1、第 1 页 共 16 页 2019-2020 学年广东省揭阳市产业园高一下学期期末数学试学年广东省揭阳市产业园高一下学期期末数学试 题题 一、单选题一、单选题 1sin 3 的值是（的值是（ ） A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】由条件利用诱导公式进行化简求值，或利用三角函数线求值. 【详解】 由正弦函数的定义及诱导公式可知： 3 sinsin 332 ， 故选：D. 【点睛】 本题考查三角函数求值问题， 属于简单题.一般地三角函数求函数值问题遵循“大化小、 负化正、钝化锐”，然后进行求值. 2设向量设向量(2,4)a 与向量与向量( ,6)b
2、 共线，则实数共线，则实数（ ） A3 3 B4 4 C5 5 D6 6 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据向量共线的坐标表示得到方程，进而求得参数结果. 【详解】 因为向量(2,4)a 与向量( ,6)b共线，故得到2 6=4=3. 故得到答案为：A. 【点睛】 这题目考查了向量共线的坐标表示，属于基础题. 3若函数若函数 cos(0) 12 yx 的最小正周期为的最小正周期为 2 2，则，则（ ） A1 1 B2 2 C D2 【答案】【答案】C 第 2 页 共 16 页 【解析】【解析】根据 2 T 可求得结果. 【详解】 由题意知： 2 2T ，解得： 本题正确选项：C 【点睛】
3、 本题考查余弦型函数最小正周期的求解问题，属于基础题. 4下列说法正确的是（下列说法正确的是（ ） A终边相同的角一定相等终边相同的角一定相等 B831是第二象限角是第二象限角 C若角若角，的终边关于的终边关于x轴对称，则轴对称，则 360 D若扇形的面积为若扇形的面积为 3 5 ，半径为，半径为 2，则扇形的圆心角为，则扇形的圆心角为 3 10 【答案】【答案】D 【解析】【解析】A：通过举特例进行判断即可； B：把角831化为0 360 内终边相同的角，进行判断即可； C：通过举特例进行判断即可； D：根据扇形的面积公式，结合弧长公式进行判断即可. 【详解】 A：1 ,361 两个角的终边
4、相同，但是这两个角不相等，故本说法错误； B：8313 360249 ，而180249270 ，所以831是第三象限角，故 本说法错误； C：当1 ,1 时，两个角的终边关于x轴对称，而0360 ，故本说 法错误； D： 设扇形的弧长为l， 因为扇形的面积为 3 5 ， 半径为 2， 所以有 313 2 525 ll ， 因此扇形的圆心角为 3 210 l . 故选：D 【点睛】 本题考查了扇形的面积公式、弧长公式，考查了终边相同角的性质，考查了角的位置， 考查了已知两个角终边的对称性求两角的关系问题，属于基础题. 5为了了解某同学的数学学习情况，对他的为了了解某同学的数学学习情况，对他的 6
5、 次数学测试成绩进行统计，作出的茎叶次数学测试成绩进行统计，作出的茎叶 第 3 页 共 16 页 图如图所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是图如图所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是( ) A中位数为中位数为 83 B众数为众数为 85 C平均数为平均数为 85 D方差为方差为 19 【答案】【答案】C 【解析】【解析】试题分析：A 选项，中位数是 84；B 选项，众数是出现最多的数，故是 83；C 选项，平均数是 85，正确；D 选项，方差是 ，错误 【考点】茎叶图的识别相关量的定义 6向量向量1, 2a r ，2,1b r ，则（，则（ ） A /ab Bab Ca与与b的
6、夹角为的夹角为 60 Da与与b的夹角为的夹角为30 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由题意求出两向量的数量积，即可判断两向量的位置关系. 【详解】 向量1, 2a r ，2,1b r ， 1 2210a b ， ab. 故选：B. 【点睛】 本题考查数量积的坐标表示，属于基础题. 7若若 1 cos 3 ，, 2 ，则，则tan等于（等于（ ） A 2 4 B 2 4 C 2 2 D2 2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由已知利用平方关系求得sin，再由商的关系可得tan. 【详解】 第 4 页 共 16 页 解： 1 cos 3 ，, 2 ， 2 2 12 2 sin1 cos1
