1、第 1 页 共 16 页 2019-2020 学年吉林省吉林市吉化一中高一下学期期末数学学年吉林省吉林市吉化一中高一下学期期末数学 （文）试题（文）试题 一、单选题一、单选题 1已知已知ABC中，中，4a，4 3b ，30A ，则，则B等于（等于（ ） ） A60或或120 B30 C60 D30或或150 【答案】【答案】A 【解析】【解析】应用正弦定理，得到 sin sin bA B a ，再由边角关系，即可判断 B 的值. 【详解】 解：4a，4 3b ，30A ， 由 sinsin ab AB 得 1 4 3 sin3 2 sin 42 bA B a ， ,abAB， B60或120.
2、 故选：A. 【点睛】 本题考查正弦定理及应用，考查三角形的边角关系，属于基础题，也是易错题. 2已知已知 1 cos 63 ，则，则sin 3 的值为（的值为（ ） A 1 3 B 1 3 C 2 3 3 D 2 3 3 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据 632 ，结合诱导公式即可计算. 【详解】 因为 632 ，所以利用诱导公式可得： 1 sinsinsincos 3622663 . 故选：A. 第 2 页 共 16 页 【点睛】 本题考查诱导公式求函数值，是基础题. 3等差数列等差数列 n a中，中， 15 10aa， 4 7a ，则数列，则数列 n a的公差为（的公差为（ ）
3、A1 B2 C3 D4 【答案】【答案】B 【解析】【解析】设数列 n a的公差为d，则由题意可得 1 2410ad， 1 37ad，由此解 得d的值 【详解】 解：设数列 n a的公差为d，则由 15 10aa， 4 7a ， 可得 1 2410ad， 1 37ad， 解得2d . 故选：B 【点睛】 本题考查等差数列的通项公式的应用，由已知条件求基本量 4设设 a，b，c，dR，且，且 ab，c d，则下列不等式中一定成立的是（，则下列不等式中一定成立的是（ ） Aacbd Bacbd Cacbd D ab dc 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据不等式的性质，可得A的正误；再令1,
4、2,2,1abcd ，可判断 ,B C D的正误. 【详解】 由,ab cd，根据不等式的性质，可得acbd ，故A正确； 令1,2,2,1abcd ， B：122 1 不成立，故B错误； C： 1 22 1 不成立，故C错误； D： 12 12 不成立，故D错误. 故选：A. 【点睛】 本题考查不等式的性质，考查特殊值法的应用，属于基础题. 第 3 页 共 16 页 5已知等比数列已知等比数列 n a满足满足 58 2aa， 67 8aa ，则，则 3 q （ ） A 1 2 B-2 C 1 2 或或-2 D2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据等比数列的性质， 得到 58 8aa ，
5、再由 58 2aa，求出 5 a， 8 a，即 可得出结果. 【详解】 由等比数列的性质可知， 5867 8aaaa ， 58 2aa，所以 55 28aa，解得 5 4a 或 5 2a ， 若 5 4a ，则 8 2a ，所以 3 8 5 1 2 a q a ； 若 5 2a ，则 8 4a ，所以 3 8 5 2 a q a . 故选：C. 【点睛】 本题主要考查等比数列性质的应用，属于基础题型. 6在在ABC中，内角中，内角 , ,A B C的对边分别为 的对边分别为, ,a b c. .若若ABC的面积为的面积为S，且，且1a ， 22 41Sbc，则，则ABC外接圆的面积为（外接圆的
6、面积为（ ） A4 B2 C D 2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 由余弦定理及三角形面积公式可得 222 2cosbcabcA和 1 sin 2 SbcA， 结合条件 22 41Sbc， 可得sincosAA， 进而得 4 A ， 由正弦定理可得结果 【详解】 由余弦定理得， 222 2cosbcabcA ，1a 所以 22 12cosbcbcA 又 1 sin 2 SbcA， 22 41Sbc， 所以有 1 4sin2cos 2 bcAbcA， 即sincosAA，所以 4 A ， 第 4 页 共 16 页 由正弦定理得， 1 2 sin 4 R ，得 2 2 R 所以ABC外接圆
