1、第 1 页 共 17 页 2019-2020 学年吉林省长春市榆树市第一高级中学校高一下学年吉林省长春市榆树市第一高级中学校高一下 学期联考数学试题学期联考数学试题 一、单选题一、单选题 1cos210（ ） A 3 2 B 1 2 C 1 2 D 3 2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】直接利用诱导公式化简即得解. 【详解】 3 cos210cos(18030 )cos30 2 . 故选：A 【点睛】 本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2设向量设向量,1ax， 4,bx，且，且a，b方向相反，则方向相反，则x的值是（的值是（ ） A2 B2 C2 D0
2、 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由a，b方向相反，可得 ab= ，0，即( ,1) x(4, ) x，由此求得x的值 【详解】 解：向量,1ax r ，4,bx，且a，b方向相反，则 ab= ，0，即 ( ,1)x(4, ) x， 4 1 x x 解得 1 2 2x 或 1 2 2x （舍去） 故2x， 故选：B 【点睛】 本题主要考查相反的向量的定义，属于基础题 3已知甲乙两组数据的茎叶图如图所示，若甲的众数与乙的中位数相等，则图中已知甲乙两组数据的茎叶图如图所示，若甲的众数与乙的中位数相等，则图中x的 的 第 2 页 共 17 页 值为（值为（ ） A2 B3 C4 D6 【答案】【
3、答案】C 【解析】【解析】根据茎叶图求出甲的众数和乙的中位数，列出方程，求得x的值，得到答案. 【详解】 根据茎叶图可知，甲的众数为 23， 乙的中位数为 11 (2220)(42) 22 xxx， 因为甲的众数与乙的中位数相等，即 1 (42)23 2 x，解得4x. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查了根据茎叶图求众数和中位数及其应用， 其中解答中熟记众数和中位数的 概念与求法是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 4在在区间区间 1,4 内随机取一个实数内随机取一个实数 a，使得关于，使得关于 x的方程的方程 2 420 xxa有实数根的有实数根的 概率为（概率为（ ） A 2
4、5 B 1 3 C 3 5 D 2 3 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由关于 x的方程 2 420 xxa有实数根，求得2a，再结合长度比的几何 概型，即可求解，得到答案. 【详解】 由题意，关于 x 的方程 2 420 xxa有实数根， 则满足 2 44 21680aa ，解得2a， 所以在区间 1,4内随机取一个实数 a， 使得关于 x 的方程 2 420 xxa有实数根的概率为 2( 1)3 4( 1)5 P . 第 3 页 共 17 页 故选：C. 【点睛】 本题主要考查了几何概型的概率的计算问题， 解决此类问题的步骤：求出满足条件 A 的 基本事件对应的“几何度量( )N A”
5、，再求出总的基本事件对应的“几何度量N”，然后根 据 ( )N A P N =求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 5某单位有老年人某单位有老年人 27 人，中年人人，中年人 54 人，青年人人，青年人 81 人人.为了调查他们的身体状况的某为了调查他们的身体状况的某 项指标，需从他们中间抽取一个项指标，需从他们中间抽取一个容量为容量为 42 的样本，则老年人、中年人、青年人分别应的样本，则老年人、中年人、青年人分别应 抽取的人数是（抽取的人数是（ ） A7，11，18 B6，12，18 C6，13，17 D7，14，21 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据分层抽样按比
6、例抽取计算即可. 【详解】 由题,该单位总人数为：27 54 81 162.故每层抽取的比例为 427 16227 故老年人、 中年人、 青年人分别应抽取的人数是 7 277 27 , 7 5414 27 , 7 8121 27 人. 故选：D 【点睛】 本题主要考查了分层抽样的方法,属于基础题型. 6程大位是明代著名数学家，他的新编直指算法统宗是中国历史上一部影响巨大程大位是明代著名数学家，他的新编直指算法统宗是中国历史上一部影响巨大 的著作的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝 鲜、日
