1、第 1 页 共 15 页 2019-2020 学年安徽省宣城市六校高一下学期期末数学（文）学年安徽省宣城市六校高一下学期期末数学（文） 试题试题 一、单选题一、单选题 1已知三个数已知三个数 4，x，16 成等比数列，则成等比数列，则x（ （ ） A8 B8 C4 D4 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据等比中项的定义求解即可得答案. 【详解】 解：三个数 4，x，16成等比数列， 2 4 1664x ， 解得8x 故选：A 【点睛】 本题考查等比中项，是基础题. 2和直线和直线l都平行的直线都平行的直线 , a b的位置关系是（的位置关系是（ ） A相交相交 B异面异面 C平行平行 D
2、平行、相交或异面平行、相交或异面 【答案】【答案】C 【解析】【解析】直接利用平行公理，即可得到答案 【详解】 由平行公理， 可知平行与同一直线的两直线是平行的， 所以和直线l都平行的直线, a b的 位置关系是平行，故选C 【点睛】 本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查 运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 3cos153sin15的值等于（的值等于（ ） ） A 6 2 B 6 2 C2 D2 【答案】【答案】D 第 2 页 共 15 页 【解析】【解析】利用两角和的余弦化简求值 【详解】 13 cos153sin152cos15sin152 c
3、os60 cos15sin60 sin15 22 2cos 60152cos452 . 故选：D. 【点睛】 本题考查三角函数的化简求值，两角和的余弦公式，属于基础题 4如图，在三棱柱如图，在三棱柱 111 ABCABC中，中，M，N分别为棱分别为棱 1 AA， 1 BB的中点，过的中点，过MN作作 一平面分别交底面三角形一平面分别交底面三角形ABC的边的边BC，AC于点于点 E，F，则（，则（ ） A/MF NE B四边形四边形MNEF为梯形为梯形 C四边形四边形MNEF为平行四边形为平行四边形 D 11/ ABNE 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由已知条件及线面平行的性质可得MNEF
4、且EFMN，可得四边形 MNEF为梯形，可得答案. 【详解】 解：在 11 AAB B中， 1 AMMA， 1 BNNB， AMBN，MNAB.又 MN 平面ABC，AB平面ABC， MN 平面ABC. 又MN 平面MNEF， 平面MNEF平面ABCEF，MNEF，EFAB. 显然在ABC中，EFAB，EFMN， 四边形MNEF为梯形. 故选：B. 【点睛】 第 3 页 共 15 页 本题主要考查直线与平面平行的性质定理，需注意其灵活运用，属于基础题型. 5在在ABC中，角中，角A，B，C所对的对边分别为所对的对边分别为a， ，b，c，若，若2 sinabA，则，则B （ ） ） A30 B6
5、0 C30或或150 D60或或120 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据题意，由正弦定理，求出 1 sin 2 B ，即可得出结果. 【详解】 由2 sinabA结合正弦定理，得sin2sinsinABA， 又sin0A，所以 1 sin 2 B ， 又0,B，所以30B或150 故选：C 【点睛】 本题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题型. 6在正项等比数列在正项等比数列 n a中，若中，若 657 ,3,aa a依次成等差数列，则依次成等差数列，则 n a的公比为（的公比为（ ） A2 B 1 2 C3 D 1 3 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由等差中项的性质可得 567
6、 6aaa，又 n a为等比数列，所以 456 111 6a qa qa q，化简整理可求出 q 的值 【详解】 由题意知 567 2 3aaa，又 n a为正项等比数列，所以 456 111 6a qa qa q，且 0q ，所以 2 60qq， 所以 2q = 或3q （舍） ，故选 A 【点睛】 本题考查等差数列与等比数列的综合应用，熟练掌握等差中项的性质，及等比数列的通 项公式是解题的关键，属基础题 7设设m，n是两条不同的直线，是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） ） A若若 ，m，n，则，则mn 第 4 页 共 15 页
