1、第 1 页 共 17 页 2019-2020 学年湖北省黄冈市高一下学期期末数学试题学年湖北省黄冈市高一下学期期末数学试题 一、单选题一、单选题 1sin10 cos35cos10 sin35（ （ ） A 2 2 B 2 2 C 3 2 D 1 2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】利用两角和的正弦公式得解. 【详解】 2 sin10 cos35cos10 sin35sin(1035 )sin45 2 故选：A 【点睛】 本题考查两角和的正弦公式sin()sincoscossin，属于基础题. 2已知向量已知向量2ax， 213bx ，若，若a b ，则，则x（ ） A 1 2 B2 C1
2、 D2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】a b 等价于 /a b，利用向量共线坐标公式计算即可 【详解】 / 21 2 23 xx aba bx 故选：B 【点睛】 本题考查平面向量共线的坐标表示，属于基础题 3若等差数列若等差数列 n a满足满足 79 2aa， 10 5a ，则数列，则数列 n a的首项的首项 1 a （ ） A20 B-3 C22 D-23 【答案】【答案】C 【解析】【解析】利用等差中项得到 8 a，然后由 108=2 aad得到公差，再利用通项公式求得首 项. 【详解】 第 2 页 共 17 页 108 798818 2213722 2 aa aaaadaad ，
3、. 【点睛】 本题主要考查了等差数列的通项公式和性质. 4 在在ABC中， 内角中， 内角 A， B， C的对边分别为的对边分别为a， ， b， c， 已知， 已知 3 cos 5 A ，8a ，5b， 则则B （ ） A 4 B 6 C 3 D 5 6 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由cos0A得A为钝角，B只能为锐角，由正弦定理可得 【详解】 解： 因为 3 cos 5 A ，所以A为钝角， 4 sin 5 A ，B为锐角 由 sinsin ab AB 得 4 5 sin1 5 sin 82 bA B a ，所以 6 B 故选：B 【点睛】 本题考查正弦定理，在用正弦定理求角时需确定
4、角的范围，确定解的个数 5若直线若直线3 10 xay 与直线与直线10 xy 平行，则平行，则 a=（ ） A-3 或或-1 B-1 C-3 D 3 2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据两直线平行，得到 31 111 a ，即可求解. 【详解】 由题意，直线310 xay 与直线10 xy 平行，则 31 111 a ，解答3a. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查了两条直线的位置的判定及应用， 其中解答中熟记两直线平行的条件是解 答的关键，着重考查运算能力. 6已知点已知点 A2 3，和点和点 B10 ，是平面直角坐标系中的是平面直角坐标系中的定点，直线定点，直线1ykx与线与线
5、段段 AB始终相交，则实数始终相交，则实数 k 的取值范围是（的取值范围是（ ） 第 3 页 共 17 页 A1，2 B-2，1 C-2，-1 D 1 2 ，1 【答案】【答案】A 【解析】【解析】先得到直线1ykx过定点(0,1)N，根据斜率公式求得, NANB kk，结合图象， 即可求解. 【详解】 如图所示，直线1ykx过定点(0,1)N， 又由 3 10 1 2,1 201 0 NANB kk , 要使得直线1ykx与线段AB始终相交， 结合图象，可得实数k的取值范围是 1,2. 故选：A. 【点睛】 本题主要考查了直线的斜率公式，根据直线与线段有交点求参数的取值范围问题，其中 解答中
