1、第 1 页 共 14 页 2019-2020 学年江西省上饶市高一下学期期末教学质量测试学年江西省上饶市高一下学期期末教学质量测试 数学（理）试题数学（理）试题 一、单选题一、单选题 1函数函数 cos 6 f xx 的最小正周期为（的最小正周期为（ ） A B2 C 2 D 3 2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据最小正周期公式直接求解. 【详解】 可知 2 2 1 T . 故选：B. 【点睛】 本题考查三角函数最小正周期的求法，属于简单题. 2已知集合已知集合 02Mxx ， 2 210Nx xx ，则集合，则集合MN （ ） A0 1xx B 012xx C0 2xx D 122
2、xx 【答案】【答案】C 【解析】【解析】先解不等式 2 210 xx 得 1212Nxx ，再根据集合交集 运算求解即可得答案. 【详解】 解：解不等式 2 210 xx 得 1212Nxx ， 所以 02121202MNxxxxxx . 故选：C. 【点睛】 本题考查一元二次不等式的解法，集合的交集运算，是基础题. 3已知数列已知数列 n a中，中， 1 3 nn aa （2n，n N ） ，且） ，且 2 1a ，则，则 10 a（ ） A25 B26 C27 D28 第 2 页 共 14 页 【答案】【答案】A 【解析】【解析】利用等差数列的通项公式计算可得答案 【详解】 1 3 nn
3、 aa （2n，n N ） ，且 2 1a ，则数列 n a是等差数列，设公差为d， 102 81 8 325aad 故选：A 【点睛】 本题考查等差数列的基本量运算，考查学生计算能力，属于基础题 4以以3, 1A，2,2B 为直径的圆的方程是为直径的圆的方程是 A 22 80 xyxy B 22 90 xyxy C 22 80 xyxy D 22 90 xyxy 【答案】【答案】A 【解析】【解析】设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出, ,a b r，从而求出圆的方程. 【详解】 设圆的标准方程为 222 ()()xaybr， 由题意得圆心 ( , )O a b为A，B的中点， 根据中点坐
4、标公式可得 321 22 a ， 121 22 b ， 又 22 (32)( 12)|34 222 AB r ，所以圆的标准方程为： 22 1117 ()() 222 xy，化简整理得 22 80 xyxy ， 所以本题答案为 A. 【点睛】 本题考查待定系数法求圆的方程，解题的关键是假设圆的标准方程，建立方程组，属于 基础题. 5等比数列等比数列 n a 的前的前 n项和为项和为 n S，已知，已知 3215 109Saaa， ，则，则 1 a A 1 9 B 1 9 C 1 3 D 1 3 【答案】【答案】A 第 3 页 共 14 页 【解析】【解析】设公比为 q,则 224 111111
5、1 1 109,9 9 aa qa qa qaqa qa ，选 A. 6将函数将函数 sin 6 yx 的图象向左平移的图象向左平移 12 个单位长度，再将其横坐标伸长到原来个单位长度，再将其横坐标伸长到原来 的的 2 倍得到函数倍得到函数 yg x的图象，则（的图象，则（ ） A 1 sin 24 g xx B sin 2 4 g xx C 1 sin 28 g xx D sin 2 8 g xx 【答案】【答案】A 【解析】【解析】先利用平移变换得到sin 4 yx ，再把x的系数乘以 1 2 得答案 【详解】 解：将函数sin 6 yx 的图象向左平移 12 个单位长度， 得到图象所对应
6、的函数解析式为 sinsin 1264 yxx ， 再将其横坐标伸长到原来的 2倍得到函数( )yg x的图象， 则 1 ( )sin 24 g xx 故选：A 【点睛】 本题考查 sin()yAx 型函数的图象变换，属于基础题 7已知已知tan 2 4 ，则，则tan（ ） A 1 3 B 1 3 C3 D3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】分析：利用两角和的正切公式即可. 详解： tantan 2 144 tantan3 441 2 1 1tantan 44 a a a . 第 4 页 共 14 页 故选：D. 点睛：解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示(1)当“
