1、第 1 页 共 20 页 2019-2020 学年江苏省南京市两校高一下学期期末联考数学学年江苏省南京市两校高一下学期期末联考数学 试题试题 一、单选题一、单选题 1若直线若直线 l经过两点经过两点( 1,3),(3, 3) ，则直线，则直线 l的斜率为（的斜率为（ ） A 2 3 B 2 3 C 3 2 D 3 2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据斜率公式求得l的斜率. 【详解】 由于直线l经过两点( 1,3),(3, 3)，所以直线l的斜率为 3 363 3142 . 故选：D 【点睛】 本小题主要考查斜率公式，属于基础题. 2在在ABC中，中， 3 3,2,sin 3 abB，则
2、角，则角 A等于（等于（ ） A 6 B 3 C 2 3 D 3 或或 2 3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】利用正弦定理求得sin A，由此求得A. 【详解】 由正弦定理得 sinsin ab AB ，即 323 sin sin23 3 A A .所以A为 3 或 2 3 . 故选：D 【点睛】 本小题主要考查正弦定理即三角形，属于基础题. 3 把一个棱长为把一个棱长为 2 的正方体木块， 切出一个最大体积的圆柱， 则该圆柱的体积为 （的正方体木块， 切出一个最大体积的圆柱， 则该圆柱的体积为 （ ） ） A 2 3 B C2 D4 【答案】【答案】C 【解析】【解析】利用正方形的内切
3、圆求得最大圆柱的底面积，进而求得圆柱的体积. 第 2 页 共 20 页 【详解】 正方体棱长为2，所以正方体底面正方形的内切圆半径为1，面积为 2 1，以此 内切圆为底、高为2的圆柱是可切出的最大圆柱.且该圆柱的体积为22 . 故选：C 【点睛】 本小题主要考查圆柱体积计算，属于基础题. 4若点若点 (1,1)P 为圆为圆 22 60 xyx的弦的弦AB的中点，则弦的中点，则弦AB所在直线的方程为所在直线的方程为 （ ） A2 30 xy B230 xy C2 10 xy D 210 xy 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 由题意， 求出圆的标准方程， 再求出圆心与点 p确定直线的斜率为
4、101 132 ， 再利用垂径定理求得弦 AB 直线斜率，再用点斜式求出方程. 【详解】 圆 22 60 xyx的标准方程为 22 (3)9xy 又因为点1,1P为圆的弦 AB 的中点， 圆心与点 P 确定直线的斜率为 101 132 故弦 AB 所在直线的斜率为 2 所以直线 AB 的直线方程：y-1=2（x-1） 即 2x-y-1=0 【点睛】 本题主要考查了直线与圆的综合知识， 对于直线和圆的相关知识点的熟练运用是解题的 关键.属于较易题. 5在在ABC中，已知中，已知 22 tantanaBbA，则该，则该ABC的形状为（的形状为（ ） A等腰三角形等腰三角形 B直角三角形直角三角形
5、C正三角形正三角形 D等腰或直角三等腰或直角三 角形角形 【答案】【答案】D 【解析【解析】运用正弦定理以及化切为弦，将已知等式化为sin2sin2AB，结合角的范 围，即可得出结论. 【详解】 第 3 页 共 20 页 22 tantanaBbA化为 22 sinsinsinsin coscos ABBA BA ， ,(0, ),sin0,sin0A BAB ， sincossincos ,sin2sin2AABBAB ， ,A B至少有一个是锐角，sin2sin20,2 ,2(0, )ABAB， 22AB或22AB， AB或 2 AB , 所以ABC是等腰三角形或直角三角形. 故选:D.
