1、第 1 页 共 14 页 2019-2020 学年广东省佛山市禅城区高一下学期期末数学试学年广东省佛山市禅城区高一下学期期末数学试 题题 一、单选题一、单选题 1 在在 12 本书中， 有本书中， 有 10 本语文书，本语文书， 2 本英语书， 从中任意抽取 本英语书， 从中任意抽取 3 本的必然事件是 （本的必然事件是 （ ） A3 本都是语文书本都是语文书 B至少有一本是英语书至少有一本是英语书 C3 本都是英语书本都是英语书 D至少有一本是语文书至少有一本是语文书 【答案】【答案】D 【解析】【解析】由必然事件的含义：结果一定会出现，直接选择即可. 【详解】 因为 12本书中只有 2本英
2、语书，从中任取 3本，必然至少会有一本语文书， 故选：D 【点睛】 本题考查了随机事件、必然事件的含义，属于基本概念的考查. 2数列数列-1，3，-5，7， -9， 11，x， ，15， -17中的中的 x等于（等于（ ） A12 B-13 C14 D-15 【答案】【答案】B 【解析】【解析】记该数列为 n a.观察数列，得出规律： 123456 2aaaaaa， 即求x. 【详解】 记该数列为 n a.观察数列，可得 123456 2aaaaaa， 152,13xx . 故选：B. 【点睛】 本题考查数列的项，属于基础题. 3用随机数表法从用随机数表法从 100 名学生（男生名学生（男生
3、25 人）中抽取人）中抽取 20 人进行评教，某男学生被抽到人进行评教，某男学生被抽到 的概率是（的概率是（ ） A 1 100 B 1 25 C 1 5 D 1 4 【答案】【答案】C 第 2 页 共 14 页 【解析】【解析】试题分析：某男学生被抽到的概率是 201 1005 ，选 C. 【考点】随机抽样概率 4某学校有教师某学校有教师 200 人，男学生人，男学生 1200 人，女学生 人，女学生 1000 人，现用分层抽样的方法从全人，现用分层抽样的方法从全 体师生中抽取一个容量为体师生中抽取一个容量为 n 的样本，若女学生一共抽取了的样本，若女学生一共抽取了 80 人，则人，则 n的
4、值为（的值为（ ） A193 B192 C191 D190 【答案】【答案】B 【解析】【解析】按分层抽样的定义，按比例计算 【详解】 由题意 80 200 1200 10001000 n ，解得192n 故选：B. 【点睛】 本题考查分层抽样，属于简单题 5在平行四边形在平行四边形ABCD中，中，AB ADABAD，则必有（，则必有（ ）. A0AD B0AB 或或 0AD CABCD是矩形是矩形 DABCD是正方形是正方形 【答案】答案】C 【解析】【解析】根据题意，由平面向量的线性运算法则，得出ACDB，进而可求出结果. 【详解】 在平行四边形ABCD中， 因为ABADABAD， 所以A
5、CDB，即对角线相等， 因为对角线相等的平行四边形是矩形， 所以ABCD是矩形. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查平面向量线性运算的应用，属于常考题型. 6不等式不等式 1 1 2 x x 的解集是（的解集是（ ） ） A|2x x B | 21xx C|1x x D|x xR 【答案】【答案】A 第 3 页 共 14 页 【解析】【解析】分析：首先对原式进行移项、通分得到 3 0 2x ，之后根据不等式的性质 可得20 x，从而求得不等式的解集. 详解：将原不等式化为 12 0 2 xx x ，即 3 0 2x ， 即 3 0 2x ，则有20 x，解得2x ， 所以不等式 1 0 2 x
6、 x 的解集为|2x x ，故选 A. 点睛：该题是一道关于求不等式解集的题目， 解答该题的关键是熟练掌握分式不等式的 解法，属于简单题目. 7P是是ABC内的一点，内的一点， 1 3 APABAC，则，则ABC的面积与的面积与 ABP 的面积的面积 之比为（之比为（ ） A 3 2 B2 C3 D6 【答案】【答案】C 【解析】【解析】设ABC边BC的中点为D,则有 1 2 ADABAC,因为 1 3 APABAC,则 3 2 ADAP,即 3 2 ADAP,因为 22 ABCABD ABPABP SSAD SSAP ,即可 求出结果. 【详解】 设ABC边BC的中点为D，则 22 ABCA