7、 B若若/ ，m，n ，则，则 /m n C若若mn，m ，n，则，则 D若若m，/m n， /n，则，则 【答案】【答案】D 【解析】【解析】试题分析：m，,n,故选 D. 【考点】点线面的位置关系. 8在在ABC中，角中，角A，B，C的对边分别为的对边分别为a， ，b，c，若，若2a， 3 B ，ABC 的面积等于的面积等于2 3，则，则b的大小为（的大小为（ ） A2 3 B13 C4 D21 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据已知条件，利用三角形面积公式求c，再应用余弦定理求b即可； 【详解】 2a， 3 B ，ABC的面积等于2 3， 113 sin22 3 222 acBc
8、，解得4c ， 由余弦定理可得 222 1 2cos4 162 2 412 2 bacacB ， 2 3b 故选：A 【点睛】 本题考查了正余弦定理的应用，利用三角形面积公式解三角形，根据余弦定理的边角关 系求边； 9已知各项均为正数的等比数列已知各项均为正数的等比数列 n a的前的前 n项和为项和为 n S， 1nn aa ， * nN， 414 9aa， 810 10aa，则数列，则数列 n a的公比为（的公比为（ ） A3 B 1 3 C2 D 1 2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】设正项等比数列 n a的公比为(0)q q ，根据等比数列的性质，求得 9 3a ， 第 5 页 共
9、 15 页 进而得出公比q的方程，即可求解. 【详解】 设正项等比数列 n a的公比为(0)q q ， 由 414 9aa，可得 2 9 9a ，因为0 n a ，所以 9 3a ， 又因为 810 10aa，所以 9 8109 3a aaa q qq 310q ， 即 2 31030qq，解得 3q 或 1 3 q ， 又由 1nn aa ，可得1q ，所以3q . 故选：A. 【点睛】 本题主要考查了等比数列的性质，以及等比数列的通项公式的应用，着重考查推理与计 算能力. 10如图，在正方体如图，在正方体 1111 ABCDABC D，点，点P在线段在线段 1 BC上运动，则下列判断正确的
10、上运动，则下列判断正确的 是（是（ ） 平面平面 1 PB D 平面平面 1 ACD 1 /AP平面平面 1 ACD 异面直线异面直线 1 AP与与 1 AD所成角的取所成角的取值范围是值范围是0, 3 三棱锥三棱锥 1 DAPC的体积不变的体积不变 A B C D 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由面面垂直的判定定理判断，由面面平行的性质定理判断，求出P在特殊 位置处时异面直线所成的角，判断，由换底求体积法判断 【详解】 第 6 页 共 15 页 正方体中易证直线AC 平面 11 BDD B，从而有 1 ACB D，同理有 11 B DAD，证 得 1 B D 平面 1 ACD，由面面垂
11、直判定定理得平面 1 PB D 平面 1 ACD，正确； 正方体中 11 / /ABCD， 11 / /BCAD，从而可得线面平行，然后可得面面平行，即平面 11 ABC/ /平面 1 ACD，而 1 AP 平面 11 ABC，从而得 1 /AP平面 1 ACD，正确； 当P是 1 BC中点时， 1 AP在平面 11 ABCD内，正方体中仿照上面可证 1 AD 平面 11 ABCD，从而 11 ADAP， 1 AP与 1 AD所成角为90错； 11 DAPCP AD C VV ， 由 1/ / BC平面 1 ACD， 知P在线段 1 BC上移动时，P到平面 1 ACD 距离相等，因此 1 P
12、AD C V 不变，正确 故选：B 【点睛】 本题考查面面垂直的判定定理、面面平行的性质定理、异面直线所成的角、棱锥的体积 等知识，考查学生的空间想象能力，属于中档题 11已知等差数列已知等差数列 n a中，前中，前m项（项（m为偶数）和为为偶数）和为 126，其中偶数项之和为，其中偶数项之和为 69，且，且 1 20 m aa，则数列，则数列 n a公差为（公差为（ ） A4 B4 C6 D6 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由奇偶数项和的差与公差的关系可得5769 2 md ，结合已知条件即可求数 列 n a公差； 【详解】 由题意得，奇数项的和 131 57 m aaa ，偶数项的和