6、【点睛】 本题考查正弦定理边角互化，以及三角恒等变换判定三角形形状，由三角函数值确定角 要注意角的范围，属于中档题. 6函数函数 2 ( )3sin3sin cosf xxxx的最大值为（的最大值为（ ） A 3 3 2 B2 3 C3 3 D3 3 【答案】【答案】A 【解析】【解析】利用降次公式、二倍角公式和辅助角公式化简 f x，由此求得 f x的最大 值. 【详解】 依题意 1 cos23333 3sin2sin2cos2 22222 x f xxxx 3133 3sin2cos23sin 2 22262 xxx ， 所以 f x的最大值为 33 3 3 22 . 故选：A 【点睛】
7、本小题主要考查降次公式、二倍角公式和辅助角公式，考查三角函数的最值的求法，属 于中档题. 7下列四个正方体图形中，下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点， 为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的分别为其所在棱的 第 4 页 共 20 页 中点，能得出中点，能得出/AB平面平面MNP的图形的序号是（的图形的序号是（ ） A B C D 【答案】【答案】B 【解析】【解析】利用线面平行、线面相交的知识对四个图形逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】 对于，如图，依题意 M、N、P 分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知 /,/BC AD MN BD NP，由于BC 平面MNP，
8、MN 平面MNP，所以 /BC平 面MNP；由于BD平面MNP，NP平面MNP，所以/BD平面MNP；由于 BCBDB，所以平面/ACBD平面MNP，所以/AB平面MNP，所以正确. 第 5 页 共 20 页 对于，如图，设BC与DE相交于O，依题意 M、N、P分别为其所在棱的中点，结 合正方体的性质可知/AB ON，因为ON与平面MNP相交，所以AB与平面MNP不 平行，所以错误. 对于，如图，设C是AD的中点，因为M是BD的中点，所以/AB CM，而CM与 平面MNP相交，所以AB与平面MNP不平行，所以错误. 对于，如图，依题意 M、N、P 分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知 第
9、 6 页 共 20 页 /AB CD NP，AB平面MNP，NP平面MNP，所以/AB平面MNP，所以 正确. 综上所述，正确的序号有. 故选：B 【点睛】 本小题主要考查线面平行的判断方法，属于中档题. 8在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中，记记d为点为点 cos ,sinP到直线到直线20 xmy的距离的距离，当当 、m变化时变化时，d的最大值为（的最大值为（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】【答案】C 【解析】【解析】P为单位圆上一点， 而直线20 xmy过点2,0A，则根据几何意义得d 的最大值为1OA. 【详解】 22 cossin1Q，P为单位圆上一点，而直线 20 xmy
10、过点2,0A， 所以d的最大值为12 13OA ，选 C. 【点睛】 与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的 最值，求相关参数的最值等方面解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题 转化 二、多选题二、多选题 9下列四个等式其中正确的是（下列四个等式其中正确的是（ ） ） 第 7 页 共 20 页 Atan25tan353tan25 tan353 B 2 tan22.5 1 1tan 22.5 C 22 1 cossin 882 D 13 4 sin10cos10 【答案】【答案】AD 【解析】【解析】根据利用两角和与差的正切、正弦、二倍角公式进行三角
11、恒等变换一一计算可 得答案. 【详解】 A选项， tan25tan35 tan(25353 1 tan25 tan3 ) 5 tan25tan353(1tan25 tan3533tan25 t)an35 tan25tan353tan25 tan3533tan25 tan353tan25 tan353 所以正确； B选项， 2 tan22.5tan22.5 tan451 1 tan 22.5 ， 2 tan22.51 1 tan 22.52 ，所以错误； C选项， 22 2 cossincos(2)cos 88842 ，所以错误； D选项， 13 2( cos10sin10 ) 13cos103