7、BD ABPABP SSAD SSAP . 12 33 APABACAD， 3 2 ADAP， 3 2 ADAP. 3 ABC ABP S S . 故选:C. 【点睛】 本题考查向量的运算和三角形面积的计算,难度一般. 8ABCABC 中，三个内角中，三个内角 A A，B B，C C 所对应的边分别为所对应的边分别为 a a， ，b b，c c，若，若 c c3，b b1 1，BB 6 ，则，则ABCABC 的形状为（的形状为（ ） A等腰直角三角形等腰直角三角形 B直角三角形直角三角形 C等边三角形等边三角形 D等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形 【答案】【答案】D 【解析】【解析
8、】 试题分析： 在ABC中， 由正弦定理可得 3 sin sin3 6 sin 12 cB C b ， 第 4 页 共 14 页 因为0C，所以 3 C 或 2 3 ，所以 2 A 或 6 ，所以ABC的形状一定为等 腰三角形或直角三角形，故选 D 【考点】正弦定理 9下列说法正确的是下列说法正确的是( ) A 22 abacbc B 22 abab C 33 abab D 22 abab 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由不等式的性质，对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例 【详解】 选项A，当c0 时，由ab，不能推出ac 2bc2，故错误； 选项B，当a1，b2 时，显然有ab
9、，但a 2b2，故错误； 选项C，当ab时，必有a 3b3，故正确； 选项D，当a2，b1 时，显然有a 2b2，但却有 ab，故错误 故选C 【点睛】 本题考查命题真假的判断，涉及不等式的性质，属基础题 10若若 2 lg21f xxaxa 在区间在区间,1上递减，则上递减，则 a 的取值范围为（的取值范围为（ ） A1,2 B 1,2 C1, D2, 【答案】【答案】A 【解析】【解析】令 2 21uxaxa ，根据题设条件可得该函数在 ,1为减函数且恒正， 从而得到 a 的取值范围. 【详解】 令 2 21uxaxa ，则 lgf uu， 配方得 222 21()1uxaxaxaaa ，
10、故对称轴为xa，如图所示： 第 5 页 共 14 页 由图象可知，当对称轴1a 时， 2 21uxaxa 在区间 ,1上单调递减， 又真数 2 210 xaxa ，二次函数 2 21uxaxa 在 ,1上单调递减， 故只需当1x 时，若 2 210 xaxa ， 则,1x 时，真数 2 210 xaxa ， 代入1x 解得2a，所以 a的取值范围是1,2. 故选：A. 【点睛】 本题考查与对数函数有关的复合函数的单调性，此类问题应根据同增异减来判断，注意 真数大于零的要求，本题属于中档题. 11 若若0a，0b，2ab， 则下列不等式对一切满足条件的， 则下列不等式对一切满足条件的 a， ，
11、b恒成立的是 （恒成立的是 （ ） A1ab B2ab C 2 2ab D 22 3ab 【答案】【答案】A 【解析】【解析】利用基本不等式可判断 A；两边平方可判断 B；取特殊值可判断 C；利用完全 平方差可判断 D. 【详解】 对于 A，0a，0b，2abab ， 则1 2 ab ab ，即1ab，当且仅当1ab时取等号，故 A 正确； 对于 B， 2 2224abababab，所以2ab， 当且仅当1ab时取等号，故 B错误； 对于 C， 不妨设 3 2 a ， 1 2 b 时， 2 317 2 244 ab ，故 B 错误； 第 6 页 共 14 页 对于 D， 2 22 2422ab
12、abab，当且仅当1ab时取等号，故 D错 误. 故选：A 【点睛】 本题考查了基本不等式，考查了基本运算能力，属于基础题. 二、多选题二、多选题 12已知已知 n a是等差数列，其前是等差数列，其前n项和为项和为 n S，满足，满足 126 3aaS，则下列四个选项中，则下列四个选项中 正确的有（正确的有（ ） A 7 0a B 13 0S C 7 S最小最小 D 58 SS 【答案】【答案】ABD 【解析】解析】由条件可得 7 0a ，然后逐一判断每个选项即可 【详解】 因为 n a是等差数列， 126 3aaS 所以 111 5361dadaa，所以 1 2120ad 即 1 60ad，
13、即 7 0a 所以 137 130Sa 678785 30aaSSaa 所以正确的有 ABD 故选：ABD 【点睛】 本题考查的是等差数列的性质及其前n项和的性质，属于典型题. 三、填空题三、填空题 13同时掷两颗骰子，则向上的点数之和是同时掷两颗骰子，则向上的点数之和是 7 7 的概率是 的概率是_ 【答案】【答案】 1 6 【解析】【解析】依题意，记抛掷两颗骰子向上的点数分别为a，b，则可得到数组ab，共 有6 6 36 组，其中满足7ab 的组数共有 6 组，分别为 第 7 页 共 14 页 1,6，2,5，3,4，4,3，5,2，6,1，因此所求的概率等于 61 366 ，故答 案为