13、 24 69 m aaa， 5769 2 md ，又 1 120 m aamd，解得：4d 故选：B 第 7 页 共 15 页 【点睛】 本题考查了等差数列，利用前 n 项和及项间的关系求公差，属于基础题； 12已知球已知球O是直三棱柱是直三棱柱 111 ABCABC的外接球，若的外接球，若 1 2AAACBC， 1BABC，则球，则球O的体积为（的体积为（ ） A 4 3 B 32 3 C4 D 9 2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据三棱柱 111 ABCABC中各棱的数量关系知其底面为直角三角形，将其补 全为长方体，根据长方体与外接球直径的关系即可求半径R，进而求球的体积； 【详
14、解】 由 2ACBC ，1BABC，可得ABC为直角三角形， 由题意， 111 ABCABC所在的长方体中， 过同一顶点的三条棱的长分别为： 1， 1， 2， 设外接球的半径为R，则 2 2 22 21124R，所以1R ， 所以球的体积 3 444 1 333 VR ， 故选：A 【点睛】 本题考查了棱柱的外接球问题，根据三棱柱棱长的数量关系确定底面三角形形状，结合 其所在长方体与外接球直径关系求球体的半径，应用球体的体积公式求体积； 二、填空题二、填空题 13已知等差数列已知等差数列 n a的前的前n项和为项和为 n S， 3156 7aaa，则，则 23 S_ 【答案】【答案】161 【
15、解析】【解析】由等差数列的性质可得 315612 aaaa，即可求出 12 7a，又 123 2312 23() 23 2 aa Sa ，带入数据，即可求解 【详解】 由等差数列的性质可得 315612 aaaa= 6 7a ，所以 12 7a，又由等差数列前 n项 和公式得 1231212 2312 23()23() 23161 22 aaaa Sa 【点睛】 本题考查等差数列的性质及前 n 项和公式，属基础题 第 8 页 共 15 页 14如图，在长方体如图，在长方体 1111 ABCD ABC D中，中，O是是 11 B D的中点，的中点，P是线段是线段AC上一点，上一点， 且直线且直线
16、 1 PA交平面交平面 11 AB D于点于点M给出下列结论：给出下列结论：A，M，O三点共线；三点共线；A， M，O， 1 A不共面；不共面；A，M，C，O共面；共面；B， 1 B，O，M共面其中正确共面其中正确 结论的序号为结论的序号为_ 【答案】【答案】 【解析】【解析】由公理 1 判断正确；由公理 2 判断错误正确，用反证法可得错误. 【详解】 连接 11 AC，O是 11 B D的中点， 11 OAC 平面 11 AB D与平面 11 AACC有公共点A与O， 则平面 11 AACC平面 11 AB DAO 对于， 1 MPA， 1 PA 平面 11 AACC，则M 平面 11 AA
17、CC， 又M 平面 11 AB D，则MAO，即A，M，O三点共线，故正确； 对于，A，O， 1 A在平面 11 AACC内，由知MAO，O平面 11 AACC， 即A，M，O， 1 A共面，故错误； 对于，A，O，C在平面 11 AACC内，由知MAO，O平面 11 AACCA， 则A，M，C，O共面 11 AACC，故正确； 对于，连接BD，则B， 1 B，O都在平面 11 BB D D上，若M 平面 11 BB D D，则直 线OM 平面 11 BB D D， A面 11 BB D D，显然A面 11 BB D D的，故错误 正确命题的序号是 故答案为： 第 9 页 共 15 页 【点睛
18、】 本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中的直线与平面、平面与平面的位置关系， 考查空间想象能力与思维能力，是中档题. 15已知已知x，y是正数，且是正数，且 14 1 xy ，则，则x y 的最小值是的最小值是_ 【答案】【答案】9 【解析】【解析】利用 “1”的代换，将x y 化为 4 5 xy yx ，进而利用基本不等式求最小值 即可； 【详解】 x，y是正数，且 14 1 xy 1444 5529 xyyx xyxy xyyxxy ，当且仅当 4yx xy 即 2yx （此时3x ，6y ）时取等号； 故x y 的最小值为 9. 故答案为：9 【点睛】 本题考查了利用基本不等式中“1