12、sin10 22 sin10cos10sin10 cos10sin10 cos10 2(sin30 cos10cos30 sin10 )2sin20 4 11 2sin10 cos10sin20 22 所以正确. 故选：AD. 【点睛】 本题考查三角恒等变换，两角和与差的正弦正切公式、二倍角公式等，公式要熟练记忆 是解本题的关键. 10平面平面，直线，直线 m 和和 n，从下面的条件中可以推出，从下面的条件中可以推出mn 的是（的是（ ） A ,/ /mn B ,mn C ,mn? D/ / ,/ /mn 第 8 页 共 20 页 【答案】【答案】AC 【解析】【解析】根据线线垂直的条件对选项
13、逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】 对于 A选项，若,/ /mn，则mn，所以 A 选项正确. 对于 B选项，若,mn，则/m n，所以 B 选项错误. 对于 C选项，若 ,mn? ，则mn，所以 C 选项正确. 对于 D选项，若/ / ,/ /mn，则 ,m n可能平行、相交、异面，所以 D选项错误. 故选：AC 【点睛】 本小题主要考查线线垂直的判断，属于基础题. 11下列说法正确的是（下列说法正确的是（ ） A截距相等截距相等的直线都可以用方程的直线都可以用方程 1 xy aa 表示表示 B方程方程 20()xmymR 能表示平行能表示平行y轴的直线轴的直线 C经过点经过点 (1,1
14、)P ，倾斜角为，倾斜角为的直线方程为的直线方程为1tan (1)yx D经过两点经过两点 111 ( ,)P x y， 222 (,)P xy的直线方程的直线方程 211211 ()()()()0yyxxxxyy 【答案】【答案】BD 【解析】【解析】根据直线方程的使用条件，逐项判断即可得出 【详解】 对于 A，若直线过原点，横纵截距都为零，则不能用方程1 xy aa 表示，所以 A不正 确； 对于 B，当0m时，平行于y轴的直线方程形式为2x，所以 B正确； 对于 C，若直线的倾斜角为90，则该直线的斜率不存在，不能用1tan (1)yx 表 示，所以 C不正确； 对于 D，设点,P x
15、y是经过两点 111 ( ,)P x y， 222 (,)P xy的直线上的任意一点，根据 1 21 /PPPP可得 211211 ()()()()0yyxxxxyy，所以 D 正确 故选：BD 【点睛】 本题主要考查各种形式的直线方程的适用范围 第 9 页 共 20 页 12如图如图2,0A，1,1B， 1,1C ，2,0D ，CD是以是以OD为直径的圆上一段圆为直径的圆上一段圆 弧，弧，CB是以是以BC为直径的圆上一段为直径的圆上一段圆弧，圆弧，BA是以是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段为直径的圆上一段圆弧，三段 弧构成曲线弧构成曲线 W.则下述正确的是（则下述正确的是（ ） A曲线曲线
16、W与与 x轴围成的面积等于轴围成的面积等于2； B曲线曲线 W上有上有 5 个整点（横纵坐标均为整数的点） ；个整点（横纵坐标均为整数的点） ； CCB所在圆的方程为：所在圆的方程为： 2 2 11xy； DCB与与BA的公切线方程为：的公切线方程为：21xy . 【答案】【答案】BCD 【解析】【解析】计算面积2S，故A错误；曲线 W上有, ,A B C D M5 个整点，故B正 确；计算圆方程得到C正确；计算公切线得到D正确；得到答案. 【详解】 如图所示：连接BC，过点C作CK x轴于K，BLx轴于L. 则面积2S，故A错误； 曲线 W上有, ,A B C D M5 个整点，故B正确；
17、CB所在圆圆心为 0,1，半径为1，故圆的方程为： 2 2 11xy，C正确； 设CB与BA的公切线方程为：y kxb ，根据图像知k0，则 22 1 1,1 11 kbb kk ， 解得1k ， 21b ，即21xy，D正确； 故选：BCD. 第 10 页 共 20 页 【点睛】 本题考查了圆的面积，圆方程，公切线，意在考查学生的计算能力. 三、填空题三、填空题 13已知已知 1 sin 44 x ，则，则sin2x的值为的值为_. 【答案】【答案】 7 8 【解析】【解析】依题意，利用诱导公式与二倍角的余弦公式即可求得答案 【详解】 解： 1 sin 44 x ， 2 17 sin2cos
18、2cos212sin12 244168 xxxx ， 故答案为： 7 8 【点睛】 本题考查诱导公式与二倍角的余弦，考查观察与基本运算能力，属于中档题 14已知已知R，则直线，则直线310 xsiny 的倾斜角的取值范围是的倾斜角的取值范围是_ 【答案】【答案】 5 0, ) 66 【解析】【解析】先利用正弦函数的有界性求出斜率的范围，由斜率的范围求出倾斜角的范围 【详解】 设直线的倾斜角为 ，则 tan 3 3 sin， 1sin1， 3 3 tan 3 3 ， 又 的范围为0, ) ， 第 11 页 共 20 页 的范围为 5 0, 66 ， 故答案为 5 0, 66 【点睛】 本题考查直