14、1 6 . 14 在在ABC中，中，7a，5b，3c ， 则此三角形中最大角的度数是， 则此三角形中最大角的度数是_. 【答案】【答案】 2 3 【解析】【解析】在三角形中，根据大边对大角，求出cosA，即可得角A. 【详解】 在ABC中， 222 25949151 cos 22 5 3302 bca A bc ， 因为0,A，所以 2 3 A ， 故答案为： 2 3 【点睛】 本题主要考查了余弦定理解三角形，根据大边对大角，可知角A最大，属于基础题. 15不等式不等式 2 24 1 2 2 xx 的解集为的解集为_. 【答案】【答案】 【解析】【解析】利用指数函数单调性解不等式即可. 【详解
15、】 2 241 1 22 2 xx ，2xy 在 R上是增函数， 2 241xx 即 2 250 xx 因为 2 2 25144xxx，所以 2 250 xx解集是. 故答案为：. 【点睛】 本题考查了指数函数不等式的解法，属于基础题. 四、双空题四、双空题 16某研究机构对高三学生的记忆力某研究机构对高三学生的记忆力 x和判断力和判断力 y进行统计分析，得表数据 进行统计分析，得表数据. X 6 8 10 12 Y 2 3 5 6 第 8 页 共 14 页 请上表提请上表提供的数据，求出供的数据，求出 y 关于关于 x的线性回归方程的线性回归方程_，据此可预测判断，据此可预测判断 力为力为
16、4 的同学的记忆力为的同学的记忆力为_. 【答案】【答案】0.72.3yx； 9. 【解析】【解析】设回归方程，利用表中数据，根据最小二乘原理求得系数，即得方程；再用方 程代入数据预测记忆力即可. 【详解】 设 y关于 x 的线性回归方程为 ybxa，直线过样本中心点, x y 由表格数据得 68 10 12 9 4 x ， 2356 4 4 y ， 4 1 6 28 3 10 5 12 6158 ii i x y ， 4 22222 1 681012344 i i x ， 故根据最小二乘原理知 1 2 2 2 1 1584 9 4 0.7 3444 9 n ii i n i i x ynxy
17、 b xnx ， 40.7 92.3aybx ，即线性回归方程为0.72.3yx； 将4y 代入方程，得9x，即可预测判断力为 4的同学的记忆力为9. 故答案为：0.72.3yx；9. 【点睛】 本题考查了线性回归直线的求法及其应用，属于基础题. 五、解答题五、解答题 17对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下. 寿命（寿命（h） 100 200 200300 300400 400500 500600 个数个数 20 30 80 40 30 （1）列出频率分布表；）列出频率分布表； （2）画出频率分布直方图；）画出频率分布直方图； （3）估计元件寿命在）估
18、计元件寿命在100400h以内的在总体中占的比例；以内的在总体中占的比例； （4）估计电子元件寿命在）估计电子元件寿命在 400h 以上的在总体中占的比例以上的在总体中占的比例. 第 9 页 共 14 页 【答案】【答案】 （1）答案见详解； （2）答案见详解； （3） 0 0 65； （4） 0 0 35 【解析】【解析】 （1）根据调查的数据计算频率即可求解. （2）根据频率分布表即可画出频率分布直方图. （3）根据频率分布表求出在100400h以内的频率即可求解. （4）根据频率分布表求出在 400h以上的频率即可求解. 【详解】 （1）根据题目中的数据，计算每一小组的频率， 完成频率分
19、布表如下： 分组 频数 频率 100 200 20 0.10 200300 30 0.15 300400 80 0.40 400500 40 0.20 500600 30 0.15 合计 200 1.00 （2）画出频率分布直方图如下： （3）根据频率分布表，得： 元件寿命在100400h以内的频率是 第 10 页 共 14 页 0.10 0.15 0.400.65， 估计元件寿命在100 400h以内的在总体中占的比例为 0 0 65. （4）根据频率分布表，得： 电子元件寿命在 400h 以上的频率为 0.20 0.150.35， 估计电子元件寿命在 400h以上的在总体中占的比例为 0
