1、第 1 页 共 19 页 2019-2020 学年湖南省怀化市高一下学期期末数学试题学年湖南省怀化市高一下学期期末数学试题 一、单选题一、单选题 1 为了解某地参加计算机水平测试的 为了解某地参加计算机水平测试的 5000 名学生的成绩， 从中抽取了名学生的成绩， 从中抽取了 200 名学生的成名学生的成 绩进行统计分析，在这个问题中，绩进行统计分析，在这个问题中，5000 名学生成绩的全体是（名学生成绩的全体是（ ） A总体总体 B个体个体 C从总体中抽取的一个样本从总体中抽取的一个样本 D样本样本 的容量的容量 【答案】【答案】A 【解析】【解析】试题分析：由题意得，根据抽样的概念可知，这
2、5000名学生成绩的全体是样 本的总体，故选 A. 【考点】抽样的概念. 2设设是第三象限角，且是第三象限角，且tan1，则 ，则cos（ ） A 1 2 B 2 2 C 2 2 D 1 2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由是第三象限角，可知cos0，再结合 sin tan cos 及 22 sincos1，可求出cos. 【详解】 因为 sin tan1 cos ，所以 22 sincos sincos1 ，解得 2 sincos 2 ， 又因为是第三象限角，所以cos0，即 2 cos 2 . 故选：C. 【点睛】 本题考查同角三角函数的基本关系的运用，考查学生的计算能力，属于基础题
3、. 3同时掷同时掷 3 枚硬币，那么互为对立事件的是（枚硬币，那么互为对立事件的是（ ） ） A至少有至少有 1 枚正面和最多有枚正面和最多有 1 枚正面枚正面 B最多最多 1 枚正面和恰有枚正面和恰有 2 枚正面枚正面 C至多至多 1 枚正面和至少有枚正面和至少有 2 枚正面枚正面 D至少有至少有 2 枚正面和恰有枚正面和恰有 1 枚正面枚正面 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 分别列举出至少有 1枚正面和最多有 1 枚正面， 最多 1枚正面和恰有 2枚正面， 至多 1 枚正面和至少有 2枚正面以及至少有 2 枚正面和恰有 1 枚正面的情况，利用定义 第 2 页 共 19 页 排除可得选
4、项 【详解】 同时掷 3枚硬币，至少有 1 枚正面包括有一正两反，两正一反，三正三种情况， 最多有 1枚正面包括一正两反，三反，两种情况，故 A 不正确， 最多有 1枚正面包括一正两反，三反与恰有 2 枚正面是互斥的但不是对立事件，故 B不 正确， 至多 1 枚正面一正两反，三反，至少有 2 枚正面包括 2正和三正，故 C正确， 至少有 2枚正面包括 2 正和三正，与恰有 1枚正面是互斥事件，故 D 不正确， 故选：C 【点睛】 本题考查互斥事件和对立事件的定义，考查列举法的应用，属于基础题 4某中学高三从甲、乙两个班中各选出某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛 名学生参加数学
5、竞赛,他们取得的成绩他们取得的成绩(满分满分 100分分)的茎叶如图，其中甲班学生成绩的众数是的茎叶如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是，乙班学生成绩的中位数是83， 則則x y 的值为（的值为（ ） A7 B10 C9 D8 【答案】【答案】D 【解析】【解析】甲班众数为85，故5x ，乙班中位数为83，故 3y ，所以8xy. 5若若 4 sincos 3 ，则，则sincos（ ） A 1 6 B 1 6 C 7 18 D 7 18 【答案】【答案】D 【解析】【解析】将等式 4 sincos 3 两边平方可求得sin cos的值，再利用诱导公式可 求得所求代数式的
6、值. 【详解】 由题意， 4 sincos 3 ，等式两边平方可得 16 12sincos 9 ，则 第 3 页 共 19 页 7 sincos 18 ， 由诱导公式可得 7 sincossincos 18 . 故选：D. 【点睛】 本题考查利用诱导公式化简求值，同时也考查了同角三角函数基本关系的应用，考查计 算能力，属于基础题. 6如图所示，用两种方案将一块顶角为如图所示，用两种方案将一块顶角为120，腰长为 ，腰长为2的等腰三角形钢板的等腰三角形钢板OAB裁剪裁剪 成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为 12 S , S，周长分别为，周长分别为 12 ,l