6、熟记直线的斜率公式，结合图象求解是解答的关键，属于基础题. 7 在在ABC中， 内角中， 内角 A， B， C的对边分别为的对边分别为a， ，b， c， 已知， 已知 A= 6 ， b=2 3c，ABC 的面积为的面积为2 3，则，则a=（ ） A2 3 B4 C 14 D2 7 【答案】【答案】D 【解析】【解析】利用三角形的面积公式列方程，由此求得, b c，利用余弦定理求得a. 【详解】 依题意 11 sin2 38 3 24 ABC SbcAbcbc， 因为2 3bc，所以 2 2 38 32,4 3bcccb， 第 4 页 共 17 页 由余弦定理得 22 3 2cos4842 4
7、322 7 2 abcbcA . 故选：D 【点睛】 本小题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理解三角形，属于基础题. 8如图，在三棱柱如图，在三棱柱 ABC- 111 ABC中，侧面中，侧面 BB1C1C为矩形，侧面为矩形，侧面 AA1B1B为菱形，且平为菱形，且平 面面 BB1C1C平面平面 AA1B1B，BAA1=600，AB=2BC=2，则异面直线，则异面直线 CA1与与 BC1所成角所成角 的余弦值为（的余弦值为（ ） A 1 3 B 1 9 C 2 5 D 1 5 【答案】【答案】D 【解析】【解析】分别取 BC、CC1、CA1、A1B1的中点 E、F、G、H，连 EF、FG、G
8、H、BH，可 证得EFG是异面直线 CA1与 BC1所成角或补角，再用余弦定理可求解 【详解】 解：如图， 分别取 BC、CC1、CA1、A1B1的中点 E、F、G、H，连 EF、FG、GH、BH，则 EFBC1， FGCA1，EG/ /BH，易得 EF= 1 15 22 BC ，FG= 1 15 22 CA ，3EGBH， 在EFG中， 222 55 3 1 44 5 25 2 4 EFFGEG cosEFG EF FG ， 所以由等角定理知， 异面直线 CA1与 BC1所成角的余弦值为 1 5 . 故选：D 【点睛】 本题考查求异面直线所成的角，求异面直线所成的角，可根据定义作出异面直线所
9、成的 第 5 页 共 17 页 角，然后证明所作图形为异面直线所成的角，最后解三角形 二、多选题二、多选题 9已知已知 ，是空间中两个不同的平面，是空间中两个不同的平面，m， ，n是空间中两条不同的直线，则给出的下是空间中两条不同的直线，则给出的下 列说法中，正确的是（列说法中，正确的是（ ） A若若m，n，则，则/m n B若若/m，m，则，则 / / C若若 ,/ /m ，则，则m D若若/ / ,m，则，则m 【答案】【答案】AD 【解析】【解析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】 根据垂直于同一个平面的两条直线相互平行，所以 A正确； 若l，当/m，m
10、时，平面与不一定平行，所以 B不正确； 由,/ /m，则m可能在平面内，所以 C 不正确； 由两平面平行，其中一个平面的垂线也一定垂直于另外一个平面，所以 D 也是正确的. 故选：AD. 【点睛】 本题主要考查了线面位置关系的判定与证明， 其中解答中熟记线面位置关系的判定定理 和性质定理是解答的关键，属于基础题. 10在在ABC中，点中，点 E，F分别是边分别是边 BC和和 AC上的中点， 上的中点，P是是 AE与与 BF的交点，则有的交点，则有 （ ） A 11 22 AEABAC B 2ABEF C 11 33 CPCACB D 22 33 CPCACB 【答案】【答案】AC 【解析】【解
11、析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】 如图： 第 6 页 共 17 页 根据三角形中线性质和平行四边形法则知， 111 ()() 222 AEABBEABBCABACABACAB , A是正确的； 因为 EF 是中位线，所以 B 是正确的； 根据三角形重心性质知，CP=2PG，所以 2211 3323 CPCGCA CBCA CB ，所以 C 是正确的，D错误. 故选：AC 【点睛】 本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用，熟记一些基本结论是求解问题的关键， 属于中档题. 11在长方体在长方体 1111 ABCDABCD中中 AA1=1，AB=2，AD=3，下列
