2019-2020学年广东省梅州市高一下学期期末数学试题（解析版）.doc

1、第 1 页 共 20 页 2019-2020 学年广东省梅州市高一下学期期末数学试题学年广东省梅州市高一下学期期末数学试题 一、单选题一、单选题 1下列可作为数列下列可作为数列 1，2，1，2，1， ，2，的通项公式的是（的通项公式的是（ ） A 1 11 2 n n a B 31 2 n n a C2sin 2 n n a D2cos1 n an 【答案】【答案】B 【解析】【解析】将 23 2,1aa代入排除可得结果. 【详解】 解：当2n时，A， 2 0a ；B， 2 2a ；C， 2 2a ；D， 2 3a ，故排除 AD； 当3n时， B， 3 1a ；C， 3 3a ，故排除 C；

2、 故选：B. 【点睛】 本题考查观察法求数列的通项公式，利用排除法可准确得到答案，是基础题. 2若若ab，则下列不等式中正确的是（，则下列不等式中正确的是（ ） ） A 22 ab B 11 ab C 22 2abab D 22 acbc 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据不等式的性质，对四个选项逐一判断，可得正确答案. 【详解】 对于选项A：若0ab，则 22 ab，故选项不正确； 对于选项B：若0a ，0b ，则 11 ab ，故选项B不正确； 对于选项C：若ab，则 2 22 20ababab，即 22 2abab，故选项C 正确； 对于选项D：若ab， 2 c 0，则 22 ac

3、bc，故选项D不正确 故选：C 【点睛】 本题主要考查了不等式的性质，属于基础题. 第 2 页 共 20 页 3在在ABC中，角中，角 A，B，C所对的边分别是所对的边分别是 a， ，b，c，若，若 222 abcbc，则，则 A等等 于（于（ ） A120 B60 C45 D30 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由余弦定理可得cosA的值，因为0,A，即可得角A 【详解】 因为 222 abcbc，所以 222 bcabc 在ABC中，由余弦定理可得 222 1 cos 222 bcabc A bcbc ， 因为0,A， 所以60A . 故选：B 【点睛】 本题主要考查了余弦定理解三角形

4、，属于基础题. 4已知等比数列已知等比数列 n a， 10 a， 30 a是方程是方程 2 10160 xx的两实根，则的两实根，则 20 a等于（等于（ ） A4 B4 C8 D8 【答案】【答案】A 【解析】【解析】利用根与系数的关系可得 1030 10aa ， 1030 16aa，再利用 2 201030 aaa ，即可得 20 a的值 【详解】 因为 10 a， 30 a是方程 2 10160 xx的两实根， 由根与系数的关系可得 1030 10aa ， 1030 16aa，可知 10 0a， 30 0a 因为 n a是等比数列，所以 2 201030 16aaa， 因为 10 201

5、0 aaq ，所以 20 0a， 所以 20 4a， 故选：A 【点睛】 本题主要考查了等比数列的性质的应用， 涉及韦达定理， 数列与方程结合，属于基础题. 第 3 页 共 20 页 5“哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于 2 的偶数都可以写 的偶数都可以写 成两个质数（也称为素数，是一个大于成两个质数（也称为素数，是一个大于 1 的自然数，除了的自然数，除了 1 和它自身之外，不能被其它和它自身之外，不能被其它 自然数整除的数叫做质自然数整除的数叫做质数）之和，也就是我们所谓的数）之和，也就是我们所谓的“1 1”问题

6、它是问题它是 1742 年由数学年由数学 家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出 相当好的成绩若将相当好的成绩若将 6 拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率 为（为（ ） A 1 5 B 1 3 C 3 5 D 2 3 【答【答案】案】A 【解析】【解析】列出所有可以表示成和为 6 的正整数式子，找到加数全部为质数的只有 3 36 ，利用古典概型求解即可. 【详解】 6 拆成两个正整数的和含有的基本事件有