19、线的倾斜角与斜率的关系，正切函数的有界性以及倾斜角的取值范围 15圆锥的母线长为圆锥的母线长为 3，底面半径为，底面半径为 1，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上的一点，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上的一点 P出发，绕 出发，绕 着圆锥的侧面爬行一圈，再次回到着圆锥的侧面爬行一圈，再次回到 P点，则蚂蚁经过的最短路程是点，则蚂蚁经过的最短路程是_. 【答案】【答案】3 3 【解析】【解析】计算出圆锥侧面展开图对应的扇形的圆心角，利用余弦定理求得最短路程. 【详解】 依题意，圆锥的母线长为3l ，底面半径为1r ，侧面展开图对应的扇形的弧长为 22r，所以侧面展开图对应的扇形的圆心角为 2 3 l r ，所以蚂
20、蚁经过的最 短路程是 22 2 332 3 3 cos3 3 3 PP . 故答案为：3 3 【点睛】 本小题主要考查圆锥的展开图应用问题，考查了运算求解能力，属于中档题. 16平面直角坐标系平面直角坐标系xOy中，已知点中，已知点 (0,3)A ，圆，圆 22 :()(24)1Cxaya.若圆若圆 C上存在点上存在点 M，使，使2MAMO，则，则 a的取值范围是的取值范围是_. 【答案】【答案】 12 0, 5 【解析】【解析】设点,M x y，由2MAMO化简得 2 2 14xy，结合点,M x y在 圆C上，推出2 12 1CD ，由此求得a的取值范围. 【详解】 第 12 页 共 20
21、 页 设点,M x y，因为2MAMO，且(0,3)A，所以 2 222 32xyxy ，化简得 22 230 xyy， 即 2 2 14xy， 所以M在以0, 1D为圆心，2为半径的圆上. 所以M即在圆C上，又在圆D上，即圆C和圆D有公共点， 所以2 12 1CD ， 即 2 2 12413aa ， 即 2 2 51280 5120 aa aa ，解得 12 0 5 a. 所以a的取值范围是 12 0, 5 . 故答案为： 12 0, 5 【点睛】 本小题主要考查圆与圆的位置关系，属于中档题. 四、解答题四、解答题 17已知直线已知直线 1: 230lxy与直线与直线 2:2 380lxy
22、的交点为的交点为 M. （）求过点）求过点 M 且与直线且与直线 3:3 10lxy 平行的直线平行的直线 l 的方程；的方程； （）若直线）若直线 l过点过点 M，且点，且点(0 4)P，到到 l的距离为的距离为5，求直线，求直线 l的方程的方程. 【答案】【答案】 （）310 xy （）230 xy 【解析】【解析】 （）联立直线方程可求出交点，根据所求直线过交点且与 3:3 10lxy 平 行即可求解 （）分斜率存在与不存在两种情况讨论，利用点到直线距离求解即可. 【详解】 （）联立 230 2380 xy xy ，解得：1,2M. 所以与 3 l平行的的直线方程为：231yx， 第 1
23、3 页 共 20 页 整理得：310 xy . （） 当斜率不存在时，不合题意； 当斜率存在时，设:21l yk x，即：20kxyk . 由题得： 2 2 5 1 k k ，解得： 2 4410kk ， 1 2 k ； 所以，所求直线的方程为：230 xy. 【点睛】 本题主要考查了两直线的交点，平行直线，点到直线的距离，分类讨论，属于中档题. 18已知已知 5 cos() 5 ， 5 cos2 13 .其中其中, 均为锐角均为锐角. （1）求）求cos( ) 的值；的值； （2）求）求tantan的值的值. 【答案】【答案】 （1） 29 5 65 （2） 21 8 【解析】【解析】 （1
24、）由同角三角函数的求值再结合两角和差的余弦公式求解即可； （2）由两角和，差的余弦可得coscos，sinsin，再求解即可. 【详解】 解： （1）由,0, 2 ，则2，(0, ).又因为 5 cos() 5 ， 5 cos2 13 ， 所以 2 2 52 sin()1sin ()15 55 ， 2 2 512 sin21cos 21 1313 . cos()cos2()cos2 cos()sin2 sin() ， 55122 529 cos()5 13513565 ， （2）由（1）得 29 cos()coscossinsin5 65 ， 又因为 5 cos() 5 ，所以 5 cos()