12、选项正确的有（，下列选项正确的有（ ） A 11 BDAC B 长方体长方体 1111 ABCDABC D的外接球的的外接球的 表面积为表面积为 14 C三棱锥三棱锥 A1-BDC的体积为的体积为 1 D三棱锥三棱锥 A1-BDC1与三棱锥与三棱锥 A1-ABD的的 表面积相等表面积相等 【答案】【答案】BC 【解析】【解析】由 11 /ACBD判断 A，由长方体的对角线是外接球的直径可判断 B，根据体积 公式计算三棱锥的体积判断 C，计算出三棱锥 A1-BDC1与三棱锥 A1-ABD的表面积，可 判断 D 【详解】 解：显然 AC 不垂直于 BD， 11 /ACBD，所以 11 BDAC不成
13、立，A 错误； 易得长方体外接球半径 r= 222 1 231 2 = 1 14 2 ，所以外接球表面积= 2 414r，故 B正确； 1 ABDC V 1 111 3 211 332 BDC SAA ，所以 C 正确； 显然 111 131 1 32 11 222 B BCAA B SS ， 111 B BCAA B SS ，又 1 BDCBDCBDA SSS ，同理 11111 A DCA DDA DA SSS ，所以三棱锥 A1-BDC1的表 面积大于三菱锥 A1-ABD的表面积，故 D 错误. 故选：BC 第 7 页 共 17 页 【点睛】 本题考查长方体的性质，考查直线垂直的判断，长
14、方体的外接球，三棱锥的体积与表面 积等知识，掌握长方体中的线面位置关系是解题关键 12已知数列已知数列an， 1 1a ， 2 5a ，在平面四边形，在平面四边形 ABCD 中，对角线中，对角线 AC与与 BD交于交于 点点 E，且，且 2AEEC ，当，当 n2 时，恒有时，恒有 11 23 nnnn BDaaBAaaBC ，则（，则（ ） A数列数列an为等差数列为等差数列 B 12 33 BEBABC C数列数列an为等比数列为等比数列 D 1 4n nn aa 【答案】【答案】BD 【解析】【解析】证明 12 33 BEBABC，所以选项 B 正确；设BD tBE （0t ） ，易得
15、11 4 nnnn aaaa ， 显然 1nn aa 不是同一常数， 所以选项 A错误； 数列 1nn aa 是以4为首项， 4为公比的等比数列， 所以 1 4n nn aa ， 所以选项D正确， 易得 3 21a ， 选项 C不正确. 【详解】 因为 2AEEC ，所以 2 3 AEAC， 所以 2 () 3 ABBEABBC, 所以 12 33 BEBABC，所以选项 B 正确； 第 8 页 共 17 页 设BD tBE （0t ） ， 则当 n2 时，由 11 23 nnnn BDtBEaaBAaaBC ，所以 11 11 23 nnnn BEaaBAaaBC tt ， 所以 1 11
16、2 3 nn aa t ， 1 12 3 3 nn aa t ， 所以 11 322 nnnn aaaa ， 易得 11 4 nnnn aaaa ， 显然 1nn aa 不是同一常数，所以选项 A错误； 因为 2 a- 1 a=4， 1 1 4 nn nn aa aa ， 所以数列 1nn aa 是以 4 为首项，4为公比的等比数列， 所以 1 4n nn aa ，所以选项 D 正确， 易得 3 21a ，显然选项 C 不正确. 故选：BD 【点睛】 本题主要考查平面向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判定，考查等比数列通项 的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 三、填空题三、填空
17、题 13直线直线3320 xy的倾斜角为的倾斜角为_. 【答案】【答案】 3 【解析】【解析】根据题意，设直线3320 xy的倾斜角为，求出直线的斜率，则有 tan3 ，进而分析可得答案 【详解】 根据题意，设直线3320 xy的倾斜角为， 直线的斜率3k ， 则有tan3， 第 9 页 共 17 页 又由0，则 3 ； 故答案为： 3 【点睛】 本题考查直线的倾斜角，注意直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题 14已知等比数列已知等比数列 n a的前的前 n项和为项和为 n S， 1 4a ， 2 58 aa，则，则 3 S _. 【答案】【答案】 21 4 【解析】【解析】设等比数列 n a