7、本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第卷八中第 33 问问 是：是：“今有三角果一垛，底阔每面七个，问该若干？今有三角果一垛，底阔每面七个，问该若干？”如图是解决该问题的程序框图如图是解决该问题的程序框图. 执行该程序框图，求得该垛果子的总数执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为为( )( ) 第 4 页 共 17 页 A84 B56 C35 D28 【答案】【答案】A 【解析】【解析】按照程序框图运行程序，直到满足7i 时输出结果即可. 【详解】 按照程序框图运行程序，输入0i ，0n，0S ， 则1i
8、 ，1n ，1S ，不满足7i ，循环； 2i ，3n，4S ，不满足7i ，循环； 3i ，6n，10S ，不满足7i ，循环； 4i ，10n，20S ，不满足7i ，循环； 5i ，15n ，35S ，不满足7i ，循环； 6i ，21n，56S ，不满足7i ，循环； 7i ，28n，84S ，满足7i ，输出84S . 故选：A. 【点睛】 本题考查根据程序框图循环结构计算输出结果的问题，属于基础题. 7如图，在平行四边形如图，在平行四边形 ABCD 中，下列计算错误的是（中，下列计算错误的是（ ） ） AAB ADAC BAC CDDOOA CAB ACCDAC D 0ACBADA
9、 第 5 页 共 17 页 【答案】【答案】B 【解析】【解析】对每个选项的向量加法进行计算，注意排查即可. 【详解】 对 B： 0ACCDDOAOA ，故 B 错误， 故选：B. 【点睛】 本题考查向量的加法法则，属基础知识题. 8已知已知 (0, ) ， 3 cos() 65 ，则，则sin的值为（的值为（ ） A 4 3-3 10 B 3 3-4 10 C 7 10 D 2 3 5 【答案】【答案】A 【解析】【解析】先算出)in( 4 s 65 ，然后利用 sinsinsincoscossin 666666 即可算出答案 【详解】 由(0, )， 3 cos() 65 得)in( 4
10、s 65 所以sinsinsincoscossin 666666 43314 33 525210 故选：A 【点睛】 本题考查的是三角函数的平方关系及和差公式，较简单. 9函数函数sinyAx 00,A，的图象如下图所示，则该函数解析的图象如下图所示，则该函数解析 式为（式为（ ） 第 6 页 共 17 页 A 7 2sin 2 12 yx B 7 2sin 2 12 yx C 413 2sin 318 yx D 45 2sin 318 yx 【答案】【答案】C 【解【解析】析】通过函数的图象求出,A T，利用周期公式求出，通过函数图象经过的特殊 点，求出，得到函数的解析式 【详解】 解：由函
11、数的图象可得 2A ， 7532 1224 4 2 T ， 所以 4 3 ， 由函数的图象，可知函数的图象经过 7 (,2) 12 ， 所以 47 22sin 312 ， 所以 23 2 18 k ，又， 13 18 ， 所以函数的解析式为： 413 2sin 318 yx 故选：C 【点睛】 第 7 页 共 17 页 本题考查三角函数的图象及性质，考查学生的识图能力、分析问题解决问题的能力，是 中档题 10将函数将函数 ysin（4x 3 ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的）的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍，再向右平移倍，再向右平移 3 个单位，得到的函数图象的一条对称轴的方程为（个
12、单位，得到的函数图象的一条对称轴的方程为（ ） Ax 12 Bx 16 Cx 4 Dx 2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】先求出变换后的解析式，再根据解析式求解函数的对称轴. 【详解】 将函数 ysin（4x 3 ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍，再向右平移 3 个单 位，得到的函数为sin(2) 3 yx ， 令2 32 xk ，kZ，解得 212 k x ， 由1k 可得 12 x . 故选：A. 【点睛】 本题主要考查三角函数的图象变换及性质，注意x的系数对结果的影响，侧重考查数学 运算的核心素养. 11已知已知 4 sin 5 且且是第三象限的角，则是第三象限的角，则c
13、os 2的值为（的值为（ ） A 4 5 B 3 5 - C 4 5 D 3 5 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 由sin( ) 的值及为第三象限角， 利用同角三角函数间基本关系求出cos 的值，再利用诱导公式，则可求出cos 2的值 【详解】 由 4 sin 5 得 4 sin 5 ， Q 为第三象限角， 3 cos 5 ， 3 cos(2)cos 5 . 故选：B. 【点睛】 第 8 页 共 17 页 本题考查了同角三角函数间的基本关系，三角函数的诱导公式，熟练掌握基本关系是解 本题的关键 12已知已知,0A a, ,0,Cc, , 2AC , ,1BC , , 0AC BC , ,