7、 33 . 2 2 sin 3 tan2 2 1 cos 3 . 故选：C. 【点睛】 题考查了同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.属于基础题. 8在在 ABC中中,若若 3,4,60ABACBAC ,则则BA AC =（ ） A6 B4 C-6 D-4 【答案】【答案】C 【解析】【解析】向量的点乘，=cos,BA ACBAACBA AC 【详解】 1 =cos3 46 2 BA ACAB ACABACBAC ,选 C. 【点睛】 向量的点乘，需要注意后面乘的是两向量的夹角的余弦值，本题如果直接计算的话， BAAC与 的夹角为BAC 的补角 9在在ABC中，中，AD为为BC边上的中线，边
8、上的中线，E为 为AD的中点，则的中点，则EB A 31 44 ABAC B 13 44 ABAC C 31 44 ABAC D 13 44 ABAC 【答案】【答案】A 【解析】【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 11 22 BEBABC，之后应用向量的加法运算法则-三角形法则，得到 BCBAAC ，之后将其合并，得到 31 44 BEBAAC，下一步应用相反向量，求 得 31 44 EBABAC，从而求得结果. 详解：根据向量的运算法则，可得 第 5 页 共 16 页 111111 222424 BEBABDBABCBABAAC 11131 24444 BAB
9、AACBAAC， 所以 31 44 EBABAC，故选 A. 点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中 线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程 中，需要认真对待每一步运算. 10已知已知 1 sin 63 ，则，则 2 cos2 3 （ ） A 1 5 B 2 3 C 7 9 D 5 9 【答案】【答案】C 【解析】【解析】利用诱导公式，求得cos 3 的值，再利用二倍角的余弦公式，求得 2 cos2 3 的值. 【详解】 解： 1 sincos 633 ， 则 2 227 cos22cos11 3399 ， 故选：C.
10、 【点睛】 本题考查利用诱导公式，二倍角的余弦公式求值，属于中档题. 第 6 页 共 16 页 二、多选题二、多选题 11从装有从装有 2 个红球和个红球和 2个黑球的口袋中任取个黑球的口袋中任取 2 个小球，则下列结论正确的是 个小球，则下列结论正确的是( )( ) A“至少一个红球至少一个红球”和和“都是红球都是红球”是互斥事件是互斥事件 B“恰有一个黑恰有一个黑球球”和和“都是黑球都是黑球”是互斥事件 是互斥事件 C“至少一个黑球至少一个黑球”和和“都是红球都是红球”是对立事件是对立事件 D“恰有一个红球恰有一个红球”和和“都是红球都是红球”是对立事件是对立事件 【答案】【答案】BC 【
11、解析】【解析】根据题意，写出所有的基本事件，根据互斥事件和对立事件的定义进行判断即 可. 【详解】 不妨记两个黑球为 12 ,A A，两个红球为 12 ,B B，从中取出 2 个球，则所有基本事件如下： 121112212212 ,A A AB AB A B A B B B， 恰有一个黑球包括基本事件： 11122122 ,AB AB A B A B，都是黑球包括基本事件 12 A A， 两个事件没有共同的基本事件，故互斥； 至少一个黑球包括基本事件： 1211122122 ,A A AB AB A B A B，都是红球包括基本事件 12 B B， 两个事件没有共同的基本事件， 且两者包括的基
12、本事件的并集为全部基本事件， 故对立. 故选：BC 【点睛】 本题考查对立事件和互斥事件的判断，属基础题. 12 如图所示的曲线图是如图所示的曲线图是2020年年1月月25日至日至2020年 年2月月12日陕西省及西安市新冠肺日陕西省及西安市新冠肺 炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断正确的是（炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断正确的是（ ） 第 7 页 共 16 页 A1月月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了 超过了 1 3 B1月月25日至日至2月月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例
13、都呈递增趋势 C2月月2日后到日后到2月月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例 例 D2月月8日到日到2月月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月 月6日到日到2月月8 日的增长率日的增长率 【答案】【答案】ABC 【解析】【解析】根据图表中的信息及数据对选项逐一进行判断即可. 【详解】 对于 A，1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比为 321 873 ，故 A正确， 对于 B，1月 25 日至2月 12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势， 故 B 正确， 对于 C：2月2日后