7、已 知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已 知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系. 8设设, x y R，且，且3xy，则，则2 2 xy 的最小值为（的最小值为（ ） A0 B6 2 C4 3 D4 2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】 因为20,20 xy ， 所以由基本不等式得2 22 22 xyxy 2 2x y 3 2 24 2 , 当且仅当 3 2 xy时取等号， 2 2 xy 的最小值为4 2. 故选：B. 【点睛】 本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 9若若
8、 3 sin 45 ，则，则sin2（ ） A 1 5 B 1 5 C 7 25 D 7 25 【答案】【答案】C 【解析】【解析】先展开 3 sin 45 得 23 cossin 25 ，再两边平方整理即可得答 案. 【详解】 解：因为 23 sincossin 425 ， 所以两边平方得： 22 19 cos2sincossin 225 整理得： 187 2sincos1 2525 ，即： 7 sin2 25 . 故选：C. 第 5 页 共 14 页 【点睛】 本题考查正弦的差角公式，二倍角公式，同角三角函数关系，考查运算能力，是中档题. 10若当若当x时，函数时，函数 sin2cosf
9、xxx取得最大值，则取得最大值，则cos（ ） A 5 5 B 5 5 C 2 5 5 D 2 5 5 【答案】【答案】D 【解析】【解析】利用辅助角公式化简整理，得到辅助角与的关系，计算余弦值即可. 【详解】 sin2cos5sinf xxxx，其中 2 55 sin,cos 55 ， 因为当x时 ( )f x取得最大值，所以2 2 k kZ 故 2 5 2 225 coscoscossink . 故选：D. 【点睛】 本题考查了辅助角公式和三角函数的最值问题，属于基础题. 11已知已知A是函数是函数 33 3 sin(2020)sin(2020) 2623 f xxx 的最大值，若存在的最
10、大值，若存在 实数实数 1 x， 2 x使得对任意实数使得对任意实数x，总有，总有 12 ( )( )()f xf xf x成立，则成立，则 12 A xx?的最的最 小值为（小值为（ ） A 2020 B 1010 C 3 2020 D 3 2020 【答案】【答案】C 【解析】【解析】利用三角恒等变换化 ( )f x为正弦型函数，由此求出 A、T 以及 12 xx的最小 值，可得解. 【详解】 33 3 sin(2020)sin(2020) 2623 f xxx ， 3 3393 3 sin2020cos2020cos2020sin2020 4444 xxxx， 第 6 页 共 14 页
11、3 33 sin202 2 0cos2020 2 xx 3sin(2020) 6 x ， max ( )3Af x， 又存在实数 1 x， 2 x，对任意实数 x总有 12 ( )( )()f xf xf x成立， 2max ()( )2f xf x， 1min ()( )2f xf x ， 则 12 xx的最小值为函数 f x的半个最小正周期长度， 12min 112 2220202020 xxT 12 min 3 2020 A xx ， 故选：C. 【点睛】 本题考查三角函数的最值，着重考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角恒等变换，突 出正弦函数的周期性的考查，属于中档题 二、多选题二、多
12、选题 12若若ab，cd，则下列不等关系中不一定成立的是（，则下列不等关系中不一定成立的是（ ） ） Aa bcd Bacbd Cacb c Dacad 【答案】【答案】AD 【解析】【解析】取特殊值可判断 A，根据不等式的性质可判断 BCD. 【详解】 当3,2,4,1abcd=时，a bcd ，故 A 错误；ab，cd，由不等式 的性质可知,accbbacd+-+-，故 BC正确；cd，cd -， acad ，故 D错误. 故选：AD. 【点睛】 本题考查不等式的性质，属于基础题. 三、填空题三、填空题 13已知已知 4 sincos 5 ，那么，那么sin2_ 【答案】【答案】 9 25
13、 第 7 页 共 14 页 【解析】【解析】 对 4 sincos 5 两边平方整理得 169 2sincos1 2525 ， 再根据二倍 角公式即可得答案. 【详解】 解：对 4 sincos 5 两边平方得： 22 16 sin2sincoscos 25 ， 由于 22 sincos1， 所以 169 2sincos1 2525 ，即 2 sin2 9 5 . 故答案为： 9 25 . 【点睛】 本题考查同角三角函数关系，正弦的二倍角公式，是基础题. 14若点若点,1M m m在圆在圆C： 22 2410 xyxy 内，则实数内，则实数m的取值范围为的取值范围为 _ 【答案】【答案】 1,
