1、第 1 页 共 16 页 2019-2020 学年上海市控江中学高一下学期期中数学试题学年上海市控江中学高一下学期期中数学试题 一、单选题一、单选题 1函数函数sin sinyxx的值域是（的值域是（ ） A 0 B 2 2 , C0,2 D2,0 【答案】【答案】D 【解析】【解析】去绝对值号转化为分段函数，即可求出值域. 【详解】 因为 0,sin0 sinsin 2sin ,sin0 x yxx xx ， 由正弦函数的值域可知20 y， 故选：D 【点睛】 本题主要考查了正弦函数的值域，考查了分段函数值域的求法，属于中档题 2已知下列两个命题：已知下列两个命题：将函数将函数 4sin2y
2、x 图像向左平移图像向左平移 3 个单位得到函数个单位得到函数 4sin 2 3 yx ；函数函数cos 2 6 yx 的图像关于直线的图像关于直线 22 k x ，kZ 成轴对称其中（成轴对称其中（ ） A真真真真 B真真假假 C假假真真 D假假假假 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据图象平移变换可判断，根据余弦函数的对称轴可判断 【详解】 将函数4sin2yx图像向左平移 3 个单位得到函数 2 4sin2()4sin(2) 33 yxx ，故假； 函数cos 2 6 yx 的图像的对称轴方程为2, 6 xkkZ ，解得 212 k x ，kZ，故假. 故选：D 【点睛】 第 2 页
3、 共 16 页 本题主要考查了三角函数图象的平移变换，余弦函数的对称轴，属于中档题. 3 已知已知, a bR， “0ab”是是“ “ sinsin 44 axxfbx 是偶函数是偶函数” 的（的（ ）条件）条件. A充分非必要充分非必要 B必要不充分必要不充分 C充要充要 D非非充分非必要充分非必要 【答案】【答案】C 【解析】【解析】利用函数为偶函数 fxf x即可求解. 【详解】 根据题意可得 fxf x sinsinsinsin 4444 axbxaxbx ， 即sinsinsinsin 4444 axbxaxbx ， sinsin0 44 abxabx ， 所以2sin sin0 4
4、 abx ， 对于任意xR，恒成立， 则0ab. “0ab”是“ sinsin 44 axxfbx 是偶函数”的充要条件. 故选：C 【点睛】 本题考查了充分条件、必要条件，函数奇偶性的应用，属于基础题. 4已知函数已知函数 yf x是定义域为是定义域为 R的偶函数，当 的偶函数，当0 x时，时， 5 sin,01 42 1 1,1 4 x xx f x x ，若关于，若关于 x的方程的方程 2 55660f xaf xaaR 有且仅有有且仅有 6 个不同实数根，则个不同实数根，则 a的取值范的取值范 围是（围是（ ） 第 3 页 共 16 页 A01a或或 5 4 a B01a或或 5 4
5、a C01a或或 5 4 a D 5 1 4 a或或0a 【答【答案】案】C 【解析】【解析】运用偶函数的定义可得 ( )f x在 0 x的解析式，作出函数 ( )f x的图象，由 2 5 ( )(56) ( )60f xaf xa，解得 ( )f xa或 6 ( ) 5 f x ，结合图象，分析有且 仅有 6 个不同实数根的a的情况，即可得到a的范围 【详解】 函数( )yf x是定义域为R的偶函数， 当0 x时， 5 sin()(01) 42 ( ) 1 ( )1(1) 4 x xx f x x 剟 ， 当0 x时， 5 sin(), 10 ( )42 41,1 x xx f x x 剟
6、作函数 ( )f x的图象， 由于关于x的方程 2 5 ( )(56) ( )60f xaf xa， 解得( )f xa或 6 ( ) 5 f x ， 当01x剟时， ( )0f x ， 5 4 ，1x 时， ( )(1f x ， 5) 4 由 65 1 54 ，则 6 ( ) 5 f x 有 4 个实根， 由题意，只要( )f xa有 2个实根， 由图象可得当01a 时，( )f xa有 2个实根， 第 4 页 共 16 页 当 5 4 a 时，( )f xa有 2 个实根 综上可得：01a 或 5 4 a 故选：C 【点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的运用，考查方程和函数的转化思