18、的公比为q，根据 2 58 aa，求得q，再结合求和公式，即可 求解. 【详解】 设等比数列 n a的公比为q， 因为 2 58 aa，所以 2 47 44qq，所以 1 4 q ， 又由 1 4a ，所以 3123 21 4 saaa. 【点睛】 本题主要考查等比数列的通项公式，以及等比数列的求和，其中解答中熟记等比数列的 通项公式和求和公式是解答的关键，着重考查运算能力. 15如图，设圆如图，设圆 M的半径为的半径为 2，点，点 C是圆是圆 M上的定点， 上的定点，A，B是圆是圆 M上的两个动点，上的两个动点， 则则CA CB 的最小值是的最小值是_. 【答案】【答案】2 【解析】【解析】
19、延长 BC，作圆 M 的切线，设切点为 A1，切线与 BD的交点 D，结合数量积的 几何意义可得点 A 运动到 A1时，CA在CB上的投影最小，设CP x，将结果表示为 关于x的二次函数，求出最值即可. 【详解】 如图， 第 10 页 共 17 页 延长 BC，作圆 M的切线，设切点为 A1，切线与 BD的交点 D，由数量积的几何意义， CA CB 等于CA在CB上的投影与CB之积， 当点 A运动到 A1时，CA在CB上的投影最小； 设 BC中点 P，连 MP，MA1，则四边形 MPDA1为矩形； 设 CP=x，则 CD=2-x，CB=2x， CA CB = 2 2 2224212xxxxx，
20、0 2x ， 所以当1x 时，CA CB 最小，最小值为2， 故答案为：2. 【点睛】 本题考查平面向量数量积的几何意义， 考查了学生的作图能力以及分析问题解决问题的 能力，属于中档题. 四、双空题四、双空题 16已知平面向量已知平面向量12()a，(1)bx， .若若ab a b，则实数，则实数 x的值是的值是_； 若若 2ab 与与 2ab 的夹角为锐角，则实数的夹角为锐角，则实数 x的取值范围是的取值范围是_. 【答案】【答案】 1 3 1 1 () 2 2 ， 【解析】【解析】由向量坐标运算得0 2abx，再利用向量模长及数量积坐标运算得 解. 因为 2ab 与 2ab 的夹角为锐角，
21、得到(2 )(2 )0ab ab,列不等式得解. 【详解】 ()12a= ，(1)bx， 0 22abxabx ， 1 2a bx ， 21 2aba bxx ， 第 11 页 共 17 页 1 3 x 因为 2ab 与 2ab 的夹角为锐角， 所以(2 )(2 )0ab ab, 2 2 40ab 22 54 1x（）, 11 22 x 故答案为： 1 3 ； 1 1 () 2 2 ， 【点睛】 本题考查向量坐标运算、向量模长、数量积坐标运算及夹角公式，属于基础题. 五、解答题五、解答题 17已知向量已知向量n与向量与向量m的夹角为的夹角为 3 ，且，且1n ，3m ，0nnm. （1）求）求
22、的值的值 （2）记向量）记向量n与向量与向量3nm的夹角为的夹角为，求，求cos2. 【答案】【答案】 （1） 2 3 ； （2） 1 2 . 【解析】【解析】 （1）先建立方程13 1 cos0 3 ，再求解出 2 3 即可. （2） 先求出 3 3 2 nnm， 再求出33nm， 接着求出 1 cos 2 ， 最后求cos2. 【详解】 解： （1）由 2 13 1 cos0 3 nnmnm n ，所以 2 3 . （2）因为 2 13 3333 1 22 nnmnm n 2 22 3 33969693 2 nmnmnm nm 所以 3 31 2 cos 31 32 nnm nnm 所以
23、2 2 11 cos22cos121 22 . 【点睛】 本题考查利用平面向量的数量积求参数、平面向量的夹角公式、差向量的模的求法、二 第 12 页 共 17 页 倍角的余弦公式，是中档题. 18已知函数已知函数 2sin cosf xxx. （1）求函数）求函数 f x的值域；的值域； （2）当）当 0f x 时，求时，求 2 2sin sin2cos21 x xx 的值的值. 【答案】【答案】 （1）55 ，； （2） 1. 【解析】【解析】 （1）由辅助角公式化简可求值域； （2）由 0f x 可得 1 tan 2 x ，根据同角三角函数的基本关系求解. 【详解】 （1）因为 1 2si