7、的面积为 2 答案选 D 【点睛】 解三角形问题多为边角求值的问题，这就需要根据正弦定理、余弦定理结合已知条件， 灵活选择，它的作用除了直接求边角或边角互化之外，它还是构造方程（组）的重要依 据，把正、余弦定理，三角形的面积结合条件形成某个边或角的方程组，通过解方程组 达到求解的目标，这也是一种常用的思路 7若平面向量若平面向量a与与b的夹角为的夹角为60， ，| 4b ，(2 )?(3 )72abab ，则向量，则向量a的的 模为（模为（ ） A2 B4 C6 D12 【答案】【答案】C 【解析】【解析】2?372abab ， 2 2 672aabb ，又 cos60aba b， 2 224
8、0aa，则6a ，故选C 8 函数函数 2sin0, 22 f xx 的部分图象如图所示， 则的部分图象如图所示， 则，的的 值分别是（值分别是（ ） A2， 3 B2， 6 C4， 6 D4， 3 【答案】【答案】A 【解析】【解析】利用正弦函数的周期性可得 22 T ，进而求得，再利用 5 12 x 时取得最大 值可求得值. 【详解】 在同一周期内，函数在 5 12 x 时取得最大值， 11 12 x时取得最小值， 第 5 页 共 16 页 函数的周期T满足 115 212122 T ，由此可得 2 T ，解得2， 函数表达式为 2sin 2f xx.又当 5 12 x 时取得最大值 2，
9、 2sin 22 12 ，可得 5 62 kkZ ， 22 ， 取0k ，得 3 . 故选：A. 【点睛】 本题考查由sinyAx的部分图象确定函数解析式，考查正弦函数的周期性和 最值，属于基础题. 9若变量若变量 , x y满足约束条件 满足约束条件1 1 yx xy y ，且，且2zxy的最大值和最小值分别为的最大值和最小值分别为m和和 n，则，则mn（ ） A- -2 2 B- -1 1 C0 0 D1 1 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 作出不等式组对应的平面区域如图：由2zxy，得2yxz ，平移直线 2yxz ， 由图象可知当直线2yxz 经过点A， 直线2yxz 的截距最小
10、， 此时z最小，由 1 y yx 解得 1 1 x y 即( 1, 1)A ，此时213z ，此时 3n，平移直线 2yxz ，由图象可知当直线2yxz 经过点B直线 2yxz 的截距最大，此时z最大，由 1 1 y xy 解得 2 1 x y 即(2, 1)B，此 第 6 页 共 16 页 时2 2 13z ，即3m，则 3( 3)0mn ，故选 C. 10已知函数已知函数 2 2 4 ,0 ( ) 4,0 xx x f x xxx ，若，若 2 2( )faf a，则实数，则实数a的的取值范围是取值范围是 （ ） A( 2,1) B( 1,2) C( , 1)(2,) D (, 2)(1,
11、) 【答案】【答案】A 【解析】【解析】代入特殊值对选项进行验证排除，由此得出正确选项. 【详解】 若0a， 2 0212,00,120fff符合题意，由此排除 C,D 两个选项. 若1a ，则 2 2 11ff不符合题意，排除 B选项.故本小题选 A. 【点睛】 本小题主要考查分段函数函数值比较大小，考查特殊值法解选择题，属于基础题. 11 当当 4 x 时， 函数时， 函数 0f xAsin xA取得最小值， 则函数取得最小值， 则函数 3 4 yfx 是是( ( ) ) A奇函数且图象关于点奇函数且图象关于点 ,0 2 对称对称 B偶函数且图象关于点偶函数且图象关于点 ,0对称对称 C奇
12、函数且图象关于直线奇函数且图象关于直线 2 x 对称对称 D偶函数且图象关于点偶函数且图象关于点 ,0 2 对称对称 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由题意可得1 4 sin ，解得 3 2 4 k ，kZ，从而可求 3 sin 4 yfxAx ，利用正弦函数的图象和性质即可得解 【详解】 由 4 x 时函数 0f xAsin xA取得最小值， 第 7 页 共 16 页 4 AAsin ，可得：1 4 sin ， 2 42 k ，kZ，解得： 3 2 4 k ，kZ， 3 4 f xAsin x ， 333 sinsin 444 yfxAxAx ， 函数是奇函数且图象关于直线 2 x 对称