7、 l，则（，则（ ） A 12 SS=， 12 ll B 12 SS=， 12 ll C 12 SS， 12 ll D 12 SS， 12 ll 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据弧长公式lr 和扇形面积 2 1 2 Sr 扇形 求解. 【详解】 AOB 为顶角为120，腰长为 2 的等腰三角形， 30,1 6 ABOD ， 方案一中扇形的周长 1 2224 63 l ， 方案二中扇形的周长 2 22 1 1 12 33 l ， 方案一中扇形的面积 1 1 2 2 263 S ， 方案二中扇形的面积 2 2 12 1 233 S ， 所以 12 SS= ， 12 ll. 故选 A. 第
8、4 页 共 19 页 【点睛】 本题考查弧长公式，扇形面积公式. 7已知已知 3sin2020 cos2020f xxx的最大值为的最大值为 A，若存在实数，若存在实数 1 x， 2 x，使得对，使得对 任意的实数任意的实数 x，总有，总有 12 f xf xf x成立，则成立，则 12 A xx的最小值为（的最小值为（ ） A 2020 B 1010 C 505 D 4040 【答案】【答案】B 【解析】【解析】化简函数 f x的解析式可得周期与最大值，对任意的实数 x，总有 12 f xf xf x成立，即 12 xx半周期的整数倍，代入求最小值即可 【详解】 3sin2020cos202
9、02sin 2020 6 f xxxx ， 则 2 20201010 T ，2A 12 1 2 210101010 A xx 故选：B 【点睛】 本题考查正弦函数的性质，考查三角恒等变换，考查周期与最值的求法，属于中档题 8 将函数将函数 cos2f x x图象向左平移图象向左平移(0 2 )个单位后得到函数个单位后得到函数 g x的图象，的图象， 若函数若函数 g x在区间在区间, 6 6 上单调递减，且函数上单调递减，且函数 g x的最大负零点在区间的最大负零点在区间 ,0 6 上，则上，则的取值范围是（的取值范围是（ ） A, 4 3 B, 4 3 C, 6 4 D, 4 3 【答案】【
10、答案】D 【解析】【解析】求出函数 cos 22g xx，根据其在区间, 6 6 上单调递减，可得 第 5 页 共 19 页 20 3 2 3 ，再由 g x的最大负零点在区间,0 6 上，可得0 64 ， 即可得答案； 【详解】 解：将函数 cos2f xx图象向左平移(0 2 )个单位 得到函数 cos 22g xx图象， 若函数 g x在区间, 6 6 上单调递减，则 20 3 2 3 ，得 63 ， cos 220g xx，则22 2 xk (kZ)， 求得 24 k x (kZ)， 根据函数 g x的最大负零点在区间,0 6 上，0 64 ， 求得 5 412 ，由求得的取值范围为,
11、 4 3 . 故选：D. 【点睛】 本题考查三角函数的平移变换及函数的单调性、零点，考查函数与方程思想、转化与化 归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 二、多选题二、多选题 9下列说法正确的是（下列说法正确的是（ ） A随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 B连续连续 10 次掷一枚骰子，结果都是出现次掷一枚骰子，结果都是出现 1 点，可以认为这枚骰子质地不均匀 点，可以认为这枚骰子质地不均匀 C某种福利彩票的中奖概率为某种福利彩票的中奖概率为 1 1000 ，那么买，那么买 1000 张这种彩票一定能中奖张这种彩票一定能中奖 D某市气象