20、0 35. 【点睛】 本题考查了频率分布表、 频率分布图、 利用频率分布表解决实际问题， 考查了基本运算， 属于基础题. 18甲乙二人用甲乙二人用 4 张扑克牌（分别是红桃张扑克牌（分别是红桃 2，红桃，红桃 3，红桃 ，红桃 4，方片，方片 4）完游戏，他们将）完游戏，他们将 扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张抽一张. （1）设）设( , )i j分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况； （2）若甲抽到
21、红桃）若甲抽到红桃 3，则乙抽出的牌的牌面数字比，则乙抽出的牌的牌面数字比 3 大的概率是多少？大的概率是多少？ （3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜，你认为此）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜，你认为此 游戏是否公平，说明你的理由游戏是否公平，说明你的理由. 【答案】【答案】 （1）见解析； （2） 2 3 ； （3）不公平 【解析】【解析】 【详解】 （1）甲乙二人抽到的牌的所有情况（方片 4 用 4表示，红桃 2，红桃 3，红桃 4 分别用 2，3，4表示）为： （2，3） 、 （2，4） 、 （2，4） 、 （3，2） 、 （3
22、，4） 、 （3，4） 、 （4，2） 、 （4，3） 、 （4，4） 、 （4，2） 、 （4，3） 、 （4，4） 共 12 种不同情况 （2）甲抽到 3，乙抽到的牌只能是 2，4，4 因此乙抽到的牌的数字大于 3的概率为 2 3 （3）由甲抽到的牌比乙大的有 （3，2） 、 （4，2） 、 （4，3） 、 （4，2） 、 （4，3）5 种， 甲胜的概率 1 5 12 p ，乙获胜的概率为 2 7 12 p ， 57 1212 此游戏不公平 【考点】列举法及古典概型的计算公式等有关知识的综合运用 第 11 页 共 14 页 19已知向量已知向量1,2a r ，2,1b r . （1）求向量
23、）求向量a，b夹角的余弦值；夹角的余弦值； （2）求与向量）求与向量a，b夹角相等的单位向量夹角相等的单位向量c的坐标的坐标. 【答案】【答案】 （1） 4 5 ； （2） 22 , 22 c 或 22 , 22 【解析】【解析】 （1）利用向量夹角的坐标表示即可求解； （2）设出向量c的坐标，利用模长为 1，与向量a，b夹角相等，列方程解方程即可. 【详解】 （1） 2222 1 22 14 cos, 5 1221 a b a b a b ； （2）设向量,cx y， 因为c是单位向量， 22 1cxy， 向量c与向量a，b夹角相等， a cb c a cb c 即 22 55 xyxy ，
24、 所以22xyxy， 由解得： 2 2 2 2 x y 或 2 2 2 2 x y 故答案为： 22 , 22 c ， 22 , 22 c 【点睛】 本题主要考查了向量夹角的坐标表示，要熟练应用公式，属于基础题. 20某工厂为某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的 生产方式生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式。根据工人完成生产
25、第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式。根据工人完成生产 任务的工作时间（单位：任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：）绘制了如下茎叶图： 第 12 页 共 14 页 （1）分别指出两种生产方式完成任务时间的最大值、最小值、极差）分别指出两种生产方式完成任务时间的最大值、最小值、极差. （2）求）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数名工人完成生产任务所需时间的中位数 m. （3）分别求出两种生产方式完成任务的平均时间）分别求出两种生产方式完成任务的平均时间. （4）哪种生产方式的效率更高？并说明理由）哪种生产方式的效率更高？并说明理由. 【答案】【答案】 （1
26、）第一种生产方式的最大值为 92，最小值为 68，极差为24；第二种生产方 式的最大值为 90，最小值为 65，极差为25； （2）80； （3）84，74.7； （4）第二种生产方式的效率更高. 【解析】【解析】 （1）结合茎叶图中的数据，即可分别求出最大值、最小值、极差； （2）根据中位数的定义和求法，即可求得实数m的值； （3）结合茎叶图的数据，即可分别求出两种生产方式完成任务的平均时间； （4）结合茎叶图的数据，利用平均数的计算公式，即可求解. 【详解】 （1）根据茎叶图中的数据， 可得第一种生产方式的最大值为 92，最小值为 68，极差为92 6824， 第二种生产方式的最大值为 9