13、，故选 C 【点睛】 本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了数形结合能力，熟练掌握三角函数的性 质是解题的关键，属于基础题 12 已知等差数列已知等差数列 n a的公差的公差0d ， 且， 且 1313 ,a a a成等比数列， 若成等比数列， 若 1 1a ， n S为数列为数列 n a 的前的前n项和，则项和，则 26 3 n n S a 的最小值为（的最小值为（ ） A4 B3 C2 32 D2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】由题意得 2 (1 2 )1 12dd ，求出公差d的值，得到数列 n a的通项公式， 前n项和，从而可得 26 3 n n S a ，换元，利用基本不等
14、式，即可求出函数的最小值 【详解】 解： 1 1a ， 1 a、 3 a、 13 a成等比数列， 2 (12 )1 12dd 得2d 或0d （舍去） ， 21 n an， 2 (121) 2 n nn Sn ， 2 22 11426263 32211 2 n n nnSnn annn 第 8 页 共 16 页 令1tn，则 2644 2222 3 n n S tt att 当且仅当2t ，即1n 时， 26 3 n n S a 的最小值为 2 故选：D 【点睛】 本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中 档题 二、填空题二、填空题 13已知向量已知向量,1
15、2OAk， 4,5OB，,10 OCk，且，且A、B、C三点共线，三点共线， 则则k _ 【答案】【答案】 2 3 【解析】【解析】先求出,AB BC的坐标，再根据A、B、C三点共线求出k的值. 【详解】 由题得(4, 7)ABOBOAk， (4,5)BCOCOBk ， 因为A、B、C三点共线， 所以 =ABBC ， 所以(4) 57(4)0kk ， 所以 2 3 k . 故答案为： 2 3 【点睛】 本题主要考查向量的坐标运算和共线向量，考查三点共线，意在考查学生对这些知识的 理解掌握水平. 14已知函数已知函数 2 3 (0) 1 x yx xx ，则函数的值域是，则函数的值域是_ 【答案
16、】【答案】3,0) 第 9 页 共 16 页 【解析】【解析】函数 2 3 (0) 1 x yx xx 即为 3 1 1 y x x ，运用基本不等式，求得 1 2x x ，即可得到函数y的值域. 【详解】 函数 2 3 0 1 x yx xx ， 化为 3 1 1 y x x ， 由于0 x，则 11 2xx xx ， 则有 1 11x x ，则有3y ，且0y ， 所以函数的值域为3,0，故答案为3,0. 【点睛】 本题考查函数的值域的求法，考查基本不等式的运用，属于中档题. 求函数值域的 基本方法：观察法；利用常见函数的值域；分离常数法；换元法；配方 法；数形结合法；单调性法（也可结合导
17、数） ；基本不等式法，利用基本不 等式2abab求最值，注意应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”； 判别式法；有界性法 15在在ABC中，若中，若45 ,15 ,2 BCb，则该三角形的最长边等于，则该三角形的最长边等于_. 【答案】【答案】6 【解析】【解析】由三角形内角和定理先求得角A，结合三角形中“大角对大边，小角对小边” 的性质判断出a为最大边，由正弦定理即可得解. 【详解】 在ABC中，45 ,15 ,2 BCb， 所以 4515121800A ， 由三角形中“大角对大边，小角对小边”的性质可知a为最大边， 由正弦定理可知 sinsin ab AB ， 第 10 页 共 16 页
18、 代入可知 3 2 sin 2 6 sin2 2 bA a B ， 故答案为：6. 【点睛】 本题考查了三角形性质的简单应用，正弦定理解三角形的应用，属于基础题. 16已知数列已知数列 n a的通项公式为的通项公式为1 2n n an，若不等式，若不等式 2 235 n nna对任对任 意意 * nN恒成立，则整数恒成立，则整数的最大值为的最大值为_. 【答案】【答案】4 【解析】【解析】根据题意等价变形得 23 5 2n n 对任意 * nN恒成立，再求数列 23 2 n n n b 的最大值即可得答案. 【详解】 解：102n n an， 不等式 2 235 n nna等价于 23 5 2