14、1 【解析】【解析】利用点在圆内列出不等式求解即可 【详解】 圆C： 22 124xy，点,1M m m在圆C内，则 22 114mm， 即 2 1m ，解得 11m 故答案为： 1,1 【点睛】 本题考查点与圆的位置关系，考查圆的方程，属于基础题 15函数函数 sin 3 6 f xx 在在0,的零点个数为的零点个数为_ 【答案】【答案】3 【解析】【解析】由正弦函数的图象可知，3 6 xk ，kZ，解出x的值，并结合0 x， 即可得解 【详解】 令3 6 xk ，kZ，则 183 k x ，kZ， 第 8 页 共 14 页 因为 0 x ， ，所以1k ，2，3，分别对应着零点 5 18
15、x ， 11 18 ，17 18 ，共 3个 零点 故答案为：3 【点睛】 本题考查正弦函数的图象与性质，考查函数零点问题，考查学生逻辑推理能力和运算能 力，属于基础题 16设设 n S是数列是数列 n a的前的前n项和，且项和，且 1 1 2 a ， 11 0 nnn aS S ，则，则 2020 S_ 【答案】【答案】 1 2021 【解析】【解析】代入 11nnn aSS ,再证明 1 n S 为等差数列,继而求得 1 n S 的通项公式再 计算 2020 S即可. 【详解】 因为 11 0 nnn aS S ,所以, 11nnnn SSS S , 两边同除以 1nn S S 得： 1
16、11 1 nn SS ， 所以数列 1 n S 是以2为首项,1为公差的等差数列, 所以 1 211 n nn S ，所以 1 1 n S n ， 所以 2020 1 2021 S 故答案为： 1 2021 【点睛】 本题主要考查了根据递推公式证明等差数列的方法,属于中档题. 四、解答题四、解答题 17 （1）化简：）化简： 3 cos 3cos 2 sincos ； （2）已知）已知tan2= -， 1 tan 3 ，其中，其中, 2 ，0, 2 ，求，求的值的值 第 9 页 共 14 页 【答案】【答案】 （1）1； （2） 3 4 【解析】【解析】 （1）利用诱导公式进行化简即可； （2
17、）先利用和的正切公式求出tan，即可求出的值. 【详解】 （1）原式 cossin 1 sincos ； （2） 1 2 tantan 3 tan1 1 1tantan 12 3 ， 又0, 2 ，, 2 ， 3 22 ， 3 4 【点睛】 本题考查诱导公式以及和的正切公式的应用，属于基础题. 18已知已知 n S为等差数列为等差数列 n a的前的前n项和，且满足项和，且满足 3 11a ， 9 63S （1）求）求 n a的通项公式；的通项公式； （2）求）求 n S的最大值的最大值 【答案】【答案】 （1）217 n an ； （2）64 【解析】【解析】 （1）根据已知条件列出关于首项和
18、公差的方程组，解方程组然后由等差数列通 项公式即可得到答案. （2）写出等差数列的前n项和，然后求解关于n的二次函数的最值即可. 【详解】 （1）数列 n a为等差数列，设公差为d，由 3 11a ， 9 63S ， 可得 1 1 211 9 8 963 2 ad ad ，解得 1 15 2 a d 1 1217 n aandn （2） 12 15217 16 22 n n n aann Snn 第 10 页 共 14 页 由二次函数的知识可得当8n 时， n S最大，最大值为 8 64S 【点睛】 本题考查等差数列通项公式和前n项和公式的应用，考查等差数列前n项和的最值问 题，属于基础题.
19、19函数函数 sinf xAx 0,0, 2 A 的一段图象如图所示：的一段图象如图所示： （1）求）求 f x的解析式；的解析式； （2）求）求 f x的单调增区间，并指出的单调增区间，并指出 f x的最大值取到最大值时的最大值取到最大值时x的集合的集合 【答案】【答案】 （1） 1 3sin 24 f xx ； （2）函数的增区间为 3 4,4 22 kk ，kZ； 取到最大值时x的集合为 3 4, 2 x xkkZ 【解析】【解析】 （1）根据函数图象结合 sinf xAx的性质求解即可； （2）利用整体换元思想计算即可得答案. 【详解】 解： （1）由函数的图象可得3A， 3327 4
20、422 T ，解得 1 2 再根据待定系数法得 1 2 22 k ，kZ， 由 2 ，则令0k ，得 4 ， 1 3sin 24 f xx （2）令 1 22 2242 kxk ，kZ， 第 11 页 共 14 页 解得 3 44 22 kxk ， 故函数的增区间为 3 4,4 22 kk ，kZ 所以函数的最大值为 3，此时2 242 x k ，即 3 4 2 xk ，kZ， 即 f x的最大值为 3，取到最大值时x的集合为 3 4, 2 x xkkZ 【点睛】 本题考查利用三角函数图象求函数解析式，函数的单调区间与最值，考查运算能力，是 中档题. 20已知函数已知函数 2 2 3sin2s