7、想，运用 数形结合的思想方法是解决的常用方法 二、填空题二、填空题 5圆心角为圆心角为 1 弧度的扇形面积为弧度的扇形面积为 2,则这个扇形的半径为 则这个扇形的半径为_. 【答案】【答案】2 【解析】【解析】由题意求出扇形的半径，然后求出扇形的面积 【详解】 因为扇形的面积为 2，圆心角为 1弧度， 所以 2 1 122 2 rr 故答案为 2 【点睛】 本题是基础题，考查扇形面积的求法，注意题意的正确理解，考查计算能力 6 5sin 2 4 f xx 的单调减区间是的单调减区间是_. 【答案】【答案】,() 88 kkk Z 【解析】【解析】根据正弦函数的单调性直接求解即可. 【详解】 因
8、为 5sin 2 4 f xx ， 令22 3 2 242 xkk ，kZ 解得 37 88 xkk ，kZ， 所以函数 5sin 2 4 f xx 的单调递减区间为,() 88 kkk Z， 故答案为：,() 88 kkk Z 第 5 页 共 16 页 【点睛】 本题主要考查了正弦函数的单调性，考查了运算能力，属于容易题. 7方程方程2cos210 x 的解集是的解集是_. 【答案】【答案】 | 6 x xk 或, 6 xkkZ 【解析】【解析】根据余弦函数的图象与性质解三角方程即可. 【详解】 由2cos210 x 可得： 1 cos2 2 x ， 所以22 3 xk 或22 3 xk ，
9、()kZ 即 6 xk 或 6 xk 故答案为： | 6 x xk 或, 6 xkkZ 【点睛】 本题主要考查了余弦函数的图象与性质，三角方程的解法，属于中档题. 8若若cos2 cos3fxx，则，则sin75f _. 【答案】【答案】 2 2 2 . 【解析】【解析】由诱导公式可知sin75cos15，所以sin75cos15ff ，直接代入 公式即可求出结果. 【详解】 sin75cos152cos452 2 2 ff . 故答案为： 2 2 2 . 【点睛】 本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题. 9不等式不等式arccos arccos(1)xx 的解为的解为_ 【答案】
10、【答案】 1 0, 2 第 6 页 共 16 页 【解析】【解析】由反余弦函数的定义域及单调性可得 11 1 11 1 x x xx ，再求解即可. 【详解】 解：由函数 arccosyx 是定义在1,1的减函数， 又arccosarccos(1)xx， 则 11 1 11 1 x x xx ，解得： 1 0 2 x， 即不等式的解集为： 1 0, 2 ， 故答案为 1 0, 2 . 【点睛】 本题考查了反余弦函数的定义域及单调性，属基础题. 10在在ABC中，中， 222 sinsinsinsinsinBACAC，则角，则角B的最小值是的最小值是 _. . 【答案】【答案】 3 【解析】【解
11、析】利用正弦定理有： 222 bacac，则 222 1 cos 22 acb B ac ，则角B 的最小值是 3 11已知已知 4 cos 5 ， 3 cos 5 ，则，则tantan_. 【答案】【答案】-7 【解析】【解析】根据 4 cos 5 ， 3 cos 5 ，利用两角和与差的余弦公式展开， 再两式相加 、相减分别得到coscos、sinsin，然后利用商数关系求解. 【详解】 因为 4 cos 5 ， 3 cos 5 ， 所以 43 coscossinsin,coscossinsin 55 ， 两式相加得： 1 coscos 10 ， 第 7 页 共 16 页 两式相减得： 7
12、sinsin 10 ， 所以tantan7 ， 故答案为：-7 【点睛】 本题主要考查两角和与差的三角函数的应用以及同角三角函数的基本关系式的应用， 还 考查了运算求解的能力，属于中档题. 12函数函数 cos2f xx， ,0 2 x 的反函数是的反函数是_. 【答案】【答案】 1 ( )arccos 2 f xx 【解析】【解析】根据反余弦函数的定义及,0 2 x ，利用偶函数性质求解即可. 【详解】 因为,0 2 x ， 所以 2,0 x 由 cos2cos( 2 )f xxx，且20,x 所以2arccosxy，即 1 arccos 2 yx 故答案为： 1 ( )arccos 2 f