19、”的代换求最值，注意不等式中等号成立的条件，属 于简单题； 16 在在ABC中， 角中， 角A，B，C所对的边分别为所对的边分别为a， ，b，c， 若， 若6a，2cb， 则， 则ABC 面积的最大值是面积的最大值是_ 【答案】【答案】12 【解析】【解析】先根据余弦定理求出cosA，结合平方关系求得sin A，利用三角形的面积公 式及二次函数可求ABC面积的最大值. 【详解】 第 10 页 共 15 页 6a，2cb， 2222 644cosbbbA，可得 2 2 536 cos 4 b A b ， 2 2 2 2 2304360 sin1 cos 4 b AA b ，由 2 2 23043
20、600b，可得 2 436b，即26b， 则ABC的面积 22 22 22 2 23043602304360 1 sinsin12 244 bb SbcAbAb b ， 当且仅当 2 360b 时，即2 5b 时取等号 故答案为：12 【点睛】 本题主要考查三角形的面积最值， 常见求解思路是建立关于三角形面积的表达式结合二 次函数或者基本不等式的知识求解，侧重考查数学运算的核心素养. 三、解答题三、解答题 17已知函数已知函数 2 18f xaxbx， 0f x 的解集为的解集为3,2 （1）求）求 f x的解析式；的解析式； （2）当）当1x 时，求时，求 21 1 f x y x 的最大值
21、的最大值 【答案】【答案】 （1） 2 3318f xxx； （2） max 3y . 【解析】【解析】 （1）由 0f x 的解集为3,2，结合根与系数关系求可求, a b的值，进 而得到 f x的解析式； （2）化简函数式为 1 311 1 yx x ，结合基本不等 式求最大值即可； 【详解】 （1）因为函数 2 18f xaxbx， 0f x 的解集为3,2， 那么方程 2 180axbx的两个根是3，2，且 0a ， 第 11 页 共 15 页 由韦达定理有 321 3 183 3 26 b a a b a ， 所以 2 3318f xxx （2） 2 21113331 33 1111
22、 f xx xxx yx xxxx 1 311 1 x x ，由1x ，则： 根据均值不等式有： 1 12 1 x x ，当且仅当 1 1 1 x x ，即0 x时取等号， 当0 x时， max 3y 【点睛】 本题考查了二次函数与一元二次方程、不等式，根据一元二次不等式解集求二次函数解 析式，利用基本不等式求函数最值； 18如图，在三棱柱如图，在三棱柱 111 ABCABC中，中， 1 AA 平面平面ABC，D，E分别为分别为AB，BC的的 中点，点中点，点F在侧棱在侧棱 1 BB上，且上，且 1 ADAF，ACAB求证：求证： （1）/DE平面平面ACF； （2） 1 AD 平面平面ACF
23、 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】【解析】 （1）由中位线定理可得/DE AC，根据线面平行判定定理即可得结果； （2）通过 1 AAAC和ACAB得到AC 平面 11 ABB A，进而得 1 ACAD，再结 合 1 ADAF即可得结果. 【详解】 证明： （1）因为D，E分别为AB，BC的中点，所以/DE AC， 第 12 页 共 15 页 又因为DE 平面ACF，AC 平面ACF， 所以/DE平面ACF （2）在三棱柱 111 -ABC ABC中， 1 AA 平面ABC， 因为AC 平面ABC，所以 1 AAAC， 又因为ACAB， 1 AA 平面 11
24、ABB A，AB平面 11 ABB A， 1 ABAAA， 所以AC 平面 11 ABB A， 因为 1 AD 平面 11 ABB A， 所以 1 ACAD， 又因为 1 ADAF，AC 平面ACF，AF 平面ACF，ACAFA， 所以 1 AD 平面ACF 【点睛】 本题主要考查了线面平行的判定以及线面垂直的判定，得到线线关系是解题的关键，属 于基础题. 19在在ABC中中, ,角角A, ,B, ,C的对边分别为的对边分别为a, ,b, ,c, ,且 且 222 bcabc. （1）求角）求角A; ; （2）若）若2b, ,且且ABC的面积为的面积为2 3S , ,求求a的值的值. 【答案】