12、台预报某市气象台预报“明天本市降水概率为明天本市降水概率为 70%”，指的是：该市气象台专家中，有 ，指的是：该市气象台专家中，有 70% 认为明天会降水，认为明天会降水，30%认为认为不降水不降水 【答案】【答案】AB 【解析】【解析】根据频率和概率之间的关系、概率的定义可得正确的选项. 第 6 页 共 19 页 【详解】 对于 A，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故 A 正确 对于 B，如果骰子均匀，则各点数应该均匀出现，所以根据结果都是出现 1点可以认定 这枚骰子质地不均匀，故 B正确 对于 C，中奖概率为 1 1000 是指买一次彩票，可能中奖的概率为 1 1000 ，不是指
13、1000张 这种彩票一定能中奖，故 C错误 对于 D，“明天本市降水概率为 70%”指下雨的可能性为0.7，故 D 错 故选：AB 【点睛】 本题考查频率与概率的关系、 概率的定义， 注意两者之间的关系是概率是频率的稳定值， 本题属于基础题 10给出下列结论，其中真命题为（给出下列结论，其中真命题为（ ） A若若 0a rr ， 0a b ，则，则 0b B向量向量a、b为不共线的非零向量，则为不共线的非零向量，则 22 ()a bab C若非零向量若非零向量a、b满足满足 22 2 abab，则，则a与与b垂直垂直 D若向量若向量a、b是两个互相垂直的单位向是两个互相垂直的单位向量，则向量
14、量，则向量a b 与与a b 的夹角是的夹角是 2 【答案】【答案】CD 【解析】【解析】对于 A由条件推出 0b 或a b ，判断该命题是假命题；对于 B由条件推出 22 2 a bab，判断该命题是假命题；对于 C由条件判断a与b垂直，判断该 命题是真命题；对于 D 由条件推出向量ab与a b 的夹角是 2 ，所以该命题是真命 题. 【详解】 对于 A，若 0a ， 0a b ，则 0b 或a b ，所以该命题是假命题； 对于 B， 2 22 2 2 coscosa ba bab，而 22 22 abab， 由于a、b为不共线的非零向量，所以 2 cos1，所以 22 2 a bab， 所
15、以该命题是假命题； 对于 C，若非零向量a、b满足 22 2 abab， 2222 2aba bab ，所以 0a b ，则a与b垂直，所以该命题是真命题； 第 7 页 共 19 页 对于 D， 以a与b为邻边作平行四边形是正方形， 则ab和a b 所在的对角线互相垂 直，所以向量ab与a b 的夹角是 2 ，所以该命题是真命题. 故选：CD. 【点睛】 本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题. 11 已知已知ABC的面积为的面积为 3， 在， 在ABC所在的平面内有两点所在的平面内有两点 P， ， Q， 满足， 满足2 0PAPC ， 2QAQB，记，记 APQ的面
16、积为的面积为 S，则下列说法正确的是（，则下列说法正确的是（ ） A/PB CQ B 21 33 BPBABC C 0PA PC D2S 【答案】【答案】BCD 【解析】【解析】本题先确定 B是AQ的中点，P 是AC的一个三等分点，判断选项 A错误，选 项 C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项 B 正确；最后求出 2 APQ S ，故选项 D正确. 【详解】 解：因为2 0PAPC ，2QAQB， 所以 B是AQ的中点，P 是AC的一个三等分点，如图：故选项 A错误，选项 C正确； 因为 121 333 BPBAAPBABCBABABC，故选项 B正确； 因为 11 2 2 23 1 3
17、2 APQ ABC ABh S S AB h ，所以， 2 APQ S ，故选项 D正确. 故选：BCD 【点睛】 本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题. 第 8 页 共 19 页 12某学生对函数某学生对函数 sinf xx x进行研究后，得出如进行研究后，得出如下结论，其中正确的是（下结论，其中正确的是（ ） A函数函数 f x是偶函数是偶函数 B函数函数 f x在在 , 2 2 上单调递增上单调递增 C存在常数存在常数0M ，使，使| fxM x对切实数对切实数 x都成立都成立 D点点,0是函数是函数 y f x图象的一个对称中心图象的一个对称中心 【答案