25、coscossinsin 5 ， 第 14 页 共 20 页 由，得 8 coscos5 65 ， 21 5 sinsin 65 ， 所以 sinsin21 tantan coscos8 . 【点睛】 本题考查了同角三角函数的求值问题，重点考查了两角和差的余弦公式，属中档题. 19 已知圆已知圆M上一点上一点 (1, 1)A 关于直线关于直线y x 的对称点仍在圆的对称点仍在圆M上上, ,直线直线10 xy 截得圆截得圆M的弦长为的弦长为 14. . ( (1) )求圆求圆M的方程的方程; ; ( (2) )设设P是直线是直线20 xy上的动点上的动点, ,PE PF是圆是圆M的两条切线的两条
26、切线, ,E F为切点为切点, , 求四边形求四边形PEMF面积的最小值面积的最小值. . 【答案】【答案】(1) 22 (1)(1)4xy;(2)4. 【解析】【解析】（1） 根据对称性判断出圆心在直线y x 上， 由此设出圆心坐标， 利用弦长 14 列方程，解方程求得圆心坐标，进而求得圆的半径，从而求得圆M的方程. （2）根据圆的切线的几何性质，判断出四边形PEMF面积最小时，MP垂直于直线 20 xy， 根据点到直线的距离公式求得MP的最小值， 进而求得四边形PEMF面 积的最小值. 【详解】 （1）由于圆M上一点1, 1A关于直线y x 的对称点 A仍在圆M上，所以圆心在 直线y x
27、上，设圆心的坐标为,M a a，半径 222 2 11rMAaa，依题 意直线10 xy 截得圆M的弦长 22 1 214BCrd（其中 1 d是圆心M到 直线10 xy 的距离，即 1 21 2 a d .）所以 2222 11 7 414, 2 rdrd，即 2 22 217 11 22 a aa ，解得1a ，所以圆心1,1M， 22 22 1 11 12 ,2rr.所以圆M的方程为 22 (1)(1)4xy. （2） 1 222 2 PEMFPEM SSPEMEPE ，而 2222 4PEPMMEPM ， 所以当PM最小时，PE最小，从而 PEMF S最小.PM的最小值为圆心M到直线
28、第 15 页 共 20 页 20 xy的距离，即1 1 2 2 2 2 ，此时 22 4844,2PEPMPE ， 也即PE的最小值为2，所以四边形PEMF面积的最小值为2 24. 【点睛】 本小题主要考查圆的标准方程的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学 思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 20如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD是矩形， 是矩形，PD 平面平面ABCD. （1）求证：）求证：ADPC； 第 16 页 共 20 页 （2）若）若 E是是BC的中点，的中点，F在在PC上，上，/PA平面平面DEF，求，求 PF FC 的值的
29、值. 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2）2. 【解析】【解析】 （1）通过证明AD 平面PCD来证明ADPC. （2）利用线面平行的性质，由/PA平面DEF，得到/PA FM，进而求得 PF FC 的值. 【详解】 （1）因为PD 平面ABCD，所以PDAD. 因为四边形ABCD是矩形，所以ADCD， 因为PDCDD，所以AD 平面PCD，所以ADPC. （2）连接AC交DE于M，连接FM. 由于/PA平面DEF，平面PAC平面DEFFM，所以/PA FM. 所以 PFAM FCMC ， 由于/AD BC且E是BC的中点，所以2 AMAD MCEC ， 所以2 PF FC . 【点睛
30、】 本小题主要考查线线垂直的证明，考查根据线面平行求比值，属于中档题. 21如图，有两条相交成如图，有两条相交成 60角的直路角的直路1 l， 2 l，交点是，交点是 O，警务岗，警务岗 A、B分别在分别在 12 ,l l上，上， 警务岗警务岗 A离离 O点点 1 千米，警务岗千米，警务岗 B离离 O点点 3 千米千米.若警员甲从若警员甲从 A出发沿出发沿OA方向，警员方向，警员 乙从乙从 B出发沿出发沿BO方向，同时以方向，同时以 4 千米千米/ /小时的速度沿途巡逻小时的速度沿途巡逻. 第 17 页 共 20 页 （1）当警员甲行至点）当警员甲行至点 C处时，处时，45OBC ，求，求OC
31、的距离；的距离； （2）t小小时后甲乙两人的距离是多少？什么时候两人的距离最短？时后甲乙两人的距离是多少？什么时候两人的距离最短？ 【答案】【答案】 （1）3( 31)千米； （2）t小时后两人相距 2 48247tt 千米，在 1 4 t 小 时的时候两人的最短距离为 2 千米. 【解析】【解析】 （1）在OCB中，利用余弦定理计算OC； （2）对t进行讨论，利用余弦定理求出距离，再根据结果，配方得出最短距离及其成立 的条件，并进行比较找出最小值. 【详解】 （1） 在OCB中，180180456075OCBOBCCOB，3OB 由正弦定理得 sinsin OCOB OBCOCB ， 32