7、(1,5)，(2,4)，(3,3)， (4,2)，(5,1)， 而加数全为质数的有(3,3)， 根据古典概型知，所求概率为 1 5 P . 故选：A. 【点睛】 本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题. 6 九章算术是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有九章算术是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子 如下问题：今有女子 善织，日增等尺，七日织善织，日增等尺，七日织 2828 尺，第二日，第五日，第八日所织之和为尺，第二日，第五日，第八日所织之和为 1515 尺，则第十五尺，则第十五 日所织尺数为（日所织尺数为（ ） A1313 B1414 C1515 D16

8、16 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 【详解】 由题意得等差数列 n a中 2587 15,28aaaS 求 15 a 25855 153155aaaaa 17 744 2877284541 2 aa Saad 第 4 页 共 20 页 154 (154) 14 15415aa ，选 C. 7如图，点如图，点E在正方体的棱在正方体的棱1 CC上，且 上，且 1 1 3 CECC，削去正方体过，削去正方体过 1 , ,B E D三点所在三点所在 的平面下方部分，则剩下部分的左视图为（的平面下方部分，则剩下部分的左视图为（ ） A B C D 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 【详解】

9、先作出经过 1 , ,B E D三点所在的平面，可以在 1 AA上取一点 F，使得 1 2AFFA，则平 行四边形 1 BED F就是过 1 , ,B E D三点所在的平面（两个平行的平面被第三个平面所截 交线平行） ，所以剩下部分的三视图是 A，故选 A. 8如图，要测量底部不能到达的某铁塔如图，要测量底部不能到达的某铁塔AB的高度，在塔的同一侧选择 的高度，在塔的同一侧选择C、D两观测两观测 点，且在点，且在C、D两点测得塔顶的仰角分别为两点测得塔顶的仰角分别为45、30在水平面上测得在水平面上测得 120BCD，C、D两地相距两地相距600m，则铁塔，则铁塔AB的高度是（的高度是（ ）

10、） 第 5 页 共 20 页 A120 2m B480m C240 2m D600m 【答案】【答案】D 【解析】【解析】分析：设出ABx，则 BC,CD 均可用 x 表达，进而在BCD中，由余弦定 理和 BD,BC的值列方程求得 x，即 AB 的长. 详解：设ABx，则,3BCx BDx，在BCD中，由余弦定理知 222222 60031 cos120 226002 BCCDBDxx BC CDx ，解得600 x米，故铁塔的 高度为600m，故选 D. 点睛：该题考查的是有关利用正余弦定理测量空间高度的问题，在解题的过程中，先设 出待求量，之后根据题意，利用余弦定理建立其所满足的等量关系式

11、，求解即可. 二、多选题二、多选题 9某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2017 年 年 1 月至月至 2019 年年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根根 据该折线图，下列结论正确的是（据该折线图，下列结论正确的是（ ） A年接待游客量逐年增加年接待游客量逐年增加 B各年的月接待游客量高峰期大致在各年的月接待游客量高峰期大致在 8 月 月 C2017 年年 1 月至月至 12 月月接待游客量的中位数为月月接待游

12、客量的中位数为 30 D各年各年 1 月至月至 6 月的月接待游客量相对于月的月接待游客量相对于 7 月至 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳月，波动性更小，变化比较平稳 第 6 页 共 20 页 【答案】【答案】ABD 【解析】【解析】观察折线图，掌握折线图所表达的正确信息，逐一判断各选项. 【详解】 由 2017年 1月至 2019年 12 月期间月接待游客量的折线图得： 在 A 中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故 A 正确； 在 B 中，各年的月接待游客量高峰期都在 8月，故 B正确； 在 C 中，2017年 1月至 12 月月接待游客量的中位数小于 30，故 C错