18、【答案】AC 【解析】【解析】根据奇偶函数的定义判断 A,根据偶函数和单调性的关系判断 B，根据函数 sinx的最值判断 C，根据对称中心的性质判断 D. 【详解】 对于 A，函数 sinfxxxf x，易知 f x是偶函数，A正确. 对于 B，由于 f x是偶函数，因此 sinf xxx在, 2 2 上不可能单调递增，B 错； 对于 C，取1M ，sinxxx成立，说明结论是正确的； 对于 D， 333 , 222222 ffff .故点,0不是函数 yf x图像的一个对称中心，D错 故选：AC 【点睛】 本题考查判断函数的性质，重点考查奇偶性，对称性，单调性，最值，属于中档题型. 三、填空
19、题三、填空题 13 某校高三数学组有某校高三数学组有 5名党员教师， 他们一天中在学习强国平台上的学习积分依次为名党员教师， 他们一天中在学习强国平台上的学习积分依次为 35，35，40，38，52，则这，则这 5 名党员教师学习积分的方差为名党员教师学习积分的方差为_ 【答案】【答案】198 5 ； 【解析】【解析】根据一组数据的方差公式计算可得结果. 【详解】 第 9 页 共 19 页 这 5名党员教师学习积分的平均数为 3535403852 5 40， 所以这 5名党员教师学习积分的方差为 22222 (3540)(3540)(4040)(3840)(5240) 5 198 5 . 故答
20、案为：198 5 . 【点睛】 本题考查了一组数据的方差公式，属于基础题. 14已知向量已知向量2,1a ，, 2bx，若，若/a b，则 ，则a b_ 【答案】【答案】2, 1； 【解析】【解析】由向量平行的坐标运算求出参数 x，再由向量加法的坐标表示计算 【详解】 /a b， 220 x ，4x. 2,14, 22, 1ab . 故答案为：2, 1. 【点睛】 本题考查向量平行的坐标运算，考查向量的加法运算，属于基础题. 15甲甲 乙两人随意入住两间空房，则甲乙两人随意入住两间空房，则甲 乙两人各住一间房的概率是乙两人各住一间房的概率是_ 【答案】【答案】 1 2 ； 【解析】【解析】先列
21、举所有可能事件，再确定甲乙两人各住一间房所包含事件数，最后根据 古典概型概率公式求结果. 【详解】 有 4种情况：都住 1号房；都住 2号房；甲住 1 号房乙住 2号房；甲住 2 号房乙住 1号 房. 甲乙两人各住一间房有 2 种情况， 则甲乙两人各住一间房的概率是 21 = 42 故答案为： 1 2 【点睛】 本题考查列举法求古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题. 第 10 页 共 19 页 四、双空题四、双空题 16如图，在如图，在OCB中，点中，点 A是是BC的中点，点的中点，点 D是靠近点 是靠近点 B将将OB分成分成2:1的一个的一个 分点，分点，DC和和OA交于点交于点 E
22、，设，设OAa，OB b （1）用）用a，b表示向量表示向量DC uuu r _； （2）若）若OE OA ，则，则_ 【答案】【答案】 5 2 3 ab r r 4 5 【解析】【解析】 （1）由 22OCOA OBab， 22 33 ODOBb，再结合 DCOCOD ，即可得出答案； （2）由 C，E，D三点共线，可知存在实数，使得ECDC，进而由 又2ECOCOEaba， 5 2 3 DCab，可建立等式关系，从而得 22 5 1 3 ，求解即可. 【详解】 （1）因为点 A 是BC的中点，所以 1 2 OAOBOC， 所以 22OCOA OBab， 又点 D是靠近点 B将OB分成2:1
23、的一个分点，所以 2 3 ODOB， 所以 25 22 33 DCOCODabbab. （2）因为 C，E，D 三点共线，所以存在实数，使得ECDC， 又22ECOCOEabaab， 5 2 3 DCab， 所以 5 22 3 abab ， 第 11 页 共 19 页 又a，b不共线，则 22 5 1 3 ，解得 4 5 . 故答案为： （1） 5 2 3 ab r r ； （2） 4 5 . 【点睛】 本题考查平面向量基本定理的应用，考查数学转化思想和计算能力，属于基础题. 五、解答题五、解答题 17已知角已知角的顶点与原点的顶点与原点 O重合，始边与重合，始边与 x轴的非负半轴重合，它的终