14、到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了213 11697 例，故 C 正确， 对于 D：2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率小于2月6日到2 月8日的增长率，故 D错误， 故选：ABC. 【点睛】 本题考查统计图表的应用，考查学生从统计图标中获取信息的能力，较简单. 三、三、填空题填空题 第 8 页 共 16 页 13已知向量已知向量3,1a ，则，则a _. 【答案】【答案】2. 【解析】【解析】直接根据模长的坐标运算公式求解即可. 【详解】 由向量的模长的坐标运算公式可知： 2 2 312a ； 故答案为：2. 【点睛】 本题考查向量的模长计算，属于简单题.若,ax
15、 y r ，则 22 axy. 14已知已知(1,2)A, ()2,3B, ( 2,5)C ，则，则ABC的形状是的形状是_ 【答案】【答案】直角三角形 【解析】【解析】1,2A, 2,3B, 2,5C ， AC=（3，3），AB=（1，1）； ACAB=0 所以ACAB ABC 为直角三角形； 故答案为：直角三角形 15若若 ) 0,xp，则满足，则满足 2 sin 2 x 的的x的取值范围的取值范围为为_； 【答案】【答案】 3 0 44 ， 【解析】【解析】本题首先可确定在区间 ) 0,p上 2 sin 2 x =所对应的x的值，然后可结合正弦 函数图像得出不等式 2 sin 2 x 的
16、解集 【详解】 当 ) 0,xp时，令 2 sin 2 x =，解得 4 x 或 3 4 ， 第 9 页 共 16 页 如图，绘出正弦函数图像，结合函数图像可知， 当 ) 0,xp时， 2 sin 2 x 的解集为 3 0 44 x 轹骣 麋?稳 麋? 滕 桫 ， pp p 【点睛】 本题考查三角函数不等式的解法，考查对正弦函数性质的理解，考查计算能力，体现了 基础性，是简单题 四、解答题四、解答题 16求函数求函数2cos1yx的定义域的定义域 【答案】【答案】 |22, 33 xkxkkZ 剟 【解析】【解析】2cos1yx的定义域满足2cos1 0 x，由此利用弦函数性质能求出结 果 【
17、详解】 解：2cos1yx的定义域满足： 2cos1 0 x，解得 1 cos 2 x， 解得2 2 33 kxk 剟kZ 2cos1yx的定义域是 |22, 33 xkxkkZ 剟 【点睛】 本题考查函数的定义域的求法，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用，属 于基础题 17已知已知 3 sincostancos 222 sin 2tansin f . （1）化简）化简 f； 第 10 页 共 16 页 （2）若）若是第三象限角，且是第三象限角，且 31 cos 25 ，求，求 f. 【答案】【答案】 （1） ( ) cosf=-； （2） 2 6 5 . 【解析】【解析】 （1）利
18、用正弦、余弦及正切的诱导公式将每一个式子进行化简，然后约分可得 cosf x； （2）由 31 cos 25 可得sin的值，再根据属于第三象限可求出cos的值， 代入（1）中的结果即可得出答案. 【详解】 解： （1）由题意得 sinsintansin cossintansin 2 cos sintansinsintansin f . 故 cosf x. （2）因为 331 coscossin 225 ， 所以 1 sin 5 . 又为第三象限角， 所以 2 2 6 cos1 sin 5 ， 所以 2 6 cos 5 f ， 故答案为： 2 6 5 . 【点睛】 本题考查三角函数诱导公式的运
19、用，难度一般,解答时牢记口诀：“奇变偶不变，符号 看象限”. 18设平面三点设平面三点()1,0A、 0,1B、2,5C. . 第 11 页 共 16 页 （1）试求向量）试求向量2AB AC 的模；的模； （2）若向量）若向量AB与与AC的夹角为的夹角为，求，求cos； （3）求向量）求向量AB在在AC上的投影上的投影 【答案】【答案】 （1）5 2； （2） 2 13 13 ； （3） 2 26 13 . 【解析】【解析】 （1）计算出AB、AC的坐标，可计算出2AB AC uu u ruuu r 的坐标，再利用平面向量 模长的坐标表示可计算出向量2AB AC uu u ruuu r 的模
20、； （2）由cos AB AC ABAC uu u r uuu r uu u ruuu r 可计算出cos的值； （3）由投影的定义得出向量AB在AC上的投影为cosAB uu u r 可计算出结果. 【详解】 （1）1,0AQ、0,1B、2,5C， 0,11,01,1AB uu u r ， 2,51,01,5AC uuu r ， 因此， 2 2 2175 2ABAC uu u ruuu r ； （2）由（1）知，1,1AB uu u r ，1,5AC uuu r ， 所以 2 222 1,11,542 13 cos= 13226 1115 AB AC ABAC uu u r uuu r uu