14、O为坐标原点为坐标原点, ,则则OB 的取值范围是（的取值范围是（ ） A0, 21 B0, 21 C21, 2 1 D21, 【答案】【答案】C 【解析】【解析】法一：将A,C视为定点,根据A、C分别在 x 轴、y 轴上,得到垂直关 系, O是AC为直径的圆上的动点, AC的中点为圆心M,根据圆心M和BO的位置 关系即可得取值范围. 法二：设B的坐标,根据2AC ,1BC 得到 22 4ac, 2 2 1xyc,整理式 子至 2 222 51xayxyaxcy ,利用均值不等式得出 22 OBxyd,则 2 12dd 即可算出距离的取值范围. 【详解】 解：法一：将A,C视为定点,OAOC,
15、O视为以AC为直径的圆上的动点,AC的中 点为M,当BO过圆心M,且O在B,M之间时,OB取得最小值 2 1 ,O在BM 的延长线上时,OB取得最大值 21 故选:C 法二：设,B x y,则 22 4ac, 2 2 1xyc, 2 222 51xayxyaxcy ,即 22 1axcyxy, 222222 2axcyacxyxy,取等号条件： aycx ,令 22 OBxyd,则 2 2 1 12 210 d dd dd 或 2 01 210 d dd ,解得 2 12 1d 故选:C 【点睛】 本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题. 第 9 页 共 17 页 二、填空
16、题二、填空题 13 已知已知x、y的取值如下表所示， 若的取值如下表所示， 若y与与x线性相关， 且线性相关， 且 2.08yxa ， 则， 则a_. x 1 2 3 4 y 2.9 5.1 7.3 9.1 【答案】【答案】0.9 【解析】【解析】计算出样本数据的中心点的坐标, x y，代入回归直线方程即可求出a的值. 【详解】 由表格中的数据可得 1234 2.5 4 x ， 2.95.1 7.39.1 6.1 4 y ， 6.1 2.08 2.50.9a . 故答案为：0.9. 【点睛】 本题考查回归直线方程中参数的求解，一般将样本数据中心点的坐标, x y代入回归直 线方程计算即可，考查
17、计算能力，属于基础题. 14若若 1 cos 63 ，则，则 5 sin2 6 _ 【答案】【答案】 7 9 【解析】【解析】利用诱导公式、二倍角公式，化简求得所求表达式的值. 【详解】 依题意 5 sin2sin2 623 cos 2 6 2 2cos1 6 2 17 21 39 . 故答案为： 7 9 【点睛】 本小题主要考查利用诱导公式、二倍角公式化简求值，考查三角恒等变换，考查化归与 第 10 页 共 17 页 转化的数学思想方法，属于基础题. 15已知角已知角的终边上一点的终边上一点(3,)Pm，且，且 2 sin 4 m，则，则tan的值为的值为_. 【答案】【答案】 15 3 或
18、0 【解析】【解析】利用正弦函数的定义求出m,利用正切函数的定义求出tan的值. 【详解】 角的终边上一点(3,)Pm 根据正弦函数的定义得: 2 2 sin 4 3 m m m 解得0m或5m . 当0m时,tan0; 当 5m 时, 15 tan 3 当5m 时, 15 tan 3 则tan的值为: 15 3 或0 故答案为: 15 3 或0. 【点睛】 本题考查三角函数的定义,掌握三角函数的定义是解本题关键,考查学生的计算能力,是 基础题. 16已知正方形已知正方形ABCD的边长为的边长为 4，2AEAB ，则，则AC DE _ 【答案】【答案】16 【解析】【解析】利用,AB AD表示
19、出,AC DE再根据向量的数量积的运算律计算可得. 【详解】 解：由题意知，AC ABAD ，4ABAD， 0AB AD uu u r uuu r 2AEAB 2DEAEADABAD 第 11 页 共 17 页 2222 2222AC DEABADABADABADAB ADAB ADABAD 22 2 4416 故答案为：16 【点睛】 本题考查平面向量的数量积的运算律，属于基础题. 三、解答题三、解答题 17已知已知| 6a ，| 4b，(2 ) (3 )72abab . （1）求向量）求向量a，b的的夹角夹角； （2）求）求|3 |ab . 【答案】【答案】 （1） 2 3 （2）6 3
20、【解析】【解析】 1利用平面向量数量积的分配律求出a b ,然后代入夹角公式求解即可; 2结合 1中a b 的值,利用平面向量数量积的性质： 22 22 2ababaa bb 进行运算，求出 2 3ab的值,然后再开方即可. 【详解】 (2 ) (3 )72abab , 22 672aa bb ， 6a ，4b ,36 6 1672a b , 解得 12a b ,由平面向量数量积的夹角公式得, 121 cos 6 42 a b a b , 0 2 3 . （2）因为 222 369abaa bb ， 所以 2 3366129 16ab 108 36 3ab. 【点睛】 本题考查平面向量数量积的