25、【答案】 （1） 3 （2）2 3a 【解析】【解析】 （1）因为 222 cos 2 bca A bc ,结合 222 bcabc ,即可求得答案; （2）因为2b,且ABC的面积为2 3 ABC S,根据三角形面积公式可 得: 1 2sin2 3 23 ABC Sc ,即可求得答案. 【详解】 （1）根据余弦定理可得: 222 cos 2 bca A bc 又 222 bcabc, 1 cos 22 bc A bc . 又0A 第 13 页 共 15 页 3 A . （2）2b,且ABC的面积为2 3 ABC S, 根据三角形面积公式可得: 1 2sin2 3 23 ABC Sc 解得:4
26、c . 由余弦定理可得: 222 2cos12 3 abcb c , 2 3a . 【点睛】 本题主要考查了由余弦定理解三角形,解题关键是掌握余弦定理和三角形的面积公式,考 查了分析能力和计算能力,属于中档题. 20已知已知 2 cos 10 ， 5 sin() 5 ，且，且 0 2 . （1）求）求tan2的值；的值； （2）求）求sin的值的值. 【答案】【答案】 （1） 7 tan2 24 （2） 3 10 10 【解析】【解析】(1)利用平方关系得出sin的值，再由商数关系得出tan，结合二倍角的正 切公式计算即可； (2)由平方关系得出cos()a的值，再由 () 结合两角差的余弦公
27、式求解 即可. 【详解】 解： （1）由 2 cos 10 ， 0 2 ，得 2 7 2 sin1 cos 10 . sin tan7 cos . 则 22 2tan2 77 tan2 1 tan1 724 . （2）由 0 2 ，得 0 2 a， 所以 2 2 52 5 cos()1 sin ()1 55 a . 第 14 页 共 15 页 sinsin() sin()coscos()sina 522 57 2 510510 3 10 10 . 【点睛】 本题主要考查了利用平方关系，倍角公式，两角差的正弦公式化简求值，属于中档题. 21如图，在如图，在ABC中，已知中，已知30B ，D是 是
28、BC边上的一点，边上的一点，5AD ，7AC ， 3DC . . （1 1）求）求ADC的面积；的面积； （2 2）求边）求边AB的长的长. . 【答案】【答案】 （1）15 3 4 ； （2）5 3 【解析】【解析】分析：（1）在ADC中，根据余弦定理求得120ADC，然后根据三角 形的面积公式可得所求（2）在ABD中由正弦定理可得AB的长 详解： （1）在ADC中，由余弦定理得 222222 5371 cos 22 5 32 ADDCAC ADC AD DC ， ADC为三角形的内角， 120ADC， 3 sin 2 ADC ， 11315 3 sin5 3 2224 ADC SAD DC
29、ADC （2）在ABD中，60ADB， 由正弦定理得： sinsin ABAD ADBB 53 5 3 1 2 2 AB 第 15 页 共 15 页 点睛：解三角形时首先要确定所要解的的三角形， 在求解时要根据条件中的数据判断使 用正弦定理还是余弦定理以及变形的方向，另外求解时注意三角形内角和定理等知识 的灵活应用 22已知数列已知数列 n a的前的前n项和为项和为 n S，且，且 11 1,2 nn aSa （1）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； （2）当）当 31 2 log3 nn ba 时，求数列时，求数列 1 1 nn b b 的前的前n项和项和 n T 【答案】【答案
30、】 （1 2 1? 1 13 ,2 22 n n n a n ）； （2） 1 1 1n . 【解析】【解析】(1)由 1 2 nn sa ,得 1 22 nn san ,两式作差得 11 22 nnnn ssaa ,进 而推得 1 3 2 2 n n a n a ，检验 1 a，即可求解；(2)利用 1 1111 11 nn b nn nnn ， 裂项求和即可 【详解】 (1) 1 2 nn sa , 1 22 nn san ,得 11 22 nnnn ssaa , 所以 1 3 2 2 n n a n a ,又 1 1a , 2 1 3 2 a a 故 2 1,1 13 ,2 22 n n n a n (2) 31 2 log3 nn ban ，所以 1 1111 11 nn b nn nnn ， 所以 111111 11 22311 n T nnn 【点睛】 本题考查数列通项公式及求和，递推关系的应用，裂项求和，准确计算是关键，是中档 题