24、边过点 轴的非负半轴重合，它的终边过点 34 , 55 P . （1）求）求sin的值；的值； （2）若锐角）若锐角满足满足 5 sin 13 ，求，求cos的值的值. 【答案】【答案】 （1） 4 5 ； （2） 16 65 【解析】【解析】 （1）由sin y r ， 22 rxy，可求出答案； （2）由cos x r ，可求出cos，进而由 5 sin 13 ，可求出cos，再结合 coscosssisiconn，可求出答案. 【详解】 （1）因为角的终边过点 34 , 55 P ，且 22 34 55 1r ，所以 4 sin 5 ； （2）因为角的终边过点 34 , 55 P ，且1
25、r ，所以 3 cos 5 ， 因为为锐角， 5 sin 13 ，所以 2 2 512 cos1 sin1 1313 ， 则 5 c 4 oscoscossin 1 n 31251 5 si 6 51336 . 【点睛】 本题考查利用角的终边上除原点外任意一点的坐标求三角函数值， 考查两角和的余弦公 式的运用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 第 12 页 共 19 页 18 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价， 将该产品按事先拟定的价格进行试某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价， 将该产品按事先拟定的价格进行试 销，得到如下数据：销，得到如下数据： 单价单价 x(元元) 8 8
26、.2 8.4 8.6 8.8 9 销量销量 y(件件) 90 84 83 80 75 68 （1）当）当 20b 时，求回归直线方程时，求回归直线方程y bxa ； （2）预计在今后的销售中，销量与单价服从（）预计在今后的销售中，销量与单价服从（1）中的关系，且该产品的成本是）中的关系，且该产品的成本是 5 元元/ 件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？多少元？(利润利润=销售收入销售收入-成本成本) 【答案】【答案】 （1）20250 y x ； （2）应定为 35 4 元. 【解析】【解析】 （1）利用公式求解出, x y的值，求解
27、b，代入回归方程求得a的值，即可得到 回归直线的方程； （2）设工厂获得的利润为 L元，得到关于L的函数关系式，利用二次函数求最值即可 得出答案. 【详解】 （1）根据表中数据，计算 1 88.28.48.68.898.5 6 x ， 1 90848380756880 6 y ， 且 20b ， 80208.5250aybx ， y关于 x 的线性回归方程为 20250yx . （2）设工厂获得的利润为 L元， 则 2 35 2025052025020281.25 4 Lxxxx ， 则该产品的单价应定为 35 4 元时，工厂获得的利润最大. 【点睛】 本题主要考查了回归直线的方程的求解，以及
28、利用二次函数求最值，其中解答中熟记基 本计算公式，准确计算，以及认真审题，得到函数的关系式是解答的关键，着重考查了 第 13 页 共 19 页 分析问题和解答问题的能力，属于中档题. 19已知函数已知函数 sinf xA x(0A，0，)的一段图象如图所的一段图象如图所示示. （1）求函数）求函数 f x的单调递增区间；的单调递增区间； （2）若）若 3 , 84 x ，求函数，求函数 f x的值域的值域. 【答案】【答案】 （1） 5 , 88 kk kZ； （2）2,2 【解析】【解析】（1） 易知2A， 由 13 288 T ， 及 2 T ， 可求出， 进而将点 ,2 8 代入 f x
29、中，可求出，即可得到函数 f x的表达式，进而求出单调递增区间即可； （2）由x的范围，可求出 3 2 4 x 的范围，再结合正弦函数的性质，可求出 f x的值 域. 【详解】 （1）由题意可知2A，因为 13 2882 T ，所以T ， 所以 2 2 T ，此时 2sin 2f xx， 把点 ,2 8 代入 f x表达式，得 sin1 4 ， 则 2 42 k，即 3 2 4 k， 又，故 3 4 ，故 3 2sin 2 4 f xx ， 令 3 2 22 242 kxkkZ， 第 14 页 共 19 页 解得 5 88 kxk kZ， 函数 f x的单调增区间为 5 , 88 kk kZ.