13、误； 在 D 中，各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7月至 12月，波动性更小，变化比较 平稳，故 D正确. 故选：ABD 【点睛】 本题主要考查学生对于折线图的理解能力，考查图表的识图能力，属于基础题. 10在在ABC中，角中，角 A，B，C所对的边分别是所对的边分别是 a， ，b，c，下列说法正确的有（，下列说法正确的有（ ） A: :sin:sin:sina b cABC B若若sin2sin2AB，则，则ab C若若sinsinAB，则，则AB D sinsinsin abc ABC 【答案】【答案】ACD 【解析】【解析】根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】 对于 A，在

14、ABC，由正弦定理得2 sinsinsin abc R ABC ，则 : :2 sin:2 sin:2 sinsin:sin:sina b cRARBRCABC，故 A正确； 对于 B，若sin2sin2AB，则AB或 2 AB ，所以a和b不一定相等，故 B 错误； 对于 C， 若s i ns i n AB， 由正弦定理知ab， 由于三角形中， 大边对大角， 所以AB， 故 C 正确； 对于 D，由正弦定理得2 sinsinsin abc R ABC ，则 2 sin2 sin 2 sinsinsinsin bcRBRC R BCBC ，故 D正确. 故选：ACD. 【点睛】 本题考查正弦定

15、理的应用，属于基础题. 11已知已知 n S是等差数列是等差数列 * () n anN的前的前n项和，且项和，且 897 SSS，有下列四个命题，有下列四个命题， 第 7 页 共 20 页 其中是真命题的是（其中是真命题的是（ ） A公差公差0d B在所有在所有0 n S 中，中， 17 S最大最大 C 89 aa D满足满足0 n S 的的n的个数有的个数有 15 个个 【答案】【答案】ABC 【解析】【解析】由已知的不等式 897 SSS，以及 989 SSa， 878 SSa， 9789 SSaa，利用不等式的性质得出 8 a， 9 a及 89 aa的符号，进而再利用等差 数列的性质及求

16、和公式对各项进行判断，即可得到正确选项. 【详解】 89 SS，且 989 SSa， 889 SSa，即 9 0a ， 又 87 SS， 878 SSa， 787 SaS，即 8 0a ， 98 0daa，故选项A，C为真命题； 97 SS， 9789 SSaa， 7897 SaaS，即 89 0aa， 又 1158 2aaa， 115 158 15 150 2 aa Sa ， 又 11689 aaaa， 116 1689 16 80 2 aa Saa ， 又 1179 2aaa， 117 179 17 170 2 aa Sa ， 故选项B为真命题，选项D为假命题； 故选：ABC. 【点睛】

17、第 8 页 共 20 页 本题考查等差数列的性质及求和公式的综合运用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于 常考题. 12如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥EABCD中，中，CDE 是边长为是边长为2的正三角形，点的正三角形，点N为正方为正方 形形ABCD的中心，的中心，M为线段为线段DE的中点，的中点，BCDE.则下列结论正确的是（则下列结论正确的是（ ） A平面平面CDE 平面平面ABCD B直线直线BM与与EN是异面直线是异面直线 C线段线段BM与与EN的长度相等的长度相等 D直线直线EA与平面与平面ABCD所成的角的余弦值为所成的角的余弦值为 10 4 【答案】【答案】AD 【解析】【解

18、析】证明出BC平面CDE，结合面面垂直的判定定理可判断 A选项的正误；利 用空间中线线的位置关系可判断 B 选项的正误； 计算出线段BM与EN的长度， 可判断 C选项的正误；作出直线EA与平面ABCD所成的角，求出该角的余弦值，可判断 D 选项的正误. 【详解】 因为BCCD，BCDE，CDDED，所以BC平面CDE， BC 平面ABCD，所以平面ABCD平面CDE，A项正确； 连接BD，易知BM 平面BDE，EN平面BDE，所以直线BM和EN共面，B 项错 误； 设CD的中点为F，连接EF、FN，则EFCD， 平面ABCD平面CDE，平面ABCD平面CDECD，EF 平面CDE， EF平面A