19、n n ， 记 23 2 n n n b ， 1 1 21 21 2 23 46 2 n n n n n bn n bn ， 3n时， 1 1 n n b b ，即3n时数列单调递减， 又 12 11 , 24 bb ， 3 max 3 8 n bb， 3 5 8 ，即 337 5 88 ， 整数的最大值为 4. 故答案为：4. 【点睛】 本题考查根据数列不等式恒成立求参数，考查化归转化思想，是中档题. 三、解答题三、解答题 第 11 页 共 16 页 17已知已知aR，若关于，若关于 x的不等式的不等式 2 (1)460a xx-+ 的解集是的解集是( 3,1) (1)(1)求求 a的值；的
20、值； (2)(2)若关于若关于 x的不等式的不等式 2 30axbx在在0,2上恒成立，求实数上恒成立，求实数 b的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】(1)3；(2)6b 【解析】【解析】(1)将1x 代入方程 2 (1)460a xx-+ =，即可求出a的值； (2)由(1)可知不等式 2 330 xbx在0,2上恒成立，利用分离参数即可求出b的取值 范围. 【详解】 (1)1和3是 2 (1)460a xx-+ =的两根，将1x 代入方程解得3a ； (2)由(1)可知不等式 2 330 xbx在0,2上恒成立， 即 2 33bxx 在0,2上恒成 立， 当0 x时，03恒成立，此时a
21、R； 当2(0,x时，不等式可转化为 1 3()bx x 在0,2上恒成立， 因为 11 3()3 26xx xx ，当且仅当 1 x x ，即1x 时，等号成立， 所以6b ，所以6b, 综上，实数 b的取值范围为6b. 【点睛】 本题主要考查三个二次式关系的应用，不等式恒成立问题的求法，属于中档题. 18已知已知, , a b c分别是 分别是ABC内角内角, ,A B C的对边，的对边， 2 sin2sin sinBAC （1 1）若）若ab，求，求cos ;B （2 2）若）若90B ，且，且2,a 求求ABC的面积的面积 【答案】【答案】 （1） 1 4 ； （2）1 【解析】【解析
22、】试题分析： （1）由 2 sin2sinsinBAC，结合正弦定理可得： 2 2bac，再 利用余弦定理即可得出cos;B （2）利用（1）及勾股定理可得 c，再利用三角形面积计算公式即可得出 试题解析： （1）由题设及正弦定理可得 2 2bac 第 12 页 共 16 页 又ab，可得2 ,2bc ac 由余弦定理可得 222 1 cos 24 acb B ac （2）由（1）知 2 2bac 因为90B ，由勾股定理得 222 acb 故 22 2acac，得2ca 所以的面积为 1 【考点】正弦定理，余弦定理解三角形 19已知数列已知数列 n a为正项等比数列，为正项等比数列， 1 1
23、a ；数列；数列 n b满足满足 21 12 23 3 3,ba ba ba b323 2n n n a bn. （1）求）求 n a； （2）求）求 1 1 nn b b 的前的前n项和项和 n T. 【答案】【答案】 （1） 1 2n n a - =； （2） 21 n n T n 【解析】【解析】 （1）首先令1n 和2n求出 2 2a ，从而得到公比 2 1 2 a q a ，再求通项公 式即可. （2）首先根据已知求出21 n bn，再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】 （1）令1n ，得 1 1 323 21ab ，所以 1 1b ， 令2n，得 2 1 122 3(43) 27
24、aba b， 所以 2 2 6a b ，又 2 3b ，所以 2 2a ， 设数列 n a的公比为q， 则 2 1 2 a q a ，所以 1 2n n a - =； （2）当2n时， 1 1 12211 3 2(1)32n nn aba babn 第 13 页 共 16 页 又 3 31 122 3(23)2n nn aba ba bbna， 11 3(23)23(25)2(21)2 nnn nn a bnnn ， 因为 1 2n n a - =，所以21 n bn，1n 时也成立，所以21 n bn. 1 11111 () (21)(21)2 2121 nn b bnnnn ， 所以 11
25、1111 (1)()() 23352121 n T nn 111111 (1)() 23213521nn 11 (1) 22121 n nn . 【点睛】 本题第一问考查等比数列的通项公式，第二问考查由前n项和求通项，同时考查了裂项 求和，属于中档题. 20设设 x、y满足约束条件满足约束条件 360 20 0 0 xy xy x y （1）画出不等式组表示的平面区域，并求该平面区域的面积；）画出不等式组表示的平面区域，并求该平面区域的面积； （2）若目标函数）若目标函数 z=ax+by（a0，b0）的最大值为）的最大值为 4，求，求 12 3ab 的最小值的最小值. 【答案】【答案】 （1）