21、 u ruuu r ； （3）由（2）知向量与的夹角的余弦为 2 13 cos 13 ，且 2AB uu u r . 所以向量AB在AC上的投影为 2 132 26 cos2 1313 AB uuu r . 【点睛】 本题考查平面向量的坐标运算以及平面向量夹角的坐标表示、以及向量投影的计算，解 题时要熟悉平面向量坐标的运算律以及平面向量数量积、模、夹角的坐标运算，考查计 算能力，属于基础题. 19学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了她们的数学成绩 名学生，并统计了她们的数学成绩 （成绩均为整数且满分为（成绩均为整数且满分为150分）
22、，数学成绩分组及各组频数如下：分） ，数学成绩分组及各组频数如下： 60,75 ,2; 75,90 ,3; 90,105 ,14; 105,120 ,15; 120,135 ,12; 135,150 ,4; 第 12 页 共 16 页 样本频率分布表：样本频率分布表： 分组分组 频数频数 频率频率 60,75 2 0.04 75,90 3 0.06 90,105 14 0.28 105,120 15 0.30 120,135 A B 135,150 4 0.08 合计合计 C D （1 1）在给出的样本频率分布表中，求）在给出的样本频率分布表中，求, ,A B C D的值；的值； （2 2）估
23、计成绩在）估计成绩在120分以上（含分以上（含120分）学生的比例；分）学生的比例； （3 3）为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立）为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一二帮一”小组，即从成绩小组，即从成绩 在在135,150的学生中选两位同学， 共同帮助成绩在的学生中选两位同学， 共同帮助成绩在60,75中的某一位同学中的某一位同学. .已知甲同已知甲同 学的成绩为学的成绩为62分，乙同学的成绩为分，乙同学的成绩为120分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的 概率概率. . 【答案】【答案】(1) 12 50,12,1 5
24、0 CABD;(2)0.32;(3) 1 4 P . 【解析】【解析】分析：（1）由样本频率分布表，能求出 A，B，C，D的值 （2）由频率分布表能估计成绩在 120 分以上（含 120 分）的学生比例 （3）成绩在60，75）内有 2人，记为甲、A，成绩在135，150内有 4 人，记为乙， B，C，D，由此利用列举法能求出甲、乙同学恰好被安排在同一小组的概率 详解： （1）由样本频率分布表，得： 12 50,12,1 50 CABD. （2）估计成绩在以上120分（含120分）的学生比例为：0.24 0.080.32 第 13 页 共 16 页 （3）成绩在60,75内有2人，记为甲、A
25、成绩在135,150内有4人，记为乙，,B C D. 则“二帮一”小组有以下12种分钟办法： ,BCDBCBDCD A B A C A D ABC ABD ACD甲乙 甲乙甲乙甲甲甲乙乙乙 其中甲、乙两同学被分在同一小组有种办法：甲乙B，甲乙C，甲乙D， 甲、乙同学恰好被安排在同一小组的概率为： 31 124 P 点睛：本题考查频率分布列的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题， 注意列举法的合理运用 20某学校为了了解高中生的艺术素养，从学校随机选取男，女同学各某学校为了了解高中生的艺术素养，从学校随机选取男，女同学各 50 50 人进行研究，人进行研究， 对这对这 100100
26、名学生在音乐、美术、戏剧、舞蹈等多个艺术项目进行多方位的素质测评，并名学生在音乐、美术、戏剧、舞蹈等多个艺术项目进行多方位的素质测评，并 把调查结果转化为个人的把调查结果转化为个人的素养指标素养指标x和和y，制成下图，其中，制成下图，其中“”“”表示男同学，表示男同学，“+”“+”表表 示女同学示女同学. . 若若00.6x，则认定该同学为，则认定该同学为“初级水平初级水平”，若，若0.60.8x，则认定该同学为，则认定该同学为“中中 级水平级水平”，若，若0.81x，则认定该同学为，则认定该同学为“高级水平高级水平”；若；若100y ，则认定该同学，则认定该同学 为为“具备一定艺术发展潜质具