19、BCD，FN 平面ABCD，EFFN， F、N分别为CD、BD的中点，则 1 1 2 FNBC， 又 22 3EFCECF ，故 22 2ENEFFN ， 第 9 页 共 20 页 22 7BMBCCM ，BMEN，故 C 项错误； 设EA与平面ABCD所成的角为，则EAF，则 10 cos 4 AF EA ，D 项正 确. 故选：AD. 【点睛】 本题是立体几何综合问题，涉及面面垂直的判断、异面直线的判断、线段长的计算以及 线面角的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 三、填空题三、填空题 13不等式不等式 2 20 xx的解集为的解集为 【答案】【答案】 1 |0 2 xx 【解析】

20、【解析】试题分析：由 2 20 xx，得 210 xx，即对应方程210 xx的两 个根分别为0 x或 1 2 x ，所以不等式 2 20 xx的解为 1 0 2 x 【考点】一元二次不等式的解法 14 某单位为了了解用电量与气温之间的关系， 随机统计了某某单位为了了解用电量与气温之间的关系， 随机统计了某 4 天的用电量与当天的气 天的用电量与当天的气 温，并制作了对照表：温，并制作了对照表： 气温气温 x（C） 2 16 12 4 用电量用电量 y（度）（度） 14 28 44 62 由表中数据得到回归直线方程由表中数据得到回归直线方程 3yxa ，则预测当气温为，则预测当气温为2 C时，

21、用电量的度数是时，用电量的度数是 第 10 页 共 20 页 _ 【答案】【答案】113 2 . 【解析】【解析】先求出样本中心点, x y，然后将其代入3yxa ，得到a，从而得到线 性回归方程，再把2x代入，求出 y 即可得解 【详解】 2 16 12417 42 x ， 14284462 37 4 y ， 把样本中心点 17 ,37 2 代入3yxa ， 得 17 373 2 a ， 所以 125 2 a ， 即 125 3 2 y x ， 当2x时， 125113 3 2 22 y . 故答案为：113 2 【点睛】 本题考查线性回归方程的特征，样本中心点一定在回归直线上 15从甲、乙

22、两品种的棉花中各抽测了从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度（单位：根棉花的纤维长度（单位：mm） ，结果如下：） ，结果如下： 甲品种：甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品种：乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎

23、叶图：由以上数据设计了如下茎叶图： 第 11 页 共 20 页 根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论： ； . 【答案】【答案】乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉 花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）. 甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散.（或：乙品种棉花的纤维长 度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）.甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品 种棉花的纤维长度的分散程度更大）. 【解析】【解析】 乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均

24、长度（或：乙品种 棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）. 甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散.（或：乙品种棉花的纤维长 度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）.甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品 种棉花的纤维长度的分散程度更大）. 甲品种棉花的纤维长度的中位数为 307 mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为 318 mm. 乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）.甲品种 棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀. 四、双空题四、双空题 16 设设A、B、C、D是半径为是半径为4的球面上四点，的球面上四点，ABC为等边三

25、角形且其面积为 为等边三角形且其面积为9 3， 则则ABC的外接圆半径为的外接圆半径为_；三棱锥三棱锥DABC体积的最大值为体积的最大值为_ 【答案】【答案】2 3 1 83 【解析】【解析】求出等边ABC的边长，利用正弦定理可求得ABC的外接圆半径； 计算出球心到平面ABC的距离d，可得出三棱锥DABC的高的最大值为4d ， 第 12 页 共 20 页 利用锥体的体积公式可求得三棱锥DABC体积的最大值. 【详解】 设等边ABC的边长为a，则 2 3 9 3 4 ABC Sa ，解得6a， 因此，ABC的外接圆半径为 6 2 3 2sin603 a r ； 如下图所示： 球心到平面ABC的距

26、离为 22 42dr ， 当点D、球心和ABC的外接圆圆心共线且球心在点D和ABC的外接圆圆心连线 的中间时，三棱锥DABC高取最大值为46d ， 因此，三棱锥DABC的体积的最大值为 11 49 3618 3 33 ABC Sd . 故答案为：2 3；18 3. 【点睛】 本题考查三角形外接圆半径的求解，同时也考查了三棱锥体积最值的求解，考查计算能 力，属于中等题. 五、解答题五、解答题 17 如图， 在如图， 在ABC中，中，45B ，10AC , 2 5 cos 5 C点点D是是AB的中点的中点, 求求 （1）边）边AB的长；的长； 第 13 页 共 20 页 （2）cosA的值和中线的