13、 xx 【点睛】 本题主要考查了反余弦函数，反余弦函数的值域，属于中档题. 13已知已知 m是实常数，若是实常数，若 2 cossin0 xxxm ，则，则 m的取值范围是的取值范围是 _. 【答案】【答案】 5 ,1 4 【解析】【解析】由题意可转化为 2 sinsin1mxx有解，换元求函数的值域即可. 【详解】 由 2 cossin0 xxm可得： 2 sinsin1mxx， 第 8 页 共 16 页 若 2 cossin0 xxxm ， 则方程 2 sinsin1mxx有解， 令sintx，11t ， 则 22 155 1(),1 244 yttt ， 所以只需 5 ,1 4 m ，
14、故答案为： 5 ,1 4 【点睛】 本题主要考查了含sinx的二次函数的值域，分离参数的方法，集合的概念，属于中档 题. 14ABC的三个内角的三个内角 A、B、C所对的边分别为所对的边分别为 a、 、b、c，若满足，若满足60A ，4a 的的ABC恰有一个，则恰有一个，则 c的取值范围是的取值范围是_. 【答案】【答案】 8 3 3 c 或04c 【解析】【解析】利用正弦定理表示c为sinC的函数，即可求解. 【详解】 由正弦定理可得 sin sin aC c A , 2 0, 3 C , 又60A ，4a， 所以 8sin 3 C c 在 2 0, 3 C 有唯一解， 故 8 3 3 c
15、或04c 故答案为： 8 3 3 c 或04c 【点睛】 本题主要考查了正弦定理解三角形，考查函数零点个数问题，注意转化思想的应用，属 于中档题. 15已知函数已知函数 sin0,0,f xAxb A 的最大值为的最大值为 4，最小值，最小值 为为 0，最小正周期为，最小正周期为 2 ，直线，直线 3 x 是其图像的一条对称轴，且是其图像的一条对称轴，且 42 ff ，则，则 第 9 页 共 16 页 f x的解析式为的解析式为_. 【答案】【答案】 2sin 42 6 f xx 【解析】【解析】首先根据函数的最大值和最小值，列式求,A b，根据周期公式求，再代入 对称轴 3 x ，求，最后再
16、验证，确定函数的解析式. 【详解】 1 4 f 【点睛】 本题考查根据三角函数的性质求函数的解析式，重点考查公式计算，属于基础题型. 16 在在ABC中，中， A、 B、 C所对的边所对的边分别为分别为 a、 b、 、 c， 现有下列命题：， 现有下列命题： 若若tantanAB， 则则sinsinAB；若若2abc，则，则 3 C ；若若 coscos ab BA ，则，则ABC为等为等 腰三角形；腰三角形；若若sincosAB，则，则ABC为钝角三角形；为钝角三角形；若若tantan1AB ，则，则 tantantan1ABC ；其中正确的命题是；其中正确的命题是_（请填写相应序号）（请填
17、写相应序号）. 【答案】【答案】. 【解析】【解析】取45 ,105AB验证可判断； 由2abc及基本不等式求cosC的范围，从而可判断； 由 coscos ab BA 和正弦定理可判断； 若sincosAB，则sinsin 2 AB ，结合正弦函数的单调性可判断； 若tantan1AB ，则可判断出 A、B、C均为锐角，由 tantan tantan+= 1tantan AB CA B AB ，结合均值定理可判断tantantan1ABC . 【详解】 解：令45 ,105AB，则tantanAB，但sinsinsin75AB，故错误. 若2abc，则 2 2 2 ab c ， 2 22 2
18、2 222 32 6212 cos 22882 ab ab abab abcabab C abababab ， 第 10 页 共 16 页 cosyx 在0,递减，所以 3 C ，故正确； 由正弦定理及 coscos ab BA ，得sin2sin2AB 所以AB或 2 AB ，则 ABC为等腰三角形或直角三角形，故错误. 由sincosAB，则,0, 2 A B ，0, 22 B ，sinsin 2 AB ，所以 , 22 AB AB ，则ABC为钝角三角形，故正确. 若tantan1AB ，则,0, 2 A B ，sinsincoscos ,cos0ABABAB， , 2 AB ，0, 2
19、 C ，tan0C ， tantan ,tantan+= 1tantan AB CABCA B AB ， 所以 tantantantantantan2 tantan+tanC2tan2ABCCABABC ， 所以tantantan1ABC ，故正确 综合以上有正确 故答案为：. 【点睛】 根据正余弦定理、三角函数的单调性以及基本不等式考查三角形边角之间的关系，中档 题. 三、解答题三、解答题 17已知已知tan2. . （1 1）求）求tan 4 的值；的值； （2 2）求）求 2 sin2 sinsincoscos21 的值的值. . 【答案】【答案】 （1）3； （2）1 【解析】【解析】