21、性质及其夹角公式;考查运算求解能力;属于中档题、常考题 型. 第 12 页 共 17 页 18已知角已知角的顶点与原点的顶点与原点 O重合，始边与重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆 轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆 交点为交点为 4 3 (, ) 5 5 P （1）求）求cos 4 和和sin2的值；的值； （2）求）求 3sin2cos 5cos3sin 的值的值 【答案】【答案】 （1） 24 25 （2） 17 11 【解析】【解析】 （1） 由任意角的三角函数的定义， 可得 3 sin 5 ， 4 cos 5 ， 3 tan 4 ， 再根据两角和的余弦公式及二倍角正弦公
22、式计算可得； （2）利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算即可； 【详解】 解： （1）根据题意 3 sin 5 ， 4 cos 5 ， 3 tan 4 ， 所以 7 2 cos()coscossincos 44410 ， 24 sin22sincos 25 （2） 因为 3 tan 4 ， 3sin2cos3tan2 5cos3sin53tan 3 32 174 311 53 4 【点睛】 本题考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系以及两角和的余弦公式， 属于基础题. 19为保护农民种粮收益，促进粮食生产，确保国家粮食安全，调动广大农民生产粮食为保护农民种粮收益，促进粮食
23、生产，确保国家粮食安全，调动广大农民生产粮食 的积极性，从的积极性，从 2014 年开始，国家实施了对种粮农民直接补贴的政策通过对年开始，国家实施了对种粮农民直接补贴的政策通过对 20142018 年的数据进行调查，发现某地区发放粮食补贴额年的数据进行调查，发现某地区发放粮食补贴额 x（单位：亿元）与该地区粮食产量（单位：亿元）与该地区粮食产量 y （单位：万亿吨）之间存在着线性相关关系，统计数据如下表：（单位：万亿吨）之间存在着线性相关关系，统计数据如下表： 第 13 页 共 17 页 年份年份 2014 2015 2016 2017 2018 补贴额补贴额 x/亿元亿元 9 10 12 1
24、1 8 粮食产量粮食产量 y/万亿万亿 25 26 31 27 21 （1）请根据上表所给的数据，求出）请根据上表所给的数据，求出 y关于关于 x的线性回归直线方程的线性回归直线方程 ybxa； （2）通过对该地区粮食产量的分析研究，计划）通过对该地区粮食产量的分析研究，计划 2019 年在该地区发放粮食补贴年在该地区发放粮食补贴 7 亿元，亿元， 请根据（请根据（1）中所得到的线性回归直线方程，预测）中所得到的线性回归直线方程，预测 2019 年该地区的粮食产量年该地区的粮食产量. 参考公式：参考公式： 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx . 【答案】【
25、答案】 （1）2.24yx； （2）19.4万亿吨. 【解析】【解析】 （1）利用最小二乘法公式求回归直线的系 5 1 5 2 1 ii i i i xxyy b xx ，即可得答 案； （2）将7x 代入回归方程2.24yx，可得，19.4y ，即可得答案； 【详解】 解： （1）由表中所给数据可得， 9 10 12 11 8 10 5 x ， 2526312721 26 5 y ， 代入公式 5 1 5 2 1 ii i i i xxyy b xx ， 解得 2.2b ，所以 4aybx. 故所求的 y 关于 x的线性回归直线方程为2.24yx. （2）由题意，将7x 代入回归方程2.24
26、yx，可得，19.4y . 所以预测 2019 年该地区的粮食产量大约为 19.4 万亿吨. 第 14 页 共 17 页 【点睛】 本题考查利用最小二乘法求回归直线方程、回归方程进行预报，考查数据处理能力. 20已知函数已知函数 2 ( )2sin2sin cos1f xxxx . （1）求函数）求函数 ( )f x的最小正周期和单调递减区间； 的最小正周期和单调递减区间； （2）若）若0, 2 x ，求函数，求函数 ( )f x的值域 的值域. 【答案】【答案】 （1）T；单调减区间为 37 ,() 88 kkkZ （2）1, 22 【解析】【解析】 （1）逆用正弦和余弦的倍角公式，以及辅助