27、0，最小值为 65，极差为906525. （2）结合茎叶图中的数据，可得这 40名工人完成任务所需时间的中位数为 7981 80 2 ， 即这 40名工人完成生产任务所需时间的中位数80m. （3）第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间： 1 (68727677798283838485868787888990 20 x 9091 91 92)84 第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间： 1 (65656668697071 727273747576767881 20 y 84848590)74.7 即两种生产方式完成任务的平均时间分别为84和74.7. 第 13 页 共 1
28、4 页 （4）由于xy，显然第二种生产方式的效率更高. 【点睛】 本题主要考查了统计知识的综合应用，其中解答中熟记茎叶图的极差、中位数和平均数 的计算方法是解答的关键，注重考查分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 21等比数列等比数列 n a的各项均为正数，且的各项均为正数，且 2 12326 231,9aaaa a. . （1 1）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； （2 2）设）设 31323 loglog. log nn baaa，求数列，求数列 1 n b 的前的前n项和项和 n T. . 【答案】【答案】（1） 1 3 n n a （2） 2 1 n n 【解析】【解析
29、】试题分析： （）设出等比数列的公比 q，由 2 326 9aa a，利用等比数列的通 项公式化简后得到关于 q 的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意 q 的 值，然后再根据等比数列的通项公式化简 12 231aa，把求出的 q 的值代入即可求出 等比数列的首项，根据首项和求出的公比 q 写出数列的通项公式即可； （）把（） 求出数列an的通项公式代入设 bnlog3a1log3a2log3an， 利用对数的运算性质及 等差数列的前 n 项和的公式化简后，即可得到 bn 的通项公式，求出倒数即为 1 n b 的通项 公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列
30、 1 n b 的前 n 项和 试题解析： （）设数列an的公比为 q,由 2 3 a9a2a6得 2 3 a9 2 4 a,所以 q2 1 9 由条件可知 q0,故 q 1 3 由 2a13a21 得 2a13a1q1,所以 a1 1 3 故数列an的通项公式为 an 1 3n （）bnlog3a1log3a2log3an（12n） 2 1n n 故 1211 2 11 n bn nnn 12 111111112 21 22311 n n bbbnnn 第 14 页 共 14 页 所以数列 1 n b 的前 n 项和为 2 1 n n 【考点】等比数列的通项公式；数列的求和 22 ABC 在内
31、角在内角 A、B、C 的对边分别为的对边分别为 a， ，b，c，已知，已知 a=bcosC+csinB （）求）求 B； （）若）若 b=2，求，求 ABC 面积的最大值面积的最大值. 【答案】【答案】 （）B= 4 （） 21 【解析】【解析】 【详解】 (1)a=bcosC+csinB 由正弦定理知 sinA=sinBcosC+sinCsinB 在三角形 ABC 中，A=(B+C) sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC 由和得 sinBsinC=cosBsinC 而 C(0，)，sinC0，sinB=cosB 又 B(0，)，B= (2) SABC 1 2 acsinB 2 4 ac， 由已知及余弦定理得：4a2+c22accos 4 2ac2ac 2 2 ， 整理得：ac 4 22 ，当且仅当 ac 时，等号成立， 则ABC面积的最大值为 1241 2 22222 （2 2 ） 21
