 1 2 3 25 2212n n Tn 2341 21 23 25 2212n n Tn - -得 231 1 22 22 22 221 2 nn n Tn 231 22 222212 nn n 1 1 4 1 2 22212 1 2 n n n 1 623 2 n n . 1 623 2n n Tn . 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比 为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐” 以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列
26、的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解. 20已知在等差数列已知在等差数列 n a中，中， 25 11,5aa. . （1）求通项公式）求通项公式 n a； （2）求前）求前 n项和项和 n S的最大值的最大值. . 【答案】【答案】 （1）215 n an ； （2）最大值为49. 第 13 页 共 15 页 【解析】【解析】 （1）利用已知条件求得 1, a d，进而求得数列 n a的通项公式. （2）先求得 n S的表达式，结合二次函数的性质求得 n S的最大值. 【详解】 （1）设等差数列 n a的公差为 d， 则 1 1 11 45 ad ad ，解得 1 13
27、2 a d 1312215 n ann （2）由（1）可得 (1) 13( 2) 2 n n n Sn 2 2 14749nnn 当7n时， n S有最大值，为 7 49S. 【点睛】 本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前n项和的最值的求 法，属于中档题. 21已知关于已知关于 x的不等式的不等式 2 320axx 的解集为的解集为1x x或或xb （1）求实数）求实数 a b的值；的值； （2）解关于）解关于 x的不等式的不等式0 xc axb ( (c为常数为常数) ) 【答案】【答案】 （1）1,2ab； （2）答案见解析. 【解析】【解析】 （1）结合一元二次不等
28、式的解集，利用韦达定理列方程，由此求得, a b. （2）对c分成2,2,2ccc进行分类讨论，利用分式不等式的解法，求得不等式 0 xc axb 的解集. 【详解】 （1）由题意可得，1和 b是 2 320axx的两个实数根，由韦达定理可得 3 1b a ， 且 2 1 b a ， 解得1,2ab 第 14 页 共 15 页 （2）关于 x 的不等式0 xc axb 等价于20 xcx， 当2c 时，不等式的解集为2x x ； 当2c时，不等式的解集为x xc，或2x ； 当2c时，不等式的解集为x xc，或2x . 【点睛】 本小题主要考查一元二次不等式解集与根的关系， 考查分式不等式的解
29、法， 属于中档题. 22某城市响应城市绿化的号召，某城市响应城市绿化的号召， 计划建一个如图所示的三角形计划建一个如图所示的三角形 ABC形状的主题公形状的主题公 园园,其中一边利用现成的围墙其中一边利用现成的围墙BC，长度为，长度为100 3米，另外两边米，另外两边,AB AC使用某种新型使用某种新型 材料围成，已知材料围成，已知120 ,( ,BACABx ACy x y单位均为米） 单位均为米） （1）求）求 , x y满足的关系式（指出 满足的关系式（指出 , x y的取值范围） ； 的取值范围） ； （2） 在保证围成的是三角形公园的情况下， 如何设计能使所用的新型材料总长度最短？）
30、 在保证围成的是三角形公园的情况下， 如何设计能使所用的新型材料总长度最短？ 最短长度是多少？最短长度是多少？ 【答案】【答案】 （1） 22 30000 xyxy，0100 3x，0100 3y； （2） 当 ,A B A C 边长均为100米时，所用材料长度最短为200米 【解析】【解析】试题分析： （1）在ABC中,由余弦定理，得 22 30000 xyxy，再由正 弦定理得200sinxC， 060C，进而可求解求 , x y满足的关系式； （2）要使所用的新型材料总长度最短 只需x y 最小，由（1）知， 2 3000 xyxy，利用基本不等式，即可求解结论. 试题解析： （1）在A
31、BC中,由余弦定理，得 22222 2?cos,2cos12030000ABACAB ACABCxyxy，即 22 30000 xyxy， 由正弦定理，得 100 3 200,200sin,060 ,0100 3 sinsinsinsin120 ABACBC xCCx CBA 第 15 页 共 15 页 ， 同理0100 3y. （2） 要使所用的新型材料总长度最短只需x y 最小， 由 （1） 知， 2 3000 xyxy， 由于 2 2 xy xy ，当且仅当x y 时，等号成立 所以 22 22 3000 44 xyxy xyxyxy ，所以200 xy，故当 ,AB AC边长均为 100米时，所用材料长度最短为 200米 【考点】解三角形的实际应用问题. 【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，其中解答中涉及到三角形的余 弦定理、正弦定理和基本不等式求解最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问 题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题 的解答中需仔细审题，正确理解题意，恰当地选择正弦定理和余弦定理是解答的关键.