27、值和中线CD的长的长 【答案】【答案】 （1）2 （2）13 【解析】【解析】 【详解】 （ （1）由 2 5 cos0 5 ACB可知， ACB是锐角， 所以， 2 2 2 55 sin1 cos1 55 ACBACB 由正弦定理 sinsin ACAB BACB , 105 sin2 sin52 2 AC ABACB B （2）coscos(18045)cos(135)ACC 210 ( cossin), 210 CC 由余弦定理: 22 10 2cos1 102 110()13 10 CDADACAD ACA 【考点】1 正弦定理；2 余弦定理 18如图，在四面体如图，在四面体ABCD中

28、，中，CDCB ，ADBD，点，点,E F分别是分别是,AB BD的的 中点中点 （）求证：平面）求证：平面ABD 平面平面EFC； （）当）当1ADCDBD，且，且EFCF时，求三棱锥时，求三棱锥CABD的体积的体积 【答案】【答案】(1)见解析(2) 3 12 CABD V 【解析】【解析】 （I）由 CB=CD得 CFBD，由 ADBD，ADEF得 EFBD，故 BD平面 CEF，于是平面 ABD平面 EFC； 第 14 页 共 20 页 （II）由 CFBD，CFEF得 CF平面 ABD，即 CF为棱锥的高底面为直角ABD， 代入体积公式计算即可 【详解】 (）证明：ABD中， ,E

29、F分别是,AB BD的中点， /EFAD ADBD，EFBD BCD中，CBCD，F是BD的中点， CFBDCFEFF， BD面EFC，BDQ平面ABD 平面ABD 平面EFC； （）解：CBCD，F是BD的中点， CFBD，EFCF，EFBDF， CF 平面ABD， 1CBCDBD， 3 2 CF ，1ADBD，ADBD， 1 2 ABD S ， 1133 32212 CABD V 点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平 面问题求解，注意求体积的一些特殊方法分割法、补形法、等体积法. 割补法： 求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几

30、何体进行解决 等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积 (或体积)通过已知条件可以得到， 利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高， 特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或 三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值 第 15 页 共 20 页 192017 2017 高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套 与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为100分） ，并对整个

31、高三年级的分） ，并对整个高三年级的 学生进行了测试学生进行了测试. .现从这些学生中随机抽取了现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为名学生的成绩，按照成绩为 50,60 , 60,70 ,., 90,100分成分成了了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定 每名学生的成绩均不低于每名学生的成绩均不低于50分）分）. . （1 1）求频率分布直方图中的）求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数名学生成绩的平均数、中位数 （同一组中的数据用该组区间的中点值代表） ；（同一组中的数据用该组

32、区间的中点值代表） ； （2 2）若高三年级共有）若高三年级共有2000名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人分的人 数；数； （3 3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取分的三组学生中抽取6人，再从这人，再从这 6人中随机抽取人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概人被抽到的概 率率. . 【答案】【答案】(1)74, 1 73 3 . (2)1200. (3) 19 20 . 【解析】【解析

33、】试题分析：（1）根据个矩形面积和为1 可得第 4组的频率为0.2，从 而可得结果；（2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于 70分的频率为 0.3 0.2 0.10.6，从而可得成绩不低于 70分的人数；（3）根据分层抽样 方法可得这三组中所抽取的人数分别为3,2,1，列举出中任抽取3人的所有可 能结果共 20种，其中后两组中没有人被抽到的可能结果只有 1种， 由古典概 型概率公式可得结果. （1）由频率分布直方图可得第 4 组的频率为1 0.1 0.3 0.3 0.10.2， 故0.02x. 故可估计所抽取的 50 名学生成绩的平均数为 第 16 页 共 20 页 (55 0.0165