24、ncos5sintan 2 f xxxx， 所以函数 f x的值域为55 ，. （2） 2sincos0f xxx， 所以 1 tan 2 x ， 所以 22 2 2sin2sinsintan 1 sin2cos212sin cos2sincossin1tan xxxx xxxxxxxx ， 【点睛】 本题主要考查了三角恒等变换，三角函数的值域，同角三角函数的基本关系，属于中档 题. 19在在ABC中，内角中，内角A BC， ，的对边分别为的对边分别为abc， ， ， 且且 sinsin sinsin BCab ABc . （1）求）求A； （2）若）若2b ， 1 () 2 ADABAC，且
25、，且1AD ，求，求ABC的面积的面积. 【答案】【答案】 （1） 2 3 A； （2） 3. 【解析】【解析】 （1）正弦定理齐次式化角为边，再利用余弦定理得解. （2）由 1 () 2 ADABAC；两边平方得 2221 (2) 4 ADABAB ACAC,代值化 简得2c ，从而求得面积. 【详解】 （1） 222222 sinsin sinsin BCbcab abcbccbab ac c ABb 第 13 页 共 17 页 所以 222 1 cos 22 Cba A bC ，0A 所以 2 3 A （2） 1 () 2 ADABAC 2221 (2) 4 ADABAB ACAC,1A
26、D 22 11 1(22 ()2 ) 42 cc ,所以2c ； 113 sin2 23 222 ABC SbcA 【点睛】 本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式及向量模长公式，属于基础题. 20已知直线已知直线 1 240lxy：与直线与直线 2 10lxy ：的交点为的交点为 A，直线，直线l经过点经过点 A， 点点 P(1，1)到直线到直线l的距离为的距离为 2，直线，直线 3 l与直线与直线 1 l关于直线关于直线 2 l对称对称. （1）求直线）求直线l的方程；的方程； （2）求直线）求直线 3 l的方程的方程. 【答案】【答案】 （1）1y 或43110 xy； （2）250 xy
27、. 【解析】【解析】 （1）利用过两直线交点的直线系方程求解，即设过点 A 的直线l： 2410 xyxy ，由点到直线距离公式求得参数，得直线方程； （2）设直线 3 l上任一点( , )M x y关于直线 2 l对称的点为 Nxy，则 2MN ll，MN 连线中点在 2 l上，且 N在 1 l上，用 , x y表示出 ,x y，xy， 代入 1 l方程即得 3 l方程 【详解】 解： （1）设过点 A 的直线l：2410 xyxy ，即 1240 xy . 点 P 到直线l距离 222 1245 2 225 12 d 解得 5 1 7 或， 分别代入直线l方程中， 所以直线143110ly
28、xy：或 （2）设直线 3 l上任一点( , )M x y关于直线 2 l对称的点为 Nxy，则 2MN ll，MN 第 14 页 共 17 页 连线中点在 2 l上，且 N在 1 l上. 所以 1 10 22 yy xx xxyy 解得 1 1 xy yx ，点 N（11yx，）代入直线 1 l： 240 xy 中，得1 2140yx ，整理得250 xy，即为所求直线 3 l 的方程. 【点睛】 本题考查求直线方程， 考查过两直线交点的直线系方程 过两直线 1111 :0lAxB yC 和 2222 :0lA xB yC的交点的直线系方程为 111222 ()0AxB yCA xB yC（