20、试题分析： （1）本题考察的是求三角函数的值，本题中只需利用两角和的正切 公式，再把tan2代入到展开后的式子中，即可求出所求答案 （2）本题考察的三角函数的化简求值，本题中需要利用齐次式来解，先通过二倍角公 第 11 页 共 16 页 式进行展开，然后分式上下同除以 2 cos，得到关于tan的式子，代入tan2， 即可得到答案 试题解析： （） tantan 2 1 4 tan()3. 41 2 1 1 tantan 4 （）原式 22 2sincos sinsincos2cos a 2 2tan tantan2 2 2 2 1 222 【考点】 （1）两角和的正切公式（2）齐次式的应用
21、18已知函数已知函数( )4tan sin( )cos()3 23 f xxxx ； （1 1）求）求 ( )f x的定义域与最小正周期； 的定义域与最小正周期； （2 2）求）求 ( )f x在区间 在区间, 4 4 上的单上的单调性与最值调性与最值. . 【答案】【答案】 （1）定义域 |, 2 x xkkZ，T； （2）单调递增：, 12 4 ，单调递减：, 412 ，最大值为 1，最小值为2； 【解析】【解析】试题分析：(1)简化原函数， 2sin 2 3 f xx 结合定义域求最小正 周期;(2)在给定区间上结合正弦曲线，求单调性与最值. 试题解析： 4tan sincos34tan
22、 cos cos34sin cos3 2333 f xxxxxxxxx 2 sin22 3sin3sin23cos22sin 2 3 xxxxx ； （1） f x的定义域： |, 2 x xkkZ ，最小正周期 2 2 T ； （2） 5 1 ,2,sin 21,2,1 4 436632 xxxf x ， 即最大值为 1，最小值为2，单调递增：, 12 4 ，单调递减：, 412 ， 第 12 页 共 16 页 19如图所示，扇形如图所示，扇形AOB，圆心角，圆心角AOB的大小等于的大小等于 3 ，半径为，半径为2，在半径，在半径 OA上有上有 一动点一动点 C，过点，过点 C作平行于作平行
23、于 OB的直线交弧的直线交弧 AB于点于点 P. （1）若）若 C是半径是半径 OA的中点，求线段的中点，求线段 PC的大小；的大小； （2）设）设COP，求，求POC面积的最大值及此时面积的最大值及此时的值的值. 【答案】【答案】 （1） 113 2 PC ； （2） 6 时，( )S取得最大值为 3 3 【解析】【解析】 （1）在POC中， 2 3 OCP ，2,1OPOC，由余弦定理即可求边长 PC； （2）在POC中，利用正弦定理，得到 4 sin 3 CP ， 4 sin 33 OC ，根 据三角形面积公式，将上面 2个边长代入，利用二倍角公式、降幂公式、两角和与差的 正弦公式化简表
24、达式，再求三角函数的最值即可. 【详解】 （1）在POC中， 2 3 OCP ，2,1OPOC， 由 222 2 2cos 3 OPOCPCOC PC ， 得 2 30PCPC，解得 113 2 PC ； （2）/CPOB， 3 CPOPOB ， 在POC中，由正弦定理得 sinsin OPCP PCO ，即 2 2 sin sin 3 CP ， 4 sin 3 CP ，又 2 sinsin 33 OCOP ， 4 sin 33 OC ， 记POC的面积为( )S，则 12 ( )sin 23 SCP OC ， 14434 sinsinsinsin 2323333 第 13 页 共 16 页
25、2 4312 sincossin2sincossin 2233 332 33 sin2cos2sin(2) 33363 6 时，( )S取得最大值为 3 3 . 【点睛】 本题考查解三角形中正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式以及运用三角公式进 行恒等变形，考查学生的分析能力和计算能力，属中档题. 20某同学用某同学用“五点法五点法”画函数画函数 sin0,0, 2 f xMxM 在某在某 一周期内的图像时，列表并填入部分数据，如表所示一周期内的图像时，列表并填入部分数据，如表所示. x 0 2 3 2 2 x 2 7 2 f x 0 2 - -2 0 （1）请将表中数据补充完整，填写）请