27、备一定艺术发展潜质”，否则为，否则为“不具备明显艺术发展潜质不具备明显艺术发展潜质”.”. （1 1）从）从 5050 名女同学的中随机选出一名，求该同学为名女同学的中随机选出一名，求该同学为“初级水平初级水平”的概率；的概率； （2 2）从男同学所有）从男同学所有“不具备明显艺术发展潜质的中级或高级水平不具备明显艺术发展潜质的中级或高级水平”中任选中任选 2 2 名，求选名，求选 出的出的 2 2 名均为名均为“高级水平高级水平”的概率；的概率； （3 3）试比较这）试比较这 100100 名同学中，男、女生指标名同学中，男、女生指标y的方差的大小（只需写出结论）的方差的大小（只需写出结论）
28、. . 【答案】【答案】 （I） 3 10 P .（） 1 5 P .（）这 100 名同学中男同学指标y的方差大于 女同学指标y的方差. 【解析】【解析】 （I）由图知，在 50 名参加测试的女同学中，指标 x0.6 的有 15 人，由此能求 出该同学为“初级水平”的概率； 第 14 页 共 16 页 （）利用古典概型概率公式即可得到结果； （）由图可知，这 100 名同学中男同学指标y的方差大于女同学指标y的方差. 【详解】 （I）由图知，在 50 名参加测试的女同学中，指标0.6x的有 15 人， 所以， 从50名女同学中随机选出一名， 该名同学为“初级水平”的概率为 153 5010
29、P . （）男同学“不具备明显艺术发展潜质的中级或高级水平”共有 6 人，其中“中级水 平”有 3 人，分别记为 1 A， 2 A， 3 A.“高级水平”有 3 人，分别记为 1 B， 2 B， 3 B， 所有可能的结果组成的基本事件有： 12 ,A A， 13 ,A A， 11 ,A B， 12 ,A B， 13 ,A B， 23 ,A A， 21 ,A B， 22 ,A B， 23 ,A B， 31 ,A B， 32 ,A B， 33 ,A B， 12 ,B B， 13 ,B B， 23 ,B B，共 15 个， 其中两人均为“高级水平”的共有 3 个，所以，所选 2 人均为“高级水平”的
30、概率 31 155 P . （）由图可知，这 100 名同学中男同学指标y的方差大于女同学指标y的方差. 【点睛】 本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思 想，是基础题 21已知已知 5 sin 13 , , 且且0 2 . . (1)(1)求求sin2的值的值; ; (2)(2)若若 4 cos 5 , ,0 2 , , 求求cos的值的值. . 【答案】【答案】(1) 120 169 ；(2) 33 65 . 【解析】【解析】 1利用同角三角函数的基本关系求得cos的值，再利用二倍角公式求得 sin2的值 2先求得sin的值，再利用两角和差的余弦公式求
31、得 coscos 的值 【详解】 解： 10 2 ， 5 sin 13 ， 2 12 cos1 sin 13 ， 120 sin22sin cos 169 第 15 页 共 16 页 2若 4 cos 5 ，0 2 ，则0 2 ， 2 3 sin1 cos 5 ， 12 45333 coscoscos cossin sin 13 513565 【点睛】 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和差的余弦公式的应用，属 于基础题 22某同学用某同学用“点法点法”作函数作函数 sin0,0, 2 f xAxA 在一个周期在一个周期 内的图象时，列出下表并填入了部分数据：内的图象时，列出
32、下表并填入了部分数据： x 12 7 12 x 0 3 2 2 sinAx 0 3 0 （）将表格数据补充完整，并求出）将表格数据补充完整，并求出 f x的表达式及单调递增区间；的表达式及单调递增区间； （）当）当 75 , 24 24 x 时，求时，求 f x的最值及对应的最值及对应x的值的值. 【答案】【答案】 （）见解析， 3sin 2 3 f xx .单调递增区间为 5 , 1212 kkkZ . （） 7 24 x 时，最小值为 3 2 2 ； 12 x 时，函数 f x取得最大值为 3. 【解析】【解析】 （）根据“五点法”的方法进行填表，根据正弦型函数的性质，结合表格的 数据进行
33、求解即可； （）利用换元法进行求解即可. 第 16 页 共 16 页 【详解】 （） x 6 12 3 7 12 5 6 x 0 2 3 2 2 sinAx 0 3 0 -3 0 根据图表可知3A， f x的周期为，所以 2 2,0,2 ， 将点,3 12 代入 3sin 2f xx，解得 3 . 所以 3sin 2 3 f xx . 由222 232 kxk ，解得 5 1212 kxk ， 所以 f x的单调递增区间为 5 , 1212 kkkZ . （）设2 3 xt ，由 75 , 24 24 x ， 3 , 44 t ， 由正弦函数的性质可知 当 4 t ，即 7 24 x 时，函数 f x取得最小值为 3 2 2 ； 当 2 t ，即 12 x 时，函数 f x取得最大值为 3. 【点睛】 本题考查了“五点法”的应用，考查了正弦型函数的周期性、单调性和最值，考查了数 学运算能力.