27、角公式即可化简求得函数的性质； （2）先求出 x 的取值范围，再根据y sinx 的单调性，求得函数值域. 【详解】 2 ( )2sin2sin cos1 1cos2sin21 f xxxxxx 2sin 22 4 x （1）容易知： 2 2 T . 由 3 222 242 kxk 得 ( )f x的单调减区间为 37 ,() 88 kkkZ （2）0 2 x 3 2 444 x 当0 x时， ( )f x有最小值(0)1f 当2 42 x 即 3 8 x 时，( )f x有最大值 3 22 8 f 故 ( )f x的值域为1, 22. 【点睛】 本题考查倍角公式，辅助角公式，正弦型函数单调区
28、间，值域的求解，属综合性基础题. 21某校为了诊断高三学生在市某校为了诊断高三学生在市“一模一模”考试中文科数学备考的状况，随机抽取了考试中文科数学备考的状况，随机抽取了 50 名 名 学生的市学生的市“一模一模”数学成绩进行分析， 将这些成绩分为九组， 第一组数学成绩进行分析， 将这些成绩分为九组， 第一组60， 70)， 第二组， 第二组70， 80)，第九组，第九组140，150，并绘制了如图所示的频率分布直方图，并绘制了如图所示的频率分布直方图 第 15 页 共 17 页 （1）试求出）试求出a的值并估计该校文科数学成绩的众数和中位数；的值并估计该校文科数学成绩的众数和中位数； （2）
29、现从成绩在）现从成绩在120，150的同学中随机抽取的同学中随机抽取 2 人进行谈话，那么抽取的人进行谈话，那么抽取的 2 人中恰好人中恰好 有一人的成绩在有一人的成绩在130,140)中的概率是多少？中的概率是多少？ 【答案】【答案】 （1）a=0.014，众数 95，中位数 290 3 ； （2） 8 15 . 【解析】【解析】 （1）根据所有频率和为 1求a的值，根据组中值以及频率确定众数，根据频率 为 0.5 求中位数； （2）先确定成绩在120，150的同学人数以及成绩在130,140)中人数，再利用古典概型 概率公式求解. 【详解】 （1） (0.0020.004 20.0060.
30、0120.0160.0180.024) 1010.014aa 由频率分布直方图得区间90,100对应人数最多，所以众数为 90 100 2 95， 设中位数为x，则 90290 (0.0040.0140.0160.024) 100.5 103 x x 所以中位数为 290 3 ； （2）成绩在120，150的同学人数有50 (0.0020.0040.006) 106， 成绩在130,140)中人数50 0.004 102， 从 6人抽取 2 人共有 15种方法，其中抽取的 2 人中恰好有一人的成绩在130,140)中的 抽法有2 48 种，因此所求概率为 8 15 . 【点睛】 本题考查频率分
31、布直方图以及古典概型概率概率公式，考查基本分析求解能力，属基础 题. 22已知已知 2 ( )2sincos2 3cos3 333 f xxxx . 第 16 页 共 17 页 （1）求）求 ( )f x的最大值及取得最大值时相应的 的最大值及取得最大值时相应的x值及中心；值及中心； （2） 若已知函数） 若已知函数(2 )yfxa在区间在区间0, 4 上恰有两个零点上恰有两个零点 1 x， 2 x， 求， 求 12 tan xx 的值的值. 【答案】【答案】 （1） 最大值为 2， 此时 2 5 , 1 xkkZ， 对称中心为(,0), 26 k kZ （2） 23+ . 【解析】【解析】
32、（1）利用三角公式化简函数( )sin()f xx 22 3 ，结合正弦函数的性质，即 可求出函数的最大值和对称中心； （2）代入可得22sin(4) 3 fxx ，令4 3 tx ， 2 , 33 t ，设 1 t， 2 t是函数 2sinyta 的两个相应零点，结合正弦函数的图象即可求得 12 xx，从而可得 12 tan xx. 【详解】 （1） 2 22 2sin()cos()2 3cos ()3sin(2)31cos(2)3 33333 xxxxx 22 sin(2)3cos(2)2sin(2) 333 xxx ( )f x的最大值为 2，此时22, 32 xkkZ ，即 2 5 ,
33、 1 xkkZ. 令2, 326 k xkkZxkZ . 所以函数的对称中心为(,0),. 26 k kZ （2）根据题意可得(2 )2sin(4) 3 fxx . 令4 3 tx ，0, 4 x ， 2 , 33 t 设 1 t，2t是函数2sinyta的两个相应零点 （即 1122 4,4) 33 txtx ， 由2sinyt 图象性质知 12 tt，即 12 44 33 xx . 1212 ,tan()23 46 xxxx . 【点睛】 本题综合考查了两角和与差的三角公式、二倍角公式、三角函数的最值（最值的求解一 般是整体思想） ，利用正弦函数的图象求解值的问题，体现了函数中的数形结合的数学 第 17 页 共 17 页 思想在解题中的运用