26、将表中数据补充完整，填写在相应位置，并写出在相应位置，并写出 f x的解析式；的解析式； （2）将函数）将函数 f x的图像上每一点的横坐标缩小为原来的的图像上每一点的横坐标缩小为原来的 1 3 ，纵坐标不变，得到函数，纵坐标不变，得到函数 g x的图像，的图像，a、b、c分别为锐角分别为锐角ABC的三个内角的三个内角 A、B、C的对边，若的对边，若 1g A ， 2a，求，求ABC的面积的面积 S的的最大值的的最大值. 【答案】【答案】 （1）详见解析（2）3 【解析】【解析】 （1）利用五点法作图，将表中数据补充完整，并求出 ( )f x的解析式 （2）利用 sin()yAx 的图象变换规
27、律，求得( )g x的解析式，再利用条件以及 余弦定理、基本不等求得ABC面积的最大值 【详解】 （1）请将上表数据补充完整，如表： 第 14 页 共 16 页 x 0 2 3 2 2 x 2 2 7 2 5 13 2 ( )f x 0 2 0 2 0 根据表格易知2M ， 0 2 7 2 ，解得 1 3 6 ， 故( )2sin() 36 x f x （2）将函数 ( )f x的图象每一点的横坐标缩短到原来的 1 3 倍，纵坐标不变， 得到函数( )2sin() 6 g xx 的图象， 在ABC中，若g（A）2sin()1 6 A ， 1 sin() 62 A ， 3 A ， 2BC ， 故
28、由余弦定理可得 222 42? cos2?BCACABAC ABAAC ABAC ABAC AB， 4AC AB， ABC面积为 113 sin?4?3 222 AC ABA， 故ABC面积的最大值为3 【点睛】 本题主要考查五点法作图， sin()yAx 的图象变换规律，余弦定理、基本不等 式的应用，属于中档题 21已知函数已知函数 sincos4sin29f xaxxx ，且，且139 2 4 f . （1）求）求 a的值；的值； （2）求出）求出 f x的最小正周期，并证明； （的最小正周期，并证明； （“周期周期”要证，要证，“最小最小”不用证明）不用证明） 第 15 页 共 16 页
29、 （3）是否存在正整数）是否存在正整数 n，使得，使得 f x在区间在区间0,n内恰有内恰有 2021 个零点，若存在，求出个零点，若存在，求出 n 的值；若不存在，说明理由的值；若不存在，说明理由. 【答案】【答案】 （1）9（2）证明见解析（3）存在正整数505n，理由见解析. 【解析】【解析】 （1）计算 4 x 时( )f x的值，从而解得a的值； （2）根据()( )f xf x，求得 ( )f x的最小正周期为； （3）根据 ( )f x的最小正周期为，且0 x ，)内有 4 个零点，可解得n 【详解】 （1）函数( )(sincos )4sin29f xaxxx， 令 4 x ，
30、得 24 913 9 2a ，解得9a ； （2） ()9sin()cos()4sin2()99(sincos )4sin29( )f xxxxxxxf x ， 所以 ( )f x的最小正周期为 （3）存在正整数505n，使得( )0f x 在区间0，n内恰有 2021 个零点 当0, 2 x 时，( )9(sincos )4sin29f xxxx 设sincos2sin(),1,2 4 txxxt ，则 2 sin22sin cos1xxxt， 于是 2 ( )9(sincos )4sin29495f xxxxtt ， 令 2 4950tt，得1t 或 5 1,2 4 t ， 于是0, 2
31、x ，或 00 (0) 4 xxx 或 0 2 xx ，其中 0 5 2 sin() 48 x ， 当(, ) 2 x 时，( )9(sincos )4sin29f xxxx 设sincos2sin(),(1,2 4 txxxt ，则 2 sin22sin cos1xxxt ， 于是 2 ( )9(sincos )4sin294913f xxxxtt ，令 2 49130tt， 解得1t 或 13 (1,2 4 t ，故( )f x在(, ) 2 x 没有实根 综上讨论可得，( )0f x 在0，)上有 4 个零点， 第 16 页 共 16 页 而20214 505 1 ， 所以函数在0,505有 2021 个零点. 【点睛】 本题考查三角函数的周期性及其求法， 根据三角函数的值求角的大小， 判断( )0f x 在 0, )上有 4 个零点是解题的关键，属于难题.