34、0.03 75 0.03 85 0.02 95 0.01) 10 74（分）. 由于前两组的频率之和为0.1 0.30.4，前三组的频率之和为0.1 0.3 0.30.7， 故中位数在第 3 组中. 设中位数为t分， 则有700.030.1t ，所以 1 73 3 t ， 即所求的中位数为 1 73 3 分. （2）由（1）可知，50 名学生中成绩不低于 70 分的频率为0.3 0.2 0.10.6， 由以上样本的频率，可以估计高三年级 2000 名学生中成绩不低于 70 分的人数为 2000 0.61200. （3）由（1）可知，后三组中的人数分别为 15,10,5，故这三组中所抽取的人数分

35、别为 3,2,1.记成绩在70,80这组的 3 名学生分别为a，b，c，成绩在80,90这组的 2 名学生分别为d，e，成绩在90,100这组的 1 名学生为f，则从中任抽取 3 人的所 有可能结果为, ,a b c，, ,a b d，, ,a b e，, ,a b f，, ,a c d，, ,a c e，, ,a c f， , ,a d e，, ,a d f，, ,a e f，, ,b c d，, ,b c e，, ,b c f，, ,b d e，, ,b d f， , ,b e f，, ,c d e，, ,c d f，, ,c e f，, ,d e f共 20 种. 其中后两组中没有人被抽

36、到的可能结果为, ,a b c，只有 1 种， 故后两组中至少有 1 人被抽到的概率为 119 1 2020 P . 【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式，以及离散型随机变量的分布列，属于难 题，利用古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事 件个数时，一定要按顺序逐个写出：先 11 (,)A B， 12 (,)A B. 1 (,) n A B，再 21 (,)A B， 22 (,)A B. 2 (,) n A B依次 31 (,)A B 32 (,)A B. 3 (,) n A B 这样才能避免多写、 漏写现 象的发生. 20某玩具所需成本费用为某玩具所需成本费

37、用为 p元，且 元，且p关于玩具数量关于玩具数量x（套）的关系为：（套）的关系为： 2 1 10005 10 pxx，而每套售出的价格为，而每套售出的价格为q元，其中元，其中 , x q xaa b b R （1）问：玩具厂生产多少套时，使得平均成本最少？）问：玩具厂生产多少套时，使得平均成本最少？ （2）若生产出的玩具能全部售出，且当产量为）若生产出的玩具能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为套时利润最大，此时每套价格为30 元，求元，求a、b的值 （利润的值 （利润销售收入销售收入成本） 成本） 第 17 页 共 20 页 【答案】【答案】 （1）玩具厂生产100套时，平

38、均成本最少； （2）25a，30b. 【解析】【解析】 （1）建立函数的解析式，利用基本不等式可求得函数的最值； （2）根据利润销售收入成本，求出利润函数，再利用当产量为150套时利润最大， 此时每套价格为30元，结合二次函数的基本性质建立条件关系，即可求出a、b的值. 【详解】 （1）由题意，每套玩具所需成本费用为 2 1 10005 10001000 10 52525 1010 xx pxx xxxx ， 当且仅当 1000 10 x x 时，即当100 x 时，每套玩具所需成本费用最少为25元； （2）利润 22 111 1000551000 1010 x yxq xpx axxxax

39、bb ， 若生产的玩具能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元， 则 5 150 11 2 10 150 30 a b a b ，解得25a，30b. 【点睛】 本题考查利用函数模型解决实际问题，同时也考查了利用基本不等式和二次函数求最 值，考查计算能力，属于中等题. 21已知数列已知数列 n a的前的前n项和项和 2 n Snn，等比数列，等比数列 n b的公比的公比(1)q q ，且，且 345 28bbb， 4 2b 是是 3 b和和 5 b的等差中项的等差中项. （1）求）求 n a和和 n b的通项公式；的通项公式； （2）令）令 2 1 1 nn n cb a