30、 （2） 3 , 84 x ， 35 20, 44 x ， 当 35 2 44 x 即 4 x 时， f x取得最小值， min 5 2sin2 4 f x ； 当 3 2 42 x 即 8 x 时， f x取得最大值， max 2sin2 2 f x. 函数 f x的值域为2,2 . 【点睛】 本题考查了利用三角函数的图象求函数的解析式，考查求三角函数的值域，考查学生的 计算求解能力，属于基础题. 20已知向量已知向量m(cosx，sinx)，n(cosx，sinx)，函数 ，函数 1 ( ) 2 f xm n （1）若）若( )1 2 x f，x(0，)，求，求 tan(x 4 )的值；的
31、值； （2）若）若 1 ( ) 10 f ，( 2 ， 3 4 )， 7 2 sin 10 ，(0， 2 )，求，求2的值的值 【答案】答案】 （1）23； （2） 7 4 【解析】【解析】 （1）由向量m(cosx，sinx)，n(cosx，sinx)，利用数量积运算得到 f(x) cos2x 1 2 ，根据 f( 2 x )1，求得 cosx 1 2 ，得到 x 3 ，然后利用两角和的正切公 式求解. （2）由 f() 1 10 ，得到 cos2 3 5 ，进而得到 sin2 4 5 ，再由 sin 7 2 10 ， 得到 cos 2 10 ， 然后利用两角和的余弦公式求解. 【详解】 （
32、1）因为向量m(cosx，sinx)，n(cosx，sinx)， 第 15 页 共 19 页 所以 f(x)mn 1 2 cos2xsin2 x 1 2 cos2x 1 2 因为 f( 2 x )1， 所以 cosx 1 2 1， 即 cosx 1 2 又因为 x(0，) ， 所以 x 3 ， 所以 tan(x 4 )tan( 3 4 ) tantan 34 1tantan 34 2 3 （2）若 f() 1 10 ，则 cos2 1 2 1 10 ，即 cos2 3 5 因为 ( 2 ， 3 4 )， 所以 2(， 3 2 )， 所以 sin2 2 1 cos 2a 4 5 因为 sin 7
33、 2 10 ，(0， 2 )， 所以 cos 2 1 sin 2 10 ， 所以 cos(2)cos2cossin2sin( 3 5 ) 2 10 ( 4 5 )7 2 10 2 2 又因为 2(， 3 2 )，(0， 2 )， 所以 2(，2)， 所以 2 的值为 7 4 【点睛】 本题主要考查三角恒等变换与平面向量，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 21某中学有初中学生某中学有初中学生 1800 人，高中学生人，高中学生 1200 人为了解全校学生本学期开学以来 人为了解全校学生本学期开学以来(60 天天)的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了的课外阅读时间，学校采用分层抽样
34、方法，从中抽取了 100 名学生进行问卷调查名学生进行问卷调查.将将 样本中的样本中的“初中学生初中学生”和和“高中学生高中学生按学生的课外阅读时间按学生的课外阅读时间(单位：小时单位：小时)各分为各分为 5 组：组： 0,10，10,20，20,30，30,40，40,50，得其频率分布直方图如图所示，得其频率分布直方图如图所示. 第 16 页 共 19 页 （1）估计全校学生中课外阅读时间在）估计全校学生中课外阅读时间在30,40小时内的总人数是多少；小时内的总人数是多少； （2）从课外阅读时间不足）从课外阅读时间不足 10 个小时的样本学生中随机抽取个小时的样本学生中随机抽取 3 人，求
35、至少有人，求至少有 2个初中生个初中生 的概率；的概率； （3）国家规定：初中学生平均每人每天课外阅读时间不小于半小时若该校初中学生课）国家规定：初中学生平均每人每天课外阅读时间不小于半小时若该校初中学生课 外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间.根据以上抽样调查数据，根据以上抽样调查数据， 该校是否需要增加初该校是否需要增加初中学生课外阅读时间？中学生课外阅读时间？ 【答案】【答案】 （1）720人； （2） 7 10 ； （3）该校需要增加初中学生课外阅读时间. 【解析】【解析】 （1）先利用分层抽样确定初中生和高中生的人数