26、图象见解析，10； （2）4. 【解析】【解析】 （1）利用约束条件画出可行域，然后求解可行域的面积即可. （2）求出目标函数的最优解，得到 ab的关系式，然后利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】 解： （1）x、y满足约束条件 360 20 0 0 xy xy x y 的可行域为： 由 360 20 xy xy ，解得 C（4，6） ，A（2，0） ，B（0，2） 可行域的面积为： 11 2 62 4 22 =10. （2）目标函数 z=ax+by（a0，b0）的最大值为 4，可知，z=ax+by经过 C时，取得 最大值，可得 4a+6b=4a+ 3 2 b=1 第 14 页 共 16
27、页 1212332 24 33223 ba ab ababab ； 当且仅当 2a=3b=1时取得最小值 4. 【点睛】 本题主要考查线性规划的应用， 利用数形结合以及目标函数的几何意义是解决本题的关 键. 21在在ABC中，内角中，内角A，B，C的对边分别为的对边分别为a， ，b，c，且，且22 cosacbC . （1）求）求sin 2 AC B 的值；的值； （2）若）若3b ，求，求c a 的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】 （1） 3 2 ； （2）33，. 【解析】【解析】 （1）利用余弦定理将已知22 cosacbC 化简整理得 1 cos 2 B ，可得角 B, A C，
28、代入所求可得答案. （2）利用正弦定理和两角和差公式以及辅助角公式化简2sin60Cca ，根据 0120C求解可得结果. 【详解】 （1）因为 222 22 cos2 2 abc acbCb ab ，整理可得， 222 acbac， 由余弦定理可得 1 cos 2 B ，故60B ，120A C，所以 3 sinsin120 22 AC B ； （2）由正弦定理可得， 3 sinsinsin60 ac AC ，所以2sinaA，2sincC，所 第 15 页 共 16 页 以 2sin2sin2sin2sin 1 31 2sin2cossin 22 20CCCcaCACC sin3cos2s
29、in60CC=C， 因为0120C，所以606060C，所以 33 sin60 22 C ， 故 33ca . 所以取值范围为33，. 【点睛】 本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用， 考查两角和差公式以及辅助角公式 的应用，考查计算能力，属于基础题. 22已知数列已知数列 n a的前的前n项和为项和为 n S，且，且 * 2 nn SanN. （1）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； （2）设）设21 nn bna，求数列，求数列 n b的前的前n项和项和 n T. 【答案】【答案】 （1） 1 1 2 n n a ； （2） 1 1 632 2 n n Tn . 【解析
30、】【解析】 （1）根据 * 2 nn SanN 写式子 11 2 nn Sa ，两式子相减整理得 1 1 2 nn aa ， 即 n a为等比数列，即可写出通项公式. （2）由（1）可得 1 1 (21) 2 n n bn ，利用错位相减求和即可得到答案. 【详解】 （1） * 2 nn SanN ， 11 2 nn Sa ，由可得： 11nnn aaa ， 即 1 1 2 nn aa ，又当1n 时，有 111 21Saa， 数列 n a是以 1为首项，公比为 1 2 的等比数列，故 1 1 2 n n a ； 第 16 页 共 16 页 （2）由（1）可得： 1 1 (21)(21) 2 n nn bnan ， 0121 111 3521 2 1 1 222 n n nT ， 又 12 1111 13(21) 2222 n n Tn ， 由可得： 231 111111 12(1 2 ) 222222 nn n Tn 1 11 1 22 11 121 2332 1 22 1 2 n nn nn ， 1 1 632 2 n n Tn . 【点睛】 本题考查已知数列前n项和为 n S与 n a的关系求通项，考查错位相减求和，属于基础题.