29、不含直线 2 l） ，与 1 l平行的直线系方程为 11 0AxB ym，与 1 l垂直的直线系方程为 11 0B xA ym 21 已知数列已知数列 n a满足满足 2 4a ， 1 2 nn aa （n2） ， 已知数列） ， 已知数列 n b的前的前 n项和为项和为 n S， 且满足且满足1 nn Sb . （1）求数列）求数列 n a和和 n b的通项公式；的通项公式； （2）求数列）求数列 nn a b的前的前 n项和项和. 【答案】【答案】 （1）2 n an； 1 2 n n b ； （2） 1 1 42 2 n n . 【解析】【解析】 （1） 由 1 2 nn aa （n2）
30、 得数列 n a是公差为 2的等差数列； 由1 nn Sb 得 -1-1 1 nn Sb ，两式作差得 1nnn bSS （n2） ，化简得 1 1 2 n n b b ，知 n b是公比 为 1 2 的等比数列； （2） 1 2 2 n n n a bn ，利用“错位相减法”、等比数列的前 n项和公式即可得出 【详解】 （1）在数列 n a满足 1 2 nn aa （n2） ， 所以 1 -=2 nn a a （n 2） ，且 2 4a ，所以 12 +2aa，即 1=2 a， 所以数列 n a是以2为首项，以公差为 2的等差数列， 第 15 页 共 17 页 即2+212 n ann； 已
31、知数列 n b的前 n 项和为 n S，且满足1 nn Sb . 当 n=1时， 111 1 1 2 bbb ， 当n2时， 11 1 1 11 2 n nnnnn n b bSSbb b ， 所以数列 n b是以 1 2 为首项，以公比为 1 2 的等比数列， 即 1 1 11 2 22 nn n b . 综上：2 n an； 1 2 n n b . （2）在数列 nn a b中，由（1）得 1 11 2 22 nn nn abnn ， 设 nn ab的前 n项和为 Tn， 21 111 1 123 ( )( ) 222 n n Tn , 231 111111 12( )3 ( )(1)(
32、)( ) 222222 nn n Tnn , 由-得 21 11111 1 22222 nn n Tn = 1 1 112 22 1 22 1 2 n nn nn 所以 1 1 42 2 n n Tn . 【点睛】 本题考查了利用等差数列的定义求通项公式， 等比数列的前 n项和公式求通项公式、 “错 位相减法”求数列的和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 22在三棱锥在三棱锥 D-ABC 中，底面中，底面ABC为等边三角形，为等边三角形，DB DC，且，且 DB=DC，E为为 BC 的中点的中点. 第 16 页 共 17 页 （1）证明：）证明：ADBC； （2）若平面）若平面 DBC底面
33、底面 ABC，求，求 AE与平面与平面 ADB所成角的正弦值所成角的正弦值. 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2） 7 7 . 【解析】【解析】 （1）通过证明,DEBC AEBC，证得BC平面ADE，由此证得 ADBC. （2）作出直线AE与平面ADB所成的角，解直角三角形求得该线面角的正弦值. 【详解】 （1）连接 DE，因为 DB=DC，E为 BC的中点，所以 DEBC； 又因为ABC为等边三角形，所以 AEBC； 而 DEAE=E；所以 BC平面 ADE，所以 ADBC. （2）取 BD中点 F，连 EF，AF，则 EFCD，因为 DBDC，所以 EFDB； 因为平面 DBC底
34、面 ABC，平面 DBC底面 ABC=BC，AE平面 ABC，AEBC，所 以 AE平面 DBC，所以 AEDB； 而 AEEF=E；所以 DB平面 AEF.所以 AFDB 令底面等边ABC边长为a，则 AE= 3 2 a；又 第 17 页 共 17 页 BCD为等腰直角三角形，所以 12 sin45 24 EFaa ；而 2 222 114 cos45 24 AFABBFaaa ；显然有 222 AEEFAF ， 所以AEF为直角三角形，EFAE，EAF为 AE与平面 ADB所成角；所以 2 7 4 714 4 a EF sinEAF AF a . 【点睛】 本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面角的求法，属于中档题.