36、，再利用频率分布直方图求解 初中生和高中生阅读时间在30,40小时内频率，即可得出结果； （2）先求出阅读时间 不足 10个小时的初中生和高中生的人数，再利用列举法求出总的事件个数和满足题意 的事件个数，利用古典概率模型求解即可； （3）利用频率分布直方图求解出平均数，判 断即可得出结论. 【详解】 解： （1）由分层抽样知，抽取的初中生有 1800 10060 1800 1200 名， 高中生有100 6040名， 初中生中，阅读时间在30,40小时内的频率为 10.005 0.03 0.040.005100.20， 所有的初中生中，阅读时间在30,40小时内的学生约有0.2 1800360
37、人； 同理，高中生中，阅读时间在30,40小时内的频率为 10.005 0.025 0.035 0.005100.30， 学生人数约有0.30 1200360人， 第 17 页 共 19 页 该校所有学生中，阅读时间在30,40小时内的学生人数约有360 360720人. （2）记“从阅读时间不足 10 个小时的样本学生中随机抽取 3人，至少抽到 2名初中生” 为事件 A， 初中生中，阅读时间不足 10 个小时的学生频率为0.005 100.05， 样本人数为0.05 603人； 高中生中，阅读时间不足 10 个小时的学生频率为0.005 100.05， 样本人数为0.05 402人 记这 3
38、 名初中生为 ABC，这 2 名高中生为 de， 则从阅读时间不足 10个小时的样本学生中随机抽取 3 人，所有可能结果共 10种， 即：ABC，ABd，ABe，ACd，ACe，Ade，BCd，BCe，Bde，Cde； 而事件 A 的结果有 7种， 它们是：ABC，ABd，ABe，ACd，ACe，BCd，BCe； 至少抽到 2名初中生的概率为 7 10 P A ； （3）初中生平均每阅读时间 5 0.05 15 0.3 25 0.4 35 0.2 45 0.0524 (小时)， 60 0.530(小时)， 因为2430，该校需要增加初中学生课外阅读时间. 【点睛】 本题主要考查了频率分布直方图
39、的应用，考查了古典概率模型概率的求法，考查了利用 频率分布直方图求解平均数的问题，考查了运算求解能力.属于中档题. 22将函数将函数 sinyx 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍倍(纵坐标不变纵坐标不变)，再将，再将 所得所得的图象向左平移的图象向左平移 6 个单位长度后得到函数个单位长度后得到函数 f x的图象的图象. （1）写出函数）写出函数 f x的解析式；的解析式； （2）求实数）求实数 a和正整数和正整数 n，使得，使得 F xf xa在在0,n上恰有上恰有 2020 个零点个零点. 【答案】【答案】（1） sin 2 3 fxx ；（
40、2） 当1a 或1a时，2020n； 当 3 1 2 a 或 3 1 2 a时，则1010n . 【解析】【解析】 （1）根据周期变换和平移变换的结论可得答案； （2） 把已知条件转化为函数 f x与y a 在0,n上有2020个交点， 当0,x时， 第 18 页 共 19 页 求出2 3 x 的取值范围，对a进行分情况讨论即可得出结果. 【详解】 （1）把函数 sinyx 上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍， 得到函数sin2yx， 再向左平移 6 个单位长度后得到函数 sin 2sin 2 63 f xxx ， 故函数 f x的解析式为 sin 2 3 fxx ； （2）因为 F x
41、f xa在0,n上恰有 2020个零点， 故函数 f x与y a 在0,n上有 2020个交点， 当0,x时， 7 2, 333 x ， 当1a 或1a 时，函数 f x与y a 在0,n上无交点； 当1a 或1a时，函数 f x与y a 在0,上仅有一个交点， 此时要使得函数 f x与y a 在0,n上有 2020个交点， 则2020n； 当 3 1 2 a 或 3 1 2 a时， 函数 f x与y a 在0,上 2个交点， 此时要使得函数 f x与y a 在0,n上的交点个数为 2020， 则1010n； 当 3 2 a 时， 函数 f x与y a 在0,上3个交点， 此时要使得函数 f x的图象与y a 在0,n上有 2020个交点， 此时 n 值不存在； 综上可得，当1a 或1a时，2020n； 第 19 页 共 19 页 当 3 1 2 a 或 3 1 2 a时，则1010n . 【点睛】 本题主要考查了分类讨论思想，考查了三角函数的图象变换，利用三角函数的零点个数 求参数的问题.属于中档题.