21、incos3f xxxx图象的任意两条对称轴间距图象的任意两条对称轴间距 离的最小值为离的最小值为 2 （1）求）求的值；的值； （2）求函数）求函数 f x在在 3 , 44 上的值域上的值域 【答案】【答案】 （1）1； （2）1,2 【解析】【解析】 （1）根据三角恒等变换对函数解析式进行化简，再利用最小正周期来求解； （2）利用换元法，根据正弦函数的图象及性质，确定函数在给定区间上的最值 【详解】 （1） sin3cos2sin 2 3 f xxxx ， 由题知函数 f x的最小正周期为， 故 2 2 ，解得1； （2）由（1）知 2sin 2 3 f xx ， 当 3 , 44 x
22、时，知 7 2, 366 x ， 知 1 sin 2,1 32 x ， 第 12 页 共 14 页 故函数 f x在 3 , 44 上的值域为1,2 【点睛】 本题考查三角恒等变换、正弦型（余弦型）函数的最小正周期及在给定区间上的值域 21在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，已知中，已知ABC的顶点坐标分别是 的顶点坐标分别是0,0A，3,3B， 1,5C，记，记ABC外接圆为圆外接圆为圆M （1）求圆）求圆M的方程；的方程； （2）在圆）在圆M上是否存在点上是否存在点P，使得，使得 22 12PBPA？若存在，求点？若存在，求点P的个数；若的个数；若 不存在，说明理由不存在，说明理由
23、【答案】【答案】 （1） 22 60 xyx； （2）满足条件的点P有两个，理由见解析 【解析】【解析】(1)设ABC外接圆M的方程为 22 0 xyDxEyF，将, ,A B C三点代 入圆的方程，列出方程组，求得,D E F的值，即可得到圆的方程； (2)设点P的坐标为, x y，由 22 12PBPA，化简得10 xy ，利用直线与 圆相交，即可求解 【详解】 （1）设ABC外接圆M的方程为 22 0 xyDxEyF， 将0,0A，3,3B，1,5C代入上述方程得： 0 60 560 F DE DE ， 解得 6 0 0 D E F 则圆M的方程为 22 60 xyx； （2）设点P的坐
24、标为, x y， 因为 22 12PBPA ， 所以 22 22 3312xyxy， 化简得：10 xy 因为圆M的圆心3,0M到直线10 xy 的距离为 22 3 1 23 11 d 所以直线10 xy 与圆M相交，故满足条件的点P有两个 【点睛】 本题主要考查了圆的方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用问题，其中解答中利 用待定系数法求解圆的方程，以及合理利用直线与圆的位置关系是解答的关键，着重考 第 13 页 共 14 页 查了推理与计算能力，属于基础题 22已知已知函数函数 2 21g xaxxb ，不等式，不等式 0g x 的解集为的解集为13xx ，设，设 g x f x x （
25、1）若存在）若存在 0 1,3x ，使不等式，使不等式 0 f xm成立，求实数成立，求实数m的取值范围；的取值范围； （2）若方程）若方程 2 2130 21 x x fkk 有三个不有三个不同的实数解，求实数同的实数解，求实数k的取值范的取值范 围围 【答案】【答案】 （1）,0； （2） 3 , 2 【解析】【解析】 （1）由不等式 2 210g xaxxb 的解集为13xx 可知1,3是 方程 2 210axxb 的两个根， 即可求出, a b， 根据 ( )f x的单调性求出其在 1,3的 最大值，即可得出 m 的范围； （2）方程可化为 2 2132 21230 xx kk ，令2
26、 1 x t，则 2 32230tktk 有两个不同的实数解 1 t， 2 t，根据函数性质可列出不等式求 解. 【详解】 （1）不等式 2 210g xaxxb 的解集为13xx 1x，3x 是方程 2 210axxb 的两个根 12 12 2 2 1 3 xx a b xx a ，解得 1 4 a b 2 23g xxx 则 3 2f xx x 存在 0 1,3x ，使不等式 0 f xm成立，等价于 3 2xm x 在 0 1,3x 上有 解， 而 f x在1,3x时单调递增， max 30f xf m的取值范围为,0 第 14 页 共 14 页 （2）原方程可化为 2 2132 21230 xx kk 令21 x t， 则0,t， 则 2 3223 0tktk 有两个不同的实数解 1 t，2t， 其中 1 01t， 2 1t ，或 1 01t， 2 1t 记 2 3223h ttktk， 则 0230 140 hk hk ，解得 3 2 k 或 0230 140 32 01 2 hk hk k ，不等式组无实数解 实数k的取值范围为 3 , 2 【点睛】 本题考查一元二次不等式的解集与方程的根的关系，考查函数的单调性，考查利用函数 性质解决方程解的情况，属于较难题.