32、sin3 33 sin262 4 OB OCOBC OCB ， 所以当警员甲行至点 C 处时，OC的距离3( 31)千米. （2）当 3 t 4 时，乙走到O点，此时甲行驶的距离为 3 43 4 千米，甲距离O点 4 千米； 第 18 页 共 20 页 当 3 0 4 t 时，如图，设甲走到N点，乙走到M点，则4BMANt，连接MN, 由余弦定理得 222 2cosMNOMONOM ONMON 22 (34 )(1 4 )2 (34 )(1 4 )cos60tttt 22 1 4824748()4 4 ttt，当 1 4 t 时，MN有最小值 2. 当 3 4 t 时，如图，乙走到M点，由余弦
33、定理得 222 2cosMNOMONOM ONMON 22 (43)(1 4 )2 (43)(1 4 )cos120tttt 22 1 4824748()4 4 ttt，由于 3 4 t ，所以MN无最小值. 综上所述，当 3 t 4 时，两人相距 4 千米； 当 3 0 4 t 或 3 4 t 时，t小时后两人相距 2 48247tt 千米，在 1 4 t 小时的时候 两人的距离最短为 2 千米. 【点睛】 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，注意对时间t进行讨论，利用二次函数配方 求最值. 22如图，在平面直角坐标系如图，在平面直角坐标系xOy中，中，Q为第一象限内为第一象限内一点， 一
34、点，QA垂直于垂直于 x轴，轴，QB垂垂 直于射线直于射线OM，垂足分别为，垂足分别为 A，B，且，且10,4 5,tan2QAQBAOB 第 19 页 共 20 页 （1）求）求OQ的值；的值； （2）已知圆）已知圆 C通过通过 O，A，Q，B四点四点 求圆求圆 C的方程；的方程； 设设 P是圆是圆 C上的任意一点，在上的任意一点，在 x轴正半轴及射线轴正半轴及射线OM上是否分别存在定点上是否分别存在定点 E，F，使，使 PE PF 为定值？若存在，指出定点的位置；若不存在，请说明理由为定值？若存在，指出定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】【答案】 （1）5 5； （2） 22 51
35、00 xyxy， 5 2 . 【解析】【解析】（1） 设点 00 (,10)(0)Q xx ， 根据点到直线的距离公式， 列出方程， 求得 0 5x ， 进而求得OQ长度； （2）根据题意得到圆C是以OQ为直径的圆，进而写出圆心坐标，半径，进而写出 圆的方程； 设圆C上任意一点P的坐标为( , ) x y，( ,0),( , 2 )(0)E mF nn n ，且 2 2 PE PF ， 根据两点间的距离公式，得到 22 22 () ()(2 ) xmy xnyn ，由点P在圆C上，代入圆的方 程，整理得 22 (5252 )(10410)50nm xnynm ，进而得到方 程组，即可求解. 【
36、详解】 （1）直线OM的方程为2yx ，即2 0 xy ， 设点 00 (,10)(0)Q xx ， 由题意可得 0 22 210 4 5 21 x QB ，解得 0 5x 或 0 15x （舍去） ， 所以点(5,10)Q，所以 22 5105 5OQ . （2）由QA垂直于x轴，QB垂直与射线OM，垂足分别为,A B， 第 20 页 共 20 页 所以圆C是以OQ为直径的圆，可得圆心坐标为 5 ( ,5) 2 ，半径为 5 5 2 ， 所以圆C的方程为 22 5125 ()(5) 24 xy，即 22 5100 xyxy. 设圆C上任一点P的坐标为( , ) x y，( ,0),( , 2
37、 )(0)E mF nn n ，且 2 2 PE PF ， 所以 22 22 () ()(2 ) xmy xnyn ， 整理得 2222222 2(244)xmxmyxnxnynyn， 又因为点P在圆C上，即 22 5100 xyxy 所以 222 5210(521044)xmxmyxnxnynyn， 所以 22 (5252 )(10410)50nm xnynm ， 所以 22 52520 104100 50 nm n nm ，解得 551 , 442 mn ，经检验符合题意， 所以在x轴及射线OM上存在定点 51 (,0),(,1) 42 EF， 使得 PE PF 为定值 5 2 . 【点睛】 本题主要考查了直线方程的应用，圆的方程的求解，以及圆的方程的的综合应用，其中 解答中熟记圆的方程的求法，合理应用圆的方程是解答的关键，着重考查推理与运算能 力，属于中档试题.