40、 ， n c的前的前n项和记为项和记为 n T，若，若2 n Tm对一切对一切 * nN成立，求成立，求 实数实数m的最大值的最大值. 【答案】【答案】 （1） * 2 n an nN， 1 2n n b （ * nN） ； （2） 8 3 【解析】【解析】 （1）利用当2n时 1nnn aSS 求出数列 n a的通项公式，结合等差中项 的定义，利用已知 345 28bbb， 4 2b 是 3 b和 5 b的等差中项，求出 4 b的值，进而 第 18 页 共 20 页 求出等比数列的公比，最后求出等比数列的通项公式； （2）利用裂项相消法和等比数列前n项和求出 n T的表达式，最后数列的单调性

41、求出实 数m的最大值. 【详解】 解:（1）1n 时， 11 2aS， 当2n时 1 2 nnn aSSn 1 2a 也符合上式，所以 * 2 n an nN， 又 345 28bbb和 435 22bbb，得 4 8b ，2q =或 1 2 q . 1q 2q =. 1 2n n b ， * nN （2） 11 22 11111 22 1412 2121 nn nn n cb annn 1 2111111111 (1)2)2 1 22335212 1 1(1 2121422 n nn n T nnnn 而 n T随着n的增大而增大，所以 1 8 22 3 n TT 故有m最大值为 8 3 .

42、 【点睛】 本题考查了已知数列 n S求通项公式，考查了等差中项的定义，考查了等比数列通项公 式和前n项和和裂项相消法，考查了数学运算能力. 22如图，在多面体如图，在多面体ABCDE中，中，AEB为等边三角形，为等边三角形， / /,ADBC BCAB 2 2CE , ,22,ABBCAD点点F为边为边EB的中点的中点. . 第 19 页 共 20 页 （）求证）求证: :/AF平面平面DEC； （）求证）求证: :平面平面DEC 平面平面EBC； （）求直线）求直线AB与平面与平面DEC所成角的正弦值所成角的正弦值. . 【答案】【答案】 （）见解析； （）见解析； （） 2 4 . 【解

43、析】【解析】 (I)取EC中点M,连结,FM DM,利用三角形中位线定理可证明ADMF是平行 四边形，可得/AFDM，由线面平行的判定定理可得结果； （）先证明AFCB， AFBE，可得AF 平面EBC ，从而可得DM 平面EBC，由面面垂直的判定 定理可得结果； （）取BC中点N,连结DN，直线AB与平面DEC所成角等于直线 DN与平面DEC所成角, 过N作NHEC,垂足为H,连接DH，HDN为直线DN与平面DEC所成角，利 用直角三角形的性质可得结果. 【详解】 (I) 取EC中点M,连结,FM DM 1 / / /, 2 ADBCFM ADBCMF， ADMF是平行四边形， /AFDM

44、AF 平面DEC，DM 平面DEC, /AF平面DEC. (II) 222 EBCBECCBBE， 又 ,CBAB ABBEBCB平面ABE AF 平面ABE AFCB， 第 20 页 共 20 页 又ABE为等边三角形，F为边EB的中点，AFBE CBBEBAF平面EBC 由(I)可知，/AFDM DM平面EBC， AF 平面DEC 平面DEC 平面EBC (III) 取BC中点N,连结DN，/DNAB 所以直线AB与平面DEC所成角即为直线DN与平面DEC所成角, 过N作NHEC,垂足为H,连接DH. 平面DEC平面EBC EC,NH 平面EBC，NHEC NH平面 DEC. DH为斜线DN在面DEC内的射影，HDN为直线DN与平面DEC所成角， 在Rt DNH中， 2 ,2 2 HNDN 2 sin 4 HN HDN DN 直线AB与平面DEC所成角的正弦值为 2 4 . 【点睛】 本题主要考查线面平行、面面垂直的证明以及线面角的求解方法，属于中档题. 证明线 面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内 找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平 行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质， 即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.